레전드레의 상수

sequence_n a = ln(n) - n/n(n)(빨간색 선)의 첫 번째 10만 원소는 1.08366(파란색 선)의 값으로 수렴되는 것으로 나타난다.

이후 동일한 시퀀스_n a = ln(n) - n/n(n) (빨간색 선)의 최대 10,000,000,000까지 원소는 1.08366(파란색 선)보다 일관되게 작아 보인다.

Legendre의 상수는 Adrien-Marie Legendre가 prime-counting 함수 $\pi {\displaystyle }$ $){\displaystyle \pi (x)}$의 점증적 동작을 포착하기 위해 추측한 공식에서 발생하는 수학 상수로서$,$ 현재 그 값은 1로 알려져 있다.

알려진 프리타임에 대해 사용 가능한 수치 증거를 검사한 결과, Legendre는 $\pi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \pi (x)}$이(가) 대략적인 공식을 만족하는지$$ 의심하게 되었다.

레전드레는 1808년에 다음과 같이 추측했다.

${\displaystyle \pi(x)={\frac {x}{\ln(x)-B(x)}}}$

여기서 ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle B}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle 1.08366}$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infit }B(x)=1.08366}$ ....$$OEIS: A228211^[1]

아니면 비슷하게,

${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }\왼쪽(\ln(n)-{n \over \pi(n)}\오른쪽)=B}$

여기서 B는 레전드레의 상수다.그는 B가 1.08366 정도라고 추측했지만 정확한 가치와 상관없이 B의 존재는 소수 정리를 내포하고 있다.

파프누티 체비셰프는 1849년^[2] 한계 B가 존재한다면 반드시 1과 같아야 한다는 것을 증명했다.더 쉬운 증거는 1980년에 핀츠에 의해 주어졌다.^[3]

에러 용어의 명시적인 추정치를 가진 정확한 형태에 따라 소수 정리의 즉각적인 결과물이다.

${\displaystyle \pi(x)={\rm {Li}(x)+O\왼쪽(xe^{-a{-a{\sqrt {\ln x}}\오른쪽)\quad {\text{as }}}\fty }$

(일부 양수 a의 경우, 여기서 O(…)는 큰 O 표기법이며, 샤를 드 라 발레 푸신(Charles de La Vallée Poussin)에 의해 1899년에 증명된 바와 같이,^[4] B는 실제로 1.(Jacques Hadamard와^[5] La Valée Poussin에 의해 독립적으로 증명되었지만 ^[6]관련된 오차 용어의 어떠한 추정도 없었다.

이렇게 간단한 숫자로 평가받음으로써 레전드레의 상수라는 용어는 대부분 역사적 가치로만 만들어졌고, 레전드레의 첫 번째 추측 1.08366을 가리키는 데 종종 (기술적으로 잘못) 사용되기도 했다...대신에

피에르 뒤사트는 2010년에 증명했다.

${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{\ln }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ -${\displaystyle \frac{}{}1\frac{}{}}$≤ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\frac {x}{\ln x-1}\leq \pi(x)}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 5393}$ ${\displaysty x\geq 5393$ 및

$displaystyle \pi$${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 60184}$ ${\displaystyle x\geq 60184$^{[7][self-published source?]}용 1$.}$

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Legendre's constant". MathWorld.