하부스의 정리

Haboush's theorem

In mathematics Haboush's theorem, often still referred to as the Mumford conjecture, states that for any semisimple algebraic group G over a field K, and for any linear representation ρ of G on a K-vector space V, given v ≠ 0 in V that is fixed by the action of G, there is a G-invariant polynomial F on V, without constant term, such that

F(v) ≠ 0.

다항식은 동질적으로 취할 수 있으며, 다시 말해서 V의 이중의 대칭적 힘의 요소로서 특성이 p>0이라면 다항식의 정도는 p의 힘으로 취할 수 있다.K가 특성 0을 가졌을 때 이것은 잘 알려져 있었다. 사실 Weyl의 G 표현에 대한 완전한 축소 가능성에 대한 정리는 F가 심지어 선형일 수 있다는 것을 암시한다.뭄포드의 주요 특성 p로의 확장에 대한 추측은 데이비드 뭄포드에 의해 문제가 제기된 지 약 10년 후인 W. J. 하부쉬(1975)에 의해 그의 저서 기하학적 불변론 초판 서론에서 증명되었다.

적용들

하부스의 정리는 이미 알려진 특성 0부터 특징 p>0까지 기하불변성 이론의 결과를 일반화하는 데 사용할 수 있다.특히 나가타의 초기 결과와 하부스의 정리는 환원군(대수학적으로 폐쇄된 장 이상)이 미세하게 생성된 대수에서 작용한다면 고정된 아발지브라도 미세하게 생성된다는 것을 보여준다.

Haboussh의 정리는 G가 부류 대수적 다양성에 규칙적으로 작용하는 환원 대수 그룹이라면, 이음매 폐쇄 불변량 집합 X와 Y는 불변함수 f로 분리될 수 있다는 것을 암시한다(이는 f가 X에 0이고 Y에 1이라는 것을 의미한다).

C.S. 세샤드리(1977)는 하부시의 정리를 계략에 대한 환원 집단으로 확장시켰다.

나가타(1963년), 하부시, 포포프의 작업에서 다음 조건이 필드 K에 대한 아핀 대수군 G에 상당하는 것으로 나타난다.

  • G는 환원적이다.
  • G의 이성적 표현에 있어 0이 아닌 불변 벡터에 대해서는, 그 위에서 사라지지 않는 불변성 동종 다항식이 있다.
  • G가 합리적으로 작용하는 미세하게 생성된 K 대수학에서는 고정 원소의 대수학(대수학)이 정밀하게 생성된다.

증명

정리는 다음과 같이 몇 단계로 증명된다.

  • 특성 p>0의 대수적으로 닫힌 필드 K에 대해 그룹이 정의된다고 가정할 수 있다.
  • 유한집단은 모든 원소 위에 제품을 그냥 가져가면 되기 때문에 취급하기 쉬우므로 (연결부품이 유한지수를 가지기 때문에) 연결된 환원집단의 경우로 줄일 수 있다.무해한 중앙 확장기를 취함으로써 G그룹이 단순히 연결되어 있다고 가정할 수도 있다.
  • A(G)를 G의 좌표 링으로 한다.이것은 왼쪽 번역으로 G와 G를 연기한 것을 표현한 것이다.불변 벡터 v에 값 1이 있는 V 이중의 요소 v′를 선택한다.a(g) = v′(w)로 wwV를 원소 a∈A(G)로 전송하여 지도 V를 A(G)에 전송한다.이것은 v를 1 1A(G)로 보내므로 V⊂A(G)와 v=1로 가정할 수 있다.
  • 표현 A(G)의 구조는 다음과 같다.G의 Maximal torus T를 선택하고, A(G)에 대해 올바른 번역(G의 작용과 통용되도록)으로 작용하도록 한다.그 후 A(G)는 λ에 따라 변형되는 원소의 하위 표현 A(G)λ의 T자 λ에 대한 합으로 분할된다.따라서 우리는 V가 A(G)의 T-invariant 하위 공간 A(G)λ에 포함되어 있다고 가정할 수 있다.
  • 표현 A(G)λ는 Eλ+nρ⊗E형식의nρ 하위표현들의 증가하는 결합으로 여기서 ρ은 T의 단순한 뿌리 선택을 위한 Weyl 벡터, n은 양의 정수, E는μ T의 문자 μ에 해당하는 G/B에 대한 선다발 부분의 공간이며, 여기서 B는 T를 포함하는 보렐 서브그룹이다.
  • n이 충분히 크면 E는nρ 치수(Nn+1)가 있고 여기서 N은 양의 뿌리 수입니다.그 이유는 특성 0에서 해당 모듈은 Weyl 문자 공식에 의해 이 치수를 가지며, G/B를 넘는 선다발이 매우 넉넉할 정도로 큰 n에 대해서는 E가nρ 특성 0과 동일한 치수를 가지기 때문이다.
  • 만약 q=p가r 양의 정수 r이고 n=q-1이라면 E는nρ 치수 q의N G(Fq)를 슈타인버그로 나타낸다(여기서 Fq k K는 순서 q의 유한한 필드임).스타인버그 표현은 G(Fq)와 G(K)의 불가해한 표현이며, 충분히 크면 E와nρ 같은 차원을 가지기 때문에nρ E가 불가해한 n의 값이 무한히 많다.
  • 만약nρ E가 불가역적인 경우 그것은 그것의 이중과 이형성이므로 EeE는nρnρ 엔드(Enρ)에 이형성이다.따라서, A(G)의 T-invariant 하위 공간 A(G)λ는 E(E형식(q−1)ρ)를 나타내는 End(E) 형식의 하위 표현들의 증가하는 결합이다.단, End(E) 형식의 표현에 대해서는 결정요인에 의해 0과 1을 구분하는 불변 다항식이 주어진다.이로써 하부스의 정리 증명 스케치가 완성되었다.

참조

  • Demazure, Michel (1976), "Démonstration de la conjecture de Mumford (d'après W. Haboush)", Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés Nos. 453--470), Lecture Notes in Mathematics, vol. 514, Berlin: Springer, pp. 138–144, doi:10.1007/BFb0080063, ISBN 978-3-540-07686-5, MR 0444786
  • Haboush, W. J. (1975), "Reductive groups are geometrically reductive", Annals of Mathematics, 102 (1): 67–83, doi:10.2307/1970974, JSTOR 1970974
  • Mumford, D., F., F.; F.; 포가티, J.; Kirwan, Kirwan.기하학적 불변 이론.제3판.에르헤비니스 데르 메틸리크(Ergebnisse der Mathalik)와 이헤러 그렌즈게비엣(2) (수학과 관련 영역의 결과 (2)), 34. 베를린 스프링거-베를라크, 1994.시브+292 페이지MR1304906 ISBN 3-540-56963-4
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  • Popov, V.L. (2001) [1994], "Mumford hypothesis", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
  • Seshadri, C.S. (1977). "Geometric reductivity over arbitrary base". Advances in Mathematics. 26 (3): 225–274. doi:10.1016/0001-8708(77)90041-x.