매듭군

수학에서 매듭은 3차원 유클리드 공간에 원을 끼워 넣는 것이다.매듭 K의 매듭군은 R에서³ K의 매듭 보체의 기본 군으로 정의된다.

$(\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K).}$

다른 표기법에서는 매듭을 3개의 구에 포함시키는 것으로 간주하고 있으며, 이 경우 매듭 ${\displaystyle {그룹}^{}}$은 S 3$(\$3$\})$에서 그 보완의 기본 그룹이다.

특성.

두 개의 동등한 매듭은 동형 매듭 그룹을 가지므로 매듭 그룹은 매듭 불변성이며 부등식 매듭의 특정 쌍을 구별하는 데 사용할 수 있습니다.이는 두 개의 매듭 사이의 등가성이 R $(\$^{$3})$의 자기 동형사상이며, 첫 번째 매듭을 두 번째 매듭으로 보내기 때문입니다.이러한 동형사상은 매듭의 보수의 동형사상에 국한되며, 이 제한된 동형사상은 기본 그룹의 동형사상을 유도한다.단, 두 개의 부등식 매듭이 동형 매듭 그룹을 가질 수 있습니다(아래 예 참조).

매듭군의 아벨리언화는 항상 무한 순환군 Z와 동형이다; 이것은 아벨리언화가 쉽게 계산할 수 있는 첫 번째 호몰로지 군과 일치하기 때문이다.

매듭 그룹(또는 일반적으로 지향성 링크의 기본 그룹)은 비교적 간단한 알고리즘으로 Wirtinger 프레젠테이션에서 계산할 수 있습니다.

예

• 언노트에는 Z와 동형인 매듭 그룹이 있습니다.
• 삼엽상 매듭은 매듭군 B와₃ 동형이다.이 그룹은 프레젠테이션을 합니다.

${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle x}$ , y${\displaystyle }$、 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 3$⟩displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ , , ,({$displaystyle$ \ displaystyle \ $displaystyle x$$,y\mid$$x^{2}=y^{$3}\rangle$$}) 또는$$${\displaystyle }$⟨${\displaystyle a}$, b${\displaystyle }$、 b ∣${\displaystyle a}$ $aa$= b ${\displaystyle \mathrm{aa}}$ = b ${\displaystyle \mathrm{ba}}$ = b$$= b 、 b${\displaystyle }$、 b 、 b ${\displaystyle 、}$ b 、 b 、 b 、 b 。 { $displaystystystyle$

• (p,q)-토러스 매듭에는 프레젠테이션이 포함된 매듭 그룹이 있습니다.

$\displaystyle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .}$

• 숫자 8 매듭은 프레젠테이션이 있는 매듭 그룹을 가지고 있습니다.

$\displaystyle x,y\mid yxy^{-1}xy=xyx^{-1}yx\rangle}$

• 정사각형 매듭과 할머니 매듭은 동형 매듭 그룹을 가지고 있지만, 이 두 매듭은 동일하지 않습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 링크 그룹

추가 정보

• Hazeswinkel, Michiel, ed. (2001), "Knot and Link Groups", 수학 백과사전, 스프링거, ISBN978-1556080104