스펙트럼 밀도

$시계열{\displaystyle }$x ( {$displaystyle$x ($t$ )의 전력$$ $스펙트럼{\displaystyle {}_{}}$ S ${\displaystyle x_{}}$( ${\displaystyle f}$ $displaystyle S_{x}$ ($f)}$는 해당 ^[1]신호를 구성하는 주파수 성분에 대한 전력 분포를 나타냅니다.푸리에 분석에 따르면 물리신호는 다수의 이산주파수 또는 연속범위에 걸친 주파수의 스펙트럼으로 분해될 수 있다.특정 신호 또는 신호 종류(노이즈 포함)의 통계 평균은 주파수 함량 측면에서 분석되는 스펙트럼이라고 불립니다.

신호의 에너지가 한정된 시간 간격에 집중되어 있는 경우, 특히 총 에너지가 유한한 경우에는 에너지 스펙트럼 밀도를 계산할 수 있습니다.더 일반적으로 사용되는 것은 전력 스펙트럼 밀도(또는 단순히 전력 스펙트럼)이며, 이는 모든 시간 또는 무한 시간 간격에 걸쳐 존재할 수 있을 만큼 충분히 큰 시간(특히 측정 지속 시간 관련)에 걸쳐 적용된다.전력 스펙트럼 밀도(PSD)는 단위 시간당 발견되는 스펙트럼 에너지 분포를 의미한다. 이러한 신호의 전체 에너지는 일반적으로 무한하기 때문이다.스펙트럼 성분의 합산 또는 적분은 (물리 프로세스에 대한) 총 전력 또는 (통계 프로세스에 대한) 분산을 산출한다. 이는 파스발의 ^[1]정리에 따라 시간 영역에 ${\displaystyle {걸쳐\mathrm{}}^{}}$x ${\displaystyle 2}$ ( t$)\displaystyle$ x$^{2}(t)$를 $적분함$으로써 얻을 수 있는 것과 동일하다.

물리적 $프로세스{\displaystyle }$ x$($ $t )$의 스펙트럼에는$x의$성질에 대한 필수 정보가 포함되어 있는 경우가 많습니다. 예를 들어, 악기의 음색과 음색은 스펙트럼 분석을 통해 즉시 결정됩니다.광원의 색상은 매우 높은 주파수로 변동하는 전자파 $전계{\displaystyle }$ E$t)\$style E$(t)$의 스펙트럼에 의해 결정됩니다.이와 같은 시계열에서 스펙트럼을 얻으려면 푸리에 변환과 푸리에 분석에 기초한 일반화가 필요합니다.많은 경우 분산 프리즘이 분광기에서 빛의 스펙트럼을 얻기 위해 사용되는 경우 또는 각각이 특정 주파수에 민감한 내이의 청각 수용체에 대한 영향을 통해 소리가 인식되는 경우 등 시간 영역은 구체적으로 사용되지 않는다.

단, 이 문서에서는 시계열이 알려진 상황(최소한 통계적 의미에서는) 또는 직접 측정된 상황(컴퓨터에 의해 샘플링된 마이크 등)에 초점을 맞추고 있습니다.전력 스펙트럼은 통계 신호 처리와 확률적 과정의 통계적 연구, 그리고 물리학과 공학의 많은 다른 분야에서 중요하다.전형적으로 과정은 시간의 함수이지만, 공간 ^[1]빈도의 관점에서 분해되는 공간 영역의 데이터에 대해 유사하게 논의할 수 있다.

설명.

시간에 따라 변화하는 변수로 나타낼 수 있는 모든 신호는 대응하는 주파수 스펙트럼을 가집니다.여기에는 가시광선(컬러로 인식), 음표(피치로 인식), 라디오/TV(주파수 또는 때로는 파장으로 지정), 심지어 지구의 규칙적인 회전과 같은 친숙한 실체가 포함됩니다.이러한 신호가 주파수 스펙트럼의 형태로 표시되면 수신 신호의 특정 측면 또는 이를 생성하는 기본 프로세스가 나타납니다.경우에 따라 주파수 스펙트럼은 사인파 성분에 대응하는 별개의 피크를 포함할 수 있다.또한 기본 피크의 고조파에 대응하는 피크가 있을 수 있으며, 단순한 사인파가 아닌 주기적인 신호를 나타낸다.또는 연속 스펙트럼은 공진에 따라 강하게 강화된 좁은 주파수 간격 또는 노치 필터에 의해 생성되는 거의 0의 전력을 포함하는 주파수 간격을 나타낼 수 있다.

물리학에서 신호는 전자파, 음향파 또는 메커니즘의 진동과 같은 파동일 수 있습니다.신호의 전력 스펙트럼 밀도(PSD)는 신호에 존재하는 전력을 단위 주파수당 주파수의 함수로 나타냅니다.전력 스펙트럼 밀도는 일반적으로 와트/헤르츠(W/Hz)^[2]로 표시됩니다.

예를 들어 신호가 전압으로만 정의되는 경우 명시된 진폭과 관련된 고유 전력은 없습니다.이 경우 "전력"은 단순히 신호의 제곱으로 계산됩니다. 이는 항상 해당 신호에 의해 주어진 임피던스로 전달되는 실제 전력에 비례하기 때문입니다.따라서 PSD에는 VHz⁻¹ 단위를² 사용할 수 있습니다.에너지 스펙트럼 밀도(ESD)는 단위가⁻¹ V s Hz일² 것이다. 왜냐하면 에너지는 전력 단위에 시간을 곱하기 때문이다(예: 와트시).^[3]

일반적인 경우 PSD의 단위는 주파수 단위당 분산 단위의 비율입니다. 따라서 예를 들어 시간 경과에 따른 일련의 변위 값(미터 단위)은 헤르츠당 미터 제곱² 단위(m/Hz)로 PSD가 됩니다.무작위 진동 분석에서 g Hz⁻¹ 단위는² 가속의 PSD에 자주 사용된다. 여기서 g는 ^[4]g-force를 나타낸다.

수학적으로 신호 또는 독립 변수에 물리적 치수를 할당할 필요는 없습니다.다음 설명에서는 x(t)의 의미는 지정되지 않은 상태로 유지되지만 독립 변수는 시간의 것으로 간주됩니다.

정의.

에너지 스펙트럼 밀도

에너지 스펙트럼 밀도는 신호 또는 시계열의 에너지가 주파수와 함께 어떻게 분포되는지를 나타냅니다.여기서 에너지라는 용어는 신호 ^[5]처리의 일반적인 의미에 사용됩니다. 즉, 신호 $)$의 $에너지{\displaystyle }$E(\$displaystyle$$$x$(t))$는 다음과$$ 같습니다.

${\displaystyle E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left x(t)\right ^{2}\dt}$

에너지 스펙트럼 밀도는 유한한 총 에너지를 갖는 과도현상, 즉 펄스 유사 신호에 가장 적합합니다.유한하든 아니든 파스발 정리^[6](또는 플랜체렐 정리)는 신호의 에너지에 대한 대체식을 제공합니다.

$\displaystyle \int _{-\infty }^{2},dt=\int _{-\infty}^{\infty}\left {\hat {x}(f)\right ^{2}\df,}$

여기서:

${\displaystyle {x}(f)\displayq \int _{-\infty }^{-i2\pi ft}x(t)\dt}$

는 $주파수{\displaystyle }$f{$displaystyle$ f$}($Hz)에서 x${\displaystyle (}$ $)$ {$displaystyle$ x$(t)}$의 푸리에 변환 값입니다.이 정리는 이산 시간의 경우에서도 성립한다.오른쪽 적분은 신호의 에너지이므로 ${\displaystyle {적분\stackrel{}{}}^{}}$ x${\displaystyle {\stackrel{}{}^}^{}}$ (${\displaystyle f^{}}$ ) ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$ ${{$^{$2}}$는 신호에 포함된 에너지를 $주파수{\displaystyle }$f {\$displaystyle$ f$\}$로 나타내는 밀도함수로 해석할 수 있습니다.따라서 에너지 스펙트럼 밀도는${\displaystyle x}$(${\displaystyle t}$ )$${$displaystyle$ x$(t)}$는 다음과 ^[6]같이 정의됩니다.

$함수{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ S${\displaystyle {\stackrel{}{}x}_{}{x}_{}}$ ( ${\displaystyle f}$) {$$$displaystyle$ ${S} _$ {$xx$$}$ ($f)}$ 와${\displaystyle }$x ( $t$)의$$ $자기$ 상관에 의해 푸리에 변환 쌍이 형성되며, 그 결과를 Wiener-Kinchin 정리(주기율 참조)라고 합니다.

신호의 에너지 스펙트럼 밀도를 측정하는 방법의 물리적인 예로서${\displaystyle }$V (${\displaystyle t}$ ) { $displaystyle V$( t )$$repres$$ 、 $임피던스{\displaystyle }$Z { $displaystyle$ Z$\}$의 전송선을 따라 전파되는 전기 펄스의 전위(볼트 단위)를 나타내며, 라인이 일치하는 저항으로 종단된다고 $가정$합니다.펄스 에너지는 저항기로 전달되고 반사되지 않습니다).옴의 법칙에 따라 $시간{\displaystyle }$t {\$displaystyle$ t$}$에서 저항기에 공급되는 전력은 V${\displaystyle ({t\mathrm{}}^{}}$2 /$$({$displaystyle$ V$(t)^2}/Z$와 같으므로 펄스 지속시간에 대해 V${\displaystyle ({t\mathrm{}}^{}}$2 /$$(\$displaystyle$ V$(t)^{2}/Z)$를 $통합$하여 총 에너지를 구합니다.$주파수{\displaystyle }$f(\$displaystyle$f$)$에서 에너지 $스펙트럼{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ 밀도 S${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{\mu }x}$($$f )(\$displaystyle {S}_{xx}(f)$의 값을 구하려면 전송 라인과 저항기 사이에 좁은 주파수 범위(\$displaystyle \Delta$f$)$를 통과시키는 밴드패스 필터를 삽입하십시오.관심 있는 y를 선택한 다음 저항기에 분산된 총 $에너지{\displaystyle }$ E${\displaystyle (f}$) {$displaystyle$ E$(f)}$를 측정합니다.전력 V(t)2/Z{\displaystyle V(t)^{2}/Z은 에너지 스펙트럼 밀도의 f{\displaystyle f}의 가치를 E(f)/Δ f{\displaystyle E(f)/\Delta f}. 이 예에서,으로 추정된다}이 단위의 V2Ω−1, 에너지는 E(f){E(f)\displaystyle}이 단위의 V2sΩ−1)J, 그리고 e.stima에너지 스펙트럼 밀도의 $Te{\displaystyle }$ E${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$) / ${\displaystyle f}$f \ $displaystyle$E ($f$ ) / \ $Delta$f 에는$$ 필요에 따라 J Hz⁻¹ 단위가 있습니다.대부분의 경우 에너지 스펙트럼 밀도가 V⁻¹ Hz의 단위를² 가지도록 Z$(\displaystyle$ Z$)$로 나누는 단계를 잊어버리는 것이 일반적입니다.

이 정의는 이산 $시간{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ n$$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$0${\displaystyle }$+ ( ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$t$$) {\$displaystyle$ t_${n$$}$ $=$ $t_{0}+(n,\Delta$ t$)$에 샘플링된 신호와 같이 셀 수 있을 정도로 무한한 수의 ${\displaystyle {값}_{}}$을 갖는 이산 신호로 일반화합니다.

${\displaystyle {S}_{x}(f)=\lim _{N\to\infty }(Delta t)^{2}\underbrace {왼쪽\sum _{n=-N}^{n}e^{-i2\pi fn,\Delta t}\{x}{x}\hat}{{{d}{d}{d}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 x${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^${\displaystyle {}_{}{d}_{}}$ (${\displaystyle }$f$$) { $displaystyle {x} _$ {$d}$ ($f$$)$ }는 x${\displaystyle {}_{}}$n .$${$style x_{n}$의 이산 시간 푸리에 변환입니다.} 표본$$ 추출 $간격{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$ $t$ \$displaystyle$ \ $Delta$t$$ }는 ${\displaystyle \mathrm{정확}}$한 물리적 단위를 유지하고 ${\displaystyle \delta }$ t${\displaystyle \mathrm{\to }}$0 . \$displaystyle$ \ $Delta t$ . $0$$$. }에서 연속 사례를 복구하기 위해 필요합니다. $그러나$ 수학 과학에서는 일반적으로 간격이 1로 설정되므로 결과가 단순해집니다$.$('정규화된 주파수'도 참조)

파워 스펙트럼 밀도

위의 에너지 스펙트럼 밀도에 대한 정의는 에너지가 한 시간 창 주위에 집중되는 과도현상(펄스 유사 신호)에 적합합니다. 그러면 신호의 푸리에 변환이 일반적으로 존재합니다.상시 연속 신호의 경우 정지 프로세스에 존재하는 Power Spectrum Density(PSD; 전력 스펙트럼 밀도)를 정의해야 합니다.이거는 앞서 설명한 간단한 예시와 같이 신호 또는 시계열의 전력이 주파수에 걸쳐 어떻게 분포되는지를 기술합니다.여기서 전력은 실제 물리전력일 수 있으며, 추상신호의 편의를 위해 신호의 제곱값으로 식별되는 경우가 많다.예를 들어, 통계학자들은 시간 $경과$에 따른 함수 x ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle t}$) {$displaystyle$x($t)}$ (또는 다른 독립 변수)의 분산을 연구하며, (다른 물리적 프로세스들 중에서도) 전기 신호와 유추하여 물리적 전력이 포함되지 않은 경우에도 이를 전력 스펙트럼이라고 부르는 것이 관례이다.${\displaystyle x}$( t$$) {$displaystyle$ x$(t)}$ 뒤에$$ $오는{\displaystyle }$ 물리적 전압 소스를 생성하여 1옴 저항의 단자에 적용하면 해당 저항에서 산란되는 순간 전력은 x${\displaystyle }$(${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}$2 {{$displaystyle$ x$(t)}{2}}$와트가 됩니다.

$따라서{\displaystyle }$ 신호 x${\displaystyle (}$ t$)$의 평균$$ $전력{\displaystyle }$ P$(\$$displaystyle$P$)$는 다음 시간 평균으로 지정됩니다. 여기서 T$(\displaystyle$ T$)$의 $주기$는 임의의 $시간{\displaystyle }$ t ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ 0$(\$ t$=t_{0$에 집중됩니다.

${\displaystyle P=\lim _{T\to\infty}{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2} x(t)^{2},dt}$

그러나 이후의 계산을 위해서는 적분 범위 내의 시간 제한보다 신호 자체의 시간 제한을 처리하는 것이 더 편리합니다.이와 같이 평균 전력의 대체 표현으로 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$(${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =x}$ (${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle {}_{}{T}_{}}$ ( $t$ )$$= x ( t )x ( t )$=$ x ( t ) w _ { $T }$$w$ w w T ( ${\displaystyle t_{}}$ )${\displaystyle {}_{}、}$ ${\displaystyle t}$ ( t$$$$)\ $display style$ w _ { $T$（ $t$） 。

${\displaystyle P=\lim _{T\to\infty}{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}(t)^{2},dt}$

P에 대한 위의 식이 0이 아닌 경우(T가 바운드 없이 성장하더라도) 적분 자체도 바운드 없이 성장해야 합니다.그렇기 때문에 에너지 스펙트럼 밀도 자체를 사용할 수 없습니다. 즉, 분산 적분입니다.

$신호{\displaystyle }$x ( ${\displaystyle t}$) \ $displaystyle$x ($t$ )$$^ (${\displaystyle f}$) \ $displaystyle {x}$ ($f)$}의 주파수 내용을 분석할 때 일반 푸리에 $변환{\displaystyle \stackrel{}{}}$ x${\displaystyle \stackrel{}{}^}$ ( f ) \ displaystyle {x} (f) }을(를) 계산할 수 있지만, 많은 관심 신호에서 푸리에 변환은 공식적으로 ^{[N 1]}존재하지 않습니다.그럼에도 불구하고, Parseval의 정리는 우리가 다음과 같이 평균 거듭제곱을 다시 쓸 수 있다는 것을 알려준다.

${\displaystyle P=\lim _{T\to\infty}{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty } {\hat {x}_{T}(f)^{2},df}$

그런 다음 파워 스펙트럼 밀도는 단순히 적분 및 ^[8][9]위와 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 x${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle T}$( f ) ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$( \ $displaystyle { x } _$ { $T$} _ { T （ $f ）^$ {$2$$}$ ) { ${\displaystyle {}_{}^{}}$($display{\displaystyle {}_{}^{}}$ （ - t$）$ \ $displaystyle x$_ { } 。$T}^{*}(-t)}$ $및$ ${\displaystyle T_{}}$ $)$ {\$displaystyle x_{T}(t)}$

${\displaystyle \left {x}_{T}(f)\right ^{2}=parammathcal {F}\left\{x_{}T}^{*}(-t)\mathbin {*} x_{T}(t)\right\}=\int _{-\infty}^{\infty}\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{\}T}^{*}(t-\tau)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau}\d\tau}$

위의 시간 분해능을 $주기{\displaystyle }$T(\$displaystyle$ T$)$로 나누어 한계를 T $→${\ \ $displaystyle$T \$rightarrow$ \ infty$$$\}$로 $하면{\displaystyle {}_{}}$ R ${\displaystyle x_{}}$(${\displaystyle }$${\displaystyle r}$ )$$\ $displaystyle$x${\displaystyle }$($t$ x ( t ) { x ( t ) { ${\displaystyle x}$ ( $risplay style$ r ) { x ( r ) { x ${\displaystyle {\_}_{}}$ t )$)$ {$displaystyle$ x$(t)}$가 에르고딕(ergodic)이며, 이는 모든 실제 ^[10]사례가 아닌 대부분의 경우에 해당된다.

$\displaystyle \lim _{T\to\infty}{\frac {1}{T}}\left {\hat {x}_{T}(f)\right ^{2}=\int _{-\infty }^{\infty}\left[\lim _{T\to\infty}{\frac {1}{\frac {1}T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\right }\d\lot =\int _{-\infty }{\infty }R_{x}(\tau)e^{-i2\pi f\right }d\lot }$

여기서 다시 x${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) {$displaystyle$ x$(t$의 에르고디시티를 가정하면 파워 스펙트럼 밀도는 자기상관함수의 푸리에 변환(Wiener-Kinchin 정리)으로 구할 수 있다.

많은 저자들은 실제로 전력 스펙트럼 ^[11]밀도를 정의하기 위해 이 등식을 사용한다.

특정 주파수${\displaystyle }$대역 [${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$2$]{displaystyle [f_{1},f_{2$서0 < < \ $display style$0 < $f$_ {$1}$ < $f$_ {2}） 에서의 신호의 전력은 주파수에 걸쳐 적분하여 계산할 수 있습니다.${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$(${\displaystyle }$-${\displaystyle f}$ ) $=$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$(${\displaystyle f}$ $){$ $displaystyle S_{xx}(-f$)=$S_{x}(f$이므로 동일한 전력량은 양의 주파수 대역과 음의 주파수 대역에 기인할 수 있습니다(이러한 사소한 요인은 사용되는 규칙에 따라 달라집니다).

${\displaystyle P_{\textsf {bandlimited}}=2\int _{f_{1}^{f_{2}}S_{x}(f),df}$

보다 일반적으로 유사한 기법을 사용하여 시간 변동 스펙트럼 밀도를 추정할 수 있다.이 경우 시간 $간격{\displaystyle }$ T$({style$ T$})$는 무한대에 근접하지 않고 유한합니다.따라서${\displaystyle }$1/$미만$의 주파수는 샘플링되지 않으며${\displaystyle }$1/$T의$$$배수가 아닌 주파수에서의 결과는 독립적이지 않기 때문에 스펙트럼 범위와 분해능이 감소한다.이러한 단일 시계열을 사용하면 추정 전력 스펙트럼은 매우 "소음"이 발생하지만${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle x}$( 또는 무한) \ $display style x$(t$$$)$ $평가$의 실현에 대응하는 많은 수의 단기 스펙트럼을 사용하여 (위 등식에서) 기대치를 평가할 수 있다면 이는 완화될 수 있다.지정된 기간 동안 업데이트되었습니다.

에너지 스펙트럼 밀도와 마찬가지로 전력 스펙트럼 밀도의 정의는 이산 시간 $변수{\displaystyle {}_{}}$ x$$(\$style$ $x_{n$로 일반화할 수 있다. 이전과 같이 이산 $시간{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ n (${\displaystyle \mathrm{디스플레이}}$ T$)$에서 샘플링된 ${\displaystyle \mathrm{신호}}$로 - $N$ n$$N \ $leq$n \ $leq$$$N 의 창을 고려할 수 있다.$총$ 측정 $기간{\displaystyle }$ T ${\displaystyle =}$ ( $2 N$ + 1$)$ ( $t$ \$displaystyle$ T$$$=$ ( $2$N + 1)의 $x_{$$}=$x_{0}+($n$$,\Delta$ t)},$\Delta$t$\}.$

${\displaystyle S_{x}(f)=\lim _{N\to\infty}{\frac {(\Delta t)^2}}{T}}\left \sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn,\Delta t}\right ^{2}}$

PSD의 단일 추정치는 한정된 수의 샘플링을 통해 얻을 수 있다.이전과 같이 실제 PSD는 N$${\$displaystyle$N}($$$따라서{\displaystyle }$T {\$displaystyle$T$\})$이 무한대에 가까워지고 기대치가 정식으로 적용되었을 때 $달성$됩니다.실제 응용 프로그램에서는 일반적으로 개별 측정의 기초가 되는 물리적 프로세스의 이론적인 PSD의 보다 정확한 추정치를 얻기 위해 많은 시험에서 유한 측정 PSD의 평균을 산출할 수 있다.이 계산된 PSD는 때때로 주기율이라고 불린다.이 주기율표는 추정치 수와 평균 시간 $간격{\displaystyle }$T {\$display$ T$}$가 무한대(Brown & Hwang)^[12]에 가까워짐에 따라 실제 PSD로 수렴됩니다.

두 신호가 모두 전력 스펙트럼 밀도를 갖는 경우, PSD가 자기 상관과 관련이 있으므로 교차 스펙트럼 밀도도 마찬가지로 계산할 수 있다.

파워 스펙트럼 밀도의 특성

PSD의 속성은 다음과 같습니다.^[13]

교차 전력 스펙트럼 밀도

2개의 ${\displaystyle \mathrm{신호}}$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ($$$displaystyle$ x$($${\displaystyle t}$$)}$$및$ y ( ${\displaystyle t}$$){$$displaystyle$ y$($$t$$)\}\{$$displaystyle S_{xx}($f$$)}${\displaystyle {및}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{Sy}(}$f$){displaystyle$S_${y}(f$displaystyle spectructional spectructional spectructional spectructional spectructional densular densoloral densular densional y(c)를 각각 ${\displaystyle {\mathrm{S\_c}}_{}}$)로 정의할 수 있습니다우선, 이러한 조합 신호의 평균 전력에 대해 생각해 보겠습니다.

$디스플레이 스타일P&=\lim _{T\to\infty}{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}+y_{T}(t)\right]dt\&=\lim{T\infty}{1}{fright} {fr}T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}(t)^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+y_{T}(t)^{2}dt\\end{aligned}}$

파워 스펙트럼 밀도 도출에 사용되는 것과 동일한 표기법과 방법을 사용하여, Parseval의 정리를 이용하여 다음을 얻는다.

$디스플레이 스타일S_{xy}(f)&=\lim _{T\to\infty}{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]&S_{yx}(f)&=\lim _{T\to\infty}{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}_{T}(f)\right]\end {aligned}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서도 S ${\displaystyle x_{}}$(${\displaystyle f}$ $){displaystyle S_{xx}(f)}$$및$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$($){displaystyle S_{y}(f)}$의 기여는 이미 이해되고 있습니다.${\displaystyle S_{}^{}}$ ${\displaystyle x_{}^{}}$ y ${\displaystyle {}_{}^{}}$ (${\displaystyle f}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$x (${\displaystyle f}$) { $displaystyle S_{xy}^{*}$ (f) $=$$S_{yx}(f$ 즉 교차 전력에 대한 완전한 기여는 일반적으로 개별 CPSD의 2배부터입니다.이전과 마찬가지로 이 곱을 시간 분해능의 푸리에 변환으로 다시 주조합니다. 시간 분해능의 푸리에 변환은 주기로 나누어 $한계{\displaystyle }$ T ${\displaystyle \to }$ δ$\displaystyle$ T$\to\infty$로 지정하면$$ 교차 변환 ^[15]함수의 푸리에 변환이 됩니다.

$디스플레이 스타일S_{xy}(f)&=int_{-\infty}^{\infty}\left[\lim_{T\to\infty}{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau)y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f}d\lict =\int _{-\infty }{\infty }R_{xy}(\tau)e^{-i2\pi f\lict}d_Y(xy)T}}\int _{-\infty}^{\infty}y_{T}^{*}(t-\tau)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\laugh}d\laugh =\int _{-\infty }R_{yx}(\tau)e^{-i2\pi f\laugh}\land {\land} 정렬$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 R ${\displaystyle x_{}}$y ( ${\displaystyle )}$ )$${ $display$ $R$$_$ { $xy$$}$ ( $tau$$$)는$$ x${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$$){$ $display x$ ($$$t$)와${\displaystyle }$y ( ${\displaystyle t}$ )의 $상호{\displaystyle }$ 상관 관계이며, $y x$ ( ${\displaystyle )}$)는${\displaystyle }$y$( tyle$ )의 $상호{\displaystyle }$ 상관 관계입니다$.$PSD는 x${\displaystyle (t)}$ $=$ ${\displaystyle y}($$t)$에 $대한{\displaystyle }$ CSD의 특수한 경우로 간주됩니다${\displaystyle .x(}$ t$)$ { $displaystyle x($$t$)}${\displaystyle }$및 ${\displaystyle y}$( t$)$ { $displaystyle y(t$)}는 전압 또는 전류 신호인 경우 $푸리에{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 변환 x$x) style$ {f hat}입니다.$스타일(\hat {y}}(f))$은 관례에 따라 엄격히 긍정적입니다.따라서 일반적인 신호 처리에서는 풀 CPSD는 2의 배수로 스케일링된 CPSD의 1개에 불과합니다.

${\displaystyle\operatorname{CPSD}_{\text{\text}Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)}$

이산 신호_n x와_n y의 경우 교차 스펙트럼 밀도와 교차 공분산 간의 관계는 다음과 같습니다.

$\displaystyle S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty}^{\infty}R_{xy}(\tau_{n})e^{-i2\pi f\display_{n},\Delta \delta }$

견적

스펙트럼 밀도 추정의 목표는 일련의 시간 샘플에서 무작위 신호의 스펙트럼 밀도를 추정하는 것이다.신호에 대해 알려진 내용에 따라 추정 기술은 파라미터 또는 비모수적 접근방식을 포함할 수 있으며 시간 영역 또는 주파수 영역 분석을 기반으로 할 수 있습니다.예를 들어, 일반적인 모수 기법에는 관측치를 자기 회귀 모형에 적합시키는 작업이 포함됩니다.일반적인 비모수 기법은 주기율입니다.

스펙트럼 밀도는 보통 푸리에 변환 방법(예: 웰치 방법)을 사용하여 추정되지만 최대 엔트로피 방법과 같은 다른 기법도 사용할 수 있다.

관련 개념

• 신호의 스펙트럼 중심은 스펙트럼 밀도 함수의 중간점, 즉 분포를 두 개의 동일한 부분으로 나누는 주파수이다.
• 신호의 스펙트럼 에지 주파수는 두 개의 동일한 부분 대신 이전 개념을 임의의 비율로 확장한 것입니다.
• 스펙트럼 밀도는 주파수의 함수이지 시간의 함수가 아니다.단, 긴 신호의 작은 창의 스펙트럼 밀도를 계산하여 창과 관련된 시간에 대해 플롯할 수 있다.이러한 그래프를 스펙트로그램이라고 합니다.이는 짧은 시간 푸리에 변환 및 웨이브릿과 같은 여러 스펙트럼 분석 기술의 기초입니다.
• "스펙트럼"은 일반적으로 위에서 설명한 바와 같이 주파수에 대한 신호 내용의 분포를 나타내는 전력 스펙트럼 밀도를 의미한다.이는 위상(또는 주파수의 함수로서 실제 및 가상 부분)을 포함하는 전송 함수의 주파수 응답과 혼동해서는 안 됩니다.전송 함수(예: Bode Plot, chirp)의 경우 전체 주파수 응답은 전력 대 주파수 및 위상 대 주파수의 두 부분, 즉 위상 스펙트럼 밀도, 위상 스펙트럼 또는 스펙트럼 위상(또는 전송 함수의 실제 및 가상 부분)으로 그래프로 나타낼 수 있습니다.(시간 영역 $내{\displaystyle }$) 임펄스 응답${\displaystyle }$h (${\displaystyle t}$) {$displaystyle$ h$(t$는 일반적으로 위상 함수 없이 파워 스펙트럼 밀도 부분에서만 고유하게 복구할 수 없습니다.이러한 쌍도 푸리에 변환 쌍이지만, 푸리에 변환을 실제 값으로 강제하는 대칭(자기 상관에 대한 대칭)은 없습니다.Ultrashort pulse #스펙트럼 위상, 위상 노이즈, 그룹 지연을 참조하십시오.
• 때로는 PSD의 제곱근인 진폭 스펙트럼 밀도(ASD)가 발생할 수 있습니다. 전압 신호의 ASD는 V^{−1/2 [16]}Hz의 단위를 가집니다.이것은 스펙트럼의 모양이 일정할 때 유용하다. 왜냐하면 ASD의 변화는 신호의 전압 수준 자체의 변동에 비례하기 때문이다.단, PSD를 사용하는 것이 수학적으로 바람직합니다.이 경우 모든 주파수 또는 지정된 대역폭에 대한 실제 전력 측면에서 의미가 있는 것은 곡선 아래의 영역뿐이기 때문입니다.

적용들

전기 공학

신호의 전력 스펙트럼의 개념과 사용은 전기 공학, 특히 무선 통신, 레이더 및 관련 시스템 및 수동 원격 감지 기술을 포함한 전자 통신 시스템에서 기본입니다.스펙트럼 분석기라고 불리는 전자기기는 신호의 전력 스펙트럼을 관찰하고 측정하는데 사용된다.

스펙트럼 분석기는 입력 신호의 단시간 푸리에 변환(STFT) 크기를 측정합니다.분석 대상 신호가 정지 과정으로 간주될 경우 STFT는 전력 스펙트럼 밀도의 적절한 평활 추정치입니다.

우주론

초기 우주의 밀도 변동인 원시 변동은 공간 규모의 함수로서 변화의 힘을 주는 힘 스펙트럼에 의해 수량화됩니다.

기후과학

전력 스펙트럼 분석은 기후 ^[17]연구를 위한 공간 구조를 조사하기 위해 사용되었다.이러한 결과는 대기 난류가 기후 변화와 기후 ^[18]조건의 국지적 변동성을 더 많이 연관시킨다는 것을 시사한다.

「 」를 참조해 주세요.

• 비스펙트럼
• 휘도 온도
• 노이즈 색상
• 최소 제곱 스펙트럼 분석
• 소음 스펙트럼 밀도
• 스펙트럼 밀도 추정
• 스펙트럼 효율
• 스펙트럼 누출
• 스펙트럼 전력 분포
• 약간의 가능성
• 창 기능

메모들

레퍼런스

외부 링크

• 파워 스펙트럼 밀도 Matlab 스크립트