일반화 국기 품종

수학에서 일반화된 국기 품종(또는 단순히 국기 품종)은 F장 위에 있는 유한 차원 벡터 공간 V의 국기를 가리키는 동종 공간이다.F가 실제 또는 복잡한 숫자일 때, 일반화된 깃발 다양성은 매끄럽고 복잡한 다지관으로서, 실제 또는 복합적인 깃발 다지관이라고 불린다.국기 품종은 자연적으로 투영성 품종이다.

국기 품종은 여러 가지 일반성으로 정의할 수 있다.프로토타입은 필드 F 위에 있는 벡터 공간 V의 다양한 완전한 플래그로, F 위에 있는 특수 선형 그룹에 대한 플래그 버라이어티다.다른 국기 품종은 부분적인 국기를 고려하거나 특수 선형 그룹에서 공통적인 그룹과 같은 부분군으로 제한함으로써 발생한다.부분 플래그에 대해서는 고려 중인 플래그 치수의 순서를 명시할 필요가 있다.선형 그룹의 하위 그룹의 경우 플래그에 추가 조건을 적용해야 한다.

가장 일반적인 의미에서 일반화된 국기 다양성은 투사성 동종 다양성, 즉 환원성 그룹 G의 전이적 작용(그리고 부드러운 스태빌라이저 부분군, 특성 0의 F에 대한 제한 없음)으로 필드 F에 걸쳐 부드러운 투사성 다양성 X를 의미하는 것으로 정의된다.X가 F-합리적 점을 갖는 경우 G의 일부 포물선 부분군 P에 대해 G/P와 이형성이 된다. 투영성 동질성 다양성은 G의 투영화된 표현에서 최고 중량 벡터의 궤도로도 실현될 수 있다.복잡한 투사성 동질성 품종은 포물선 형태의 카르탄 기하학적 기하학적 구조를 위한 소형 평면 모형 공간이다.그것들은 G의 어떤 최대 콤팩트 부분군 밑에 있는 동질의 리만 다지관이며, 그들은 정확히 콤팩트 리 그룹의 코아드 조인트 궤도들이다.

깃발 다지관은 대칭 공간이 될 수 있다.복잡한 숫자 위에 해당하는 국기 다지관은 은둔자의 대칭 공간이다.실제 숫자에 걸쳐 R-공간은 실제 국기 다지관과 동의어로서 이에 상응하는 대칭 공간을 대칭 R-공간이라고 한다.

벡터 공간의 플래그

필드 F 위에 있는 유한 치수 벡터 공간 V에 있는 플래그는 서브스페이스의 증가하는 시퀀스로, 여기서 "증가"는 각각 다음 공간의 적절한 서브스페이스임을 의미한다(여과 참조).

\{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.

어두운_i V = d를_i 쓰면

0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,

여기서 n은 V의 치수다.따라서 우리는 반드시 k n n을 가져야 한다. 기는 모든 i에_i 대해 d = i이면 완전한 깃발이라고 하고, 그렇지 않으면 부분 깃발이라고 한다.국기의 서명은 순서(d₁, …, d_k)이다.

부분 플래그는 전체 플래그에서 일부 서브스페이스를 삭제하여 얻을 수 있다.반대로 모든 부분 플래그는 적절한 서브스페이스를 삽입함으로써 (다양한 방법으로) 완성될 수 있다.

프로토타입: 전체 플래그 버라이어티

선형대수의 기본 결과에 따르면, 필드 F 위에 있는 n차원 벡터 공간 V에 있는 어떤 두 개의 완전한 플래그는 기하학적 관점에서 서로 다르지 않다.즉, 일반 선형 집단은 모든 완전한 깃발의 집합에서 전이적으로 작용한다.

일반적인 선형 그룹이 n × n invertible 매트릭스 그룹 GL(n,F)인ⁿ F로 식별하여 V에 대해 순서가 지정된 근거를 수정한다.이 기준과 관련된 표준 깃발은 i th 하위 공간이 기준의 첫 번째 i 벡터에 의해 확장되는 깃발이다.이 기준과 비교하여 표준 깃발의 스태빌라이저는 비경상하방 삼각형 행렬의 그룹이며, 우리가 B로 B를_n 가리킨다.따라서 완전한 플래그 다양성은 균일한 공간 GL(n,F)/B로_n 작성할 수 있으며, 특히 치수 n(n-1)/2를 F에 두고 있음을 보여준다.

아이덴티티의 배수는 모든 국기에 사소한 작용을 하므로 결정요소가 있는 행렬의 특수 선형군 SL(n,F)에 대한 주의를 제한할 수 있다는 점에 유의하십시오. 즉, 반실행 대수군이며, 결정요인의 하위 삼각형 행렬은 보렐 하위군이다.

만약 필드 F가 실제 또는 복잡한 숫자라면, 우리는 V에 내부 제품을 도입할 수 있다. 그래서 선택된 기준이 정형화된 것이다.완전한 플래그는 직교 보완물을 취함으로써 1차원 서브스페이스의 직접적인 합으로 분할된다.복잡한 숫자의 전체 국기 다지관은 균일한 공간이라는 것을 따른다.

U(n)/T^{n}

여기서 U(n)는 단일 집단이고 T는ⁿ 대각선 단일 행렬의 n-torus이다.U(n)가 직교 그룹 O(n)로 대체되고 T가ⁿ 대각선 직교 행렬(대각 입력 ±1)로 대체된 실제 숫자에 대해서도 유사한 설명이 있다.

부분국기 품종

부분 플래그 버라이어티

{\dplaystyle F(d_{1},d_{2},\ldots d_{k},\mathb {F})}

치수 n = d_k = f에 대한 d = d의 벡터 공간 V에 있는 모든 시그너처 플래그(d₁₂, d, … d_k)의 공간이다.완전한 국기 품종은 모든 i에 대해_i d = i인 특별한 경우다.k=2일 때, 이것은 V의 d차원₁ 서브스페이스의 그라스만어다.

이것은 V over F의 일반 선형 그룹 G에 대한 균일한 공간이다.분명히 말하려면, G = GL(n,F)이 되도록 V = F를ⁿ 취한다.치수 d의_i 내포 서브스페이스 V_i 플래그 안정화는 비정규 블록 하부 삼각형 행렬의 그룹으로 간주할 수 있다. 여기서 블록 치수는_i n := d_i_i−1 - d(d₀ = 0)이다.

결정인자 행렬로 제한하면, 이것은 SL(n,F)의 포물선 부분군 P이며, 따라서 부분 플래그 다양성은 균일한 공간 SL(n,F)/P에 대해 이형화된다.

만약 F가 실제 또는 복잡한 숫자라면, 내부 제품을 사용하여 어떤 깃발을 직접 합으로 나눌 수 있고, 따라서 부분 깃발 품종 또한 균일한 공간에 대해 이형화된다.

U(n)/U(n_{1})\time \cdots \time U(n_{k})

복잡한 경우에는

O(n)/O(n_{1})\time \cdots \time O(n_{k})

실제의 경우에는

반실행 그룹에 대한 일반화

결정인자의 상위 삼각형 행렬은 SL(n,F)의 보렐 부분군이며, 따라서 부분 플래그의 안정기는 포물선 부분군이다.또한 부분 깃발은 포물선 부분군에 의해 결정되어 깃발을 안정시킨다.

따라서 보다 일반적으로 G가 반이행 대수학 또는 Lie 그룹이라면 G에 대한 (일반화된) 국기 다양성은 G/P이고, 여기서 P는 G의 포물선 부분군이다.포물선 부분군과 일반화된 국기 품종 사이의 대응은 각각 다른 면으로 이해할 수 있게 한다.

G/P의 포인트는 여전히 깃발을 사용하여 설명할 수 있기 때문에 "플래그 버라이어티"라는 용어의 연장은 타당하다.G가 공감 그룹이나 직교 그룹과 같은 고전 그룹일 때, 이것은 특히 투명하다.(V, Ω)이 동시 벡터 공간인 경우, V의 부분 플래그는 해당 플래그에 있는 V의 적절한 하위 공간에서 사라지면 등방성이 된다.등방성 기의 스태빌라이저는 동위원소 그룹 Sp(V,Ω)의 포물선 부분군이다.직교 그룹의 경우 유사한 그림이 있으며, 몇 가지 합병증이 있다.첫째, F가 대수적으로 닫히지 않으면 등방성 아공간이 존재하지 않을 수 있다. 일반 이론의 경우 분할 직교 그룹을 사용해야 한다.둘째, 짝수 치수 2m의 벡터 공간의 경우 치수 m의 등방성 아공간은 두 가지 향미("자기 이중"과 "자기 이중")로 나타나며, 이를 구별해야 균일한 공간을 얻을 수 있다.

코호몰로지

G가 콤팩트하고 연결된 Lie 그룹이라면 최대 토러스 T를 포함하고 있으며, 지수 위상이 있는 좌측 코세트의 공간 G/T는 콤팩트 리얼 다지관이다.H가 T를 포함하는 G의 다른 폐쇄적이고 연결된 부분군이라면 G/H는 또 다른 소형 실제 다지관이다. (두 가지 모두 실제로 복합화를 통해 표준적인 방식으로 복잡한 동질 공간이다.)

복잡한 구조와 세포(co)호몰로지(co)가 존재하기 때문에 G/H의 코호몰로지 링이 짝수 도에 집중되어 있음을 쉽게 알 수 있지만, 사실 훨씬 더 강한 것을 말할 수 있다.G → G/H가 주요 H-번들이기 때문에 분류공간 BH를 대상으로 분류지도 G/H → BH가 존재한다.If we replace G/H with the homotopy quotient G_H in the sequence G → G/H → BH, we obtain a principal G-bundle called the Borel fibration of the right multiplication action of H on G, and we can use the cohomological Serre spectral sequence of this bundle to understand the fiber-restriction homomorphism H*(G/H) → H*(G) and the characteristic map H*(BH) → H*(G/H), 즉 H*(G/H)의 특성 서브링인 이미지에는 원래 번들 H → G → G/H의 특성 클래스가 담겨 있기 때문에 그렇게 불린다.

이제 우리의 계수 링을 특성 0의 필드 k로 제한하여 홉프의 정리로는 H*(G)가 홀수도의 생성기(원시 원소의 하위 공간)에 대한 외부 대수라고 하자.가장자리 동음이의어들은 다음과 같다.

E_{r+1}^{0,r}\to E_{r+1}^{r+1,0}

그 분광 계열 중에서 결국 페이지의 왼쪽 칼럼 H*(G)에 E2bijectively 바닥에:우리가 G및 H 같은 지위에 올라 있다., 하단 열의 H*(BH)의 마지막 페이지 H*(G/H)에 그렇게 그 원시적인 부분 공간에 만약 가장자리 homomorphisms의 컬렉션이 아니었습니다 완전한 계급, 그 이미지를 아는 원시적인 요소의 공간 H*(BH)를 취해야 한다. of 이 시퀀스는 k-벡터 공간으로서 무한 차원일 것이다. 예를 들어, 세포 코호몰로지(cellular cohomology)에 의해 다시 불가능하다. 왜냐하면 콤팩트한 균질 공간은 유한한 CW 구조를 허용하기 때문이다.

따라서 이 경우 링맵 H*(G/H) → H*(G)는 사소한 것이며, 특성 맵은 허탈적이므로 H*(G/H)는 H*(BH)의 몫이다.맵의 커널은 가장자리 동형성 하의 원시 원소의 영상에 의해 생성되는 이상이며, 또한 G에 H를 포함시킴으로써 유도된 표준지도 H*(BG) → H*(BH)의 영상에서 양성도 원소에 의해 생성되는 이상이기도 하다.

지도 H*(BG) → H*(BT)는 주입식이며, 마찬가지로 H에도 Weyl 그룹의 작용에 따라 불변 원소의 서브링 H*(BT)^W(G)를 이미지화하여 마침내 간결한 설명을 얻는다.

H^{*}(G/H)\cong H^{*}}(BT)^{W(H)}/{\big({\widetilde{H}}}^{*}^{W(G)}{\big )}},}

여기서 ${\widetilde {H}}^{*}$ ~ $∗{\$ 는 ${\widetilde {H}}^{*}$ 양의 원소와 괄호 안의 이상적인 원소 생성을 나타낸다.예를 들어, 전체 복합 플래그 매니폴드 U(n)/T의ⁿ 경우

H^{*}{\big (}U(n)/T^{n}{\big )}\cong \mathb {Q}[t_{1},\ldots, t_{n}]/(\sigma _{1},\ldots,\sigma _{n}),},},}}}

여기서 t는_j 도 2이고 σ은_j 변수 t에서_j 첫 번째 n개의 초기 대칭 다항식이다.보다 구체적인 예를 들면, U(2)/[U(1) × U(1)]가 복합 그래스만 Gr(1,900²¹) ≈ ≈ S가² 되도록 n = 2를 취한다.그렇다면 우리는 2도(기본 등급)의 발전기에서 코호몰로지 링이 외부 대수학일 것으로 예상하며, 실제로,

H^{*}{\big (}U(2)/T^{2}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},t_{2}]/(t_{1}+t_{2},t_{1}t_{2})\cong \mathbb {Q} [t_{1}]/(t_{1}^{2}),

희망대로

최고 중량 궤도 및 투영 동종 다양성

만약 G가 반이행 대수군(또는 Lie group)이고 V가 G의 (마인드 치수) 가장 높은 중량 표현이라면, 가장 높은 중량 공간은 투영 공간 P(V)의 한 점이며 G의 작용에 따른 궤도는 투영 대수 다양성이다.이 품종은 (일반화된) 국기 품종이며, 나아가 G의 모든 (일반화된) 국기 품종은 이런 방식으로 발생한다.

Armand Borel은 이것이 일반적인 반실행 대수 그룹 G의 국기 다양성을 특징으로 한다는 것을 보여주었다^{[citation needed]}: 그들은 정확하게 G의 완전한 균질 공간이다, 또는 이 맥락에서 동등하게 (이 맥락에서), 투사성 균질 G-분리들이다.

대칭 공간

G는 최대 콤팩트 서브그룹 K를 가진 반실행형 Lie 그룹이다.그런 다음 K는 포물선 부분군의 어떤 결합 등급에서도 전이적으로 작용하므로 일반화된 국기 품종 G/P는 이소계 그룹 K와 함께 콤팩트한 균질 리만 다지관 K/(KHP)이다.나아가 G가 복합적인 Lie 그룹이라면 G/P는 동질의 Kahler 다지관이다.

이것을 돌리면, 리만 동족 공간은

M = K/(K∩P)

엄격히 더 큰 Lie transformation 그룹, 즉 G. M이 대칭적인 공간이라는 경우를 전문으로 하여, 이 관측은 모든 대칭적인 공간을 산출하여 그러한 더 큰 대칭 집단을 인정하고, 이 공간들은 고바야시와 나가노에 의해 분류되었다.

G가 복합적인 Lie 그룹이라면, 이러한 방식으로 발생하는 대칭 공간 M은 콤팩트한 에르미타인의 대칭 공간이다: K는 등위계 그룹이고, G는 M의 생체모형 그룹이다.

실수에 걸쳐 실제 국기 다지관을 R-공간이라고도 하며, K 아래의 리만니아 대칭공간인 R-공간을 대칭 R-공간이라고 한다.그 대칭 R-spaces는 대칭 헤르미 이트지 않는 biholomorphism 그룹의 에르 미트 대칭 우주의 G로 진실한 형태 Gc Gc/Pc 준은 G. 예제의 P:)Pc∩G은 포물선 모양의 서브 그룹 사영 공간(G로 그 무리의 사영 변환)과 영역 G과 등각 tran는 단체가 포함된다.sfo양배추산량

참고 항목

참조

로버트 J. 바스턴과 마이클 G. 이스트우드, 펜로즈 변형: 그것의 표현 이론과의 상호작용, 1989년 옥스포드 대학 출판부.
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위르겐 베른트, 세르히오 콘솔과 카를로스 올모스, 서브매니폴즈와 홀로노미, 채프만 & 홀/CRC 프레스, 2003.
Michel Briion, 2003년 Varsovie의 국기 품종 기하학 강의.
제임스 E. Humphreys, 선형 대수학 그룹, 수학 대학원 텍스트, 21, Springer-Verlag, 1972.
S. 코바야시와 T.나가노, 온 필터 리알헤브라와 기하학적 구조 I, II, J. 수학.메흐. 13(1964), 875–907, 14(1965) 513–521.

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