햄버거 모멘트 문제

수학에서, 한스 루트비히 햄버거의 이름을 딴 햄버거 모멘트 문제는 다음과 같이 공식화된다: 순서(m₀₁, m, m₂, ...)가 주어진다면, 실제 라인에 양의 보렐 측정 μ(예를 들어, 무작위 변수의 누적분포함수에 의해 결정되는 측정)가 존재하는가?

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infit }^{}^{\x^{n}\,d\mu(x){\text{?}}}$

즉, 문제에 대한 긍정적인 대답은 (m₀, m₁, m₂, ...)이 어떤 양의 보렐 측정 μ의 모멘트의 순서라는 것을 의미한다.

스틸레트제스 모멘트 문제, 보로비예프 모멘트 문제, 하우스도르프 모멘트 문제는 비슷하지만 실선을 $[{\displaystyle 0,}$ + $){\displaystyle [0,+\inft )}($Stieltjes and Vorobyev; 그러나 보로비예프는 매트릭스 이론의 측면에서 문제를 형성한다) 또는 경계 구간(하우스도프)으로 대체한다.

특성화

햄버거 모멘트 문제는 (m_n)이 음이 아닌 정수에 해당하는 행클 커널이 있는 경우에만 해결 가능하다(즉, (m)는 모멘트의 연속이다).

${\displaystyle A=\left({\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots \\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots \\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}\right)}$

확실하다, 즉

${\displaystyle \sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}\geq 0}$

유한 지지(예: c_j = 0)의 모든 임의 시퀀스(c_j)_{j ≥ 0}에 대해(단순히 많은 j 값을 제외).

클레임의 "만일" 부분에 대해서는 다음과 같이 간단히 언급할 수 있다.

${\displaystyle \sum_{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{j}}}{\overline {c_{k}}}}=\int_{-\infit }^{j\geq 0}c_{j}x^{j}\오른쪽 ^{2}\dmu (x)}$

$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) 음이 아닌 경우 음이 아닌 경우.

우리는 반론을 위한 주장을 스케치한다.Z를⁺ 음이 아닌 정수로 하고 F₀(Z⁺)는 유한한 지지력을 가진 복합 가치 시퀀스 패밀리를 나타낸다.포지티브 Hankel 커널 A는 한정된 지지로 복합 값 시퀀스 계열에 sesquilinarious 제품을 유도한다.이것은 차례로 힐버트에게 공간을 준다.

${\displaystyle({\mathcal{H},\langle \,\;\angle )}$

그 대표적인 요소는 [f]로 표시된 동등성 등급이다.

e는_nn e(m) = Δ로_nm 정의된₀ F⁺(Z)의 원소가 되게 하라. 한 가지 주의할 점은 다음과 같다.

${\displaystyle \langle [e_{n+1},[e_{m}]\rangle =A_{m,n+1}=m_{m+n+1}=\langle [e_{n}],[e_{m+1}]\rangle .}$

따라서 T[e_n] = [e_{n + 1}]가 있는 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 "shift" 연산자 T는 대칭이다.

반면에 원하는 표현은

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\nft }^{\nft }x^{n}\,d\mu (x)}$

μ는 자가 적응 연산자의 스펙트럼 측정임을 시사한다(더 정확히 말하면 μ는 아래에 정의된$$ 연산자 $T{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${{\$와 벡터[1], (Led & Simon 1975, 페이지 145)에 대한 스펙트럼 측정이다).대칭 연산자 T가 x만큼 곱하기와 같은 "기능 모델"을 찾을 수 있다면, T의 자기 성찰 확장의 스펙트럼 분해능이 클레임을 증명한다.

함수 모형은 F₀(Z⁺)에서 다항식 계열까지의 자연 이형성에 의해 단일 실제 변수 및 복합 계수로 주어진다. n ≥ 0에 대해서는 e를_n x로ⁿ 식별한다. 모델에서 연산자 T는 x에 의한 곱셈과 밀도 있게 정의된 대칭 연산자다.T는 항상 자기자신 연장이 있음을 알 수 있다.T의 ${\$}을 그 중 하나로 하고$$ μ는 그 스펙트럼 측정으로 한다${\displaystyle \stackrel{}{.}}$그렇게

${\displaystyle \langle {\T}^{n}[1]\angle =\int x^{n}d\mu (x)}$

다른 한편으로는

${\displaystyle \langle {\langle {T}^{n}[1]\angle =\langle T^{n}[e_{0}],[e_{0}]\rangle =m_{n}.}$

Styletjes 통합만을 사용하는 존재에 대한 대체 증거는 또한,^[1] 특히 정리 3.2를 참조한다.

솔루션의 고유성

해답은 볼록한 세트를 형성하기 때문에, 문제는 무한히 많은 해답이나 독특한 해답을 가지고 있다.

(n + 1) × (n + 1) 행클 행렬을 고려하십시오.

${\displaystyle \Delta _{n}=\left[{\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{matrix}}\right].}$

A의 긍정은 각 n에 대해 det(Δ_n) ≥ 0을 의미한다. det(Δ_n)이 0이면 일부 n에 대해 det(Δ)이 0을 의미한다.

${\displaystyle({\mathcal{H},\langle \,\;\angle )}$

유한차원이며 T는 자기성격이다.그래서 이 경우에 햄버거 모멘트 문제에 대한 해결책은 독특하고 T의 스펙트럼 측정인 μ는 유한한 지지를 가지고 있다.

보다 일반적으로, 모든 n에 대해 m are cdnⁿ! (Led_n & Simon 1975, 페이지 205)과 같은 상수 C와 D가 있을 경우 해법은 독특하다.이것은 보다 일반적인 칼레만의 상태에서 나온 것이다.

솔루션이 고유하지 않은 예는 다음과 같다. 예를 들어,^[2]

추가 결과

이 구간은 확장이 필요하다.추가하면 도움이 된다. (2008년 6월)

햄버거 모멘트 문제가 실선의 직교 다항식과 밀접하게 연관되어 있음을 알 수 있다.Gram-Schmidt 절차는 운영자가 다음을 수행하는 직교 다항식의 기초를 제공한다.$'{\$에는 3각형 자코비 행렬이 표현되어 있다$$.이것은 결국 긍정적인 한켈 알맹이의 3각형 모델로 이어진다.

T의 Cayley 변환에 대한 명시적인 계산은 왼쪽 반면에 있는 분석 기능의 네바린나 등급과 연관성을 보여준다.비확정적 설정으로 넘어가면, 이것은 부분 등거리 확장의 파라메트리인 크레인 공식에 동기를 부여한다.

누적분포함수와 확률밀도함수는 종종 모멘트 생성함수에 역 래플라스 변환을 적용함으로써 찾을 수 있다.

${\displaystyle m(t)=\sum _{n=0}m_{n}{\frac{t^{n}}{n!}},}$

이 기능이 수렴할 경우.

참조

• Chihara, T.S. (1978), An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, Science Publishers, ISBN 0-677-04150-0
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Fourier Analysis, Self-Adjointness, Methods of modern mathematical physics, vol. 2, Academic Press, pp. 145, 205, ISBN 0-12-585002-6
• Shohat, J. A.; Tamarkin, J. D. (1943), The Problem of Moments, New York: American mathematical society, ISBN 0-8218-1501-6.