필수 치수

수학에서 필수 치수는 대수군이나 2차 형태와 같은 특정 대수 구조에 대해 정의된 불변성이다.J. Buller와 Z에 의해 소개되었다. Richstein과^[1] A에 의해 정의되는 가장 일반적인 것. 메르쿠르예프^[2]

기본적으로, 필수 치수는 그들의 정의 분야를 통해 대수 구조의 복잡성을 측정한다.예를 들어 어디서 V는을 K-vector 공간이 필드 K1,5,2차 형식 q:V→ KV의subfield 나는 K의 경우는 K-basis e1 존재하지만...,en 위 q형태 q(∑)나는 에 들어간다면 나는)표현될 수 있는 정의되어야 하는 것으로)나는)j 나는 x j{\displaystyle q(\sum x_{나는}e_{나는})=\sum a_{ij}x_{나는}x_{j}∑}모든 coefficien고 있다.ts_ij L에 속한다.K의 특성이 2와 다르다면 모든 2차 형태는 대각선이 가능하다.따라서 q는 n개 요소에 의해 생성되는 정의의 장을 가지고 있다.기술적으로는 항상 (고정) 베이스 필드 k에 대해 작업하며, K와 L 필드에는 k를 포함하도록 되어 있다.q의 본질적인 치수는 q가 정의되는 K의 하위 필드 L의 k에 대한 최소 초월도로 정의된다.

형식 정의

임의 필드 k를 고정하고 $Fields$ /k가 포함을 포함하는 k의 필드 확장 범주를 모형으로 표시하도록 한다.a (공변량) functor F : $Fields$ /k → $Set$ 를 고려한다.필드 확장자 K/k와 요소 a(F(K/k)의 경우, 정의 필드는 중간 필드 K/L/k로, K에 L이 포함됨으로써 유도된 지도 F(L/k) → F(K/k)의 영상에 a가 포함되어 있다.

ed(a)로 표시된 a의 필수 치수는 a에 대한 정의 영역의 최소 초월도(kover k)이다.ed(F)가 가리키는 functor F의 필수 치수는 F(K/k)의 모든 요소와 $필드$ /k의 객체 K/k를 인수하는 ed(a)의 우월성이다.

예

2차 형태의 필수 치수:For a natural number n consider the functor Q_n : $Fields$ /k → $Set$ taking a field extension K/k to the set of isomorphism classes of non-degenerate n-dimensional quadratic forms over K and taking a morphism L/k → K/k (given by the inclusion of L in K) to the map sending the isomorphism class of a quadratic form q : V → L to the isomorphism class of th $q_{K}:V\otimes _{L}K\to K$ 2차 형태 $q_{K}:V\otimes _{L}K\to K$ $q_{K}:V\otimes _{L}K\to K$ : $q_{K}:V\otimes _{L}K\to K$ $q_{K}:V\otimes _{L}K\to K$ $q_{K}:V\otimes _{L}K\to K$ $q_{K}:V\otimes _{L}K\to K$ → K ${\displaystyle q_{K}:$ $V\otimes _{$ L} $K\to$ K $q_{K}:V\otimes _{L}K\to K$
대수 그룹의 필수 치수:대수¹ 그룹 G over k를 H(-,G)로 나타내는 경우 : $필드$ /k → 필드 확장자 K/k를 K보다 G-tors의 이형성 등급 집합(fppf-topology)으로 $설정$ 한다.이 functor의 본질적인 치수는 ed(G)로 나타내는 대수군 G의 필수치수라고 한다.
Essential dimension of a fibered category: Let ${\mathcal {F}}$ be a category fibered over the category $Aff/k$ of affine k-schemes, given by a functor $p:{\mathcal {F}}\to Aff/k.$ For example, ${\mathcal {F}}$ may는 g ${\mathcal {M}}_{g}$ 곡선의 ${\mathcal {M}}_{g}$ g ${\$ 또는 대수 그룹의 분류 스택 ${\mathcal {BG}}$ B ${\mathcal {BG}}$ ${\$ { $BG}$ 이(가) 된다.각 $A\in Aff/k$ $A\in Aff/k$ $A\in Aff/k$ $A\in Aff/k$ / $A\in Aff/k$ $A\in Apps/k$ 에 대해 섬유 p⁻¹(A)에 있는 개체의 이형성 클래스가 집합을 $A\in Aff/k$ 형성한다고 가정한다.Then we get a functor F_p : $Fields$ /k → $Set$ taking a field extension K/k to the set of isomorphism classes in the fiber $p^{-1}(Spec(K))$ . The essential dimension of the fibered category ${\mathcal {F}}$ is defined as the essential dimension of the corresponding functor F_p.분류 ${\mathcal {F}}={\mathcal {BG}}$ 스택 ${\mathcal {F}}={\mathcal {BG}}$ = ${\mathcal {F}}={\mathcal {BG}}$ ${\mathcal {F}}={\mathcal {BG}}$ ${\$ 의 경우 이 값은 이전에 정의한 G의 필수 치수와 일치한다.

알려진 결과

선형 대수군 G의 필수 치수는 항상 유한하며 G의 치수를 뺀 일반적 자유 표현의 최소 치수에 의해 제한된다.
대수적으로 닫힌 필드 k에 대한 G a Spin 그룹의 경우, 필수 치수는 OEIS: A280191에 열거되어 있다.
k에 대한 유한 대수 p-그룹의 필수 치수는 기초장 k가 단결의 원시 p-th 루트를 포함하고 있다면 충실한 표현의 최소 치수와 같다.
대칭군 S의_n 필수 치수(k에 대해 대수군으로 표시됨)는 n 5 5 (모든 베이스 필드 k에 대해), n = 6 (2가 아닌 특성의 k에 대해), n = 7 (특성 0에서)으로 알려져 있다.
Galois 분할 영역 L/k를 prime p의 힘으로 인정하는 대수적 토루스 T가 되게 하라.그 다음 T의 필수 치수는 코커넬이 유한하고 순서가 p인 Gal(L/k)-표 P → X(T)의 동형성 알맹이의 최소 등급과 같다. 여기서 P는 순열 래티스다.

참조

^ Buhler, J.; Reichstein, Z. (1997). "On the essential dimension of a finite group". Compositio Mathematica. 106 (2): 159–179. doi:10.1023/A:1000144403695.
^ Berhuy, G.; Favi, G. (2003). "Essential Dimension: a Functorial Point of View (after A. Merkurjev)". Documenta Mathematica. 8: 279–330 (electronic).

[1] Buhler, J.; Reichstein, Z. (1997). "On the essential dimension of a finite group". Compositio Mathematica. 106 (2): 159–179. doi:10.1023/A:1000144403695.

[2] Berhuy, G.; Favi, G. (2003). "Essential Dimension: a Functorial Point of View (after A. Merkurjev)". Documenta Mathematica. 8: 279–330 (electronic).

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