메르센 추측

수학에서 메르센의 추측에 의하면 2 마이너스 1의 힘을 가진 소수라는 뜻인 메르센의 소수라고 불리는 형태의 소수들이 특징지어지는 것이 우려된다.

메르센의 원래 추측

메르센의 추측이라고 불리는 원본은 마린 메르센이 그의 코히타타 피시코-마테마티카(1644년; 예시 참조)에서 한 진술이었다.딕슨 1919) 숫자 $2^{n}-1$ - 1 ${\displaystyle$ 2 $^{n}-1}$ 은 $2^{n}-1$ (는) n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257의 소수이며 다른 모든 양의 정수 n n 257에 대해 복합적이었다.이 숫자들의 크기 때문에 메르센은 이 숫자들을 모두 테스트하지 못했고 17세기 또래들도 테스트하지 못했다.그것은 결국 3세기 후에 결정되었고 루카스-와 같은 새로운 기술의 이용가능성이 결정되었다.레흐메르 실험은 메르센의 추측에 다섯 가지 오류가 있었다는 것으로, 즉 두 가지는 복합적인 오류(프라임 n = 67, 257에 해당하는 오류)와 세 개의 생략된 프리임(프라임 n = 61, 89, 107)이다.올바른 목록은 n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127이다.

메르센의 원래 추측은 거짓이지만, 뉴 메르센 추측으로 이어졌을 수도 있다.

뉴 메르센 추측

뉴 메르세네 추측 또는 베이트만, 셀프리지, 와그스태프 추측(Bateman et al. 1989)은 다음과 같은 조건 중 두 가지가 유지된다면 세 번째 자연수 p도 마찬가지라고 기술하고 있다.

p = 2^k ± 1 또는 p = 일부 자연수 k에 대한 4^k ± 3(OEIS: A122834)
2^p - 1은 프라임(메르센의 프라임)이다.(OEIS: A000043)
(2^p + 1) / 3은 프라임 (Wagstaff 프라임)(OEIS: A000978)

p가 홀수 합성수일 경우 2^p - 1과 (2^p + 1)/3은 모두 합성수일 것이다.그러므로 추측의 진위를 검증하기 위해서는 오직 프라임 테스트만 하면 된다.

현재 세 가지 조건이 모두 적용되는 알려진 숫자는 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127(OEIS의 경우 순차 A107360)이다.127보다 큰 숫자가 세 가지 조건을 모두 만족시키지 못한다는 추측이기도 하다.2020년 2월 현재 메르센은 최대 2대^43112609 1로 알려져 있으며, 이 중 방금 언급된 것을 제외하고 세 번째 조건이 유지되는 것은 없다.^[1]

적어도 하나의 조건을 만족시키는 프라임은

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521, 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, ... (sequence A120334 in the OEIS)

메르센의 원래 추측이 거짓(67과 257)인 두 가지 소수(67과 257)는 새로운 추측의 첫 번째 조건⁶(67=2+3, 257=2⁸+1)을 만족하지만 나머지 두 가지는 만족하지 않는다는 점에 유의한다.메르센이 놓친 89와 107은 두 번째 조건을 만족시키지만 나머지 두 가지는 만족시키지 못한다.메르센은 일부 자연수 k에 대해 p = 2^k ± 1 또는 p = 4^k ± 3일 경우에만 2^p - 1이 프라임이라고 생각했을지 모르지만, 만약이고 만약이라고 생각한다면 61을 포함했을 것이다.

처음 100번의 메르센 추측 현황
2	3	5	7	11	13	17	19	23	29
31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
73	79	83	89	97	101	103	107	109	113
127	131	137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223	227	229
233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349
353	359	367	373	379	383	389	397	401	409
419	421	431	433	439	443	449	457	461	463
467	479	487	491	499	503	509	521	523	541

빨간색: p는 2ⁿ±1 또는 4ⁿ±3 형식이다.	청록색 배경: 2-1은^p 프라임	기울임꼴: (2^p+1)/3이 기본임	굵게: p는 하나 이상의 조건을 만족함

뉴 메르센 추측은 수 세기 동안 이어져 온 메르센의 추측을 되살리기 위한 시도로 생각할 수 있는데, 이는 거짓이다.그러나 로버트 D에 따르면. Silverman, John Selfridge는 뉴 메르센 추측이 알려진 데이터에 적합하도록 선택되었고 그러한 경우를 넘어서는 반증할 가능성이 극히 낮기 때문에 "분명히 사실"이라는 데 동의했다.입증해야 할 공개 질문이라기보다는 호기심 어린 관찰로 볼 수도 있다.

Renaud Lifchitz는 32582656^[2] 이하인 모든 정수에 대해 NMC가 참임을 보여주었는데, 이는 조건 중 하나가 이미 보유하고 있는 것으로 알려진 모든 프리마임을 체계적으로 시험한 것이다.그의 웹사이트는 이 숫자까지 결과 검증을 문서화한다.NMC의 또 다른 최신 현황 페이지는 뉴 메르센 프라임 추측이다.

렌스트라-포머런스-와그스타프 추측

렌스트라, 포머런스, 와그스태프는 메르센느 프리타임이 무한히 있으며, 보다 정확하게는 메르센 프리타임이 x보다 적은 것이 점증적으로 근사하다고 추측해 왔다.

e^{\data }\cdot \log _{2}\log _{2}(x),

^[3]

여기서 γ은 오일러-마스케로니 상수다.즉, 지수 p가 y보다 적은 메르센 프리타임 수가 점증적으로 나타난다.

e^{\put }\cdot \log _{2}(y).

^[3]

$즉$ , $e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)$ 으로 $M_{p}$ $e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)$ ${\displaystyle$ $^{\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}($ $10$ $)}$ ≈ $e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)$ 5.92 primes p가 있어야 $M_{p}$ 한다 $.$ 처음 40번의 메르세네 프리타임에 대한 추정은 상당히 정확하지만, 2번에서^20,000,000^85,000,000 2번 사이는 예상 수치인 3.7번보다는 최소 12번이다.^[4]

More generally, the number of primes p ≤ y such that ${\frac {a^{p}-b^{p}}{a-b}}$ is prime (where a, b are coprime integers, a > 1, −a < b < a, a and b are not both perfect r-th powers for any natural number r > 1, and −4ab is not a perfect fourth power) is asymptotically

(e^{\put }+m\cdot \log _{e}(2)\cdot \log _{a}(y).

여기서 m은 a와 -b 둘 다 완벽한 2차^m 파워가 될 수 있는 가장 큰 비음수 정수다.메르센 프리메스의 경우는 (a, b) = (2, 1)의 한 경우다.

참고 항목

참조

Bateman, P. T.; Selfridge, J. L.; Wagstaff Jr., Samuel S. (1989). "The new Mersenne conjecture". American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 96 (2): 125–128. doi:10.2307/2323195. JSTOR 2323195. MR 0992073.
Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers. Carnegie Institute of Washington. p. 31. OL 6616242M. 1971년 뉴욕 첼시 출판사에서 재인쇄한 ISBN 0-8284-0086-5.

^ James Wanless. "Mersenneplustwo Factorizations".
^ [오피니언] 프라임페이지의 새로운 메르센 프라임 추측
^ ^a ^b 휴리스틱스: 와그스태프 메르세네 추측을 도출해냈지프라임 페이지.2014-05-11년에 검색됨
^ Michael Le Page (Aug 10, 2019). "Inside the race to find the first billion-digit prime number". New Scientist.

외부 링크

프라임 용어집.새로운 메르센의 추측.

[1] James Wanless. "Mersenneplustwo Factorizations".

[2] [오피니언] 프라임페이지의 새로운 메르센 프라임 추측

[heur-3] 휴리스틱스: 와그스태프 메르세네 추측을 도출해냈지프라임 페이지.2014-05-11년에 검색됨

[4] Michael Le Page (Aug 10, 2019). "Inside the race to find the first billion-digit prime number". New Scientist.

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