모레라의 정리

만약 모든 C를 따르는 적분이 0이라면, 그 다음 F는 D에서 홀로모르픽이다.

복잡한 분석에서, 지아신토 모레라의 이름을 딴 수학의 한 분야인 모레라의 정리는 어떤 기능이 홀로모르픽이라는 것을 증명하는 중요한 기준을 제시한다.

모레라의 정리에는 충족되는 복잡한 평면의 오픈 세트 D에 정의된 연속적이고 복잡한 값 함수 f가 명시되어 있다.

\point _{\put }f(z)\,dz=0

D의

\gamma

모든 닫힌 조각 C 곡선¹

\gamma

\gamma

은(는) D의 홀로모르픽이어야 한다.

모레라의 정리에 대한 가정은 d에 해독제를 갖는 것과 같다.

정리의 역은 일반적으로 사실이 아니다.어떤 사람이 추가적인 가정을 강요하지 않는 한, 홀로모르픽 함수는 그 영역에 반변성을 가질 필요가 없다.역은 예를 들어, 단순히 도메인이 연결되어 있다면, 이것은 코치의 적분 정리로서 닫힌 곡선을 따라 홀로모르픽 함수의 선 적분은 0이라고 명시한다.

표준 counterexample은 함수 $f (z)$ = $1/ z$ 로, C - {0}에서 홀로모르픽이다.C - {0}의 단순하게 연결된 주변 U에서 1/z는 $L (z)$ = $ln(r)$ + i $i$ 로 정의된 해독제를 가지고 있으며, $여기$ 서z = $re iθ$ .θ의 어떤 정수 배수의 추가까지 θ의 애매성 때문에, U에서 θ의 어떤 연속적인 선택은 U에서 1/z의 해독제를 정의하기에 충분할 것이다(왜 1/z가 전체 d에 해독제가 없는가의 근본이 되는 내부 원점을 포함하는 단순한 닫힌 곡선에서는 θ을 연속적으로 정의할 수 없다는 사실이다).Omain C - {0}.)그리고 가법 상수의 파생상품이 0이기 때문에 어떤 상수도 항변제에 첨가될 수 있고 여전히 1/z의 항변제일 수 있다.

어떤 의미에서 1/z counterexample은 보편적이다.그 영역에 해독제가 없는 모든 분석 기능에 대해, 그 이유는 1/z 그 자체가 C - {0}에 해독제가 없기 때문이다.

증명

a에서 b까지의 두 경로를 따라가는 통합은 동일하다. 그 차이는 닫힌 루프를 따라 통합되기 때문이다.

그 정리에 대해서는 비교적 초보적인 증거가 있다.하나는 명시적으로 f에 대한 반파생성을 구성한다.

일반성의 상실 없이 D가 연결되어 있다고 가정할 수 있다.Fix a point z₀ in D, and for any $z\in D$ , let $\gamma :[0,1]\to D$ be a piecewise C¹ curve such that $\gamma (0)=z_{0}$ and $\gamma (1)=z$ . Then define the function F to be

F(z)=\int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta.

는 기능은 명확한, 맞춰τ:[0,1]→ D{\displaystyle \tau:[0,1]\to D}은 또 다른piecewise C1곡선이 τ(0))z0{\displaystyle\tau(0)=z_{0}}과τ(1))z{\displaystyle \tau(1)=z}. 이 곡선 − 1{\displaystyle \gamma\tau ^{)}τ γ}을 보려면 자세한 내용은 곡선 결합이다. $\gamma$ $\tau$ ${\displaystyle$ $\$ $gamma}$ 이(가) 있고 $display$ {\ $displaystyle$ \tau $}$ 은 $\gamma$ (는) D의 닫힌 조각 C 곡선이다¹.그러면.

\int _{\put \f(\zeta )\,d\\zeta +\int _{-1}f(\zeta )\,d\\not_{\put \tau \1}{-1}f(\zeta)\,d\zeta =0.

그리고 그 뒤를 잇는다.

\int _{\put }f(\zeta )\,d\nt _{\tau }f(\zeta )\,d\\zeta.

그런 다음 f의 연속성을 사용하여 차이 인수를 추정하면 F′(z) = f(z)를 얻는다.만약 우리가 D에서 다른 z를₀ 선택했다면, F는 상수에 의해 변화할 것이다. 즉, 새로운 z와₀ 오래된 z 사이의 조각처럼 일정한 곡선을 따라 f를 통합한 결과일 것이고, 이것은 파생상품을 바꾸지 않는다.

f는 홀로모르픽 함수 F의 파생물이기 때문에 홀로모르픽이다.홀로모르픽 함수의 파생상품이 홀로모르픽이라는 사실은 홀로모르픽 함수가 분석적이라는 사실과 즉, 융합 파워시리즈로 대표될 수 있다는 사실과 파워시리즈가 용어에 따라 차별화될 수 있다는 사실을 이용하여 증명할 수 있다.이것으로 증거가 완성되었다.

적용들

모레라의 정리는 복잡한 분석에서 표준 도구다.그것은 홀로모르픽 함수의 비알제랄식 구조를 수반하는 거의 모든 논쟁에서 사용된다.

균일 한계

예를 들어, f₁, f₂, ...가 열린 디스크의 연속 함수 f에 균일하게 수렴되는 홀모픽 함수의 시퀀스라고 가정해 보자.카우치의 정리로는

\point _{C}f_{n}(z)\,dz=0

디스크의 닫힌 곡선 C를 따라 n마다.그렇다면 균일한 수렴은 다음을 함축하고 있다.

\point _{C}f(z)\,dz=\point _,{C}\lim \f_{n}(z)\,dz=\point _{C}f_{n}(z)\,dz=0

모든 닫힌 곡선 C에 대해, 따라서 Morera의 정리 f는 반드시 홀로모르픽이어야 한다.이 사실은 모든 개방된 SETΩ ⊆

C

에 대해 모든 경계 분석함수

u

: Ω →

C

의

설정

A

(Ω)

가 최상규범에 대한 바나흐 공간임을 보여주는 데 사용될 수 있다.

무한 총액 및 통합

또한 모레라의 정리는 푸비니의 정리 및 위어스트라스 M-검사와 연계하여 리만 제타 함수와 같이 합계 또는 적분으로 정의한 함수의 분석성을 보여줄 수 있다.

\zeta(s)=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {1}{n^{s}}}}}}}}}}

또는 감마 함수

\Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\nft }x^{\x^{\nalpha -1}e^{-x}\,dx.

구체적으로 보면 다음과 같다.

\point _{C}\Gamma(\alpha )\,d\alpha =0

적절한 닫힌 곡선 C에 대해 쓰기

\point _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =\point _{0}^{0}^{\nft }x^{\nfta -1}e^{-x}\,d\alpha }

그리고 후비니의 정리를 이용하여 통합의 순서를 바꾸는 것을 정당화함으로써

{\displaystyle \int_{0}^{0}^{\infit }\{C}x^{-x}\,d\alpha -1}e^{-x=\int_{0}^{0}{}e^{-x}\infit _{C}x^{}}\alpha -1}\dx.

그 다음 $α α α -1$ x x의 분석성을 이용하여 다음과 같은 결론을 내린다.

\point _{C}x^{\\alpha -1}\,d\alpha =0,

따라서 위의 이중 적분은 0이다.마찬가지로, 제타 함수의 경우, M-검정은 닫힌 곡선과 합계를 따라 적분을 교대하는 것을 정당화한다.

가설의 약화

모레라의 정리에 대한 가설은 상당히 약해질 수 있다.특히 일체형으로는 충분하다.

\point _{\partial T}f(z)\,dz

영역 D에 포함된 모든 닫힌(고체) 삼각형 T에 대해 0이 된다.이것은 실제로 홀로모피(holomorphy)를 특징으로 한다. 즉, f는 위의 조건이 지속되는 경우에만 D에서 홀로모픽이다.그것은 또한 앞에서 언급한 홀모픽 함수의 균일한 한계에 관한 사실의 일반화를 암시한다: f₁, f, ...가₂ Ω의 콤팩트 서브셋에서 균일하게 함수 f로 수렴되는 오픈 세트 Ω

⊆

C

에 정의된 홀모픽 함수의 시퀀스라면, f는 홀모픽이다.

참고 항목

참조

Ahlfors, Lars (January 1, 1979), Complex Analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000657-7, Zbl 0395.30001.
Conway, John B. (1973), Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, vol. 11, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90328-4, Zbl 0277.30001.
Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2006), Function Theory of One Complex Variable, Graduate Studies in Mathematics, vol. 40, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3962-4
Morera, Giacinto (1886), "Un teorema fondamentale nella teorica delle funzioni di una variabile complessa", Rendiconti del Reale Instituto Lombardo di Scienze e Lettere (in Italian), 19 (2): 304–307, JFM 18.0338.02.
Rudin, Walter (1987) [1966], Real and Complex Analysis (3rd ed.), McGraw-Hill, pp. xiv+416, ISBN 978-0-07-054234-1, Zbl 0925.00005.

외부 링크

"Morera theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Morera's Theorem". MathWorld.

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