크리스토펠 기호

수학과 물리학에서 크리스토펠 기호는 미터법의 연결을 설명하는 숫자의 배열입니다.^[1]메트릭 연결은 메트릭이 부여된 표면 또는 다른 다양체에 대한 아핀 연결의 전문화로 해당 표면에서 거리를 측정할 수 있습니다.미분기하학에서, 아핀 연결은 메트릭을 참조하지 않고 정의될 수 있으며, 많은 추가적인 개념들이 뒤따릅니다: 평행 수송, 공변 도함수, 측지학 등 또한 ^[2]^[3]메트릭의 개념을 필요로 하지 않습니다.그러나 메트릭을 사용할 수 있을 때 이러한 개념은 매니폴드 자체의 "모양"에 직접 연결될 수 있습니다. 그 모양은 접선 공간이 메트릭 ^[4]텐서에 의해 코탄젠트 공간에 어떻게 부착되는지에 따라 결정됩니다.추상적으로, 어떤 사람은 다양체가 연관된(정규한) 프레임 번들을 가지고 있으며, 각 "프레임"은 좌표 프레임의 가능한 선택이라고 말할 것입니다.불변 메트릭은 프레임 번들의 구조 그룹이 직교 $그룹$ O $(p,$ q)임을 의미합니다.결과적으로, 그러한 다양체는 반드시 (의사-) 리만 ^[5]^[6]다양체입니다.크리스토펠 기호는 다양체 상의 좌표 측면에서 (의사-) 리만 기하학의 연결을 구체적으로 표현합니다.그 다음 평행 수송, 측지선 등과 같은 추가 개념을 크리스토펠 기호로 표현할 수 있습니다.

일반적으로 주어진 메트릭 텐서에 대해 무한한 수의 메트릭 연결이 있지만 비틀림이 없는 고유한 연결인 Levi-Civita 연결이 있습니다.물리학과 일반 상대성 이론에서는 비틀림이 사라지는 좌표계(홀로노믹 좌표라고 함)에서 작업함으로써 레비-시비타 연결을 거의 독점적으로 사용하는 것이 일반적입니다.예를 들어, 유클리드 공간에서 크리스토펠 기호는 국소 좌표 기저가 점에서 점으로 어떻게 변하는지를 나타냅니다.

기본 n차원 다양체의 각 점에서, 그 점 주위의 임의의 국소 좌표계에 대하여, 크리스토펠 기호는 i, $j,$ $k$ = $1, 2, ...,$ $n$ 에 $대하여$ $Ω$ 으로 표시됩니다. 이 $n$ × $n$ × $n$ 배열의 각 원소는 실수입니다.다양체의 선형 좌표 변환에서는 크리스토펠 기호가 텐서의 구성 요소처럼 변환되지만 일반 좌표 변환(이형화)에서는 그렇지 않습니다.크리스토펠 기호의 대수적 성질의 대부분은 이들의 관계에서 아핀 연결로 이어집니다. 구조군이 $직교군$ O $(m, n$ )(또는 일반 상대성 이론의 경우 $로렌츠군$ O $(3, 1))$ 라는 사실로부터 소수만이 이어집니다.

크리스토펠 기호는 실제 계산을 수행하는 데 사용됩니다.예를 들어, 리만 곡률 텐서는 전적으로 크리스토펠 기호와 그들의 첫 번째 부분 도함수로 표현될 수 있습니다.일반 상대성 이론에서 연결은 중력장의 역할을 하며 상응하는 중력 퍼텐셜은 메트릭 텐서입니다.좌표계와 메트릭 텐서가 어느 정도 대칭을 공유할 때 $Δ$ 의ⁱ_jk 많은 수는 0입니다.

크리스토펠 상징들은 엘윈 브루노 크리스토펠 (1829–1900)^[7]의 이름을 따서 지어졌습니다.

메모

아래에 제시된 정의는 일반 상대성 이론과 같은 리만 다양체와 의사 리만 다양체 모두에 유효하며, 상위 지수와 하위 지수(대변 지수 및 공변 지수) 사이에서 신중하게 구별됩니다.공식은 별도의 언급이 없는 한 부호 규약 중 하나를 유지합니다.

이 기사에서는 굵은 글씨체로 표시된 벡터와 함께 아인슈타인 합 표기법이 사용됩니다.좌표 기반으로 표현된 레비-시비타 연결(또는 의사-리만 연결)의 연결 계수를 크리스토펠 기호라고 합니다.

예비 정의

$i$ = $1, 2, ...,$ $n$ 에 $대하여$ , 접선 벡터가 주어졌을 때

\mathbf {e} _{i}={\frac {\bold 기호 {\bold 기호 {\bold 기호 {\bold 기호 {\bold }}}={\bold 기호 {\bold }_{i},\bold i=1,\,2,\,\bold 기호\,\n

영역의 각 점에서 M에

대한

접선 공간의

좌표계 i

x에 대해 국소 기저라고 하는 것을 정의합니다.이들은 메트릭 텐서를 정의하는 데 사용될 수 있습니다.

g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}

여기서 스칼라 곱은 의사/리만 구조에서 나옵니다. 그리고 그 역:

g^{ij}=\left(g^{-1}\right)_{ij

이를 사용하여 이중 기저를 정의할 수 있습니다.

\mathbf {e} ^{i}=\mathbf {e} _{j}g^{ji},\message i=1,\,2,\,\message,\n

일부 텍스트는 $\mathbf {e} _{i}$ {\ $displaystyle \mathbf {e} _{i$ 에 대해 $\mathbf {g} _{i}$ {\ $displaystyle \mathbf {g}$ _{ $i}}$ 을(를) 쓰므로 메트릭 텐서가 특히 까다로운 $g_{ij}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}$ 인 $g_{ij}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}$ j = $g_{ij}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}$ ⋅ $g_{ij}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}$ $g_{ij}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}$ {\ $displaystyle g_{ij$ }=\ $mathbf {g}$ _{ $i}\cdot \mathbf {g}$ _ ${j$ 를 사용합니다.이 규칙은 또한 $e_{i}$ $e_{i}$ {\ $displaystyle e_{i}$ 을 $e_{i}$ (를) 분명하게 사용하도록 합니다.

유클리드 공간에서의 정의

유클리드 공간에서, 두 번째 종류의 크리스토펠 기호에 대해 아래에 주어진 일반적인 정의는 다음과 같음을 증명할 수 있습니다:

{\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {\display \mathbf {e} _{i}}\cdot \mathbf {e}^{k}={\frac {\displaystyle \mathbf {e} _{i}}\cdot g^{km}\mathbf {e}_{m

첫 번째 종류의 크리스토펠 기호는 지수를 낮추면 찾을 수 있습니다.

\Gamma _{kij} = {\Gamma ^{m}}_{ij}g_{flag}={\frac {\displaystyle \mathbf {e} _{i}}{\displayx^{j}}\cdot \mathbf {e} ^{m}g_{flag}={\frac {\displaystyle \mathbf {e} _{i}{\displaystyle \mathbf {e} _{k}}\cdot \mathbf {e} _{k

재배열하면 (편도함수가 접선 공간에 속한다고 가정하고, 비유클리드 곡선 공간에서는 발생할 수 없음) 다음을 알 수 있습니다.

{\frac {\display \mathbf {e} _{i}}{\displayx^{j}}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}=\Gamma _{kij}\mathbf {e}^{k

Christofel 기호로 표시된 배열은 점에서 점으로 기본이 어떻게 변하는지 추적합니다.만약 도함수가 접공간 위에 놓여 있지 않다면, 올바른 표현은 접공간 위에 도함수를 투영하는 것입니다(아래 공변 도함수 참조).두 번째 종류의 기호는 기저에 대한 변화를 분해하고, 첫 번째 종류의 기호는 이중 기저에 대한 변화를 분해합니다.이 형태에서는 하위 또는 마지막 두 지수의 대칭을 쉽게 볼 수 있습니다.

{\Gamma^{k}}_{ij}={\Gamma^{k}_{ji}

\mathbf {e} _{i}

ei

\mathbf {e

_

{i}}

의 정의와 (다양체와 좌표계가 잘 작동하는 한) 부분 도함수가 통근한다는 사실로부터

\Gamma _{kij}=\Gamma _{kji},

\Gamma _{kij}=\Gamma _{kji},

j =

\Gamma _{kij}=\Gamma _{kji},

\Gamma _{kij}=\Gamma _{kji},

{\

displaystyle \Gamma

_{

kji}

= \

Gamma

_

{kji

}}.

두 번째 종류의 크리스토펠 기호에 대한 동일한 숫자 값은 다음 식에서 볼 수 있듯이 이중 기저의 도함수와도 관련이 있습니다.

{\frac {\display \mathbf {e} ^{i}}{\displayx^{j}}=-{\Gamma ^{i}_{jk}\mathbf {e} ^{k}

다음과 같이 재배열할 수 있습니다.

{\Gamma ^{i}}_{jk}=-{\frac {\display \mathbf {e}^{i}}{\displayx^{j}}}\cdot \mathbf {e}_{k}

일반정의

제1종 크리스토펠 기호.

제1종의 크리스토펠 기호는 제2종의 크리스토펠 기호와 ^[8]미터법 중 하나에서 파생될 수 있고,

\Gamma _{cab}=g_{cd}{\Gamma ^{d}}_{ab}\..

측정 기준으로만 ^[8]봤을 때

\Gamma _{cab}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\cab}{\cb}}+{\frac {\cb}}{\cb}}-{\frac {\cb}}{\cb}}\right)={\frac {1}{2}\,\left(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c}\right)={\frac {1}{2}}\,\left(\cb_g_{cb}+\right)={\frac {1}{2}}\,\left(\cb}g_{cb}-\right)\,

대안적인 표기법으로서 또한^[7]^[9]^[10] 발견됩니다.

\Gamma _{cab}=[ab,c.

주목

할

점

은

[ab,

c]

= [ba,

c]

입니다

.

두 번째 종류의 크리스토펠 기호(대칭 정의)

두 번째 종류의 크리스토펠 기호는 Levi-Civita 연결의 연결 계수(좌표 기준)입니다.즉, 두 번째^[12]^[13] 종류인 $Δ k ij$ (때로는 $Δ k ij$ 또는 ${}) k ij$ ^[7]^[12]의 크리스토펠 기호는 다음과 같은 고유 계수로 정의됩니다.

\nabla _{i}\mathrm {e} _{j}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathrm {e} _{k}

여기서 ∇는 좌표

방향

e(즉, ∇

≡ ∇)로 취한

M

의 레비-시비타 연결이고,

여기

서 e = ∂는 국소 좌표(홀로노믹스) 기저입니다.이 연결은 비틀림이 없고, 홀로노믹 벡터 필드가 통근하기 때문에 (즉

[e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0

[

[e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0

[e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0

[e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0

= [ ∂ i

[e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0

∂

[e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0

] =

[e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0

{\

displaystyle [e_{i

},

e_{j

}] = [\displaystyle [

e_{

i},\

display_{

i},\

display_

{j}]=

0

을 갖습니다.

\nabla _{i}\mathrm {e} _{j}=\nabla _{j}\mathrm {e} _{i}}

따라서 이 기준에서 연결 계수는 ^[12]대칭입니다.

{\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}

이러한 이유로 비틀림이 없는 연결을 흔히 대칭이라고 합니다.

크리스토펠 기호는 미터법 $텐서 ik$ g의 공변 도함수의 소실로부터 유도될 수 있습니다.

{\displaystyle 0=\nabla _{l}g_{ik}={\frac {\namba g_{ik}}-g_{mk}{\gamma ^{m}}_{{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}={\frac {\namba g_{k}}-2g_{m(k)}{\gamma ^{m}}_{i}}}.

축약 표기법으로 나블라 기호와 편미분 기호를 자주 삭제하고, 대신 세미콜론과 쉼표를 사용하여 도함수에 사용되는 색인을 표시합니다.따라서, 위의 내용은 때때로 다음과 같이 적습니다.

{\displaystyle 0=\,g_{ik;l}=g_{ik,l}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}}.

아래 두 지수에서 기호가 대칭이라는 것을 사용하면 지수를 퍼뮤테이션하고 다시 ^[11]합함으로써 메트릭 텐서의 함수로 크리스토펠 기호를 명시적으로 풀 수 있습니다.

{\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\fac {\fac g_{ml}}{\fac {\fac x^{k}}-{\fac {\fac g_{kl}}-{\fac {\fac x^{m}}\right)={\frac {1}{2}g^{im}\left(g_{fac,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}\right),

여기서 ( $g)$ 는 행렬 $(g)$ 의 역이며, (크로네커 델타와 아인슈타인 표기법을 사용하여) $gg$ = δ로 정의됩니다. 크리스토펠 기호는 지수 표기와 함께 텐서와 같은 표기법으로 쓰이지만, 좌표 변화에 따라 텐서처럼 변형되지는 않습니다.

지수수축

하위 지수(대칭인 지수) 중 하나를 사용하여 상위 지수를 수축시키면 다음과 같이 됩니다.

{\Gamma^{i}}_{ki}={\frac {\display}{\displayx^{k}}\ln{\sqrt {g}

g=\det g_{ik}

서 g =

g=\det g_{ik}

g=\det g_{ik}

{\displaystyle

g =\

det

g_

{ik}

는 메트릭 텐서의 결정 계수입니다.이 아이덴티티는 벡터의 발산을 평가하는 데 사용될 수 있습니다.

비홀로믹 기준에서의 연결 계수

크리스토펠 기호는 가장 일반적으로 좌표 기준으로 정의되며, 이는 여기서 따르는 규칙입니다.즉, 크리스토펠 기호라는 이름은 좌표(즉, 홀로노믹스) 프레임에만 사용됩니다.그러나, 연결 계수는 $접선 i$ 벡터의 임의의 (즉, 비홀로노믹) 기저에서 정의될 수도 있습니다.

\nabla _{\mathbf {u} _{i}}\mathbf {u} _{j}={\omega^{k}_{ij}\mathbf {u} _{k}

명시적으로, 미터법 텐서의 관점에서, 이것은^[13]

{\omega ^{i}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}+c_{l}+c_{mlk}-c_{klm}\right),

$여기$ 서 c = $gc$ 는 기저의 정류 계수입니다. 즉,

[\mathbf {u} _{k},\,\mathbf {u} _{l} = {c_{kl}}^{m}\mathbf {u} _{m

$여기$ 서_k u는 기본 벡터이고 $[,$ ]는 Lie 괄호입니다.구면 및 원통 좌표의 표준 단위 벡터는 소실되지 않는 정류 계수를 갖는 기저의 예를 제공합니다.이러한 프레임에서 연결과 Levi-Civita 연결 사이의 차이를 컨토션 텐서라고 합니다.

Ricci 회전 계수(비대칭 정의)

$기저$ X ∈ $정규식$ 을 선택할 $때$ : g $\in$ η ⟨≡ = ∈ $X$ , $X$ ⟩를 $선택$ 한 다음 $g$ ∈ = 0.이것은 다음을 암시합니다.

{\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}\eta ^{im}\left(c_{mlk}+c_{mlk}-c_{klm}\right)

그리고 처음 두 지수에서 연결 계수는 반대칭이 됩니다.

\omega_{float}=-\omega_{float}\..

어디에

\omega _{display}=\eta _{ad}{\omega ^{d}}_{bc}\,

이 경우 연결 계수 $θ$ 를^a_bc Ricci 회전 ^[14]^[15]계수라고 합니다.

이와 동등하게 리치 회전 계수를 다음과 ^[13]같이 정의할 수 있습니다.

{\omega^{k}}_{ij}:=\mathbf {u} ^{k}\cdot \left(\nabla _{j}\mathbf {u} _{i}\right)\,,,

여기

서

u

는 정규 정규 비홀로노믹

기저

이고 u = ηu는 그 공동 기저입니다.

변수변경하에서의 변환법칙

( $\left(x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right)$ 1 $\left(x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right)$ $\left(x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right)$ $\left(x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right)$ n ) $\left(x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right)$ {\ $displaystyle \left(x^{1},\,\ldots,\,x^{n}\right)}$ 에서 $\left(x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right)$ $\left({\bar {x}}^{1},\,\ldots ,\,{\bar {x}}^{n}\right)$ $\left({\bar {x}}^{1},\,\ldots ,\,{\bar {x}}^{n}\right)$ 1 $\left({\bar {x}}^{1},\,\ldots ,\,{\bar {x}}^{n}\right)$ $\left({\bar {x}}^{1},\,\ldots ,\,{\bar {x}}^{n}\right)$ $\left({\bar {x}}^{1},\,\ldots ,\,{\bar {x}}^{n}\right)$ $\left({\bar {x}}^{1},\,\ldots ,\,{\bar {x}}^{n}\right)$ ) $\left({\bar {x}}^{1},\,\ldots ,\,{\bar {x}}^{n}\right)$ {\ $displaystyle \left({\bar {x}^{1},\,\ldots,\,{\bar {x}^{n}\right$ 로 변수가 변경되면 크리스토펠 기호는 다음과 같이 변환됩니다.

{{\bar {\gamma}}^{i}}_{kl}={\frac {\bar {x}}^{i}}\,{\frac {\bar {x}}^{k}}\,{\frac {\bar {x}}^{k}}\,{\frac {\bar {x}}^{l}}\,{\gamma ^{m}}_{np}+{\frac {\bar {\x}}^{m}\frac {\bar {x}}^{k}\frac {\bar {x}}^{l}},{\frac {\bar {x}}^{i}}},{\frac {\bar {x}}^{i}}},{\frac {\bar {x}}^{m}}

여기서 오버라인은 ${\bar {x}}^{i}$ ¯ ${\bar {x}}^{i}$ {\ $displaystyle$ {\ $bar {x}}^{i}$ 좌표계에서 크리스토펠 기호를 나타냅니다.크리스토펠 기호는 텐서로 변환되는 것이 아니라 제트 다발의 물체로 변환됩니다.더 정확하게 말하면, 크리스토펠 기호는 어떤 국소 좌표계와도 무관하게 M의 $프레임$ 번들의 제트 번들에 있는 함수로 간주될 수 있습니다.국소 좌표계를 선택하는 것은 이 묶음의 국소 구간을 결정하며, 이는 Christofel 기호를 M의 $함수$ 로 되돌리는 데 사용될 수 있지만, 물론 이 함수들은 국소 좌표계의 선택에 의존합니다.

각 점에 대해서는 ^[16]해당 점에서 크리스토펠 기호가 사라지는 좌표계가 있습니다.이것들은 (측지선) 정규 좌표라고 불리며, 리만 기하학에서 자주 사용됩니다.

변환 법칙에서 직접 도출할 수 있는 몇 가지 흥미로운 속성이 있습니다.

선형 변환의 경우 변환의 비균질 부분(우측의 두 번째 항)이 동일하게 사라지고 ${\Gamma ^{i}}_{jk}$ {\ $displaystyle$ {\ $Gamma^{i}}_{jk}$ 가 ${\Gamma ^{i}}_{jk}$ 텐서처럼 동작합니다.
두 개의 연결 필드가 있는 경우, ${\Gamma ^{i}}_{jk}$ {\ $displaystyle$ {\ $Gamma ^{i}}_$ {jk $}$ 라고 ${\Gamma ^{i}}_{jk}$ $Δi$ jk {\ $tilde$ {\ $Gamma }}^{i}_$ {jk ${{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}$ 라고 하면, 그 차이 ${\Gamma ^{i}}_{jk}-{{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}$ ${\Gamma ^{i}}_{jk}-{{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}$ - ${\Gamma ^{i}}_{jk}-{{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}$ $jk$ {jk $}-{\tilde {\i}}_$ {jk $}$ 라고 하면, 비균질항이 서로 상쇄되므로 텐서입니다.비균질항들은 좌표들이 어떻게 변하는가에 따라서만 달라지지만 크리스토펠 기호 자체와는 독립적입니다.
크리스토펠 기호가 하나의 좌표계에서 낮은 지수, 즉 ${\Gamma ^{i}}_{jk}\neq {\Gamma ^{i}}_{kj}$ ${\Gamma ^{i}}_{jk}\neq {\Gamma ^{i}}_{kj}$ k ${\Gamma ^{i}}_{jk}\neq {\Gamma ^{i}}_{kj}$ k ${\Gamma ^{i}}_{jk}\neq {\Gamma ^{i}}_{kj}$ {\ $Gamma ^{i}}_{kj$ 인 경우, 좌표의 변화에도 비대칭으로 유지됩니다.이 성질의 결과는 낮은 지수가 대칭이 아닌 한 점에서 크리스토펠 기호의 모든 원소가 0인 좌표계를 찾는 것이 불가능하다는 것입니다.이 성질은 알베르트^[17] 아인슈타인과 에르빈 슈뢰딩거에^[18] 의해 독립적으로 지적되었습니다.

리만 공간에서 크리스토펠 기호의 평행이동 및 유도와의 관계

만약 벡터 ξ i $\xi ^{i}$ 가 리만 다양체에서 일부 $매개변수$ {\ $displaystyles}$ 에 의해 매개변수화된 곡선에서 평행하게 운반된다면, 벡터의 성분들의 변화율은 다음과 같이 주어집니다.

{\frac {d\xi^{i}}{ds}=-{\Gamma ^{i}}_{{ds}}{\frac {displaystyle {d\xi^{m}}}\xi^{j}

$g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}$ 두 개의 임의 벡터 ξ $\xi ^{i}$ i $g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}$ ${\displaystyle$ $g_{$ ik}\ $xi ^{$ i}\eta $^{k$ }와 η $\eta ^{k}$ k {\ $displaystyle$ \ $xi ^{$ i}} 및 ξ k {\displaystyle $\eta ^{k}$ 가 변하지 않는 조건을 사용하면 크리스토펠 기호를 도출하기에 충분합니다.조건은

{\frac {d}{ds}}\left(g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}\right)=0

제품 규칙에 따라 다음으로 확장됩니다.

{\displaystyle {\frac {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle {\frac {\displaystyle {\display}}{\frac {displaystyle {\frac {\di^{l}}{ds}\eta ^{i}{ds}}\frac {d\eta ^{k}}{{ds}}=0}.

두 임의의 벡터와 재표지 더미 지수에 대해 병렬 전송 규칙을 적용하고 ξ i η $\xi ^{i}\eta ^{k}dx^{l}$ $\xi ^{i}\eta ^{k}dx^{l}$ x $\xi ^{i}\eta ^{k}dx^{l}$ {\ $displaystyle \xi ^{i}\eta$ ^{ $k} dx$ ^{ $l}($ 임의)의 계수를 수집하면 다음을 얻을 수 있습니다.

{\frac {\displayg_{ik}}{\displayx^{l}}=g_{rk}{\Gamma ^{r}}_{il}+g_{ir}{\Gamma ^{r}}_{lk}}

이는 일반 정의 섹션에서 메트릭 텐서의 공변 도함수가 사라지도록 요구하여 얻은 방정식과 동일합니다.여기서 파생되는 것은 간단합니다.위의 식에서 $인덱스$ $k$ k k $ikl$ 을 $ikl$ 순환적으로 퍼뮤팅하여 두 개의 방정식을 더 얻은 다음 이 세 개의 방정식을 선형적으로 결합하면 ${\Gamma ^{i}}_{jk}$ ${\Gamma ^{i}}_{jk}$ {\ $displaystyle$ {\ $Gamma ^{i}}_$ {jk $}$ 를 ${\Gamma ^{i}}_{jk}$ 메트릭 텐서로 표현할 수 있습니다.

인덱스가 없는 표기법과의 관계

$X$ 와 Y를 $성분 i$ $X$ 와^k Y를 갖는 벡터 필드라고 $합니다$ .그러면 X에 $대한$ $Y$ 의 공변 도함수의 k번째 성분은 다음과 같이 주어집니다.

\left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}(\nabla _{i}Y)^{k}=X^{i}\left({\frac {\frac {\continuous Y^{k}}{\partial x^{i}}+{\Gamma ^{k}}_{im}Y^{m}\right).

여기서 아인슈타인 표기법이 사용되므로 반복되는 지수는 지수에 대한 합산과 미터법 텐서와의 수축이 지수를 올리고 낮추는 역할을 합니다.

g(X,Y)=X^{i}Y_{i}=g_{ik}X^{i}Y^{k}=g^{ik}X_{i}Y_{k}

$g$ ≠ $g$ 와 크로네커 델타인 $g$ = δ를 기억하세요.미터법 텐서는 지수가 더 낮은 것이 원칙입니다. g에서 $g$ 를 $구하는$ 정확한 방법은 선형 $방정식$ $gg$ = δ를 푸는 것입니다.

연결이 비틀림이 없다는 진술, 즉

\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,\,Y]

는 (좌표 기준에서) 크리스토펠 기호가 아래 두 지수에서 대칭이라는 문장과 같습니다.

{\Gamma ^{i}}_{jk}={\Gamma ^{i}}_{kj}

텐서의 인덱스 없는 변환 특성은 공변 인덱스에 대한 풀백과 반변 인덱스에 대한 푸시백에 의해 제공됩니다.공변 도함수에 관한 기사는 색인이 없는 표기법과 색인 표기법 사이의 대응에 대한 추가적인 논의를 제공합니다.

텐서의 공변 도함수

$성분$ 이^m V인 반변 벡터장의 공변 도함수는

\nabla _{l}V^{m}={\frac {\displayV^{m}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{m}}_{kl}V^{k}

결과적으로, 벡터의 발산은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\nabla _{i}V^{i}={\frac {1}{\sqrt {-g}}{\frac {\display \left({\sqrt {-g}}\,V^{i}\right)}{\partial x^{i}}}

코벡터 $장$ ω의 공변 도함수는

\nabla _{l}\omega _{m}={\frac {\displaystyle \omega _{m}}{\displayx^{l}}-{\Gamma ^{k}}_{ml}\omega _{k}

크리스토펠 상징의 대칭은 이제

\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi =\nabla _{j}\nabla _{i}\varphi

모든 스칼라 필드에 대해, 그러나 일반적으로 고차 텐서 필드의 공변 도함수는 통근하지 않습니다(곡률 텐서 참조).

유형 $(2, 0)$ $텐서장 ik$ A의 공변 도함수는

\nabla _{l}A^{ik}={\frac {\frac {\frac A^{ik}}{\부분 x^{l}}+{\Gamma ^{i}}_{ml}A^{mk}+{\Gamma ^{k}}_{ml}A^{im},

그것은,

{A^{ik}}_{;l}={A^{ik}}_{,l}+A^{mk}{\Gamma ^{i}}_{ml}+A^{im}{\Gamma ^{k}}_{ml}

텐서장이 혼합되어 있다면, 그 공변 도함수는

{A^{i}}_{k;l}={A^{i}_{k,l}+{A^{m}}{\Gamma ^{i}}_{ml}-{A^{i}}_{A^{m}}{\Gamma ^{m}}_{kl}

텐서장이 유형

(

0

,

2)

이면, 그 공변 도함수는

A_{ik;l}=A_{ik,l}-A_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-A_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}}

텐서의 변형 도함수

벡터장의 반변함수를 찾기 위해서, 우리는 먼저 계량 텐서를 사용하여 그것을 공변함수로 변환해야 합니다.

\nabla ^{m}=g^{il}\nabla _{i}V^{m}=g^{il}\partial _{i}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}=\partial ^{l}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{k

적용들

일반상대성이론에서

크리스토펠 기호는 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서 자주 사용되는데, 시공간은 레비-시비타 연결이 있는 곡선의 4차원 로렌츠 다양체로 표현됩니다.물질이 존재할 때 시공간의 기하학적 구조를 결정하는 아인슈타인 장 방정식은 리치 텐서를 포함하고 있으므로 크리스토펠 기호를 계산하는 것이 필수적입니다.기하학이 결정되면 크리스토펠 기호가 명시적으로 나타나는 측지 방정식을 풀어서 입자와 광선의 경로가 계산됩니다.

고전적인 (상대론적이지 않은) 역학에서

$x^{i}$ i $x^{i}$ {\ $displaystyle$ x $^{i}$ 를 일반화 좌표, ${\dot {x}}^{i}$ ˙ ${\dot {x}}^{i}$ 를 일반화 속도라 하고, 단위 질량에 대한 운동 에너지를 $T={\tfrac {1}{2}}g_{ik}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{k}$ = $T={\tfrac {1}{2}}g_{ik}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{k}$ $T={\tfrac {1}{2}}g_{ik}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{k}$ $T={\tfrac {1}{2}}g_{ik}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{k}$ k x ˙ $T={\tfrac {1}{2}}g_{ik}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{k}$ $T={\tfrac {1}{2}}g_{ik}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{k}$ ˙ k {\ $displaystyle$ { $1}}g_{ik}{\dot$ {x $}}^{i$ }{\ $dot$ { $x}^{k$ 여기서 $g_{ik}$ k $g_{ik}$ {\ $displaystyle g_{ik}$ 는 메트릭 텐서입니다.만약 $V\left(x^{i}\right)$ ${\displaystyle$ V $\left(x^{i}\right$ 즉 전위 함수가 존재한다면, 단위 질량당 일반화 힘의 반변 성분은 $F_{i}=\partial V/\partial x^{i}$ = $F_{i}=\partial V/\partial x^{i}$ ∂ $F_{i}=\partial V/\partial x^{i}$ / ∂ $F_{i}=\partial V/\partial x^{i}$ $F_{i}=\partial V/\partial x^{i}$ {\ $displaystyle F_{i$ }=\ $partial$ V $/\partial$ x $^{i$ 입니다.(순수 공간 영역에서) 메트릭은 선 $ds^{2}=2Tdt^{2}$ $ds^{2}=2Tdt^{2}$ 2 = $ds^{2}=2Tdt^{2}$ $ds^{2}=2Tdt^{2}$ $ds^{2}=2Tdt^{2}$ $ds^{2}=2Tdt^{2}$ $ds^{2}=2Tdt^{2}$ {\ $displaystyle$ ds $^{2$ } = $2Tdt^{2$ 로부터 얻을 수 있습니다. $L=T-V$ L = $L=T-V$ - $L=T-V$ {\ $displaystyle$ L = $T-V}$ 를 오일러-라그랑지 방정식에 대입하면 다음을 얻을 수 있습니다.

{\d displaystyle g_{ik}{\ddot {x}}^{k}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\dot g_{ik}}{\frac {\dot x^{l}}+{\frac {\dot x^{k}}}-{\frac {\dot g_{lk}}{\dot x^{i}}\right){\dot {x}}^{l}^{x}=F_{i}}

이제 $g^{ij}$ {\ $displaystyle$ g $^{ij$ 를 곱하면 다음을 얻을 수 있습니다.

{\ddot {x}}^{j}+{\Gamma ^{j}}_{lk}{\dot {x}}^{\dot {x}}^{k}=F^{j}}

관성 좌표계에서와 같이 데카르트 좌표가 채택될 수 있을 때 유클리드 메트릭이 있고 크리스토펠 기호는 사라지고 방정식은 뉴턴의 제2 운동 법칙으로 줄어듭니다.곡선 좌표^[20](메트릭이 평평하지 않고 비유클리드가 아닌 비입체 프레임에서 강제적으로)에서 원심력과 코리올리력과 같은 가상의 힘은 크리스토펠 기호에서 비롯되므로 순수 공간 곡선 좌표에서 비롯됩니다.

지표면 좌표에서

지구 표면의 점(이상적인 구로 대략적인)을 설명하는 구면 좌표계가 주어집니다.

{\begin{aligned}x(R,\theta,\varphi )&={\begin{pmatrix}R\cos \theta \cos \varphi &R\cos \theta \end{pmatrix}\end{align}

점 x의 경우 $R$ 은 지구 코어까지의 거리(일반적으로 지구 반지름 정도)입니다. $θ$ 와 $θ$ 는 위도와 경도입니다. $양$ 의 θ는 북반구입니다.도함수를 단순화하기 위해 각도는 라디안으로 제공됩니다(여기서 dsin(x)/θ = cos(x)), 도값은 360/2pi의 추가 인자를 도입합니다).

임의의 위치에서 접선 $e_{R}$ 은 ER $e_{R}$ {\ $displaystyle e_{$ R}}(위), $e_{\varphi }$ $e_{\theta }$ θ {\ $displaystyle$ e_{\ $theta}}($ 위), E $e_{\varphi }$ φ {\ $displaystyle$ e_{\ $varphi}}($ 위) - 지수 1,2,3을 사용할 수도 있습니다.

{\begin{aligned}e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\sin \end{pmatrix}}\e_{\theta}&=R\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\pmatrix}-\sin \theta \cdot \varphi &\cos \end{pmatrix}}\e_{\varphi }&=R\cos \theta \cdot {\cdot {\cdot {pmatrix}-\sin \varphi &\cos \varphi \cdot {pmatrix}-\sin \varphi \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot {pmatrix}-\cos \cdot \cdot \cdot \cdot {pmatrix}-\cdot&0\end{pmatrix}}\\end{aligned}

관련 메트릭 텐서에는 대각선 요소(벡터 길이 제곱)만 있습니다.이는 좌표계의 장점이며 일반적으로 사실이 아닙니다.

{\display{aligned}g_{RR}=1\qquad &g_{\theta \theta }=R^{2}\qquad &g_{\varphi \varphi }=R^{2}\cos ^{2}\theta \qquad &g_{ij}=0\cos \mathrm {det} \\g^{RR}=1\qquad &g^{\theta \theta }=1/R^{2}\qquad &g^{\varphi \varphi }=1/(R^{2}\cos ^{2}\theta )\qquad &g^{ij}=0\cos \mathrm {align} \\\end{aligned}

이제 필요한 양을 계산할 수 있습니다.예:

{\display{aligned}e^{R}=e_{R}g^{RR}=1\cdot e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \end{pmatrix}}\{\Gamma ^{R}_{\varphi \varphi }=e^{R}\cdot {\frac {\cdot {\cdot \varphi }}\e_{\varphi }&=e^{R}\cdot {\begin{pmatrix}-R\cos \theta \sin \varphi &0\end{pmatrix}=-R\cos ^{2}\theta \\end{align}

두 번째 종류 ${\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}$ ${\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}$ ${\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}$ = ${\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}$ ${\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}$ e ${\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}$ ${\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}$ i ${\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}$ {\ $displaystyle$ {\ $Gamma ^{k}}_{ji$ }= $e^{k}\cdot$ {\ $frac {\display e_{j}}{\display$ x $^{i}}$ 의 결과 크리스토펠 기호는 다음과 같이 구성됩니다(행렬에서 "비교" $인덱스$ i로 구성됨).

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{{\theta R}&{\Gamma ^{R}}_{\varphi R}&{\Gamma ^{\theta R}}&{\Gamma ^{\theta ^{\theta }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\varphi R}}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\Gamma ^{\varphi ^}}_{\theta R}&{\Gamma ^{\varphi ^}}_{\gamma ^{\varphi R}}&{\end{pmatrix}&={\begin{pmatrix}0&0\0&1/R&4}0\\0&0&1/R\end{pmatrix}\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\theta}&{\Gamma ^{R}}_{\Gamma \theta}&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \theta}\{\Gamma ^{\theta}}_{R\theta }&{\Gamma ^{\theta }}&{\Gamma \theta ^}&{\varphi \theta }}_{\Gamma ^{\varphi }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\varphi ^{\varphi }}_{\theta }&{\Gamma \^{\varphi }}_{\varphi \theta }}_{\end{pmatrix}}\n\begin{pmatrix}0&-R&0\1/R&0\0&-\tan \theta \end{pmatrix}}\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\ta \varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }&{\Gamma ^{\theta ^}}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\theta ^}}_{\ta \varphi }&{\Gamma ^{\theta ^}}_{\varphi }\{\Gamma ^{\varphi }_{R\varphi }&{\Gamma ^{\va}rphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix }&=\n{begin{pmatrix}0&-R\cos ^{2}\theta \\0&0&\cos \theta \sin \theta \\1/R&-\tan \theta &0\end{pmatrix}\\\end{align}

이 값은 접선 방향(열: $e_{R}$ $e_{R}$ ${\displaystyle e_{R$ $e_{\theta }$ θ {\ $displaystyle e_{\theta$ $e_{\varphi }$ φ {\ $displaystyle e_{\varphi$ 이 어떻게 변하는지를 보여줍니다(예: 공간에서). 그러나 실제 위치의 접선 방향(행: $R$ , θ, φ).

예를 들어, 0이 아닌 도함수를 ${\Gamma ^{k}}_{j\ \theta }$ Δ ${\displaystyle$ {\ $Gamma ^{k}}_{j\$ \ $theta$ 의 Δ로 함으로써 북쪽으로 이동합니다(양의 ${\Gamma ^{k}}_{j\ \theta }$ θ):

새 북쪽 $e_{\theta }$ e $e_{\theta }$ θ {\ $displaystyle e_{\theta$ }}는 위쪽(R) 방향으로 -Rdθ만큼 바뀝니다.그래서 북쪽 방향은 지구의 중심을 향해 아래쪽으로 회전할 것입니다.
마찬가지로, $e_{R}$ $e_{R}$ E $e_{R}$ {\ $displaystyle e_{$ R $e_{R}$ }가 북쪽으로 조정됩니다. $ER$ {\ $displaystyle e_{$ R $}}$ 과 ${\$ 의 $e_{\theta }$ 다른 길이는 1/R의 계수로 이어집니다.
북쪽으로 이동하면, 동쪽 $e_{\varphi }$ 벡터 e $e_{\varphi }$ φ {\ $displaystyle$ e_{\ $varphi$ }는 대각선에서 길이(-tan(θ))가 변경되고, 북반구에서 (-tan(θ) d θ < 0)가 줄어들고, 남반구에서 (-tan(θ) d θ > 0)가 증가합니다.

$이러한$ 효과는 $좌표$ R, $θ$ , θ에 측정값을 유지하는 조정이기 때문에 이동 중에는 분명하지 않을 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 거리, 물리 방정식 등에 영향을 줄 수 있습니다.따라서 예를 들어 대략 "남쪽"을 가리키는 자기장의 정확한 변화가 필요한 경우, "참"(텐서) 값을 얻기 위해 크리스토펠 기호를 사용하여 북쪽 방향을 변경함으로써 측정값을 수정할 필요가 있습니다.

첫 번째 종류 ${\Gamma _{l}}_{ji}=g_{lk}{\Gamma ^{k}}_{ji}$ ${\Gamma _{l}}_{ji}=g_{lk}{\Gamma ^{k}}_{ji}$ = ${\Gamma _{l}}_{ji}=g_{lk}{\Gamma ^{k}}_{ji}$ ${\Gamma _{l}}_{ji}=g_{lk}{\Gamma ^{k}}_{ji}$ ${\Gamma _{l}}_{ji}=g_{lk}{\Gamma ^{k}}_{ji}$ k ${\Gamma _{l}}_{ji}=g_{lk}{\Gamma ^{k}}_{ji}$ {\ $displaystyle$ {\ $Gamma$ _{ $l}_{ji$ }= $g_{lk}{\Gamma ^{k}}_{$ ji}의 크리스토펠 기호는 미터법이 적용된 좌표를 사용하여 동일한 변화를 보여줍니다. $예$ 를 들어 φ에 의해 도함수의 경우:

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma _{R}}_{R\varphi }&{\Gamma _{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{R}}_{\varphi \varphi }\{\Gamma _{\theta }&{\Gamma _{\teta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\theta }_{\varphi \varphi }}\{\Gamma _{\varphi }}&{\Gamma _{\varphi }}&{\theta \varphi }&{\varphi }_{\varphi }}_{\varphi }}_{\varphi }}_{\varphi\varphi }\\\end{pmatrix}}&=R\cos \theta {\deta{pmatrix}0&0&-\cos \theta \\\\cos \theta &-R\sin \theta &0\end{pmatrix}\\\end{aligned}

참고 항목

메모들

^ 예를 들어, (Spivak 1999)와 (Choquet-Bruhat & DeWitt-Morette 1977)을 참조하십시오.
^ Ronald Adler, Maurice Bazin, Menahem Schiffer, 일반 상대성 이론 개론 (1965) McGraw-Hill Book Company ISBN0-07-000423-4 (섹션 2.1 참조)
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^ 이는 연결이 대칭이라고 가정하는 것입니다(예: Levi-Civita 연결).연결에 비틀림이 있으면 크리스토펠 기호의 대칭 부분만 사라질 수 있습니다.
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참고문헌

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Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1965), Introduction to General Relativity (First ed.), McGraw-Hill Book Company
Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
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[1] 예를 들어, (Spivak 1999)와 (Choquet-Bruhat & DeWitt-Morette 1977)을 참조하십시오.

[2] Ronald Adler, Maurice Bazin, Menahem Schiffer, 일반 상대성 이론 개론 (1965) McGraw-Hill Book Company ISBN0-07-000423-4 (섹션 2.1 참조)

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[4] 미스너, 손, 휠러, op. cit. (13장 참조)

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[16] 이는 연결이 대칭이라고 가정하는 것입니다(예: Levi-Civita 연결).연결에 비틀림이 있으면 크리스토펠 기호의 대칭 부분만 사라질 수 있습니다.

[17] Einstein, Albert (2005). "The Meaning of Relativity (1956, 5th Edition)". Princeton University Press (2005).

[18] 슈뢰딩거, E. (1950)시공간 구조.케임브리지 대학 출판부.

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[20] David, Kay, Tensor Calculus (1988) McGraw-Hill Book Company ISBN 0-07-033484-6 (섹션 11.4 참조)

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