동일성(집단 이론)

수학에서, 특히 집단 이론에서, 두 집단은 정밀한 의미에서 한정된 양에 의해서만 차이가 나는 경우에 준거할 수 있다. 부분군의 정류자는 정규자와 관련된 또 다른 부분군이다.

집단 이론에서의 동일성

H가₁₁ H에₂ 이소모르픽일 정도로 유한지수의 부분군₁ H and₁ G와₂ H if₂ G가 있으면 G와 G₂ 두 그룹이 (추상적으로) 감응할 수 있다고 한다.^[1] 예를 들면 다음과 같다.

• 집단은 사소한 집단에 준거할 수 있는 경우에만 유한하다.
• 최소 2개의 발전기에서 미세하게 생성된 자유 그룹 2개는 서로 동등하게 평가된다.^[2] 그룹 SL(2,Z)도 이러한 자유 그룹에 준거할 수 있다.
• 적어도 2개의 속은 2개의 속 표면으로 이루어진 어떤 두 개의 속은 적어도 2개의 속이다.

다른 개념이지만 관련된 개념은 특정 그룹의 하위그룹에 사용된다. 즉, 그룹 G의 두 부분군 γ과₁ γ은₂ 교차점 γ₁ ∩이₂ γ과₁ γ₂ 모두에서 유한지수를 갖는 경우에 비례한다고 한다. 분명히 이것은 γ과₁ γ이₂ 추상적으로 동등하다는 것을 암시한다.

예제: 0이 아닌 실제 숫자 a와 b의 경우, a에 의해 생성된 R의 하위 그룹은 실제 숫자 a와 b가 일치할 수 있는 경우에만 b에 의해 생성된 하위 그룹과 동등할 수 있으며, 이는 a/b가 합리적인 숫자 Q에 속한다는 것을 의미한다.

기하학적 그룹 이론에서, 미세하게 생성된 그룹은 미터법을 사용하여 미터법으로 간주된다. 만약 두 집단이 (추상적으로) 상응할 수 있다면, 그들은 준 등축성이다.^[3] 대화가 언제 지속되는지 물어보는 것은 보람 있는 일이었다.

선형대수학에는 유사한 개념이 있다: 벡터 공간 V의 두 선형 하위공간 S와 T는 교차점 S ∩ T가 S와 T에서 모두 유한 코드인 경우 상응할 수 있다.

위상

두 개의 경로로 연결된 위상학적 공간은 동형 유한 피복 공간을 가진 경우에 균등하게 사용될 수 있다고 불린다. 고려 중인 공간의 유형에 따라 정의에서 동형성 대신 동형성 또는 차이점성을 사용할 수 있다. 커버 공간과 기본 그룹 사이의 관계에 의해, 균등할 수 있는 공간은 균등할 수 있는 기본 그룹을 가진다.

예: 기세킹 다지관은 그림-8 매듭의 보완과 동등하다. 이것들은 둘 다 유한 부피의 비 컴팩트 쌍곡선 3-매니폴드들이다. 반면에, 콤팩트 쌍곡선 3-매니폴드 및 유한 체적의 비-컴팩트 쌍곡선 3-매니폴드에는 무한히 다양한 유사성 등급이 있다.^[4]

정류자

그룹 G의 부분군 G γ의 정류자(Comm_G(Comm)로 표시됨)는 결합 부분군 Gγg가 γ과 동일하도록 G의 요소 집합이다.^[5] 바꾸어 말하면, 환언하면

${\displaystyle \operatorname {Comm} _{G}(\Gamma )=\{g\in G:g\Gamma g^{-1}\cap \Gamma {\text{}\text{}}는 }}\Gamma {\comma g^{-1}\}에 모두 한정된 인덱스를 가지고 있다.}$

이것은 정규자 N_G(N)을 포함하는 G의 부분군이다(따라서 γ을 포함한다).

예를 들어, SL(n,R)의 특수 선형 그룹 SL(n,Z)의 정류자는 SL(n,Q)을 포함한다. 특히 SL(n,R)의 SL(n,Z)의 정류기는 SL(n,R)의 밀도가 높다. 보다 일반적으로, 그리고리 마굴리스는 반이행 Lie 그룹 G에서 격자 Ⅱ의 정류자가 G의 산술 하위 그룹인 경우에만 G로 조밀하다는 것을 보여주었다.^[6]

추상적 감응자

Comm${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle (G$으로 표시된$$그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 추상 정류자는 이형성 $\varphi {\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle K}$ ${\displaysty \phi$:$H\to K$ 여기서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$ $및{\displaystyle }$ K$$ ${\displaystyle K}$은 구성 중인$$$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 유한 인덱스 하위 그룹이다$$.^[7] ${\displaystyle \text{Comm}(G}$) ${\displaystyle {\text{Comm}(G)}$의 요소를 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 쉼표라고 한다$$$.$

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) ${\displaystyle {\text{PSL}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}R\mathbb{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\text}$에 대해 이형성이 아닌 연결된 반실행 Lie 그룹인 경우$PSL}_{2}(\mathb {R}$ $)\},$ 사소한 중심이 있고 콤팩트한 요인이 없는 경우, Mostow 강직성 정리에 의해 모든 불분명한 격자 ${\displaystyle \gamma }$ G${\displaystyle \Gamma \leq G}$의 추상적인 정류자가 선형이다$$. Moreover, if ${\displaystyle \Gamma }$ is arithmetic, then Comm${\displaystyle (\Gamma )}$ is virtually isomorphic to a dense subgroup of ${\displaystyle G}$, otherwise Comm${\displaystyle (\Gamma )}$ is virtually isomorphic to ${\displaystyle \Gamma }$.

메모들

참조

• Druțu, Cornelia; Kapovich, Michael (2018), Geometric Group Theory, American Mathematical Society, ISBN 9781470411046, MR 3753580
• Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds, Springer Nature, ISBN 0-387-98386-4, MR 1937957
• Margulis, Grigory (1991), Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups, Springer Nature, ISBN 3-540-12179-X, MR 1090825