반단순 표현

수학에서, 특히 표현 이론에서, 반단순 표현(반단순 표현)^[1]은 단순 표현들의 직접 합인 군이나 대수의 선형 표현이다.그것은 반단순성의 일반적인 수학적 개념의 한 예이다.

표현 이론의 적용에 나타나는 많은 표현들은 반단순이거나 반단순 표현에 의해 근사될 수 있다.필드 위의 대수 위에 있는 반단순 모듈은 반단순 표현의 한 예이다.반대로 필드 k에 대한 그룹 G의 반단순 표현은 그룹 링 k[G]에 대한 반단순 모듈이다.

동등한 특성화

V를 군 G의 표현이라고 하자. 또는 V를 군 G에 작용하는 일련의 선형 내형성을 갖는 벡터 공간이라고 하자.일반적으로 일련의 선형 내형성에 의해 작용되는 벡터 공간은 이들 연산자에 대한 유일한 불변 부분공간이 0이고 벡터 공간 그 자체일 경우 단순(또는 축소 불가)하다고 한다.반단순 표현은 ^[1]그런 의미에서 단순한 표현의 직접합이다.

다음은 ^[2]동등합니다.

V는 표현으로서 반단순하다.
V는 단순한 하위 표현의 합계입니다.
V의 각 하위 표현 W는 보완 표현 W'를 허용한다. 즉, V $V=W\oplus W'$ $V=W\oplus W'$ $V=W\oplus W'$ $V=W\oplus W'$ $V=W\oplus W'$ W ${\$ \ $displaystyle$ V= $W\oplus$ W $V=W\oplus W'$ 이다.

위의 조건의 동등성은 독립적 관심사인 다음 보조항목을 기준으로 표시할 수 있습니다.

Lemma^[3] — p:V → W를 표현 사이의 투영 등변 맵으로 합니다.V가 반단순이면 p는 분할됩니다. 즉, 단면을 허용합니다.

요점 증명:V $V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}$ $V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}$ $V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}$ I $V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}$ i { $displaystyle$ V $V_{i}$ $=$ \ $bigoplus _$ { $i$ $V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}$ \ $in$ I } $V$ _ { $i$ $V_{i}$ } 라고 $V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}$ $V_{i}$ $V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}$ . $V_{i}$ 서 V $V_{i}$ 는 간단한 표현입니다.일반성을 잃지 않고 $($ V_ ${i$ })를 $V_{i}$ 하위 표현으로 $V_{i}$ 할 수 있습니다. 즉, 직접 합계가 내부 표현이라고 가정할 수 있습니다. $V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V$ 가능한 모든 직접 합계 $V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V$ J $V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V$ : $V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V$ $V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V$ i $V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V$ $V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V$ $V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V$ i $V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V$ V $V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V$ V V : = \ $bigoplus _$ { i \ $in$ J } V _ { i } \ $subset$ $V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V$ V $}$ 의 $V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V$ 다양한 $J\subset I$ 을 포함한 모든 직접 합계 V : $V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V$ $J\subset I$ put put put put put V _ i \ $displaystyle$ put put put put put put V : \ bigoplus _ { i $J\subset I$ set J}. $K\subset J$ Zorn의 보조법에 따라 ker p $\operatorname {ker} p\cap V_{J}=0$ V $\operatorname {ker} p\cap V_{J}=0$ $=$ 0 \ $displaystyle \operatorname {ker }$ p $\cap V_$ {J} $=0$ 인 $J\subset I$ J $J\subset I$ I $J\subset I$ { $displaystyle$ J $\subset$ I $J\subset I$ 를 찾을 $J\subset I$ 수 있습니다.V $V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}$ ker $V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}$ p $V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}$ $V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}$ {\ $displaystyle$ V=\ $operatorname {ker} p\oplus$ V_ ${J$ 이라고 주장합니다. 정의에 $\operatorname {ker} p\cap V_{J}=0$ ker $\operatorname {ker} p\cap V_{J}=0$ ∩ $\operatorname {ker} p\cap V_{J}=0$ $\operatorname {ker} p\cap V_{J}=0$ $\operatorname {ker} p\cap V_{J}=0$ J $\operatorname {ker} p\cap V_{J}=0$ { $displaystyle \operatorname {ker} p\cap$ V_ ${J$ } $=0}$ 은 $\operatorname {ker} p\cap V_{J}=0$ V $V=\operatorname {ker} p+V_{J}$ 를 표시하기만 하면 됩니다. $이름 {ker} p+V_{J}$ 은 $\operatorname {ker} p+V_{J}$ V{\ $displaystyle$ V $}$ 의 $V$ $적절한$ 하위 대표자이며, K $k\in I-J$ - $k\in I-J$ { $displaystyle$ k $\in I-J}$ 이 $k\in I-J$ ( $V_{k}\not \subset \operatorname {ker} p+V_{J}$ ) $V_{k}\not \subset \operatorname {ker} p+V_{J}$ 하므로 $V_{k}\not \subset \operatorname {ker} p+V_{J}$ k $V_{k}\not \subset \operatorname {ker} p+V_{J}$ k $V_{k}\not \subset \operatorname {ker} p+V_{J}$ + V $V_{k}\not \subset \operatorname {ker} p+V_{J}$ { $displaystyle V_{k}\not$ \ $opername {k} P_{$ ker $}$ 이)가 있습니다 $.$ $V_{k}\cap (\operatorname {ker} p+V_{J})=0$ ) $V_{k}\cap (\operatorname {ker} p+V_{J})=0$ {{ $displaystyle V_{k}\cap(\operatorname {ker} p+V_{J$ $J$ $0$ 이는 $J$ 의 최대값과 $V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}$ 되므로 V $V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}$ ker $V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}$ p $V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}$ $V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}$ J $V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}$ v V \ $displaystyle$ V = \ $operatorname {ker}$ p\o} V_ $}이($ 가 $V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}$ 주장한 대로입니다.따라서 W $W\simeq V/\operatorname {ker} p\simeq V_{J}\to V$ / $W\simeq V/\operatorname {ker} p\simeq V_{J}\to V$ p $W\simeq V/\operatorname {ker} p\simeq V_{J}\to V$ $W\simeq V/\operatorname {ker} p\simeq V_{J}\to V$ J $W\simeq V/\operatorname {ker} p\simeq V_{J}\to V$ {\ $displaystyle$ W $\simeq$ V $/\operatorname {ker} p\displayq V_{J}\to$ V $}$ 는 $W\simeq V/\operatorname {ker} p\simeq V_{J}\to V$ p. $◻$ { $displaystyle \square}$ 의 단면입니다.

Note that we cannot take $J$ to the set of $i$ such that $\ker(p)\cap V_{i}=0$ . $그$ 이유는 X $(\displaystyle$ X $)$ 가 $X$ Y $(\displaystyle$ Y $\oplus$ Z)의 $Y\oplus Z$ $Y\oplus Z$ 공간이지만 X $displaystyle$ Y $=0$ Z $X\cap Y=0=X\cap Z$ 는 X $(\displaystyle$ X $X$ 0 $=X\cap$ Z $)$ 를 $X$ 로 들 수 있기 $Y$ 입니다. $({$ ^{ $2$ 의 $2\times2$ 원점은 A $=$ $A=\operatorname {Mat} _{2}(F)$ 2 $2\times 2$ $A=\operatorname {Mat} _{2}(F)$ ( $)$ ({ $displaystyle$ A $=\operatorname$ {Mat} $_{2}(F$ )}) $V=A$ 의 $2\times 2$ 로 $2\times 2$ 하고 $V=A$ $style A$ 를 $설정합니다.$ . 세트 V1){(0b0)}{\displaystyle V_{1}={\Bigl\와 같이{}{\begin{pmatrix}a&, 0\\b&, 0\end{pmatrix}}{\Bigr)}}}과 V2){(0c0d)}{\displaystyle V_{2}={\Bigl\와 같이{}{\begin{pmatrix}0&, c\\0&, d\end{pmatrix}}{\Bigr)}}}와 W을 세웠다={(ccdd)} {\displaystyle W={)\Bigl{}{\begin{pmatrix}c&, c\\d&, d\end{pmatrix}}{\Bigr)}}}. 그리고 V1{\displaystyle V_{1}}, V2{\displaystyle V_{2}}와 W{W\displaystyle}모두 더 이상 줄일 수 없는{A\displaystyle}-modules과 V=V1⊕ V2{\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}}. p자:V→ V/W $(\displaystyle p:$ $V/W는$ 자연 투영이다. $그런$ 다음 ker $V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p$ $\operatorname {ker} p=W\neq 0$ p $V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p$ $\operatorname {ker} p=W\neq 0$ W $\operatorname {ker} p=W\neq 0$ 0 {\ $displaystyle$ \ $operatorname$ {ker} $p=W\$ $neq$ 0 $}$ 및 $\operatorname {ker} p=W\neq 0$ $V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p$ $V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p$ $V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p$ ker $V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p$ p $V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p$ 0 $V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p$ $V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p$ $V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p$ p ker $V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p$ p { $\operatorname {ker} p=W\neq 0$ $displaystyle$ V_ ${1$ }\ $cap$ \operatorname ${ker} p= 02\$ cap $operatorname$ {cap}입니다. $스타일$ V $\neq \operatorname {ker} p\oplus$ V_ ${1}\oplus$ V_{ $2}$ 을 $V\neq \operatorname {ker} p\oplus V_{1}\oplus V_{2}$ (를) 선택합니다.이 합계는 직접적이지 않습니다.

$1.\Rightarrow 3.$ 의^[4] 증거 1. $1.\Rightarrow 3.$ . $1.\Rightarrow 3.$ (* $displaystyle$ 1) $\rightarrow$ 3 $.}$ : p는 $V\to V/W$ V $V\to V/W$ / $V\to V/W$ ({ $display style$ V\ $to$ V/ $W$ 로 하고, V는 반단순이므로 p가 분할되므로 단면을 통해 V $V/W$ / $V/W$ ({ $display style$ V $/W}$ 는 $V/W$ W를 보완하는 서브레트레이션과 동형상이 된다.

$3.\Rightarrow 2.$ \ $Rightarrow$ 2. $3.\Rightarrow 2.$ 0이 아닌 모든 서브표현 W가 단순한 서브표현을 갖는 것을 먼저 관찰한다 $.$ W를 (0이 아닌) 순환 하위 표현으로 축소하면 최종적으로 생성된다고 가정할 수 있다.그런 다음 최대 하위 표현 U를 갖습니다. 조건 3. $V=U\oplus U'$ $U에$ 대해 V $=$ $V=U\oplus U'$ $V=U\oplus U'$ $V=U\oplus U'$ ′ $U$ \ $displaystyle$ $V=U\oplus U'$ V= U \ $W=U\oplus (W\cap U')$ $oplus$ U $V=U\oplus U'$ $U'$ 。 모듈러 법칙에 따라 $W=U\oplus (W\cap U')$ $=$ $W=U\oplus (W\cap U')$ （ W $W=U\oplus (W\cap U')$ u U $W=U\oplus (W\cap U')$ （ W $W=U\oplus (W\cap U')$ U ） $W=U\oplus (W\cap U')$ （ $W$ u $W=U\oplus (W\cap U')$ U ）。W의 표기("최대화 때문에 단순")이것으로 관찰이 확립됩니다.이제W(\ $displaystyle$ W)를 $W$ 모든 단순 $W'$ 의 합으로 $W$ 합니다. 3. 이를 통해 보완표현 $W$ $W\cap W'\neq 0$ $displaystyle$ W $W'$ 가 허용됩니다. $W'\neq 0$ 가 $W'\neq 0$ 0 $(\displaystyle$ W $'\neq$ 0 $W'\neq 0$ 이면 W $(\$ W $')$ 는 $W'$ 서브표현 W를 포함하고 $W\cap W'\neq 0$ . $displaystyle$ W'\ $cap$ W $'\neq$ 0 $W\cap W'\neq 0$ 을 지정합니다. $W'=0$ W $W'=0$ $W'=0$ { $display style$ W` = $0$ 입니다.

$2.\Rightarrow 1.$ \ $Rightarrow$ 1 $2.\Rightarrow 1.$ ^[5] : 그 의미는 벡터 공간의 스패닝 집합에서 기초가 추출될 수 있다는 선형 대수학의 기본 사실에 대한 직접적인 일반화이다 $.$ 즉, 다음과 같은 조금 더 정확한 진술을 증명할 수 있습니다.

$V=\sum _{i\in I}V_{i}$ $V=\sum _{i\in I}V_{i}$ $V=\sum _{i\in I}V_{i}$ $V=\sum _{i\in I}V_{i}$ $V=\sum _{i\in I}V_{i}$ $V=\sum _{i\in I}V_{i}$ $V$ { $displaystyle$ V $=$ \ $sum$ _ {i $\in$ I } $V_{i$ 일 때, 반단순 $V=\bigoplus _{i\in I'}V_{i}$ V $V=\bigoplus _{i\in I'}V_{i}$ $V=\bigoplus _{i\in I'}V_{i}$ I $V=\bigoplus _{i\in I'}V_{i}$ $V$ = \ $displaystyle$ V =\ $bigoplus$ _{ $i\in$ I $'}$ 의 $부분$ 집합 I $V=\bigoplus _{i\in I'}V_{i}$

보조명제 증명과 마찬가지로, 일부 $($ V_ ${i$ 로 구성된 최대 $직합$ W $(디스플레이 스타일$ W $)$ 를 $W$ 찾을 수 있습니다.I의 각 i에 대해 간단히 $V_{i}\subset W$ V i $V_{i}\subset W$ W {\ $displaystyle V_{$ i}\ $subset$ W $V_{i}\subset W$ } $V_{i}\cap W=0$ V i $V_{i}\cap W=0$ $V_{i}\cap W=0$ $=$ 0 {\ $displaystyle V_{i$ }\ $cap W=$ 0 $V_{i}\cap W=0$ $V_{i}\subset W$ 하나입니다. 두 번째 경우, $W\oplus V_{i}$ W $W\oplus V_{i}$ $W\oplus V_{i}$ {\ $display$ W $\pluso_}$ 는 $W\oplus V_{i}$ $모순$ 입니다. $V_{i}\subset W$ V i $V_{i}\subset W$ { $display style$ V _ { $i$ } \ $subset$ W $V_{i}\subset W$ $◻$ \ $display style$ \ square $\square$ }

예와 비예

유니터리 표현

유한 차원 유니터리 표현(즉, 유니터리 그룹을 통한 표현 인수분해)은 반단순 표현의 기본 예시이다.이후 만약 W는 subrepresentation, W에 직교 보수 이러한 표현semisimple 보완 representation[6]때문에 vW∈({\displaystylev\in W^{\bot}}과 g∈ G{g\in G\displaystyle}, 그때 ⟨π(g)v, w⟩)⟨ vπ(g− 1)w⟩ 돌아선 0{\displaystyle \langle \pi(g)v,w\rangle. =\ $W$ 는 G 불변이므로 W 내의 임의의 W에 대해 $langle$ v $,\pi (g^{-1}w\rangle =0}$ 입니다 $\langle \pi (g)v,w\rangle =\langle v,\pi (g^{-1})w\rangle =0$ $\pi (g)v\in W^{\bot }$ W는 ( $\pi (g)v\in W^{\bot }$ $\pi (g)v\in W^{\bot }$ $\pi (g)v\in W^{\bot }$ W $\pi (g)v\in W^{\bot }$ \ $displaystyle \pi ( g$ ) $v$ \ $in$ W^ { \ $bot$ } $\pi (g)v\in W^{\bot }$ 。

예를 들어 유한군 또는 콤팩트군 G의 연속된 유한차원 복소수 표현 $\pi :G\to GL(V)$ : G $\pi :G\to GL(V)$ $\pi :G\to GL(V)$ $\pi :G\to GL(V)$ ( $\pi :G\to GL(V)$ V $\pi :G\to GL(V)$ ) { $displaystyle \pi$ $: G\$ $to$ GL ( $\pi :G\to GL(V)$ V ) } a , $\langle ,\rangle$ , , , , , , , , , , , , is is is is is is is is is is is is is is is is is is $\langle ,\rangle$ is is is is is is , , , , , , , , $,$ $(\displaystyle \pi ($ g $)v,\pi (g)w$ \rangle $=\displayle v,w$ \rangle $\langle \pi (g)v,\pi (g)w\rangle =\langle v,w\rangle$ }. $\pi (g)$ ( $g)$ { $displaystyle \pi$ (g $)}$ 은 유니터리 $\pi$ 이므로 $(\displaystyle$ \pi $}$ 는 $\pi$ 유니터리 ^[6]표현입니다.따라서, G의 모든 유한 차원 연속 복소 표현은 ^[7]반단순이다.유한군의 경우, 이것은 G의 순서를 나누지 않는 특성을 가진 필드 k 위의 유한군 G의 유한 차원 표현은 ^[8]^[9]반단순이라는 마슈케 정리의 특별한 경우이다.

반단순 리 대수의 표현

완전 환원성에 관한 바일의 정리에 따르면 특성 0의 장에 걸친 반단순 리 대수의 모든 유한 차원 표현은 반단순이다.^[10]

분리 가능한 최소 다항식

벡터 공간 V의 선형 내형성 T가 주어졌을 때, T의 최소 다항식이 분리 가능한 경우, 즉 뚜렷한 환원 불가능한 다항식의 ^[11]곱인 경우에만 V는 T의 표현으로서 반단순이다(즉, T는 반단순 연산자).

연관된 반단순 표현

유한 차원 표현 V가 주어졌을 때, 조던-Hölder 정리는 V = V $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$ $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$ 1 $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$ $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$ V 1 $V_{i}/V_{i+1}$ $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$ $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$ V n $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$ 0 { $display$ V $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$ _ { 0 } \ $supset \ cdots$ \ $supset$ V $_$ ${ n$ } $V_{i}/V_{i+1}$ $=$ $V_{i}/V_{i+1}$ $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$ represent represent represent ient ient $ient$ ient ient $V_{i}/V_{i+1}$ ient ient ient ient ient $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$ ient ient ient $V_{i}/V_{i+1}$ $V_{i}/V_{i+1}$ h h $V_{i}/V_{i+1}$ h h h h V n $=$ 0 = 0 h h h V n = 0 h h h h h 다음으로 관련 벡터 $\operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}$ gr $\operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}$ V : $\operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}$ i $\operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}$ $\operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}$ - $\operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}$ $\operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}$ / $\operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}$ i + $\operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}$ { $displaystyle \operatorname {gr$ } V : = \ $bigoplus$ _ { i $\operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}$ = $0$ }^{ $n-1}V_{i$ } / V _ ${$ i + 1 $}$ 는 $\operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}$ 연관 반단순화라고 불리는 반단 표현이다.

전권 그룹 비예제

전능하지 않은 집단의 표현은 일반적으로 반단순하지 않다.에 그 그룹 진짜 매트릭스의[11]{\displaystyle{\begin{bmatrix}1&amp로;a\\&, 1\end{bmatrix}}};그것은 V으로 행동한다)}은 자연적인 방법으로를 만들어 냅니다. G{G\displaystyle}R2{\displaystyle V=\mathbb{R}^{2}다 V 표현의 G. 사정이라면 W는 subrepresentation의 V이 치수 1,. 다음단순 계산에서는 벡터 ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ [ ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ 0 $]{$ $displaystyle$ { $bmatrix }1\\0\end$ { $bmatrix$ 에 의해 스판되어야 합니다.즉, V에는 정확히 세 개의 G-하위 표현이 있다. 특히 V는 반단순하지 않다(독특한 1차원 하위 표현은 상호보완적 ^[13]표현을 허용하지 않기 때문에).

반단순 분해 및 다중성

반단순표현을 반단순분해라고 하는 단순표현으로 분해하는 것은 고유할 필요가 없다.예를 들어, 단순한 표현은 1차원 벡터 공간이며, 따라서 반단순분해는 표현 벡터 ^[14]공간의 기초 선택에 해당한다.한편, 이형 분해는 독특한 ^[15]분해의 한 예이다.

그러나 대수적으로 닫힌 장에 걸친 유한 차원 반단순 표현 V에 대해, V의 분해에 나타나는 동형사상까지의 단순 표현 개수는 유일하며, (2) ^[16]동형사상까지의 표현을 완전히 결정한다. 이것은 다음과 같은 Schur의 법칙의 결과이다.대수적으로 닫힌 필드에 대한 유한 차원 반단순 표현 V가 주어졌다고 가정하자: 정의에 따르면, 그것은 단순한 표현의 직접 합이다.서로 동형인 분해의 단순한 표현을 그룹화함으로써 동형사까지 분해(반드시 고유하지 ^[16]않음)를 찾을 수 있다.

V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}

$V_{i}$ 서 $({$ })는 $V_{i}$ 단순 표현으로 서로 동일하지 $m_{i}$ $({$ })는 $m_{i}$ 양의 정수입니다.슈어의 보조에 따라

m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})

i

m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})

m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})

m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})

m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})

equiv

m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})

(

m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})

i

m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})

, V )

m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})

dim

m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})

Hom equiv

v

(

m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})

,

m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})

V i )

= dim

\

operatorname {Hom

}

_

{ \

text { i

,

V } =

\

dim

\

operatorname {Hom

} ( V )

_ equiv

}

$\operatorname {Hom} _{\text{equiv}}$ 서 Hom $\operatorname {Hom} _{\text{equiv}}$ \ $displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}$ 는 $\operatorname {Hom} _{\text{equiv}}$ 등변 선형 맵을 나타냅니다.또한 $({$ })가 $V_{i}$ $({$ 와 동형인 다른 단순 표현으로 대체되는 $V_{i}$ $m_{i}$ $({$ })는 $m_{i}$ 변경되지 않습니다. $m_{i}$ 정수 $({$ i $m_{i}$ })는 선택된 분해와는 독립적이며, $V_{i}$ $V_{i}$ Vi({ $displaystyle V_{$ i $V_{i}$ 의 배수이며,^[17] V에서 동형사상까지의 배수이다.

일반적으로 필드 k에 대하여 그룹 G의 유한 차원 표현 $\pi :G\to GL(V)$ : G $\pi :G\to GL(V)$ $\pi :G\to GL(V)$ L $\pi :G\to GL(V)$ ( $\pi :G\to GL(V)$ ) { $style \pi : G$ \ $to$ GL ( $V$ ) } 이 $\pi :G\to GL(V)$ 주어졌을 때, 조성물 $\chi _{V}:G{\overset {\pi }{\to }}GL(V){\overset {\text{tr}}{\to }}k$ V : $\chi _{V}:G{\overset {\pi }{\to }}GL(V){\overset {\text{tr}}{\to }}k$ $\chi _{V}:G{\overset {\pi }{\to }}GL(V){\overset {\text{tr}}{\to }}k$ $\chi _{V}:G{\overset {\pi }{\to }}GL(V){\overset {\text{tr}}{\to }}k$ L ( $\chi _{V}:G{\overset {\pi }{\to }}GL(V){\overset {\text{tr}}{\to }}k$ ) $\chi _{V}:G{\overset {\pi }{\to }}GL(V){\overset {\text{tr}}{\to }}k$ $\chi _{V}:G{\overset {\pi }{\to }}GL(V){\overset {\text{tr}}{\to }}k$ k $\chi _{V}:G{\overset {\pi }{\to }}GL(V){\overset {\text{tr}}{\to }}k$ \ $style \chi$ _ ${V:$ G{\overset{\pi}{\to}}GL(V){\overset{\text{tr}}{\to}}k}이라고 불린 캐릭터(π, V){\displaystyle(\pi ,V)}.[18] 때(π, V){\displaystyle(\pi ,V)}은semisimple과 분해하는 V≃ ⨁ 나는 V나는 ⊕ m나는{\displaystyle V\simeq_{나는\bigoplus}V_{나는}^{\oplus m_{나는}}}위에서 언급했던 것과 추적 tr ⁡. (π $\operatorname {tr} (\pi (g))$ ) $\operatorname {tr} (\pi (g))$ {{ $displaystyle$ $\pi (g):V_{i}\to V_{i}$ \ $operatorname {tr}(\pi (g)}}$ 은 $\operatorname {tr} (\pi (g))$ $\pi (g):V_{i}\to V_{i}$ 는 $\pi (g):V_{i}\to V_{i}$ $\pi (g):V_{i}\to V_{i}$ $\pi (g):V_{i}\to V_{i}$ $\pi (g):V_{i}\to V_{i}$ $\pi (g):V_{i}\to V_{i}$ i {\ $displaystyle \pi$ (g $)}$ 의 트레이스의 합계입니다. $V_{i}\to$ V_ ${i}$ 에 $\pi (g):V_{i}\to V_{i}$ 곱셈을 포함하므로 G의 함수로서

\displaystyle \chi _{V}=\sum _{i}m_{i}\chi _{V_{i}}

언제 G가 유한한 그룹이나 더 일반적으로 계약 그룹과 내부 제품은 평균 인수에 의해 규정한 V{V\displaystyle}은 단일 표현 어디χ V.V의 나는{\displaystyle V_{나는}}}는 문자}{\displaystyle \chi_{V_{나는}, 슈어 직교성 관계:irreducib[19] 말한다.c르G의 해락터(단순 표현의 소수자)는 G 위의 복소수 함수 공간의 직교 정규 부분 $m_{i}=\langle \chi _{V},\chi _{V_{i}}\rangle$ 이므로 m $m_{i}=\langle \chi _{V},\chi _{V_{i}}\rangle$ $m_{i}=\langle \chi _{V},\chi _{V_{i}}\rangle$ V $、$ $m_{i}=\langle \chi _{V},\chi _{V_{i}}\rangle$ i $m_{i}=\langle \chi _{V},\chi _{V_{i}}\rangle$ { $displaystyle m$ _ { i } = \ $ci$ \ { V $}$ \ ci _ { V } 、 \ $ci$ _ { $V$ } $。$

등형 분해

표현의 등형 분해라고 하는 독특한 반단순 표현의 분해가 있습니다.정의에 의하면, 구성 요소 또한 subrepresentations의 선택권이 S에 동형의 직접적인 합고 있는 반면에 summands 필요하지 않다(그래서 구성 요소는 특별하다 동형이라는 점을 유의하십시오[15] 간단한 표현 S형식의 V의 S에 동형 모두 subrepresentations의 V는 합 표현의 아이 소타 이프의. 구성 요소 S. 그렇게).

반단순 표현 V의 등형 분해는 (독특한) 직접합 ^[15]^[20]분해이다.

(\displaystyle V=\bigoplus_{\widehat {G}) V^{\lambda}})

${\widehat {G}}$ 서 G $^$ {\ $displaystyle {G}}$ 은 $\widehat{G}$ G $V^{\lambda }$ V ${\$ {\ $displaystyle$ V $^{\lambda}$ 의 단순 표현에 대한 동형 클래스 집합입니다. 여기서 $S\in \lambda$ $^$ {\ $displaystyle$ S $\in\lambda$ 는 $V^{{\lambda }}$ 일부 S $S\in \lambda$ 에 대한 V의 등형 성분입니다.

예

변수 $x_{1},x_{2},x_{3}$ , $x_{1},x_{2},x_{3}$ 2, $x_{1},x_{2},x_{3}$ 3 $({$ }, $x_{2}, x_{3$ 의 복소수에서V({ $displaystyle$ V $})$ 를 $V$ 균질한 3차 다항식의 공간이라고 $V$ 하고, $S_{3}$ (\ $displaystyle S_{3$ }})은 $S_{3}$ V $(\displaystyle$ V $)$ 에 $V$ 대해 세 $V$ 의 치환에 작용한다.이것은 유한 그룹의 유한 차원 복소 표현이며, 반단순도 마찬가지입니다.따라서 이 10차원 표현은 $S_{3}$ 의 $3가지$ 표현 중 하나에 해당하는 3가지 등형성 성분으로 나눌 수 있으며, 특히 V{\ $displaystyle$ V $}$ 는 $V$ $S_{3}$ 3개의 단순 표현 복사본, 1개의 기호 표현 복사본, 3개의 등형성 성분으로 구성되어 있다. $x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}$ 를 들어 x $S_{3}$ 2 x $x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}$ $x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}$ 2 $x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}$ 2 x 1 $x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}$ + $x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}$ $x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}$ $x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}$ $x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}$ x $x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}$ 3 $S_{3}$ - $S_{3}$ x $x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}$ $x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}$ 3 x 3 { $x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}$ { { $display style$ x $_$ { 2 $}^{1$ }^{2 $}-x$ {2_{ $1}^{2-{$ $2$ } $_x1}$ 의 2차원 축소 불가능한 2차원 $표현$ W { $displaystyle$ $W}$ 의 복사본입니다 $W$ . $}^{2}x_{3}-x_{$ 2} $x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}$ ${$ 3 $x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}$ } $x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}$ $x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}$ 3 - $x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}$ $x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}$ 2 + $x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}$ $x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}$ 1 - $x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}$ $x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}$ x 1 ({ $style x_{2}x_{3}-x2)^{2}x_{2}+x_$ }x_{2} $}^{2}x_{$ 1}- $x_{3}^{2}x_{$ 1 $x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}$ }}는 $W$ {\ $displaystyle$ W $W$ 와 $W$ 입니다. 이것은 이 2차원 부분 공간을 다음과 같이 쓰면 더 쉽게 알 수 있습니다.

}

}^{2}x_{3}+b(x_{2}^2}x_{1}+x_

}^{2}x_{3}+c(x_{3}^{2}x_{1}+x_

}^{2}x_{

2}\

mid a+b+c=

0

W_{1}=\{a(x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{3})+b(x_{2}^{2}x_{1}+x_{2}^{2}x_{3})+c(x_{3}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{2})\mid a+b+c=0\}

W $(\displaystyle$ W $)$ 의 $W$ 다른 복사본도 유사한 형식으로 쓸 수 있습니다.

=

}^{2}x_{1}+b(x_{1}^{2}x_{2}+x_

}^{2}x_{2}+c(x_{1}^2}x_{3}+x_

}^{2}x_{

3}\

mid a+b+c=

0

W_{2}=\{a(x_{2}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{1})+b(x_{1}^{2}x_{2}+x_{3}^{2}x_{2})+c(x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{3})\mid a+b+c=0\}

세 번째도 마찬가지입니다.

}

}^{3}+cx_

} {{3

}\

mid a+b+c=

0

W_{3}=\{ax_{1}^{3}+bx_{2}^{3}+cx_{3}^{3}\mid a+b+c=0\}

$W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}$ 으로 $W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}$ $W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}$ W3 (\ $displaystyle W_{1}\oplus$ W_ ${2}\oplus$ W_ ${3})$ 는 $W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}$ V{\ $displaystyle$ V $V$ 의 타입W(\ $displaystyle$ W $)$ 의 $W$ 등형 컴포넌트입니다.

완료

푸리에 분석에서는 (nice) 함수를 해당 함수의 푸리에 급수의 한계로 분해합니다.거의 같은 방법으로 표현 자체는 반단순이 아니라 (적절한 의미에서) 반단순 표현의 완성일 수 있다.이것의 가장 기본적인 경우는 피터-와일 정리이며, 이것은 콤팩트 그룹의 왼쪽(또는 오른쪽) 정규 표현을 모든 단순한 유니터리 표현의 직접 합계의 힐버트 공간 완성으로 분해한다.결과적으로,^[21] 콤팩트 군 G에서 W $W=L^{2}(G)$ $W=L^{2}(G)$ 2 ( $W=L^{2}(G)$ ) { $displaystyle$ W $=L^{2}(G)}$ = $W=L^{2}(G)$ 정사각형 적분함수의 힐베르트 공간에 대한 $W=L^{2}(G)$ 분해가 있다.

(\displaystyle W\simeq {\bigoplus _{{(\pi,V)}}) V^{\oplus \dim V})

어디⨁ ^{\displaystyle{\widehat{\bigoplus}}}의 직접적인 합의 완성과 직접적인 합 단순한 유한 차원의. 단위 표현 방법의 모든 유질 동상 수업을 의미한다 여기는 모든 단순한 단일 표현(는 유질 동상까지)에 나타나는 G.[노트 1]참고{\displaystyle(\pi ,V)}(π, V).그 합표현의 차원을 다양성으로 표현한다.

군 G가 유한군일 때, $W=\mathbb {C} [G]$ 공간 W $=$ $W=\mathbb {C} [G]$ [ $W=\mathbb {C} [G]$ $]$ {\ $displaystyle$ W $=\mathbb {C}$ [G $]}$ 는 $W=\mathbb {C} [G]$ 단순히 G의 군 대수이며, 완성도 공허하다.따라서, 정리는 간단히 다음과 같이 말한다.

\displaystyle \mathbb {C} [G]=\bigoplus _{[(\pi,V)]}V^{\oplus\dim V}.}

즉, G의 각 간단한 표현은 표현의 ^[22]차원을 다수로 정규 표현에 나타난다.이것은 유한군의 표현 이론의 표준 사실 중 하나이다(그리고 증명하기가 훨씬 쉽다).

그룹 G가 원 $S^{1}$ (\ $displaystyle S$ 1})일 경우, 이 정리는 정확히 고전 푸리에 ^[23]해석에 해당한다.

물리학에의 응용 프로그램

양자역학 및 입자물리학에서 물체의 각운동량은 회전군 SO(3)의 복잡한 표현으로 설명될 수 있으며, 이들 모두는 반단순이다.^[24]SO(3)와 SU(2)의 접속에 의해 소립자의 비상대론적 스핀은 SU(2)의 복소 표현에 의해 기술되고 상대론적 스핀은 SL(C)의₂ 복소 표현에 의해 기술되며, SL(C)의 복소 표현에 의해 모두 반단순이다.^[24]각운동량 결합에서 Clebsch-Gordan 계수는 환원 불가능한 ^[25]표현의 텐서 곱의 반단 분해에서 발생하는 환원 불가능한 표현의 배수로부터 발생한다.

메모들

^ 정확히 말하면 $G\times G$ 이 정리는 G × $G\times G$ (\ $displaystyle$ G $\times$ G $)$ 의 $G\times G$ 정규 표현과 관련이 있으며, 위의 문장은 다음과 같다.

레퍼런스

인용문

^ Procesi 2007, Ch. 6, § 2.1.
^ 앤더슨 & 풀러 1992, 발의안 9.4
^ 앤더슨 & 풀러 1992, 정리 9.6
^ Anderson & Fuller 1992, Lemma 9.2.
^ ^a ^b Fulton & Harris 1991, § 9.3.a
^ 2015년 홀 정리 4.28
^ Fulton & Harris 1991, Corollary 1.6.
^ 1977년 Serre, 정리 2
^ 홀 2015 정리 10.9
^ 제이콥슨 1989, § 3.5 연습 4.
^ 1999년 Artin 1999, Ch. V, § 14
^ Fulton & Harris 1991년, Corollary 1.6 직후.
^ 1977년 Serre, § 1.4. remark.
^ ^a ^b ^c Procesi 2007, 6장, § 2.3.
^ ^a ^b Fulton & Harris 1991, Proposition 1.8.
^ Fulton & Harris 1991, § 2.3.
^ 1977년 경, § 2.3.정리 3과 § 4.3.
^ 1977년 경, § 2.6정리 8 (i)
^ Procesi 2007, 8장, 정리 3.2
^ 1977년 Serre, § 2.4 발의안 제5호의 결과
^ Procesi 2007, 8장, § 3.3.
^ ^a ^b Hall, Brian C. (2013). "Angular Momentum and Spin". Quantum Theory for Mathematicians. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 267. Springer. pp. 367–392. ISBN 978-1461471158.
^ Klimyk, A. U.; Gavrilik, A. M. (1979). "Representation matrix elements and Clebsch–Gordan coefficients of the semisimple Lie groups". Journal of Mathematical Physics. 20 (1624): 1624–1642. Bibcode:1979JMP....20.1624K. doi:10.1063/1.524268.

원천

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[22] 정확히 말하면 $G\times G$ 이 정리는 G × $G\times G$ (\ $displaystyle$ G $\times$ G $)$ 의 $G\times G$ 정규 표현과 관련이 있으며, 위의 문장은 다음과 같다.

[Procesi-1] Procesi 2007, Ch. 6,© 1.1, 정의 1 (ii)

[2] Procesi 2007, Ch. 6, § 2.1.

[3] 앤더슨 & 풀러 1992, 발의안 9.4

[4] 앤더슨 & 풀러 1992, 정리 9.6

[5] Anderson & Fuller 1992, Lemma 9.2.

[Fulton-6] Fulton & Harris 1991, § 9.3.a

[7] 2015년 홀 정리 4.28

[FOOTNOTEFultonHarris1991Corollary_1.6-8] Fulton & Harris 1991, Corollary 1.6.

[FOOTNOTESerre1977Theorem_2-9] 1977년 Serre, 정리 2

[10] 홀 2015 정리 10.9

[11] 제이콥슨 1989, § 3.5 연습 4.

[12] 1999년 Artin 1999, Ch. V, § 14

[13] Fulton & Harris 1991년, Corollary 1.6 직후.

[14] 1977년 Serre, § 1.4. remark.

[isotypic-15] Procesi 2007, 6장, § 2.3.

[Fulton_Prop_1.8.-16] Fulton & Harris 1991, Proposition 1.8.

[17] Fulton & Harris 1991, § 2.3.

[18] Fulton & Harris 1991, © 2.1. 정의

[19] 1977년 경, § 2.3.정리 3과 § 4.3.

[20] 1977년 경, § 2.6정리 8 (i)

[21] Procesi 2007, 8장, 정리 3.2

[23] 1977년 Serre, § 2.4 발의안 제5호의 결과

[24] Procesi 2007, 8장, § 3.3.

[Hall-17-25] Hall, Brian C. (2013). "Angular Momentum and Spin". Quantum Theory for Mathematicians. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 267. Springer. pp. 367–392. ISBN 978-1461471158.

[26] Klimyk, A. U.; Gavrilik, A. M. (1979). "Representation matrix elements and Clebsch–Gordan coefficients of the semisimple Lie groups". Journal of Mathematical Physics. 20 (1624): 1624–1642. Bibcode:1979JMP....20.1624K. doi:10.1063/1.524268.

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