소클어(수학)

수학에서 소클이라는 용어는 몇 가지 관련 의미를 가지고 있다.

그룹의 소클

집단 이론의 맥락에서, 소코(G)로 표시된 그룹 G의 소클은 G의 최소 정상 하위 그룹에 의해 생성된 하위 그룹이다.한 집단에 최소의 비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-비-소클은 최소 정상 부분군의 직접적인 산물이다.^[1]

예를 들어, 두 개의 최소 정규 부분군을 가지는 주기 그룹 Z를₁₂ u로 간주한다. 하나는⁴ u에 의해 생성되고 다른 하나는⁶ u에 의해 생성된다(일반 부분군은 u에 의해 생성된다.따라서 Z의₁₂ 소클은 u와⁴ u가⁶ 생성하는 그룹이며, u가² 생성하는 그룹일 뿐이다.

소클은 특징적인 부분군이며, 따라서 정상 부분군이다.그러나 그것이 반드시 전이적으로 정상인 것은 아니다.

그룹 G가 유한한 해결 가능한 그룹이라면, 소클은 초등 아벨리안 p-그룹의 산물로 표현될 수 있다.따라서 이 경우 제품에서 동일한 p가 여러 번 발생할 수 있는 다양한 p에 대한 Z/pZ의 사본에 불과하다.

모듈의 소클

모듈 이론과 링 이론의 맥락에서, 링 R 위에 있는 모듈 M의 소클은 M의 최소 논제로 하위조종의 합으로 정의된다.그것은 모듈의 급진적 개념에 대한 이중 개념으로 간주될 수 있다.세트 표기법에서,

${\displaystyle \mathrm {soc}(M)=\sum \{N\mid N{\text{}는 }}}의 간단한 하위 모듈이다.$

동등하게,

${\displaystyle \mathrm {soc}(M)=\bigcap \{E\mid E{\text{}는 }}}의 필수 하위 모듈이다.$

링 R의 소클은 링에 있는 두 세트 중 하나를 가리킬 수 있다.R을 오른쪽 R-모듈로 간주하여 soc(R_R)를 정의하고, R을 왼쪽 R-모듈로 간주하여 soc(_RR)를 정의한다.이 두 소사이어티는 모두 고리형 이상이며, 반드시 동등하지는 않다는 것이 알려져 있다.

• M이 Artinian 모듈이라면 soc(M) 자체가 M의 필수 하위 모듈이다.
• 모듈은 soc(M) = M. 모든 M에 대해 soc(M) = M이 정확하게 semisimate 링인 경우에만 구현된다.
• soc(soc)(M) = soc(M).
• SOC(M)가 미세하게 생성되고 SOC(M)가 M의 필수 하위 모듈인 경우에만 M은 미세하게 열병합 모듈이다.
• 반이행 모듈의 합계가 반이행이기 때문에, 모듈의 소클은 또한 고유한 최대 반이행 서브모듈로 정의될 수 있다.
• rad(R)의 정의로 보아 rad(R)가 soc(R)를 섬멸하는 것을 쉽게 알 수 있다.만약 R이 유한차원 단이탈 대수학이고 M이 미세하게 생성된 R-모듈이라면 소클은 R의 제이콥슨 레디컬에 의해 소멸된 원소들로 정밀하게 구성된다.^[2]

리 대수의 소클

리알헤브라의 맥락에서 대칭적 리 대수학의 소클은 고유값 -1에 해당하는 구조 자동형의 공간이다. (대칭적 리 대수학은 소클과 코소클의 직접적인 합으로 분해된다.)^[3]

참고 항목

• 주입 선체
• 모듈의 래디컬
• 코소클

참조

• Alperin, J.L.; Bell, Rowen B. (1995). Groups and Representations. Springer-Verlag. p. 136. ISBN 0-387-94526-1.
• Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R. (1992). Rings and Categories of Modules. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97845-1.
• Robinson, Derek J. S. (1996), A course in the theory of groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 80 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. xviii+499, doi:10.1007/978-1-4419-8594-1, ISBN 0-387-94461-3, MR 1357169