사타케 도표

리알헤브라와 리 그룹의 수학 연구에서 사타케 도표는 사타케(1960, p.109)가 도입한 다이앤킨 도표를 일반화한 것으로, 이 도표는 단순한 리알헤브라를 실수의 영역으로 분류하는 구성이 된다.Dynkin 다이어그램과 연관된 Satake 다이어그램은 Dynkin 다이어그램에 해당하는 복잡한 Lie 대수학의 실제 형태를 분류한다.

보다 일반적으로, Tits 지수 또는 Satake-한 분야에 걸친 환원 대수집단의 Tits 다이어그램은 Tits(1966)가 도입한 임의의 영역에 대한 사타케 다이어그램을 일반화한 것으로, 환원 대수집단의 분류를 비등방성 환원 대수집단의 분류를 감소시킨다.

사타케 다이어그램은 비슷해 보이지만, 리 그룹의 보간 다이어그램과는 다르다.

정의

사타케 다이어그램은 특정 규칙에 따라 정점을 검게 하고 화살표로 다른 정점을 쌍으로 연결하여 Dynkin 다이어그램에서 얻는다.

G가 실제와 같은 필드 k에 걸쳐 정의된 대수 그룹이라고 가정하자.우리는 S를 G에서 최대 분할 토루스(maximal split torus)로 하고, T를 k의 분리 가능한 대수학적 폐쇄 K에 대해 정의된 S를 포함하는 최대 분할 토루스(maximal torus)로 한다.그러면 G(K)는 T의 어떤 양의 뿌리의 선택과 관련하여 Dynkin 도표를 가진다.이 Dynkin 도표는 K/k의 갈루아 그룹의 자연스러운 작용을 가지고 있다.또한 몇몇의 단순한 뿌리는 S에서 사라진다.사타케-Tits 도표는 Dynkin 도표 D에 의해 Galois 그룹의 작용과 함께 S 컬러 검정 위에 단순 뿌리가 사라진다.k가 실수의 분야일 때 절대 갈루아 집단은 순서 2를 가지며, D에 대한 작용은 Dynkin 도표의 결합점을 서로 가까이 그리고 사타케-–을 그려 나타낸다.Tits 도표는 사타케 도표라고 불린다.

예

콤팩트한 리알헤브라는 모든 정점이 검게 검게 그을린 사타케 도표에 해당한다.
스플릿 리 알헤브라는 흰색(즉, 검지 않음)과 정점만 있는 사타케 도표에 해당한다.
표는 (Onishchik & Vinberg 1994 , 표 4, 229–230)에서 찾을 수 있다.

사타케 다이어그램과 보간 다이어그램의 차이

사타케 도표와 보간 도표는 둘 다 실제를 통해 세미 구현 리 그룹이나 알헤브라스(또는 대수 그룹)를 분류하는 데 사용되며, 두 도표는 노드의 일부를 검게 하고 화살표로 정점 쌍을 연결함으로써 농축된 Dynkin 도표로 구성된다.그러나 사타케 다이어그램은 어떤 분야에도 일반화될 수 있고(위 참조), 갈루아 코호몰로지(Galois cohomology)의 일반적 패러다임에 속할 수 있는 반면, 보간 다이어그램은 실물을 통해 구체적으로 정의된다.일반적으로 말하면, 실제 반실행 리 대수학의 구조는 사타케 도표에서 보다 투명한 방법으로 암호화되지만, 보간 도표는 분류하기가 더 간단하다.

The essential difference is that the Satake diagram of a real semisimple Lie algebra ${\mathfrak {g}}$ with Cartan involution θ and associated Cartan pair ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ (the +1 and −1 eigenspaces of θ) is defined by starting from a maximally noncompact θ-stable Cartan subalgebra ${\mathfrak {h}}$ , that is, one for which $\theta ({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}$ and ${\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {k}}$ is as small as possible (in the presentation above, ${\display$ $style {\mathfrak {h}}}$ appears as the Lie algebra of the maximal split torus S), whereas Vogan diagrams are defined starting from a maximally compact θ-stable Cartan subalgebra, that is, one for which $\theta ({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\cap {\m$ $atsfrak{k}}}$ 은 ${\mathfrak {h}}\cap {\mathfrak {k}}$ (는) 가능한 한 크다.