건물(수학)

수학에서 건물(또한 티츠 빌딩, 자크 티츠(Jacques Tits)는 깃발 다지관, 유한 투영 평면, 리만 대칭 공간의 특정 측면을 동시에 일반화하는 결합형 및 기하학적 구조다.건물은 처음에는 자크 티츠에 의해 리 유형의 예외적인 집단의 구조를 이해하기 위한 수단으로 소개되었다.브루하트-의 보다 전문화된 이론티츠 건물(프랑수아 브루하트(Franois Bruhat)의 이름을 따서 지은 것)은 리 집단 이론의 대칭 공간 이론과 유사한 p-adic Lie 집단을 연구하는 데 역할을 한다.

개요

건물의 개념은 자크 티츠에 의해 임의의 분야에 걸쳐 단순한 대수학 집단을 기술하는 수단으로 발명되었다.틱스는 그러한 모든 그룹 G가 어떻게 단순 복합체 Δ = Δ(G)를 G의 구형 건물이라고 불리는 G의 작용과 연관시킬 수 있는지를 보여주었다.그룹 G는 이러한 방식으로 발생할 수 있는 복합체 Δ에 매우 강한 조합적 규칙성 조건을 부과한다.이러한 조건들을 일종의 단순한 복합단지에 대한 공리로 취급함으로써, Tits는 건물에 대한 그의 첫 번째 정의에 도달했다.건물 Δ를 정의하는 데이터의 일부는 Coxeter 그룹 W로, Coxeter 콤플렉스로 불리는 매우 대칭적인 단순 복합체 complex = σ(W,S)을 결정한다.Δ라는 건물은 아파트로 불리는 Δ의 여러 복사본으로부터 일정한 규칙적인 방식으로 접착되어 있다.W가 유한 콕시터 그룹일 때 콕시터 콤플렉스는 위상학적 구체로 해당 건물은 구형이라고 한다.W가 아핀 웨일 그룹일 때, 콕시터 콤플렉스는 아핀 평면의 하위분할이며, 아핀, 즉 유클리드 건물을 말한다.$타입{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$A ~ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\$의 아핀 건물은 터미널$$ 정점이 없는 무한 나무와 같다.

비록 반실행 대수집단의 이론이 건물의 개념에 대한 초기 동기를 제공하였지만, 모든 건물이 집단에서 발생하는 것은 아니다.특히 투사 평면과 일반화된 사각형은 건물의 공리를 만족시키는 입사 기하학에서 연구된 두 종류의 그래프를 형성하지만 어떤 그룹과도 연결되지 않을 수 있다.이러한 현상은 해당 Coxeter 시스템의 낮은 등급(이름, 2)과 관련이 있는 것으로 밝혀졌다.Tits는 주목할 만한 정리를 증명했다: 적어도 3등급의 모든 구형 건물들은 그룹과 연결되어 있다; 게다가, 적어도 2등급의 건물이 그룹과 연결되어 있다면, 그 그룹은 본질적으로 건물에 의해 결정된다.

이와호리-마쓰모토, 보렐-잇츠, 브루하트-Tits는 Tits의 구형 건물 건설과 유사하게 부속 건물도 특정 그룹, 즉 비 아르키메데스 분야에 걸친 환원 대수 그룹으로부터 건설될 수 있다는 것을 보여주었다.더욱이 집단의 분할계열이 적어도 3계급 이상이면 본질적으로 집단에 의해 결정된다.Tits는 나중에 챔버 시스템의 개념을 이용하여 건물 이론의 기초적인 측면을 재작업하여, 최대 치수의 단순화의 인접성 측면에서만 건물을 부호화했다. 이는 구면 및 부속 사례에서 모두 단순화로 이어진다.그는 구형 케이스와 유사하게, 적어도 4등급 이상의 아핀 타입과 등급의 모든 건물들이 집단으로부터 발생한다는 것을 증명했다.

정의

n차원 건물 X는 추상적인 단순화 단지로서 A형 아파트라고 불리는 하위 복합체의 조합이다.

• X의 모든 k-simplex는 k < n;일 경우 최소 3 n-simples 내에 있다.
• 아파트 A의 (n – 1 )-단순은 A의 정확히 두 개의 인접 n단순에 놓여 있으며 인접 n단순의 그래프가 연결되어 있다.
• X의 단순화 두 가지 방법은 일부 일반 아파트 A에 있다.
• 만약 두 개의 단순함이 모두 A와 A '에 있다면, A에 대한 단순 이형성이 두 단순함의 정점을 고치는 것이다.

A에서는 n-심플렉스(n-simplex)를 챔버(원래 chambre, 즉 프랑스어로 룸)라고 부른다.

건물의 등급은 n + 1로 정의된다.

기본 속성

한 건물에 있는 모든 아파트 A는 콕시터 단지다.실제로 (n – 1)-단순 또는 패널에서 교차하는 두 개의 n-단순에 대해, 하나의 n-단순을 다른 n-단순에 운반하고 공통점을 고정하는 반사라고 불리는 고유한 기간 동안 두 개의 단순 자동화가 있다.이러한 반사는 A의 Weyl 그룹이라고 불리는 Coxeter 그룹 W를 생성하며, 단순 콤플렉스 A는 Coxeter 그룹의 W 표준 발전기의 표준 기하학적 실현에 해당한다. Coxeter 그룹의 표준 발전기는 A의 고정 챔버 벽면의 반사에 의해 주어진다.A아파트는 건물에 의해 이형성까지 결정되기 때문에, 일부 일반 아파트 A에 놓여 있는 X의 단순화 두 가지도 마찬가지다.W가 유한할 때 건물은 구면이라고 한다.아핀 웨일 그룹일 때는 아핀 또는 유클리드라고 한다.

챔버 시스템은 챔버에 의해 형성된 인접 그래프로, 인접한 챔버의 각 쌍은 Coxeter 그룹의 표준 제너레이터 중 하나에 의해 추가로 라벨을 표시할 수 있다(Tits 1981 참조).

모든 건물에는 힐버트 공간의 정형화된 기준으로 정점을 식별하여 얻은 기하학적 실현으로부터 물려받은 표준 길이 측정법이 있다.부속 건물의 경우, 이 측정 기준은 이 환경에서 브루하트--로 알려진 알렉산드로프의 CAT(0) 비교 불평등을 만족시킨다.측지 삼각형에 대한 tits 비양성 곡률 조건: 정점에서 반대편의 중간점까지의 거리는 측지 길이가 같은 해당 유클리드 삼각형의 거리보다 크지 않다(Bruhat & Tits 1972 참조).

BN 쌍과의 연결

그룹 G가 건물 X에 단순하게 작용하고, 챔버 C와 이를 포함하는 아파트 A의 쌍(C,A)에 전이적으로 작용하는 경우, 그러한 쌍의 안정기는 BN 쌍 또는 Tits 시스템을 정의한다.사실 부분군 쌍은

B_A = G_C, N = G

BN 쌍의 공리를 만족하며 Weyl 그룹은 N / N $\cap {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$로 식별할 수 있다.반대로 BN 쌍으로부터 건물을 복구할 수 있기 때문에 모든 BN 쌍은 표준적으로 건물을 정의한다.실제로 BN 쌍의 용어를 사용하고 B의 모든 결합을 보렐 부분군이라고 하며 보렐 부분군을 포함하는 모든 그룹을 포물선 부분군이라고 부른다.

• X 건물의 꼭지점은 최대 포물선 부분군에 해당한다.
• k + 해당 최대 포물선 부분군의 교차점이 포물선일 때마다 정점 1개가 k-제곱을 형성한다.
• 아파트는 단순 하위 복합체의 G에 따른 접합자로, B를 포함하는 최대 포물선의 N에 따른 접합자가 정점을 제공한다.

같은 건물은 종종 다른 BN 쌍으로 묘사될 수 있다.더욱이 모든 건물이 BN 쌍에서 나오는 것은 아니다. 이는 등급과 차원이 낮은 분류 실패에 해당한다(아래 참조).

SL을_n 위한 구형 및 부속 건물

SL_n(Q_p)과 연관된 아핀 및 구형 건물의 단순 구조는 상호연결뿐만 아니라, 기초 대수학 및 기하학의 개념만을 사용하여 직접 설명하기 쉽다(Garrett 1997 참조).이 경우 구면 2개, 아편 1개 등 세 개의 다른 건물이 있다.각각 아파트의 조합, 그 자체가 단순화된 단지들이다.아파트의 경우 아파트는 (n - 1)차원적 단순화에 의한 유클리드 공간 E를ⁿ⁻¹ 테셀링하는 단순화 복합체인 반면, 구형 건물의 경우 E의ⁿ⁻² 유사 테셀레이션에서 주어진 공통 정점을 가진 모든 (n-1) 단순화에 의해 형성된 유한 단순화 복합체다.

각 건물은 다음과 같은 공리를 만족시켜야 하는 단순 복합 X이다.

• X는 아파트의 조합이다.
• X의 어떤 두 가지 단순함도 공동 아파트에 포함되어 있다.
• 두 아파트에 심플렉스(simplix)가 들어있으면 다른 아파트에도 심플한 이형성이 나타나 모든 공통점을 고친다.

구면 빌딩

F를 필드로 하고 X를 V = F의ⁿ 비삼각 벡터 서브스페이스 정점이 있는 단순 콤플렉스로 한다. 그 중 하나가 다른 서브스페이스의 부분 집합일 경우 두 개의 서브 스페이스 U와₁ U가₂ 연결된다.X의 k-심플레스는 k + 1 상호 연결된 서브스페이스 세트로 형성된다.최대 연결은 n - 1의 적절한 비경쟁 서브스페이스를 취함으로써 얻어지며, 해당 (n - 1)-심플렉스(simplex)는 완전한 플래그에 해당한다.

(0) $\subset {\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ $U$₁ $\subset {\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ $····[$displaystyle $\subset$ $}$ $U$_{n – 1} $\subset {\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ \subset $}$

저차원적 단순화는 중간 하위공간 U가_i 적은 부분 플래그에 해당한다.

X에서 아파트를 정의하기 위해서는 V의 프레임을 각각의 벡터 v의_i 스칼라 곱셈까지 결정된 기준(v_i)으로 정의하는 것이 편리하다. 즉, 프레임은 그 중 k가 k차원 아공간을 생성하도록 1차원 서브공간_i L = F·v의_i 집합이다.이제 주문된 프레임₁ L, ...L은_n 다음을 통해 완전한 플래그를 정의한다.

U_i = L₁ $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$ ····$$${\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$_i

L의_i 재주문도 프레임을 주기 때문에 L의_i 합으로 얻은 서브 스페이스가 구형의 아파트에 필요한 형태의 단순화 콤플렉스를 형성하는 것을 쉽게 알 수 있다.건물에 대한 공리는 요르단 강국의 특수성을 입증하기 위해 사용되는 고전적인 슈레이어 정교화 주장을 사용하여 쉽게 검증할 수 있다.홀더 분해.

아핀 빌딩

K는 일부 프라임 p에 대해 Q의 통상적인 비 아르키메데스 p-adic norm x와 관련하여 Q와 p-adic 완료_p Q 사이에 놓여 있는 분야가 되도록 한다.R을 K의 서브링으로 정의한다.

${\displaystyle R=\{x:\ x\ _{p}\leq 1\}$

K = Q일 때 R은 p에서 Z의 국산화, K = Q, R_p = Z일_p 때 p-adic 정수, 즉 Q에서_p Z의 폐쇄를 말한다.

건물 X의 정점은 V = Kⁿ, 즉 형태의 R-하위점이다.

L = R·v₁ $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$ $·········[$displaystyle \oplus \oplus $}$·v_n

여기서 (v_i)는 K에 대한 V의 기본이다.두 개의 격자는 K의 승수 그룹 K*의 한 요소에 의해 다른 하나의 스칼라 배수의 스칼라일 경우 등가라고 한다(사실상 p의 정수 힘만 사용할 필요가 있다).L에₂ 해당하는 격자가 L과₁ 그 하위 격자 p·L₁ 사이에 있을 경우 두 격자₂ L과₁ L이 인접한다고 한다. 이 관계는 대칭이다.X의 k-simplices는 k + 1 상호 인접 격자의 동등성 등급이며, (n - 1)- 단순성은 다시 라벨링한 후 체인에 대응한다.

p.L_n $\subset {\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ $L$₁ $\subset {\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset$ $}$ $L$₂ $\subset {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$subset$ $\}··$ { ${\displaystystyle$$\subset$$$$}$_{n – 1 n}$\$ {\$displaystystystystystystystystyc$.

각 연속 지수의 순서가 p인 경우.아파트는 V의 기본 (v_i)을 고정하고 기본 (p^a_i v_i)으로 모든 격자를 취함으로써 정의된다. 여기서 (a_i)는 Z에ⁿ 위치하며 각 항목마다 동일한 정수를 추가할 때까지 고유하게 결정된다.

정의상 각 아파트는 필요한 양식을 가지고 있으며 조합은 X의 전체다.두 번째 공리는 슈레이어 정교화 논쟁의 변종이 뒤따른다.마지막 공리는 형태의 유한한 아벨리아 집단의 명령에 근거한 단순한 셈 논거에 따른다.

L + p^k ·L_i / p^k ·L_i .

표준 콤팩트성 인수는 X가 사실상 K의 선택과 무관하다는 것을 보여준다.특히 K = Q를 취하면 X를 셀 수 있다는 것을 따른다.반면 K = Q를_p 취하면 GL_n(Q_p)이 건물에 대한 자연적인 단순화 조치를 인정하는 정의가 나타난다.

그 건물은 Z/n Z 값을 가진 꼭지점 라벨을 갖추고 있다.실제로 기준 격자 L을 고정하면 M의 라벨은 다음과 같다.

라벨(M) = 로그_p M/p^k L 모듈로 n

충분히 큰X에서 (n – 1)-심플렉스 정점에는 Z/n Z 전체를 관통하는 구별되는 라벨이 있다.X의 모든 단순화된 자동모형 defines은 Z/n Z의 순열 π을 정의하며, 라벨(M) = π(Label(M))이다.특히_n g in GL (Q_p)의 경우,

label (g·M) = label (M) + log_p det g modulo n.

따라서 g는 g가 SL_n(Q_p)에 있는 경우 라벨을 보존한다.

자동형성

Tits는 부속건물의 라벨 보존 자동화가 SL_n(Q_p)의 요소에서 발생한다는 것을 증명했다.그 건물의 자동화는 라벨을 허용하기 때문에, 자연적인 동형성이 있다.

Aut X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \rightarrow }$_n.

GL_n(Q_p)의 작용으로 n 사이클 τ이 발생한다.건물의 다른 자동화들은 Dynkin 도표의 자동화와 관련된 SL_n(Q_p)의 외부 자동화로부터 발생한다.정사각형 기준 v와_i 함께 표준 대칭 이선형 형태를 취하면, 격자를 이중 격자로 보내는 지도는 정사각형인 자동형을 주어, 각 라벨을 음의 모듈로 보내는 순열 σ을 부여한다.위의 동형동맥의 이미지는 and과 by에 의해 생성되며 순서 2n의 이형군 D에_n 이형성이 있으며, n = 3일 때 S의₃ 전체를 준다.

E가 Q의_p 유한한 갈루아 확장이고 건물이 SL_n(Q_p)이 아닌 SL_n(E)로 건설되면 갈루아 그룹 갈(E/Q_p)도 건물에서 자동화에 의해 작용하게 된다.

기하학적 관계

구면 건축물은 SL_np(Q)을 위한 부속건물 X와 관련하여 두 가지 상당히 다른 방식으로 발생한다.

• 부속건물에서 각 꼭지점 L의 링크는 유한장 F = R/p·R = Z/(p)에 따른 L/p·L의 하위조항에 해당한다.이것은 SL_n(F)을 위한 구형의 건물일 뿐이다.
• 건물 X는 SL_n(Q_p)을 위한 구형 건물을 경계 "인피니티"로 추가함으로써 압축할 수 있다(Garrett 1997 또는 Brown 1989 참조).

복잡한 곱셈이 있는 브루하트-잇츠 나무

L이 경건한 지역 필드인 경우 그룹 SL₂(L)을 위한 건물에서 복잡한 곱셈이 있는 건물에 추가 구조물을 부과할 수 있다.이것들은 마틴 L. 브라운 (Brown 2004)이 건물들은 L의 2차 확장이 벡터 공간 L에² 작용했을 때 발생한다.복잡한 곱셈을 가진 이 건물들은 어떤 글로벌 분야로도 확장될 수 있다.그들은 Drinfeld 모듈형 곡선 X₀₀^Drin(N)뿐만 아니라 고전적인 모듈형 곡선 X(I)의 Heegner 포인트에 Heck 연산자의 작용을 설명한다.복잡한 곱셈이 있는 이 건물들은 2004년 브라운에서 SL₂(L)의 경우를 위해 완전히 분류된다.

분류

Tits는 2등급 이상의 모든 수정 불가능한 구형 건물(즉, 유한한 Weyl 그룹을 가진)이 단순 대수학 또는 고전적 그룹과 연관되어 있음을 증명했다.유사한 결과는 둘 이상의 치수("무한도"에 있는 건물들은 둘 이상의 구면이다)의 수정 불가능한 부속건물에 대한 것이다.하위 계급이나 차원에서는 그런 분류가 없다.실제로 각 발생 구조는 2등급의 구형 건물을 부여한다(Pott 1995 참조). 그리고 발만과 브린은 정점의 고리가 유한 투영면의 국기 복합체에 이형화된 2차원 단순 복합체는 반드시 고전적인 것이 아니라 건물의 구조를 가지고 있다는 것을 증명했다.많은 2차원 아핀 건물들은 쌍곡 반사 그룹이나 오비폴드와 연결된 다른 이국적인 건축물을 사용하여 지어졌다.

또한 Tits는 한 건물이 그룹 내 BN 쌍에 의해 설명될 때마다 거의 모든 경우에 건물의 자동화가 그룹의 자동화에 대응한다는 것을 증명했다(Tits 1974 참조).

적용들

건물 이론은 다소 이질적인 여러 분야에서 중요한 응용 분야를 가지고 있다.이미 언급된 일반적 및 지역적 분야에 걸친 환원 대수집단의 구조와의 연관성 외에도, 건물들은 그들의 대표성을 연구하기 위해 사용된다.건물에 의한 집단의 결정에 대한 Tits의 결과는 George Mostow와 Grigory Margulis의 경직성 이론과 Margulis 산술성과의 깊은 연관성을 가지고 있다.

특수한 유형의 건물들은 이산 수학에서 연구되고 있으며, 단순한 집단을 특징짓는 기하학적 접근법에 대한 생각은 유한한 단순 집단의 분류에서 매우 유익하게 증명되었다.구면이나 아핀보다 더 일반적인 형태의 건축물에 대한 이론은 아직 비교적 발달하지 않았지만, 이러한 일반화된 건축물은 이미 대수학에서는 Kac-Moody 집단의 건설, 위상과 기하학적 집단 이론에서는 비포상적으로 곡선 다지관과 쌍곡선 집단의 건설에 응용하는 것을 발견했다.

참고 항목

참조

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외부 링크

• 루소:유클리드 빌딩

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