팰리-위너 정리

수학에서 Paley-Wiener 정리란 무한대의 함수나 분포의 붕괴 성질을 푸리에 변환의 분석성과 연관시키는 모든 정리다.이 정리는 레이먼드 페일리(1907–1933)와 노르베르트 비너(1894–1964)의 이름을 따서 명명되었다.원래의 이론들은 분포의 언어를 사용하지 않고 대신 사각형 통합 기능에 적용되었다.분포를 이용한 첫 번째 그러한 정리는 로랑 슈워츠 때문이었다.이러한 이론들은 (절대적 가치와 통합을 교환하기 위해) 삼각 불평등에 크게 의존한다.null

홀로모르픽 푸리에 변환

고전적인 Paley-Wiener 이론은 실제 라인에서 지원되는 사각형 통합 기능의 종류에 홀로모르픽 푸리에 변환을 사용한다.공식적으로, 아이디어는 (역방향) 푸리에 변환을 정의하는 필수 요소를 취하는 것이다.

${\displaystyle f(\zeta )=\int_{-\infit }^{\f(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

그리고 상부 하프 평면에서 ζ을 복잡한 숫자로 허용한다.그런 다음, Cauchy-Remann 방정식이 고정되어 있고, 따라서 f가 분석 함수를 정의하는지 검증하기 위해 적분 하에서 구별할 것으로 기대할 수 있다.그러나 이 적분은 L²(R)의 F에 대해서도 잘 정의되어 있지 않을 수 있다. 실제로 ζ은 상반면에 있기 때문에 e의^ixζ 계수는 $x{\displaystyle }$→ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ x$\rightarrow -\infit }$에 따라 기하급수적으로 증가하므로 적분 기호 하에서의 분화는 불가능하다.이 적분이 잘 정의되어 있는지 확인하기 위해서는 F에 추가적인 제한을 가해야 한다.null

첫 번째 그러한 제한사항은 R₊: 즉 F ∈ L²(R₊)에 대해 F가 지지된다는 것이다.팰리-위너 정리는 이제 다음과 같은 주장을 하고 있다.^[1]F의 홀로모르픽 푸리에 변환에 의해 정의된다.

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{0}^{\\f(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

상반면에서의 ζ은 홀로모르픽 함수다.더구나 플랑쉐렐의 정리로는 한 사람이 가지고 있다.

${\displaystyle \int _{-\infit _{-\infit _{-\infit }^{0}^{\infit _{2}\\\inft \f.}F(x) \{noth}\,dx}$

그리고 지배적인 융합에 의해

${\displaystyle \lim_{\eta \to 0^{+}\int_{-\not_}^{-\infit }\f(\xi +i\eta )-f(\xi )\오른쪽 ^{2}\d\xi =0.}$

반대로 f가 상부 하프 평면에서 만족하는 홀모픽 함수인 경우

${\displaystyle \sup _{\eta >0}\int_{-\\infit }^{\nothy}\왼쪽 f(\xi +i\eta )\right ^{2}\d\xi =C<\infty }$

그리고² L(R₊)에는 F의 홀로모르픽 푸리에 변환인 F가 존재한다.

추상적인 용어로 이 정리의 버전은 하디 공간 H²(R)를 명시적으로 설명한다.정리에는 다음과 같이 되어 있다.

${\displaystyle {\mathcal {F}H^{2}(\mathbf {R} )=L^{2}(\mathbf {R_{+}}).}$

이는 하디 공간의 함수의 푸리에 변환에 대한 한 번의 패스를 가능하게 하고 양축에서 지원되는 사각 통합 함수의 쉽게 이해되는 공간 L²(R₊)에서 계산을 수행할 수 있기 때문에 매우 유용한 결과물이다.null

F를 압축적으로 지지한다는 대안적 제한을 가함으로써, 또 다른 Paley-Wiener 정리를 얻는다.^[2]F가 [-A, A]에서 지원되므로 F ∈ L²(-A,A)이 있다고 가정한다.그리고 홀로모픽 푸리에 변환

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{-A}^{A}F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

지수 타입 A의 전체 함수로서, 다음과 같은 상수 C가 존재함을 의미한다.

$\displaystyle f(\zeta ) \leq Ce^{A \zeta }}$

또한, f는 수평선에 걸쳐 정사각형으로 통합할 수 있다.

${\displaystyle \int _{-\infit _{-\infit }f(\xi +i\eta ) ^{2}\,d\xi <\infit.}$

반대로 수평선에 대해 정사각형 통합이 가능한 지수형 A의 모든 기능은 [-A, A]에서 지원되는² L 함수의 홀로모르픽 푸리에 변환이다.null

슈워츠의 팰리-위너 정리

슈워츠의 Paley-Wiener 정리에서는 R에ⁿ 대한 콤팩트 지지 분포의 푸리에 변환이 C에ⁿ 대한 전체 함수이며 무한대로의 성장에 대한 추정치를 제시한다고 주장한다.로랑 슈워츠(1952)에 의해 증명되었다.여기에 제시된 공식은 Hörmander (1976) harvtxt 오류: no target: CITREFhörmander1976 (도움말).null

일반적으로 푸리에 변환은 모든 강화 분배에 대해 정의될 수 있다. 더욱이 콤팩트 서포트 v의 분배는 강화 분배다.v가 콤팩트 서포트(compact support)의 분포이고 f가 무한히 다른 함수라면 표현은

${\displaystyle v(f)=v(x\mapsto f(x))}$

잘 규정되어 있다.null

v의 푸리에 변환은 (일반적인 강화 분포와는 대조적으로) 다음 값에서 주어지는 함수임을 알 수 있다.

${\displaystyle {\v}=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}V\왼쪽(x\mapsto e^{-i\langle x,s\rangle }\오른쪽)}$

그리고 이 함수는 복합 공간ⁿ C에서 s의 값으로 확장될 수 있다.푸리에 변환을 복잡한 영역으로 확장하는 것을 푸리에-라플라스 변환이라고 한다.null

전체 함수 F의 추가 성장 조건은 분포 v에 규칙성 속성을 부과한다. 예를 들어,^[3]

v의 단일한 지지에 대한 좋은 통제력을 주는 더 날카로운 결과는 Hörmander (1990)에 의해 공식화되었다.특히^{n [4]}K는 R에 볼록한 콤팩트 세트로, 다음과 같이 정의되어 있으며, 지지함수 H를 가지고 있다.

${\displaystyle H(x)=\sup _{y\in K}\langle x,y\angle .}$

그 다음, 다음과 같은 상수 C의_m 순서와 상수 N이 있는 경우에만 v의 단수 지지대가 K에 포함된다.

${\displaystyle {\v}(\zeta ) \leq C_{m}(1+ \zeta )^{N}e^{H({\text{Im})(\zeta )}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle 임}$ (${\displaystyle \zeta }$ ) ${\displaystyle \le }$ m ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle +}$ + ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle${\$text{Im}(\zeta$) $\leq m\log(\$$zeta +$1).$}$

메모들

참조

• Hörmander, L. (1990), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer Verlag.
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157.
• Schwartz, Laurent (1952), "Transformation de Laplace des distributions", Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.], 1952: 196–206, MR 0052555
• Strichartz, R. (1994), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Yosida, K. (1968), Functional Analysis, Academic Press.