고전적 모듈형 곡선

수 이론에서 고전적인 모듈형 곡선은 방정식에 의해 주어지는 되돌릴 수 없는 평면 대수 곡선이다.

φ n (x,

y

)

= 0,

$(x,$ $y) =$ ( $j (nn),$ $j (()$ 가 곡선상의 점인 경우.여기서 $j (j$ )는j-invariant를 나타낸다.

이 곡선은 X( $n 0)$ 라고 부르기도 하지만 다양한 모델이 존재하는 추상 대수 곡선에 종종 사용된다 $.$ 관련 개체는 modular(x, x)로_n 정의된 하나의 변수에 있는 다항식인 고전적인 모듈형 다항식이다 $.$

고전적인 모듈형 곡선은 모듈형 곡선의 더 큰 이론의 일부라는 점에 유의해야 한다.특히 복합 상부 하프 평면 $H$ 의 압축된 지수로서 또 다른 표현이 있다.

모듈형 원곡선의 기하학적 구조

무한대 0

X(11)에서 매듭

우리가 $X 0 (n$ )라고 부를 고전적인 모듈형 곡선은 $n$ > $1일$ 때 $2n$ 보다 크거나 같으며, $n$ 이 prime일 경우 및 prime일 경우에만 동등하다 $.$ 다항식 $φ$ 은_n 정수 계수를 가지므로 모든 필드에 걸쳐 정의된다.그러나 계수가 충분히 커서 곡선을 이용한 계산 작업이 어려울 수 있다.계수가 $Z [y$ ]인 $x$ 의 다항식으로서도 $((n)$ 을 가지며 여기서 $ψ$ 은 데데킨드 psi 함수다. $φ n (x,$ $y)$ = $φ n (y,$ x $)$ 이기 때문에 X(n)는 y $=$ $x선$ 을 중심으로 대칭되며, $복잡한 0$ 평면에서 스스로 교차하는 고전적인 모듈형 다항식의 반복된 뿌리에 단수점을 가진다.이것들은 유일한 특이점들이 아니며, 특히 $n$ > $2일$ 때 무한대에 두 개의 특이점이 있는데, 여기서 $x$ = $0, y$ = $\infty,$ x = $\infty,$ $y$ = $0$ 은 하나의 가지만을 가지고 있으며 따라서 하나의 가지만을 가지고 있고 따라서 진정한 매듭이 아닌 매듭 불변성을 가지고 있다.

모듈형 곡선의 파라메트리지화

$n$ = 1 $, 2, 3, 4, 5$ , 6 $,$ 7, 8, $9, 10, 12, 13, 16, 18$ 또는 $25$ 의 경우 $X 0 (n)$ 에는 0의 속성이 있으므로 합리적인 함수에 의해 파라메트리될 수 있다.가장 간단한 비경쟁적인 $예$ 는₀ $X($ 2)이며 $,$ 여기서 다음과 같다.

j_{2}(q)=q^{-1}-24+276q-2048q^{2}+11202q^{3}+\cdots =\좌측\frac{\eta(q){\eta(q^{2}}}}\right)^{24}:{24}}}}

(정수 기간까지) 몬스터의 클래스 2B에 대한 McKay-Thompson 시리즈이며, $η$ 은 데데킨드 에타 함수, 그 다음

x={\frac {(j_{2}+256)^{3}}{j_{2}^{2}}}}

{\displaystyle y={\frac {(j_{2}+16)^{3}{j_{2}}:

parametries $X 0 (2)$ 를 $j$ 의₂ 합리적인 함수에 관해서 파라메트리거 X(2)이 파라메트리제이션의 사용을 위해 $j$ 를₂ 실제로 계산할 필요는 없다; 임의의 파라미터로 받아들일 수 있다.

매핑

$일부$ $n$ 에 대해 굴절형 형태론 $φ$ : $X 0 (n)$ → $C$ (정수계수를 갖는 합리적인 지도에 의해 주어지는)이 존재한다면 Q $이상$ 의 C 곡선을 모듈형 곡선이라고 한다.유명한 모듈화 정리는 $Q$ 에 걸친 모든 타원곡선이 모듈화라는 것을 말해준다.

$또한 0$ X(n)의 점들이 타원곡선의 일부 n-생성 쌍에 해당하기 때문에 매핑은 X $(n)$ 와 연관되어 발생한다.두 타원형 곡선 사이의 이등성은 그룹 법칙을 존중하는 곡선들 사이의 비종교적 형태론(합리적 지도에 의해 정의됨)이며, 따라서 무한(집단 법칙의 정체성 역할을 함)을 무한대로 보낸다.그러한 지도는 언제나 허탈적이고 유한한 커널을 가지고 있는데, 그 순서는 이등성의 정도라고 할 수 있다. $X 0 (n)$ 의 점은 주기적 커널과 $n$ 의 등가성을 인정하는 타원 곡선 쌍에 해당한다.

$X 0 (n)$ 에 속 1이 있을 때 그 자체도 타원곡선에 이형화되어 동일한 j-invariant를 갖게 된다.

$예$ 를₀ 들어 $,$ X( $11$ )는 j-invariant $-21131$ 을¹²⁻⁵³ 가지며, $y 2$ + $y 3$ = x - $x 2$ - $10x$ - $20$ 곡선에 대해 이형성이 있다. $X 0 (5)$ 에서 이 j $값$ 을 $y$ 로 대체하면 두 개의 합리적인 뿌리와 4도 인자를 얻는다 $.$ 두 개의 이성적 뿌리는 위의 곡선에 대해 5개의 이성적 계수를 갖는 곡선의 이형성 등급에 해당하지만, 이형성은 아닌 다른 함수 필드를 갖는 것이다.Specifically, we have the six rational points: x=-122023936/161051, y=-4096/11, x=-122023936/161051, y=-52893159101157376/11, and x=-4096/11, y=-52893159101157376/11, plus the three points exchanging $x$ and $y$ , all on $X 0 (5)$ , corresponding to the six isogenies between these three curves.

$y 2$ + $y$ = $x 3$ - $x 2$ - $10x$ - $20,$ $X 0 (11)$ 에 대한 이형성인 경우

x\mapsto {\x^{5}-2x^{4}+3x^{3}-2x+1}{x^{2}(x-1)^{2}

y-{\frac {(2y+1)(x^{4}+x^{3}-3x^{2}+3x-1)}{x^{3}(x-1)^{3}}}}}:{3}}}

요인, $x$ 의 합리적인 함수에 대한 외부 인자를 구하며, j-변수 $-211$ 의¹²⁻¹ 곡선 $y 2$ + $y$ = $x 3$ - $x$ 를² 구한다.따라서 두 곡선 모두 $레벨 0$ $11$ 의 모듈식이며, X( $11$ )의 매핑이 있다 $.$

앙리 Carayol의 정리까지, 타원 곡선 E모듈화 된 후 지휘자,isogeny invariant는 원래 cohomology의 관점에서 묘사된 가장 작은 정수와 같은 우리가 지금 Q모든 타원 곡선 모듈화이다 아는 것은-합리적인 매핑 φ:X0(n)→ E. 존재하지만 우리는 또한 i.의는 지휘자는 단순히 수준 얼마인가? 알아t최소 모듈식 파라메트리제이션.

모듈형 곡선의 갈루아 이론

모듈형 곡선의 갈루아 이론은 에리히 헤케에 의해 연구되었다. $Z$ [ $y]$ 에 계수가 있는 x에서 다항식으로 간주되는 모듈식 $φ 0 (n)$ 은 $x$ 에 도 $degree (n)$ 의 다항식으로, 그 $뿌리$ 가 Q $(y$ )의 갈루아 확장을 생성한다 $.$ $p$ p prime이 있는 $X 0 (p)$ 의 경우, 필드의 특성이 $p$ 가 아닌 $Q (x,$ $y)/ Q (y)$ 의 갈루아 그룹은 $PGL(2,$ $p$ )이며 $,$ $p$ 원소 영역의 투영 라인의 투영적 일반분수 변환의 투영적 선형 그룹이며, $X 0 (p$ )의 정도는 p + $1$ 이다 $.$

이 확장자는 Gauss의 $표기법$ 에서 $p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p$ $p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p$ = $p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p$ ( $p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p$ - 1 $p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p$ ) $p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p$ - $p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p$ ) $p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p$ / $p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p$ p ${\displaystyle$ p $^{*=(-1)^{(p-1)/$ 2} $p}$ 인 경우 다음과 같은 대수 확장자를 포함한다.

F=\mathbf {Q} \왼쪽({\sqrt {p^{*}}\오른쪽).

상수 영역을 $F$ 로 확장하면 이제 유한단순군인 $p요소$ 를 가진 필드의 투사적 특수 선형집단인갈루아 그룹 $PSL(2,$ p)과 연장이 된다. $y$ 를 특정 필드 요소에 특화함으로써, 우리는 씬 세트 밖에서 $F$ 에 Galois $그룹 PSL$ (2 $, p$ ), $Q$ 에 $PGL(2,$ p $)$ 이 있는 필드의 무한한 예를 얻을 수 있다.

$n$ 이 prime이 아닐 때, galois 그룹은 화환제품으로서 $n$ 의 요인을 기준으로 분석할 수 있다.

참고 항목

참조

에리히 헤케, 디 아인트에우티지 베스티몽 데르 모둘펑크티멘 q터 스투페 더치 대수학 더치 아이겐샤프텐, 수학.Ann.11 (1935년), 293년-301년, Matheaticische Werke, 제3판, Vandenhoeck & Ruprecht, Götingen, 1983년, 568-576 [2]^{[permanent dead link]}
앤서니 크냅, 타원 커브, 프린스턴, 1992년
세르게 랭, 타원함수, 애디슨-웨슬리, 1973년
시무라 고로, 1972년 프린스턴, 오토모픽 함수의 산술 이론 소개

외부 링크

OEIS 시퀀스 A001617(모듈식 그룹 Genus Gama_0(n)).또는 모듈형 곡선 X_0(n)의 속
[3] $X 0 (n)$ 계수

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