리 집단 이론의 공식
Lie groups 이론에서 지수 지도 는 Lie g 그룹 Lie 대수 g G G 행렬 Lie 그룹 인 경우, 지수 맵은 행렬 지수까지 감소한다.그 기하 급수적인 지도, 표시된 지수 함수:g→ G, 그러한 유도체 .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{ 와는 분석.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆫd(X(t)cm이다. :Tg → TG , 여기서 X (t )C 1 경로 로, 밀접하게 관련된 차동 덱스p: TG → TG .[2]
덱스프 공식은 프리드리히 슈르 (1891년)가 처음 입증했다.[3] 후에 헨리 푸앵카레 (1899)가 리 대수학 용어를 사용하여 리 집단 곱셈을 표현하는 문제의 맥락에서 상세히 기술하였다.[4] 듀하멜의 공식 으로도 알려져 있다.
그 공식은 순수 수학이나 응용 수학에서 모두 중요하다. 베이커-캠프벨-하우스도르프 공식 과 같은 이론의 입증에 들어가며, 섭동 이론 의 마그누스 팽창 과 격자 게이지 이론 의 경우와 같이 양자장 이론 의 예를 들면 물리학에[5] .
전체에서, 공지 의 exp(X ) 와X 의미 가 구별되는 경우는 제외 한다. 미적분식 표기법은 방정식의 가독성을 높이기 위해 여기에서 선호된다. 반면에 exp 스타일은 인라인 방정식이 더 편리한 경우도 있고, 실제 구분이 이루어지는 드문 경우에 필요하다.
성명서 지수 지도의 파생상품은 다음과[6]
d d t e X ( t ) = e X ( t ) 1 − e − a d X a d X d X ( t ) d t . {\dplaystyle {\frac {d}{dt}e^{X(t)=e^{X(t)}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}{X}{\mathrm {ad}{X}{dX}}{dX(t}}}). } (1)
설명 X X (t )C 1 derivative (t ) dX (t )/dt 필요 ad 는X adX Y ) = [X ,Y ]그것은 그 자체로 Lie 대수학의 조정 된 작용이다. 분율 (-adX add X . 1 − e − a d X a d X = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( k + 1 ) ! ( a d X ) k . {\displaystyle {\frac{1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}{X}}}=\sum _{k=0}^{\frac {(-1)^{k+1)! }}}}(\mathrm {ad} _{X}^{k}}}) (2 )
행렬 지수에서와 같이 선형 내형성에 대한 지수적 지도의 파워 시리즈에서 파생된다.[6] G 언제 G가 아니다 매트릭스'리 그룹는 동안 지수 함수의 공식으로 리 이론들로 이제는 기하 급수적인 지도는 다른 두번 발생, 왼쪽 고정 벡터장의 time-one 흐름 X를 참조하십시오, 1− exp(−adX)/adX은 아직도 힘 시리즈(2)에 의해,,, G을 바라보는 리 군에 즉 리의 요소 있어서 일반 사건에 정의된 주어진다.a s 분석 다지관 이것은 여전히 매트릭스 케이스에서와 정확히 같은 공식에 해당한다. Lie 그룹의 요소 exp(X (t )) 에 의한 대수 g dL 의exp(X (t )) 차이를 적용한 것으로 해석된다. 이 공식은 ℝ 또는 C exp 가 고려되는 경우에 적용된다(매트릭스 지수 참조). G GL(n , C )GL(n , R , 개념은 정확하게 일치한다.X exp 의 차동 덱스p 를 계산하려면 덱스pX TgX → TGexp(X ) , 표준 레시피[2]
d 생략하다 X Y = d d t e Z ( t ) t = 0 , Z ( 0 ) = X , Z ′ ( 0 ) = Y {\displaystyle d\exp _{X}Y=\왼쪽. {\frac {d}{dt}e^{Z(t)}\오른쪽 _{t=0}Z(0)=X,Z'(0)= Y} 고용되었다. Z (t ) tY [6]
d 생략하다 X Y = e X 1 − e − a d X a d X Y {\displaystyle d\exp _{X} Y=e^{X}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}{\mathrm {ad} _{X}}} Y} (3 )
(1) . 특히 덱스프0 : Tg0 → TGexp(0) = TG 는e TgX ≃ g g TGe ≃ g
증명 아래 제시된 증거는 매트릭스 Lie 그룹을 가정한다. 이것은 Lie 대수에서 매트릭스 Lie 그룹으로의 지수 매핑은 일반적인 파워 시리즈, 즉 매트릭스 지수화에 의해 주어지는 것을 의미한다. exp 가 발생할 때마다 정확하게 해석된다면, 증거의 결론은 일반 사례에서 여전히 유효하다.아래 일반 사례에 대한 의견을 참조하십시오.
증명 개요는 파라메트리된 표현식의 s
Γ ( s , t ) = e − s X ( t ) ∂ ∂ t e s X ( t ) {\displaystyle \Gamma(s,t)=e^{-sX(t)}{\frac {\partial t}{\partial t}e^{sX(t)}}}}}} γ 에 대한 첫 번째 순서 미분 방정식을 구하는 것. 이 방정식은 s 에서 직접 통합하여 해결할 수 있다.해결책은 e e X )이다.
보조정리
Let 조정된 작용 을 나타낸다.작용은 AdXA = A a G AXA , X ax −1 g 광고 와 광고 의 빈번한 유용한 관계는 다음과[7] [nb 1]
A d e X = e a d X , X ∈ g . {\displaystyle \mathrm {Ad} _{e^{X}=e^{\mathrm {ad} _{X}, ~X\in {\mathfrak {g}.} (4)
증명
제품 규칙을 두 번 찾으면
∂ Γ ∂ s = e − s X ( − X ) ∂ ∂ t e s X ( t ) + e − s X ∂ ∂ t [ X ( t ) e s X ( t ) ] = e − s X d X d t e s X . {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}=e^{-sX}(-X){\frac {\partial }{\partial t}}e^{sX(t)}+e^{-sX}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[X(t)e^{sX(t)}\right]=e^{-sX}{\frac {dX}{dt}}e^{sX}. } 그러면 한 사람은 그것을 관찰한다.
∂ Γ ∂ s = A d e − s X X ′ = e − a d s X X ′ , {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma}{\partial s}=\mathrm {Ad}_{e^{-sX}X'=e^{-\mathrm {ad} _{sX}X},} 위 (4) 통합 수익률
Γ ( 1 , t ) = e − X ( t ) ∂ ∂ t e X ( t ) = ∫ 0 1 ∂ Γ ∂ s d s = ∫ 0 1 e − a d s X X ′ d s . {\displaystyle \Gamma (1,t)=e^{-X(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}{\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}ds=\int _{0}^{1}e^{-\mathrm {ad} _{sX}}X'ds. } 공식 파워 시리즈를 사용하여 지수 확장, 용어별 통합, 최종
Γ ( 1 , t ) = ∫ 0 1 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k s k k ! ( a d X ) k d X d t d s = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( k + 1 ) ! ( a d X ) k d X d t = 1 − e − a d X a d X d X d t , {\displaystyle \Gamma(1,t)=\int_{0}^{1}{1}^{1}{k=0}^{k=0}^{\frac {(-1)^{k}s^{k}}{k! }}}}(\mathrm {ad} _{X}^{\frac {dX}{dt}ds=\sum _{k=0}^{\frac {(-1)^{k}{(k+1)! }}}(\mathrm {ad} _{X}}^{k}{\frac {dX}{dt}={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}{\mathrm {ad} _{X}{dX},}}}}}},}} 그리고 결과는 다음과 같다. 여기서 제시된 증거는 본질적으로 로스만(2002년) 에 제시된 것이다. 좀 더 대수학적 터치를 가진 증거 는 홀(2015년) 에서 찾을 수 있다. [8]
일반 사례의 공식은 다음과[9]
d d t 생략하다 ( C ( t ) ) = 생략하다 ( C ) ϕ ( − a d ( C ) ) C ′ , {\dplaystyle {\frac {d}{dt}\exp(C)(t)=\exp(C)\phi(-\mathrm {ad}(C)) C~",} 어디에[nb 2]
ϕ ( z ) = e z − 1 z = 1 + 1 2 ! z + 1 3 ! z 2 + ⋯ , {\displaystyle \phi (z)={\frac {e^{z}-1}{z}}}{z}=1+{\frac {1}{2! }}}}{\frac{1}{3! }}}}{2}+\cdots,} 정식으로 으로 감소하다.
d d t 생략하다 ( C ( t ) ) = 생략하다 ( C ) 1 − e − a d C a d C d C ( t ) d t . {\dplaystyle {\frac {d}{dt}\exp(C)(t)=\exp(C){\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{C}{\mathrm {ad}{C}{c}{dc}{\frac {dC(t){dt}}}. } 여기서 exp-notation은 리 대수 기하학적 매핑에 사용되며, 분수에 있는 미적분식 표기법은 일반적인 공식 시리즈 확장을 나타낸다. 일반 사례에 대한 자세한 내용과 두 가지 전체 증거는 자유롭게 사용할 수 있는 Sternberg(2004) 참조를 참조하십시오.
직접적인 공식적 주장 답이 존재한다면 그 답이 무엇이어야 하는지 알 수 있는 즉각적인 방법은 다음과 같다. 존재는 각각의 경우에 따로 증명될 필요가 있다. 지수화 표준 한계 정의의 직접적인 분화와 분화와 한계화의 순서를 교환함으로써,
d d t e X ( t ) = 임이 있는 N → ∞ d d t ( 1 + X ( t ) N ) N = 임이 있는 N → ∞ ∑ k = 1 N ( 1 + X ( t ) N ) N − k 1 N d X ( t ) d t ( 1 + X ( t ) N ) k − 1 , {\displaystyle {\begin{nraged}{\frac {d}e^{X(t)}&=\lim _{N\to \flt}{{d}}}\frac {X(t)}{N}\right)^ {N}\\&=\lim _{N\to \infty }\sum _{k=1}^{N}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{N-k}{\frac {1}{N}}{\frac {dX(t)}{dt}}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{k-1}~,\end{aligned}}} 각 (t ) 와 X t ).
단위 구간 / N 1 )으로 나누고 N → Δk → dk → dk / N s yields → yields 산출량을 허용한다.
d d t e X ( t ) = ∫ 0 1 e ( 1 − s ) X X ′ e s X d s = e X ∫ 0 1 A d e − s X X ′ d s = e X ∫ 0 1 e − a d s X d s X ′ = e X 1 − e − a d X a d X d X d t . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}e^{X(t)}&=\int _{0}^{1}e^{(1-s)X}X'e^{sX}ds=e^{X}\int _{0}^{1}\mathrm {Ad} _{e^{-sX}}X'ds\\&=e^{X}\int _{0}^{1}e^{-\mathrm {ad} _{sX}}dsX'=e^{X}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX}{dt}}~. \end{정렬}}} 적용들 지수 지도의 로컬 거동 지수지도의 파생상품과 함께 역함수 정리 는 exp 의 국지적 행동에 대한 정보를 제공한다. 벡터 공간 사이의 모든 k 0 ∞, Ω f C k df x 주위 f 바이어싱이다 k (3)로부터, 이는 정확히 다음과 같은 경우에 일어날 것이다.
1 − e a d X a d X {\displaystyle {\frac {1-e^{\mathrm {ad_{X}}}}}{\mathrm {ad} _{X}}}}}}}} 되돌릴 수 없다. 이는 이 연산자의 고유값이 모두 0이 아닐 때 발생한다. 1 exp(-adX ad X 다음 과X g U g (U )U ij (U ) 의 고유값은 g( g . 여기서 λ ij U [nb 3] 현재 (U ) = 1 exp(-U )/ U 및 ad 를X 1 exp(-adX ad X
1 − e − λ i j λ i j , {\displaystyle {\frac {1-e^{-\boda _{ij}}{\boda _{ij}}} 여기서 λ ij 광고 의X 1 exp(-exp ij )/dexp ij = 0 을 입력하면 덱스p 가 정확하게 변환 불가능한 것으로 확인됨
λ i j ≠ k 2 π i , k = ± 1 , ± 2 , … . {\displaystyle \ij}\neq k2\pi i, k=\pm 1, pm 2, ldots.} 광고 의X 차례 X λ i X V e i 그러면
X e i = λ i e i + ⋯ , {\displaystyle Xe_{i}=\lambda _{i}e_{i}+\cdots ,} n i e n E ij E ij kl Δ ik jl 이ij j < n m nm 하나 는X
a d X E i j = ( λ i − λ j ) E i j + ⋯ ≡ λ i j E i j + ⋯ , {\displaystyle \mathrm {ad} _{X}E_{ij}=(\lambda _{i}-\lambda _{j}) E_{ij}+\cdots \equiv \lambda _{ij} E_{ij}+\cdots ,} 나머지 용어mn ij E > E의 배수로. 즉, 광고 는X λ ij λ i λ 을j 결론 [10] [nb 4] 덱스p 는X exp 는 X
λ i − λ j ≠ k 2 π i , k = ± 1 , ± 2 , … , 1 ≤ i , j ≤ n = 어슴푸레한 V . \displaystyle \lambda _{i}-\lambda _{j}\neq k2\pi i,\quad k=\pm 1,\pm 2,\ldots,\quad 1\leq i,j\leq n=\dim V.} 특히 매트릭스 리 그룹의 경우, 덱스프 는0 변환불가능하므로, exp 가 매트릭스 공간에서 0㎛ g 역함수 정리 로는 따라온다. 더욱이 exp 는 0 g g in e G [11] 역함수 정리의 다지관 버전을 이용한 일반 리 그룹에도 동일한 결론이 내려진다.
덱스프ξ 자체가 충분히 작은 ξ 암묵적 함수 정리 로부터 따온 것이다.[12]
베이커-캠프벨-하우스도르프 공식의 도출 다음 같이 Z( t)가 정의된 경우
e Z ( t ) = e X e t Y , {\displaystyle e^{Z(t)}=e^{X}e^{tY}}} Z (1) = 로그(exp X exp Y )에 대한 표현식, Baker-Campbell-Hausdorff 공식 은 위의 공식에서 도출할 수 있다.
생략하다 ( − Z ( t ) ) d d t 생략하다 ( Z ( t ) ) = 1 − e − a d Z a d Z Z ′ ( t ) . {\displaystyle \exp(-Z)(t){\frac {d}{dt}\exp(Z(t))={\frac {1-e^{-\mathrm {ad}{Z}{\mathrm {ad} _{Z}Z}Z}Z(t). } 그것의 왼쪽은 Y 와 같을 정도로 보기 쉽다. 그러므로,
Y = 1 − e − a d Z a d Z Z ′ ( t ) , {\displaystyle Y={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}{Z}Z}(t),} 그래서 [13] [14]
Z ′ ( t ) = a d Z 1 − e − a d Z Y ≡ ψ ( e a d Z ) Y , ψ ( w ) = w 통나무를 하다 w w − 1 = 1 + ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m + 1 m ( m + 1 ) ( w − 1 ) m , ‖ w ‖ < 1. {\displaystyle Z'(t)={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}}Y\equiv \psi \left(e^{\mathrm {ad} _{Z}}\right)Y,\quad \psi (w)={\frac {w\log w}{w-1}}=1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m(m+1)}}(w-1)^{m},\ w\ <1. } 그러나 (4) 광고 와 광고의 관계를 이용하면, 보다 쉽게 알 수 있다.
e a d Z = e a d X e t a d Y {\displaystyle e^{\mathrm {ad} _{Z}=e^{\mathrm {ad} _{X}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}}}} 그래서
Z ′ ( t ) = ψ ( e a d X e t a d Y ) Y . {\displaystyle Z'(t)=\psi \left(e^{\mathrm {ad} _{X}e^{t}\mathrm {ad} _{Y}\right)Y. } 이것을 0에서 1까지의 수율 t 에 적분 형태로 넣는다.
Z ( 1 ) = 통나무를 하다 ( 생략하다 X 생략하다 Y ) = X + ( ∫ 0 1 ψ ( e 광고를 내다 X e t 광고를 내다 Y ) d t ) Y , {\displaystyle Z(1)=\log(\exp X\exp Y)=X+\왼쪽(\int _{0}^{1}\psi \left(e^{\operatorname {ad} _{X}}~e^{t\,{\text}}}}}}}{\cext}}}}}}}{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Y}\오른쪽)\,dt\오른쪽)\,Y,} ψ Dynkin의 시리즈 공식 보다 실제적으로 트랙터블이 더 많은 Z(1 )의 적분 공식 이 표현식은 X+Y 또는 Y 와 함께 중첩된 쉼표로 구성된다. 이러한 선에 따른 교과서적인 증거는 홀(2015년) 과 밀러(1972년) 에서 찾아볼 수 있다.
Dynkin 계열 공식의 파생 유진 딘킨 은 2003년에 집에 있었다.1947년에 Dynkin은 명백한 BCH 시리즈 공식을 증명했다.[15] 푸앵카레 , 베이커 , 캠벨 , 하우스도르프 등은 주로 브라켓 시리즈의 존재 에 관심을 가졌는데, 예를 들어, 리 통신에서 중심적인 결과를 증명하는 데 있어서 많은 용도에 충분하다.[16] [17] 사진 제공: Dynkin Collection. 언급된 Dynkin의 공식도 파라메트릭 확장에서 시작하여 유사하게 파생될 수 있다.
e Z ( t ) = e t X e t Y , {\displaystyle e^{Z(t)}=e^{tX}e^{tY}}}} 언제
e − Z ( t ) d e Z ( t ) d t = e − t a d Y X + Y , {\displaystyle e^{-Z(t)}{\frac {de^{Z(t)}}}{dt}=e^{-t\,\mathrm {ad} _{Y}X+Y~,} 그래서 위의 일반적인 공식을 이용해서
Z ′ = a d Z 1 − e − a d Z ( e − t a d Y X + Y ) = a d Z e a d Z − 1 ( X + e t a d X Y ) . {\displaystyle Z'={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}}~\left(e^{-t\,\mathrm {ad} _{Y}}X+Y\right)={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{e^{\mathrm {ad} _{Z}}-1}}~\left(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y\right). } 하지만, 그 이후로
a d Z = 통나무를 하다 ( 생략하다 ( a d Z ) ) = 통나무를 하다 ( 1 + ( 생략하다 ( a d Z ) − 1 ) ) = ∑ n = 1 ∞ ( − ) n + 1 n ( 생략하다 ( a d Z ) − 1 ) n , ‖ a d Z ‖ < 통나무를 하다 2 , {\displaystyle {\begin}\mathrm {ad_{Z}} &=\log \left(\exp \exp \left)(\exp \left(\mathrm {ad}_{Z}\right)\right)\right) \&=\sum \limits _{n=1}^{\inflat }{\frac {(-)^{n+1}{n}}}}(\exp)(\exp(\mathrm({ad} _{Z}-1)^{n},\quad \mathrmatrmatrmatrmet} _{n} _{n} _{n} _{n}_{d}_{n1},\log 2~,\,\d}}}}}}}}}} 메르카토르 시리즈 확장에 의한 마지막 단계, 그 뒤를 잇는다.
Z ′ = ∑ n = 1 ∞ ( − ) n − 1 n ( e a d Z − 1 ) n − 1 ( X + e t a d X Y ) , {\displaystyle Z'=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-)^{n-1}}{n}}\left(e^{\mathrm {ad} _{Z}}-1\right)^{n-1}~\left(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y\right)~,} (5 )
그리고, 따라서, 통합은,
Z ( 1 ) = ∫ 0 1 d t d Z ( t ) d t = ∑ n = 1 ∞ ( − ) n − 1 n ∫ 0 1 d t ( e t a d X e t a d Y − 1 ) n − 1 ( X + e t a d X Y ) . {\displaystyle Z(1)=\int _{0}^{1}dt~{\frac {dZ(t)}{dt}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-)^{n-1}}{n}}\int _{0}^{1}dt~\left(e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}-1\right)^{n-1}~\left(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y\right). } 이 시점에서 BCH 공식의 정성적 진술, 즉 Z Y (A) 의 시리즈로서 표현 가능하다. 각 k 에 대해, 각 칸막이에 대한 용어는 통합 ∫dt t 안 k −1 그 결과 Dynkin의 공식은 다음과 같다.
Z = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k ∑ s ∈ S k 1 i 1 + j 1 + ⋯ + i k + j k [ X ( i 1 ) Y ( j 1 ) ⋯ X ( i k ) Y ( j k ) ] i 1 ! j 1 ! ⋯ i k ! j k ! , i r , j r ≥ 0 , i r + j r > 0 , 1 ≤ r ≤ k . {\displaystyle Z=\sum _{k=1}^{{k-1}^{{k-1}}{k-1}}\sum _{s\in S_{k}}}{s\in{k}}}{1}{i_{1}+j_{1}+}+{k}}}}}}{k}}}}}}}}}}}{k}k}}}}}}}}}}}}}k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }}}{\frac {[X^{(i_{1}})} Y^{(j_{1})}\cdots X^{{(i_{k}})} Y^{(j_{k}})}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}! }}},\requency i_{r}\geq 0,\requency i_{r}+j_{r}>0,\requ 1\leq r\leq k.}
상세한 시리즈 확장이 포함된 유사한 증거는 Rossmann(2002) 을 참조한다.
콤비네이터 디테일 (5 k 1 로 변경하고 확장
d Z d t = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k + 1 { ( e a d t X e a d t Y − 1 ) k X + ( e a d t X e a d t Y − 1 ) k e a d t X Y } {\dplaystyle {\frac {dZ}}{dt}=\sum _{k=0}^{\frac {(1-1)^{k+1}}{{k+1}}}}}{\\frc(e^{\mathrm {ad} _{tX}}){tY}-1\right} ^{k}X+\왼쪽(e^{\mathrm {ad} _{tX}e^{\mathrm {ad} _{tY}-1\right) ^{k}e^{\mathrm {ad} _{tX}Y\오른쪽\}}} (97 )
권력 서열로 시리즈 확장을 간단하게 처리하려면 먼저 log(ee X Y )를 고려하십시오. 로그 시리즈 및 exp 시리즈는
통나무를 하다 ( A ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 k ( A − I ) k , 그리고 e X = ∑ k = 0 ∞ X k k ! {\displaystyle \log(A)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}{(A-I)}^{k},\quad {\text{and}}\quad e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k! }}} 각각 이것들을 조합하면 얻을 수 있다.
통나무를 하다 ( e X e Y ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 k ( e X e Y − I ) k = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 k ( ∑ i = 0 ∞ X i i ! ∑ j = 0 ∞ Y j j ! − I ) k = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 k ( ∑ i , j ≥ 0 , i + j > 1 ∞ X i Y j i ! j ! ) k . {\displaystyle \log \left(e^{X}e^{ Y}\오른쪽)=\sum _{k=1}^{{k=1}^{\inflat }{\frac {(-1)^{k+1}:{k}}{{k}}}}{\좌측(e^{X}e^{Y}-I\right)}}}} ^{k}=\sum _{k=1}^{\inflac {(-1)^{k+1}}}{k}}}{\sum _{i=0}^{\frac {X^{i}}{i! }}}\sum _{j=0}^{\inflt }{\frac{Y^{j}}{j! }}-I}\오른쪽) ^{k}=\sum _{k=1}^{\frac {(-1)^{k+1}}{{k+1}}}{k}}}{{k+1}}}\좌(\sum _{i,j\geq 0,i+j>1}^{\frac {X^{i}}} Y^{j}}{i!j! }}}\오른쪽)^{k} (98 )
이 되다
Z = 통나무를 하다 ( e X e Y ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 k ∑ s ∈ S k X i 1 Y j 1 ⋯ X i k Y j k i 1 ! j 1 ! ⋯ i k ! j k ! , i r , j r ≥ 0 , i r + j r > 0 , 1 ≤ r ≤ k , \displaystyle Z=\log \left(e^{X}e^{ Y}\오른쪽)=\sum _{k=1}^{{k=1}^{\in{k+1}}{{k}}}{s\in S_{k}{\x^{i_{1}}}}}} Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}} Y^{j_{k}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}! }}},\requency i_{r}\geq 0,\requency i_{r}+j_{r}>0,\requ 1\leq r\leq k,} (99)
여기서 S k (99년 2k 의 모든 시퀀스 i 1 ,j 1 , i k j k .
이제 (98 LHS 에서 (ee X Y (ee adtX adtY - 1)로 대체하십시오. 방정식(99)
d Z d t = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k + 1 ∑ s ∈ S k , i k + 1 ≥ 0 t i 1 + j 1 + ⋯ + i k + j k a d X i 1 a d Y j 1 ⋯ a d X i k a d Y j k i 1 ! j 1 ! ⋯ i k ! j k ! X + t i 1 + j 1 + ⋯ + i k + j k + i k + 1 a d X i 1 a d Y j 1 ⋯ a d X i k a d Y j k X i k + 1 i 1 ! j 1 ! ⋯ i k ! j k ! i k + 1 ! Y , i r , j r ≥ 0 , i r + j r > 0 , 1 ≤ r ≤ k , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k }}{\frac {{\mathrm {ad} _{X}}^{i_{1}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{1}}\cdots {\mathrm {ad} _{X}}^{i_{k}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{k}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}! }}X\\{}+{}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}}{\frac {{\mathrm {ad} _{X}}^{i_{1}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{1}}\cdots {\mathrm {ad} _{X}}^{i_{k}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{k}}X^{i_{k+1}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}! }}Y,\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}}>0,\quad 1\leq r\leq k,\end{arged}}}}}} 또는 표기법을 바꾸면 명시적 Baker-Campbell-Hausdorff 공식 을 참조한다.
d Z d t = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k + 1 ∑ s ∈ S k , i k + 1 ≥ 0 t i 1 + j 1 + ⋯ + i k + j k [ X ( i 1 ) Y ( j 1 ) ⋯ X ( i k ) Y ( j k ) X ] i 1 ! j 1 ! ⋯ i k ! j k ! + t i 1 + j 1 + ⋯ + i k + j k + i k + 1 [ X ( i 1 ) Y ( j 1 ) ⋯ X ( i k ) Y ( j k ) X ( i k + 1 ) Y ] i 1 ! j 1 ! ⋯ i k ! j k ! i k + 1 ! , i r , j r ≥ 0 , i r + j r > 0 , 1 ≤ r ≤ k . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k }}{\frac {\왼쪽[X^{(i_{1}})} Y^{(j_{1})}\cdots X^{{(i_{k}})} Y^{(j_{k}}}X\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}! }}\\{}+{}}{}&t^{i_{1}+j_{1}+{1}+\cdots +i_{k}+j_{k+1}:{\frac {\\frac{\[X^{{1}}}}}}}}} Y^{(j_{1})}\cdots X^{{(i_{k}})} Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1}}}} Y\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}! }}},\required i_{r},j_{r}\geq 0,\required i_{r}+j_{r}}>0,\req r\leq k\end{arged}}. } 두 번째 기간의 (97 e adtX 대한 합계 지수는 i k + 1시퀀스 요소 k Z = Z( 1) = ddZ / dttt , Z (0) = 0 을 사용하여 통합한다.
Z = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k + 1 ∑ s ∈ S k , i k + 1 ≥ 0 1 i 1 + j 1 + ⋯ + i k + j k + 1 [ X ( i 1 ) Y ( j 1 ) ⋯ X ( i k ) Y ( j k ) X ] i 1 ! j 1 ! ⋯ i k ! j k ! + 1 i 1 + j 1 + ⋯ + i k + j k + i k + 1 + 1 [ X ( i 1 ) Y ( j 1 ) ⋯ X ( i k ) Y ( j k ) X ( i k + 1 ) Y ] i 1 ! j 1 ! ⋯ i k ! j k ! i k + 1 ! , i r , j r ≥ 0 , i r + j r > 0 , 1 ≤ r ≤ k . {\displaystyle {\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})} Y^{(j_{1})}\cdots X^{{(i_{k}})} Y^{(j_{k}}}X\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}! }}\{}+{}{{}}&#{{{1}}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k+1}+1}:{\frac {\좌측[X^(i_{1})} Y^{(j_{1})}\cdots X^{{(i_{k}})} Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1}}}} Y\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}! }}},\required i_{r},j_{r}\geq 0,\required i_{r}+j_{r}}>0,\req r\leq k\end{arged}}. } 이것을 로 쓰시오.
Z = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k + 1 ∑ s ∈ S k , i k + 1 ≥ 0 1 i 1 + j 1 + ⋯ + i k + j k + ( i k + 1 = 1 ) + ( j k + 1 = 0 ) [ X ( i 1 ) Y ( j 1 ) ⋯ X ( i k ) Y ( j k ) X ( i k + 1 = 1 ) Y ( j k + 1 = 0 ) ] i 1 ! j 1 ! ⋯ i k ! j k ! ( i k + 1 = 1 ) ! ( j k + 1 = 0 ) ! + 1 i 1 + j 1 + ⋯ + i k + j k + i k + 1 + ( j k + 1 = 1 ) [ X ( i 1 ) Y ( j 1 ) ⋯ X ( i k ) Y ( j k ) X ( i k + 1 ) Y ( j k + 1 = 1 ) ] i 1 ! j 1 ! ⋯ i k ! j k ! i k + 1 ! ( j k + 1 = 1 ) ! , ( i r , j r ≥ 0 , i r + j r > 0 , 1 ≤ r ≤ k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+(i_{k+1}=1)+(j_{k+1}=0) }}{\frac {\왼쪽[X^{(i_{1}})} Y^{(j_{1})}\cdots X^{{(i_{k}})} Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1}=1)} Y^{(j_{k+1}=0) }\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!{k}!(i_{k+1}=1)!(j_{k+1}=0)! }}\{}+{}}&#{{{1}}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k+1}+{k+1}+(j_{k+1}=1) }}{\frac {\왼쪽[X^{(i_{1}})} Y^{(j_{1})}\cdots X^{{(i_{k}})} Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1}}}} Y^{(j_{k+1}=1) }}\오른쪽]{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!(j_{k+1}=1)! }}},\\\\\(i_{r},j_{r}\geq 0,\message i_{r}+j_{r}>0,\message 1\leq r\leq k). \end{정렬}}} 에 해당한다
Z = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k + 1 ∑ s ∈ S k + 1 1 i 1 + j 1 + ⋯ + i k + j k + i k + 1 + j k + 1 [ X ( i 1 ) Y ( j 1 ) ⋯ X ( i k ) Y ( j k ) X ( i k + 1 ) Y ( j k + 1 ) ] i 1 ! j 1 ! ⋯ i k ! j k ! i k + 1 ! j k + 1 ! , {\displaystyle Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k+1}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+j_{k+1}}}{\frac {\left[X^{(i_{1})} Y^{(j_{1})}\cdots X^{{(i_{k}})} Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1}}}} Y^{(j_{k+1}}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!j!j! _{k+1}!},} (100 )
여기 i r ,j r ≥ , i r j r , 1 ≤ r ≤ k 1 , displaystyle i_{r}\geq 0,\ quad i_{r}+j}}}>0 quad 1\leq r \leq k+1 즉, (100 j k + 10 이나 1 이 아니면 소멸하며, 앞의 방정식의 첫 번째 항과 두 번째 항에 해당한다. j k + 1 나 는 1 과k + 1i k + 10 은 허용되지 않는다).마지막으로 지수 k 1 ,
Z = 통나무를 하다 e X e Y = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k ∑ s ∈ S k 1 i 1 + j 1 + ⋯ + i k + j k [ X ( i 1 ) Y ( j 1 ) ⋯ X ( i k ) Y ( j k ) ] i 1 ! j 1 ! ⋯ i k ! j k ! , i r , j r ≥ 0 , i r + j r > 0 , 1 ≤ r ≤ k . {\displaystyle Z=\log e^{X}e^{ Y}=\sum _{k=1}^{\frac {(-1)^{k-1}}{{k-1}}}\sum _{s\in S_{k}}{{1}}}{{1}+j_\cdots +i_{k}+j_{k}_{k}_{k}+j_{k_{k}}}}{k}}}}}}}}{k_{k_{k_{k_{k_{k_{k}}}}}. }}}{\frac {\왼쪽[X^{(i_{1}})} Y^{(j_{1})}\cdots X^{{(i_{k}})} Y^{(j_{k}}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}! }}},~~i_{r},j_{r}\geq 0,~~i_{r}+j_{r}>0,~~1\leq r\leq k.}
이것은 Dynkin의 공식이다. (99)와의 현저한 유사성은 우연이 아니다. 딘킨-스페히트- 를 반영한다. 웨버 지도 는 그 공식의 원래, 다른, 파생의 기초가 된다.[15] 즉, 만약
X i 1 Y j 1 ⋯ X i k Y j k {\displaystyle X^{i_{1}} Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}} Y^{j_{k}}} 브래킷 시리즈로 표현할 수 있으며, 그 다음 반드시[18]
X i 1 Y j 1 ⋯ X i k Y j k = [ X ( i 1 ) Y ( j 1 ) ⋯ X ( i k ) Y ( j k ) ] i 1 + j 1 + ⋯ + i k + j k . {\displaystyle X^{i_{1}} Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}} Y^{j_{k}={\frac {\왼쪽[X^{(i_{1}})} Y^{(j_{1})}\cdots X^{{(i_{k}})} Y^{(j_{k}}\오른쪽]}{i_{1}+j_{1}+{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}. } (B )
관찰(A) B
참고 항목 ^ 그 신원에 대한 증거는 여기 서 찾을 수 있다. 광고 와 광고 는 모두 광고 = dAd 를 가진 표현이기 때문에 단순히 거짓말 그룹의 표현과 거짓말 통신 에 따른 거짓말 대수 사이의 관계일 뿐이다.^ 그것을 지탱하고 있다. τ ( 통나무를 하다 z ) ϕ ( − 통나무를 하다 z ) = 1 {\displaystyle \tau(\log z)\phi(-\log z)=1} z - 1 < 1의 경우, 여기서 τ ( w ) = w 1 − e − w . {\displaystyle \tau(w)={\frac {w}{1-e^{-w}}. } 여기서 τ ( − 1 ) k b k , {\displaystyle(-1)^{k}b_{k}}} 여기 k 베르누이 숫자 다.^ 이는 U 삼각형 이고 고유값이 대각선 원소가 되는 등 기본 벡터 공간의 기초를 선택함으로써 나타난다. 그 k λ i k U f (λ i . 1.2절의 Rosmann 2002 , Lema 6을 참조하라. ^ 고유값 λ π μ μ μ Rossmann(2002) Remark 2c 섹션 1.2를 참조한다. 메모들 참조 Dynkin, Eugene Borisovich (1947), "Вычисление коэффициентов в формуле Campbell–Hausdorff" [Calculation of the coefficients in the Campbell–Hausdorff formula], Doklady Akademii Nauk SSSR 57 : 323–326구글 책 으로부터의 번역.Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666 Miller, Wllard (1972), Symmetry Groups and their Applications , Academic Press, ISBN 0-12-497460-0 Poincaré, H. (1899), "Sur les groupes continus", Cambridge Philos. Trans. , 18 : 220–55Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9 Schur, F. (1891), "Zur Theorie der endlichen Transformationsgruppen", Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg , 4 : 15–32Suzuki, Masuo (1985). "Decomposition formulas of exponential operators and Lie exponentials with some applications to quantum mechanics and statistical physics". Journal of Mathematical Physics . 26 (4): 601–612. Bibcode :1985JMP....26..601S . doi :10.1063/1.526596 . Tuynman (1995), "The derivation of the exponential map of matrices", Amer. Math. Monthly , 102 (9): 818–819, doi :10.2307/2974511 , JSTOR 2974511 벨트만, M , ' t 후프트, 지앤드위트, B(2007 )"Lie Groups in Physics" 온라인 강의 . Wilcox, R. M. (1967). "Exponential Operators and Parameter Differentiation in Quantum Physics". Journal of Mathematical Physics . 8 (4): 962–982. Bibcode :1967JMP.....8..962W . doi :10.1063/1.1705306 . 외부 링크 
![{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}=e^{-sX}(-X){\frac {\partial }{\partial t}}e^{sX(t)}+e^{-sX}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[X(t)e^{sX(t)}\right]=e^{-sX}{\frac {dX}{dt}}e^{sX}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7d4da9cffa525e623864b300e4bdbde5d4f340)
![Z = \sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} \sum_{s \in S_{k}} \frac{1}{i_1 + j_1 + \cdots + i_k + j_k}\frac{[X^{(i_1)}Y^{(j_1)}\cdots X^{(i_k)}Y^{(j_k)}]}{i_1!j_1!\cdots i_k!j_k!}, \quad i_r,j_r \ge 0,\quad i_r + j_r > 0,\quad 1 \le r \le k.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee5e6dd7a60f58f79bcda6d231da1f65647d82a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}\\{}+{}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40360da0c5075c4d539b18b999c1b4d3606924aa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}\\{}+{}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b117d72210fbbc7f0cb95384d5a5e574da0cf8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+(i_{k+1}=1)+(j_{k+1}=0)}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1}=1)}Y^{(j_{k+1}=0)}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!(i_{k+1}=1)!(j_{k+1}=0)!}}\\{}+{}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+(j_{k+1}=1)}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y^{(j_{k+1}=1)}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!(j_{k+1}=1)!}},\\\\&(i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e68e1a5fbf40c1e3a560f3e6a88bf1cb9435a57)
![{\displaystyle Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k+1}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+j_{k+1}}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y^{(j_{k+1})}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!j_{k+1}!}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4bfdd024a8a804306320181f4acc75827ce6f6)
![{\displaystyle Z=\log e^{X}e^{Y}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},~i_{r},j_{r}\geq 0,~i_{r}+j_{r}>0,~1\leq r\leq k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41f424dcf7d0d127c141ca5076026e166d66d0d)
![{\displaystyle X^{i_{1}}Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}={\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}\right]}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c513467430f03db544dfbb19cb1d27adfc635e)
