엘리엇-할베르스탐 추측

수 이론에서 엘리엇-할베르스탐 추측은 산술 진행에서의 소수 분포에 대한 추측이다. 체 이론에는 많은 응용이 있다. 그것은 피터 D의 이름을 따서 지어졌다. 1968년 추측을 진술한 T. A. 엘리엇과 하이니 할버스탐.^[1]

추측을 진술하는 것은 어떤 표기법을 필요로 한다. Let ${\displaystyle \pi (x)}$, the prime-counting function, denote the number of primes less than or equal to ${\displaystyle x}$. If ${\displaystyle q}$ is a positive integer and ${\displaystyle a}$ is coprime to ${\displaystyle q}$, we let ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$ denote ${\$displaystyle $a}$ modulo$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$과 같은 x ${\displaystyle x}$보다 작거나 같은 소수$.$ 산술 진행에 대한 디리클레트의 정리:

${\displaystyle \pi(x;q,a)\trawth {\frac {\pi(x)}{\varphi(q)}}}}$

여기서 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) 오일러의 토털 함수다. 그런 다음 오류 함수를 정의하면

${\displaystyle E(x;q)=\max _{\text{gcd}(a,q)=1}\왼쪽 \pi(x;q,a)-{\frac {\pi(x)}{\varphi (q)}}\오른쪽 }$

최대값이 $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$ coprime을$$ $q{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\}$에 대해 i < 1 {\$displaystyle \theta$<$}$ A> 0 {\$displaystyle$A>0}에 C> 0 {\$displaysty C>$가 존재한다는 주장이다.

${\displaystyle \sum _{1\leq q\leq x^{\theta }E(x;q)\leq {\frac {Cx}{\log ^{A}}}}}}}$

모든 > ${\displaystyle$ x $>2}$에 대해

이 추측은 엔리코 봄비에리와^[2] A의 모든 </ ${\displaystyle \theta <1/2}$에 대해 입증되었다. I. 비노그라도프^[3](Bombieri-Vinogradov 정리, 때로는 단순히 "Bombieri의 정리"라고도 함); 이 결과는 이미 상당히 유용하며, 일반화된 리만 가설의 평균적인 형태다. 엔드포인트 $\theta {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \theta =1}$에서 추측이 실패한 것으로 알려져 있다$.$^[4]

엘리엇-할베르스탐 추측에는 여러 가지 결과가 있다. 한 가지 놀라운 것은 댄 골드스턴, 야노스 핀츠, 젬 얄드름에 의해 발표된 결과인데,^[5][6] 이것은 (이 추측을 가정하면) 기껏해야 16번까지 차이가 나는 한 쌍의 프리임이 무한히 많다는 것을 보여준다. 2013년 11월 제임스 메이너드는 엘리엇-할베르스탐 추측에 따르면, 최대 12개의 차이가 나는 무한히 많은 연속 프리임의 존재를 보여줄 수 있다는 것을 보여주었다.^[7] 2014년 8월 폴리매틱스 그룹은 일반화된 엘리엇-할베르스탐 추측에 따라 최대 6쌍까지 차이가 나는 무한히 많은 연속 프리임의 존재를 보여줄 수 있다는 것을 보여주었다.^[8] 어떤 형태의 추측도 가정하지 않고, 가장 낮은 입증된 경계는 246이다.

참고 항목

• 바반-데이븐포트-할베르스탐 정리
• 섹시 프라임
• 시겔-왈피스 정리

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