하디-리틀우드 타우베리 정리

수학적 분석에서 하디-리틀우드 타우베리아 정리는 시리즈 부분 합계의 점근법과 아벨 합계의 점근법을 연관시킨 타우베리안 정리다.이 형식에서, 정리는 만약 y ↓ 0과 같이 비음순 a가_n 무증상 등가성이 있는 경우라고 단언한다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\inflit }a_{n}e^{-ny}\sim {\frac {1}{y}}}}}}$

그리고 무증상 균등성도 있다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n}$

n → ∞로정리의 적분 제형은 함수의 누적분포함수의 점증요법과 라플라스 변환의 점증요법을 유사하게 연관시킨다.

이 정리는 1914년 G. H. 하디와 J. E. 리틀우드에 의해 증명되었다.^{[1]: 226} 1930년에 조반 카라마타는 새롭고 훨씬 간단한 증거를 제시했다.^{[1]: 226}

정리명세서

직렬 제형

이 공식은 Titchmarsh에서 만든 것이다.^{[1]: 226} 모든 n에 대해 0이 있다고_n 가정하고, x ↑1은 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{}a_{n}x^{n}\sim {\frac {1}{1-x}}.}$

그럼 n이 ∞으로 갈수록 우리는

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n.}$

정리는 때때로 등가 형태로 인용되기도 하는데, 여기서 where 0을_n 요구하는 대신_n a = O(1)를 요구하거나, 어떤 상수 K에 대해서는_n - -K를 요구한다.^{[2]: 155} 이 정리는 때때로 (변수 x = 1/e의^y 변화를 통해) 다른 동등한 공식으로 인용된다.^{[2]: 155} 만약, y ↓ 0처럼,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\inflit }a_{n}e^{-ny}\sim {\frac {1}{y}}}}}}$

그때

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n.}$

적분 제형

다음과 같은 더 일반적인 공식은 Feller에서 나온 것이다.^{[3]: 445} 경계 변동의 실제 값 함수 F : [0,197] → R을 고려한다.^[4]F의 라플라스-스티엘트제스 변환은 스틸트제스 적분으로 정의된다.

${\displaystyle \omega(s)=\int _{0}^{\infit }e^{-st}\,dF(t)}$

이 정리는 Ω의 점근법과 F의 점근법을 다음과 같이 연관시킨다.ρ이 음이 아닌 실수인 경우, 다음 문장은 등가한다.

• ${\displaystyle \omega(s)\sim Cs^{-\rho }},\quad {\rm {{as\}s\s\to 0}}}}$
• ${\displaystyle F(t)\sim {\frac {C}{\Gamma(\rho +1)}}{\rho }}}}}}\quad {\rm {{as\}t\t\ft\ft.}}}$

여기서 γ은 감마 함수를 나타낸다.t=n과 t=n+1 사이의$$ ρ = 1과 F(t) 값을 $\sum {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$의 값을 갖는 조각상수함수가 되도록 함으로써 시리즈에 대한 정리를 특수한 경우로 얻는다.

약간의 개선이 가능하다.천천히 변화하는 함수의 정의에 따라 L(x)는 무한도 iff에서 느리게 변화한다.

${\displaystyle {\frac {L(tx)}{L(x)}\to 1,\quad x\to \flt}$

모든 긍정적인 것에 대해L을 무한에서 천천히 변화하는 함수가 되게 하고 ρ 음이 아닌 실제 숫자로 한다.그렇다면 다음 진술은 동일하다.

• ${\displaystyle \omega(s)\sim s^{-\rho }L(s^{-1}),\quad {\rm {{as\}s\s\to 0}}}}$
• ${\displaystyle F(t)\sim {\frac {1}{\Gamma(\rho +1)}{\rho }L(t)}}^{\rm {{as\}t\flt\t\t\ft.}}}$

카라마타의 증거

카라마타(1930) 하브텍스트 오류: 대상 없음: CITREFKaramata1930(도움말)은 다음과 같은 함수 g를 고려하여 정리의 짧은 증거를 찾아냈다.

${\displaystyle \lim _{x\오른쪽 화살표 1}(1-x)\sum a_{n}x^{n}g(x^{n})=\int _{0}^{1}g(t)dt}$

간단한 계산을 통해 모든 단항 g(x)=x가^k 이 속성을 가지고 있다는 것을 알 수 있으며, 따라서 모든 다항식 g도 마찬가지라는 것을 알 수 있다.위아래에서 나오는 다항식(Weierstrass 근사정리 및 약간의 여분의 퍼딩 사용)에 의해 단순(스텝) 불연속성을 갖는 함수 g로 확장될 수 있으며 계수 a가_n 양수라는 사실을 사용할 수 있다.특히 1/e<1>과 0이 다른 방법으로 이 속성을 가지고 있는 경우 g(t)=1/t가 제공하는 기능이다.그러나 x=e의^−1/N 경우 σaxg(_nⁿxⁿ)의 합은₀ a+...+a_N, 그리고 g의 적분은 1이며, 여기에서 하디-리틀우드 정리가 즉시 뒤따른다.

예

비양성 계수

계수가 음수가 아닌 조건 없이 정리가 실패할 수 있다.예를 들어, 함수

${\displaystyle {\frac {1}{{1+x)^{2}(1-x)}=1-x+2x^{2}-2x^{3}+3x^{4}-3x^{5}+\cdots }}}$

x가 1의 경향이 있기 때문에 1/4(1~x)에 점근성이 있지만, 계수 부분합은 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4...이며 어떤 선형함수에도 점근성이 없다.

리틀우드의 타우버 정리 확장

1911년 리틀우드는 타우버가 아벨의 정리에 대해 말하는 것의 확장을 증명했다.리틀우드는 다음과 같은 것을 보여주었다.a_n = O(1/n), x ↑ 1이면

${\displaystyle \sum a_{n}x^{n}\to s,}$

그때

${\displaystyle \sum a_{n}=s.}$

이는 역사적으로 하디-리틀우드 타우베리안 정리 이전에 나왔지만, 이를 단순하게 적용한 것으로 증명할 수 있다.^{[1]: 233–235}

소수 정리

1915년 Hardy와 Littlewood는 그들의 tauberian 정리에 기초하여 소수 정리의 증거를 개발했다; 그들은 증명했다.

${\displaystyle \sum \{n=2}^{\inflit }\Lambda (n)e^{-ny}\sim {\frac {1}{y}},}$

여기서 λ은 von Mangoldt 함수를 말하며, 그리고 나서 결론을 내린다.

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\Lambda (n)\sim x,}$

소수 정리의 ^{[5]: 34–35 [6]: 302–307} 등가 형식리틀우드는 1971년에 이 타우베리안 정리에 기초하여 더 간단한 증거를 개발했다.^{[6]: 307–309}

메모들

외부 링크

• "Tauberian theorems", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Hardy-Littlewood Tauberian Theorem". MathWorld.