운영 미적분학

연산 분석이라고도 하는 연산 미적분학은 분석의 문제, 특히 미분 방정식을 대수학 문제, 보통 다항 방정식을 푸는 문제로 변형되는 기법이다.

역사

연산자는 고트프리드 빌헬름 라이프니즈로 거슬러 올라가는 긴 역사를 가지고 있기 때문에 미적분, 분화, 통합의 과정을 대변한다는 발상. 수학자 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트는 이들 기호가 적용된 기능과 독립적으로 이들 기호를 조작한 최초의 사람 중 한 명이었다.^[1]

이 접근법은 편리한 공식을 개발한 프랑수아-조셉 서보아에 의해 더욱 발전되었다.^[2] 세르보아에는 찰스 제임스 하그리브, 조지 불, 보우닌, 카마이클, 더킨, 그레이브스, 머피, 윌리엄 스팟티스우드, 실베스터 등 영국과 아일랜드 수학자들이 그 뒤를 이었다.

일반 미분방정식과 부분 미분방정식에 대한 연산자 방법의 적용을 기술하는 논문은 1855년^[3] 로버트 벨 카마이클이, 1859년 부울이 작성했다.^[4]

이 기술은 물리학자인 올리버 허비사이드에 의해 1893년에 전신술에 관한 그의 연구와 관련하여 완전히 개발되었다.

[헤비사이드]는 그의 회로 연구 뒤에 있는 물리학에 대한 직관과 풍부한 지식으로 큰 지도를 받아, 지금 그의 이름에서 비롯된 조작 미적분을 개발했다.^[5]

당시 헤비사이드의 방법은 엄격하지 않았고, 그의 작품은 수학자들에 의해 더 이상 발전되지 않았다. 운용 미적분학에서는 에른스트 율리우스 버그, 존 렌쇼 카슨, 반네바르 부시의 충동으로 1910년 이후 선형 회로에서의 과도현상을 계산하기 위한 전기공학 문제에서 응용 분야를 처음 발견했다.

헤비사이드의 운영방법에 대한 엄격한 수학적 정당성은 라플라스 변환방법과 운영 미적분을 연관시킨 브로미치의 작업 후에야 나왔다(자세한 설명은 제프리스, 카슬로, 맥라클란의 저서 참조). 헤비사이드의 운영방식을 정당화하는 다른 방법들은 (카슨에 의해 행해진) 적분 방정식 기법이나 (노버트 비너에 의해 행해진) 푸리에 변환을 사용하여 1920년대 중반에 도입되었다.

1930년대에 폴란드 수학자 얀 미쿠시우스키에 의해 대수적 추론을 이용한 운영 미적분학에 대한 다른 접근법이 개발되었다.

노르베르트 비너(Nobert Wiener)는 1926년 운용 미적분학의 실존적 상태에 대한 검토에서 운용자 이론의 기초를 닦았다.^[6]

Hubiside의 훌륭한 작품은 수학적인 엄격함에 대한 가식조차 없는 순수히 휴리스틱한 것이다. 그것의 운영자는 전기 전압과 전류에 적용되는데, 이 전압은 불연속적일 수 있고 확실히 분석할 필요가 없다. 예를 들어, 그가 그의 운영자들을 시험해보는 가장 좋아하는 말뭉치 악마는 원점의 왼쪽으로 사라지고 오른쪽이 1인 기능이다. 여기에는 핀처링 방법의 직접적인 적용은 제외된다.

비록 Hubiside의 발전은 연산자의 순전히 수학적 이론의 현 상태에 의해 정당화되지는 않았지만, 그 타당성에 대한 실험적인 증거라고 할 수 있는 것이 상당히 많으며, 전기 기술자들에게는 매우 귀중한 것이다. 그러나 애매하거나 모순된 결과를 초래하는 경우도 있다.

원리

운용 미적분학의 핵심 요소는 연산자 p =로서 분화를 고려하는 것이다. d/dt 기능 작용 그런 다음 선형 미분방정식은 알려진 함수와 동일한 알 수 없는 함수에 작용하는 연산자 p의 "기능" $F (p)$ 형태로 재작성될 수 있다. 여기서 $F$ 는 연산자 p를 취하여 다른 연산자 $F (p$ )를 반환하는 것을 정의하고 있다 $.$ 그런 다음 $F$ 의 역 연산자를 알려진 함수에 작용하도록 하여 솔루션을 얻는다. 운용 미적분은 일반적으로 연산자 p와 단위 함수1의 두 기호로 구분된다. 그 사용의 연산자는 아마도 물리적인 것보다 수학적이고, 단위는 수학적인 것보다 더 물리적인 기능을 한다. Hubiside 미적분학의 연산자 p는 초기 시간 차별화 d/dt를 나타낸다. 또한 p가⁻¹ 통합의 작동을 나타내는 역수 관계를 이 운영자가 가지는 것이 바람직하다.^[5]

전기 회로 이론에서, 사람은 충동에 대한 전기 회로의 반응을 결정하려고 한다. 선형성 때문에 단위 단계를 고려해도 충분하다.

중량 계단 함수: H(t

)

= 0이면 0, 0(t)이면 H(t) = 1(t)과 같은

H

(t)은 0(t)이다.

운용 미적분학의 가장 간단한 적용 예는 다음과 같다: p $y$ = H $(t)$ 는 다음과 같다.

y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\operatorname {d} u=t\ H(t)

=

y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\operatorname {d} u=t\ H(t)

-

y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\operatorname {d} u=t\ H(t)

y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\operatorname {d} u=t\ H(t)

H

y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\operatorname {d} u=t\ H(t)

=

y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\operatorname {d} u=t\ H(t)

y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\operatorname {d} u=t\ H(t)

t

y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\operatorname {d} u=t\ H(t)

(

y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\operatorname {d} u=t\ H(t)

)

y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\operatorname {d} u=t\ H(t)

y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\operatorname {d} u=t\ H(t)

y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\operatorname {d} u=t\ H(t)

= ⁡

y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\operatorname {d} u=t\ H(t)

=

y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\operatorname {d} u=t\ H(t)

)

{\displaystyle

y

=\operatorname {p}^-1}H=\int _{0}^{

0}^{

t}H(u

)\

operatorname

{d}

u=t\

H(

t

이 예에서 $\operatorname {p} ^{-1}$ - $\operatorname {p} ^{-1}$ ${\$ 가 통합을 나타낸다는 $\operatorname {p} ^{-1}$ 것을 알 수 있다. 또한 $n개$ 의 반복된 통합은 $\operatorname {p} ^{-n},$ - $\operatorname {p} ^{-n},$ , $\operatorname {p} ^{-n$ 로 표시되므로 $\operatorname {p} ^{-n},$

\operatorname {p}^{-n}H(t)={\frac {t^{n}{n}}{n!}}}H(t)

p를 계속 변수처럼 취급하면서,

{\frac {p}{\\operatorname {p}{p} -a\}}}H(t)={\frac {1}{1-{\frac {a}{\opername {p}}}}}}}}}}{\operatorname {p}}}}}}H(t),},

기하학적 직렬 확장을 사용하여 다시 쓸 수 있는

{\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {a}{\operatorname {p} }}}}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\operatorname {p} ^{-n}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{n}t^{n}}{n!

}}}}H(t)=e^{at}H(t)}

.

부분분수분해법을 사용하면 연산자 p에 어떤 분수를 정의하고 $H (t)$ 에 대한 작용을 계산할 수 있다. 더욱이 함수 1/F(p)가 폼의 연속적인 확장을 갖는 경우

{\frac {1}{\ F(\operatorname {p} )\ }}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\operatorname {p} ^{-n}

{\frac {1}{\ F(\operatorname {p} )\ }}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\operatorname {p} ^{-n}

{\frac {1}{\ F(\operatorname {p} )\ }}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\operatorname {p} ^{-n}

=

{\frac {1}{\ F(\operatorname {p} )\ }}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\operatorname {p} ^{-n}

=

{\frac {1}{\ F(\operatorname {p} )\ }}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\operatorname {p} ^{-n}

{\frac {1}{\ F(\operatorname {p} )\ }}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\operatorname {p} ^{-n}

{\frac {1}{\ F(\operatorname {p} )\ }}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\operatorname {p} ^{-n}

{\frac {1}{\ F(\operatorname {p} )\ }}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\operatorname {p} ^{-n}

{\frac {1}{\ F(\operatorname {p} )\ }}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\operatorname {p} ^{-n}

-

{\frac {1}{\ F(\operatorname {p} )\ }}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\operatorname {p} ^{-n}

{\

}{

n

쉽게 찾을 수 있다.

){\displaystyle {\frac {

}}}H(t)}

.

이 규칙을 적용하면 어떤 선형 미분 방정식도 순수하게 대수학적 문제로 축소된다.

헤비사이드(Hubiside)는 더 나아가 p의 부분적인 힘을 정의하여 운용 미적분과 부분 미적분 사이의 연관성을 확립했다.

테일러 확장을 사용하면 라그랑주-부글 변환식 $ef a p (t)$ = $f (t + a)$ 도 확인할 수 있으므로 작동 미적분학은 유한차 방정식과 지연 신호의 전기공학 문제에도 적용할 수 있다.

참조

^ Louis Arbogast (1800) Du Calcul des Deparations, Google Books에서 링크
^ 프랑수아 요제프 세르보아(1814) 아논리스 초월체. Essai sur unnouveu Mode d'Exposition des Principle der Calcul different, Annales de Gergonne 5: 93–140
^ 로버트 벨 카마이클(1855) 운영의 미적분학 논문, 롱맨, 구글북스 링크
^ 조지 불 (1859) 미분방정식에 관한 논문, 16장 &17장: 상징적 방법, 하티트러스트의 링크
^ ^a ^b B. L. Robertson(1935) 회로 분석 운영 방법, 미국 전기 기술자 협회 거래 54(10):1035–45, IEEE 탐색 링크
^ 노르베르트 비너 (1926) 연산 미적분학, Matheatische Annalen 95:557, 괴팅겐 Digitalisierungzentrum의 링크

Terquem and Gerono (1855) Nouvelles Annales de Mathiques: 저널 des Kindasats aux écoles polytechnique et normale 14, 83 [카미차엘까지의 전구 작업에 대한 일부 역사적 참고 문헌]
O. Hubiside (1892) 런던 전기신문
O. Hubiside (1893년, 1899년, 1902년) 전자파 이론, 런던
O. 헤비사이드(1893) 프로크. 로이. Soc. (런던) 52: 504-529, 54: 105-143 (1894)
J. R. 카슨(1926) 불. 아머. 수학. Soc. 32, 43.
J. R. 카슨(1926) 전기회로 이론과 운용 미적분학, 맥그라우 힐).
H. Jeffreys (1927) Cambridge University Press의 운영 방법, 또한 인터넷 아카이브에서
H. W. 3월 (1927년) 불. 아머. 수학. Soc. 33, 311, 33, 492.
에른스트 버그 (1929년) 인터넷 아카이브를 통한 헤비사이드 운영 미적분, 맥그로우 힐
노르베르트 위너, 존 와일리 & 선스의 부록에 의한 Vannevar Bush (1929년) 운영회로 분석
H. T. 데이비스 (1936) 선형 연산자 이론 (Principia Press, Bloomington)
N. W. McLachlan (1941) Modern Operational Miculus (Macmillan)
H. S. Carslaw (1941) 응용 수학 옥스퍼드 대학 출판부의 운영 방법.
발타사르 반 데르 폴 & H. 브레머(1950) 작전 미적분 케임브리지 대학 출판부
B. 반데르 폴(1950년) 전기기술자연구소가 발표한 '헤비사이드 100주년 부피' "Heaviside's Operational Calculus"(Humber of Electric Engineers by Hubiside Cential Volume.
R. V. 처칠(1958) 운영 수학 맥그로힐
J. 미쿠신스키(1960) 작전 미적분학 엘시비에
Rota, G. C.; Kahaner, D.; Odlyzko, A. (1973). "On the foundations of combinatorial theory. VIII. Finite operator calculus". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 42 (3): 684. doi:10.1016/0022-247X(73)90172-8.
Jesper Lützen(1979) "Heaviside의 운영 미적분 및 이를 엄격하게 하려는 시도", 정확한 과학의 역사를 위한 기록 보관소 21(2): 161–200 doi:10.1007/BF00330405
Paul J. Nahin(1985) Oliver Hubiside, Fractal Operators and Age of the Earth, E-28(2): IEEE Discovery의 링크 94–104.
제임스 B. Calvert (2002) Hubiside, Laplace, Inversion Integrated, 덴버 대학교 출신.

외부 링크

IV 전자파 문제에 적용되는 린델 헤비사이드 운영 규칙
론 더플러 루비사이드의 미적분학
로제타 스톤에서 연산자 모어의 사용을 보여주는 잭 크렌쇼 에세이

[1] Louis Arbogast (1800) Du Calcul des Deparations, Google Books에서 링크

[2] 프랑수아 요제프 세르보아(1814) 아논리스 초월체. Essai sur unnouveu Mode d'Exposition des Principle der Calcul different, Annales de Gergonne 5: 93–140

[3] 로버트 벨 카마이클(1855) 운영의 미적분학 논문, 롱맨, 구글북스 링크

[4] 조지 불 (1859) 미분방정식에 관한 논문, 16장 &17장: 상징적 방법, 하티트러스트의 링크

[Rob35-5] B. L. Robertson(1935) 회로 분석 운영 방법, 미국 전기 기술자 협회 거래 54(10):1035–45, IEEE 탐색 링크

[6] 노르베르트 비너 (1926) 연산 미적분학, Matheatische Annalen 95:557, 괴팅겐 Digitalisierungzentrum의 링크

[1]

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