콤플렉스 리 대수

수학에서 콤플렉스 리 대수(complex Lie 대수)는 콤플렉스 숫자에 대한 리 대수(Lie 대수)이다.

복잡한 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g$${\$displaystyle${\$mathfak{g}}$을(를) 감안할 때$,$ 그 결합형 $'{\$은(는) 기본 실제 벡터 공간은 같지만 ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{i}}}$ =${\displaystyle }$- 1${\$$displaysty$ i$={\sqrt{-$i$}$가 대신 작용하는$$ 복잡한 Li}이다.^[1]실제 리 대수학으로서 복잡한 리 $대수학{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\${\$mathfak{g}}$은 그 결합에 대해 사소한 것으로 이형성이 있다$$.복잡한 Lie 대수학은 그것이 실제 형태를 인정하는 경우에만(그리고 실제 숫자에 걸쳐 정의된다고 한다) 결합에 이형적이다.

실물형태

Given a complex Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, a real Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ is said to be a real form of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ if the complexification ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$$}}$은(는) g$${\$displaystyle${\$mathfak{g}$에 대해 이형이다$.$

실제 형태 $g{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\${$g$$}_{0}$은(는) 아벨리안(resp. nilpotent, 해결 가능, semisimple)이며$$, $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이$($resp. nilpotent, 해결 가능, semisimplement)인 경우에만 가능하다.^[2]On the other hand, a real form ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ is simple if and only if either ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is simple or ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is of the form ${\displaystyle {\mathfrak {s}}\times {\overline {\mathfrak {s}}}}$ where ${\displaystyle \mathfrak{s},}$$'{\$은(^[2]는) 단순하며 서로의 결합물이다.

진정한 형태의 복잡한에 존재하는 파도 매복하여 대수 g{\displaystyle{\mathfrak{g}}}은 g{\displaystyle{\mathfrak{g}}}의 켤레에 동형이다는 것을 암시하고,[1]정말로, g)g0⊗ RC)g0⊕ 나는요 0{\displaystyle{\mathfrak{g}}={\mathfrak{g}}_{0}\otimes _{\mathbb{R}}\m.ath$bb {C} ={\mathfrak {g}}_{0}\oplus i{\mathfrak {g}}_{0}}$, then let ${\displaystyle \tau :{\mathfrak {g}}\to {\overline {\mathfrak {g}}}}$ denote the ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear isomorphism induced by complex conjugate and then

${\displaystyle \tau (i(x+iy))$$=\tau(ix-y)=-ix-y=-i\tau(x+iy$

즉, $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$이(가) $사실상{\displaystyle \mathbb{}}$ C$${\$displaystyle \mathb {C}$-선형$$ 이형성인 것이다.

Conversely, suppose there is a ${\displaystyle \mathbb {C} }$-linear isomorphism ${\displaystyle \tau :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}{\overline {\mathfrak {g}}}}$; without loss of generality, we can assume it is the identity function on the underlying real vector space.그런 다음 g ${\displaystyle 0{}_{}}$=${\displaystyle }${ z ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\displaystyle \tau }$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}=\{0}=\z\in {\mathfrak {g}} \tau(z)=z\}}$을 정의하십시오$.$ 이 값은 분명히 실제 Lie 대수인 것이다.Each element ${\displaystyle z}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ can be written uniquely as ${\displaystyle z=2^{-1}(z+\tau (z))+i2^{-1}(i\tau (z)-iz)}$. Here, ${\displaystyle \tau (i\tau (z)-iz)=-iz+i\tau ($$z)}$ and similarly ${\displaystyle \tau }$ fixes ${\displaystyle z+\tau (z)}$. Hence, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus i{\mathfrak {g}}_{0}}$; i.e., ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ is a real form.

복합리군 복합리 대수학

Let ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ be a semisimple complex Lie algebra that is the Lie algebra of a complex Lie group ${\displaystyle G}$. Let ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ be a Cartan subalgebra of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ and ${\displaystyle H}$ the Lie subgroup corresponding to${\displaystyle \mathfrak{h}}$ ${\$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 결합체를 카르탄 부분군이라고 한다$$.

양의 뿌리 선택에 의해 주어지는$$ ${\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ g${\displaystyle }$= n -${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle h\mathfrak{}{}^{}\oplus }$ ${\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ + ${\$ {\$mathfrak{n}}={\mathfrak{n}^{$n}}-}-}+{\$mathfrak{h}}\mathfak${n$}^{n$}+}}}}이 있다고 가정합시다.그리고가 기하 급수적으로 지도}UG⊂{\displaystyle U\subset G}B⊂ G{B\subset G\displaystyle}는 보렐 subalgebra b에 해당하는 그 리 서브 그룹 .[3] 닫힌 하위 그룹에만)n+{\displaystyle{\mathfrak{n}}^{+}에서 유질 동상 h⊕ n+{\displaystyle{\mathfrak{b}}={\mathfrak{h}을 정의합니다.})$oplus {\mathfak{n}^{+}$는 $닫히고$ H {\$displaystyle$ H$}$와 $U$ ${\displaystyle U}$의 반간접 제품이며$,$^[4] B ${\displaystyle B}$의 결합체는 보렐 하위그룹이라고 불린다$$.

메모들

참조

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
• Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics. Vol. 120 (2nd ed.). Boston·Basel·Berlin: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5..
• 장 피에르 세레: 콤플렉스 세미스이벤트 리 알헤브라스, 스프링거, 베를린, 2001.ISBN 3-5406-7827-1