기하학적 위상

고전역학과 양자역학에서 기하학적 위상은 시스템이 주기적인 부차적 과정을 거쳤을 때 주기 과정에서 획득한 위상차인데, 이는 해밀턴식 매개변수 공간의 기하학적 특성에서 비롯된다.^[1]이 현상은 T. Kato(1950),^[2] S. Pancharatnam(^[3]1956), H. C. Longuet-Higgins(1958)^[4]에 의해 독자적으로 발견되었고 후에 마이클 베리 경(1984)에 의해 일반화되었다.^[5]판차라트남으로도 알려져 있다.베리 위상, 팬차라트남 위상, 또는 베리 위상.그것은 잠재적 에너지 표면의^[4]^[6] 원뿔형 교차점과 아하로노프-봄 효과에서 볼 수 있다.분자₆₃₃⁺ 이온의 지상 전자 상태를 포함하는 원뿔형 교차로 주변의 기하학적 위상은 벙커와 젠센이 교과서 385-386페이지에서 논한다.^[7]아하로노프-봄 효과의 경우 단열변수(adiabatic parameter)는 두 개의 간섭경로로 둘러싸인 자기장이며, 이 두 경로가 고리를 형성한다는 의미에서 순환적이다.원뿔형 교차점의 경우 단열변수는 분자좌표다.양자역학과는 별도로 고전 광학 등 다양한 다른 파동 시스템에서 발생한다.경험의 법칙으로서, 위상의 어떤 특이점이나 구멍 근처에 파동을 특징짓는 최소 두 개의 매개변수가 있을 때마다 발생할 수 있다; 비정규 상태 집합이 단순히 연결되지 않거나 비정규적인 홀로노미가 있을 것이기 때문에 두 개의 매개변수가 필요하다.null

파형은 진폭과 위상에 의해 특징지어지며, 그러한 파라미터의 함수로 달라질 수 있다.기하학적 위상은 두 파라미터가 동시에 매우 느리게(adiabatically) 변경될 때 발생하며, 결국 초기 구성으로 되돌아온다.양자역학에서, 이것은 회전뿐만 아니라 끝부분에서 분명히 풀린 입자의 변환을 포함할 수 있다.시스템의 파동이 진폭과 단계(그리고 시간의 경과에 대한 설명)로 특징지어지는 것처럼 초기 상태로 되돌아가는 것을 기대할 수 있다.단, 매개변수 편차가 자체 역방향 등락 변동 대신 루프에 해당하면 초기 상태와 최종 상태가 상이할 수 있다.이 위상 차이는 기하학적 위상이며, 그 발생은 일반적으로 시스템의 매개변수 의존성이 일부 매개변수 조합에 대해 단수(상태는 정의되지 않음)임을 나타낸다.null

파형 시스템에서 기하학적 위상을 측정하려면 간섭 실험이 필요하다.푸코 진자는 때때로 기하학적 위상을 설명하기 위해 사용되는 고전 역학에서 나온 예다.기하학적 위상의 이 역학 아날로그는 Hannay angle로 알려져 있다.null

양자역학의 베리상

n-유전자 상태의 양자 시스템에서 해밀턴계의 단극적 진화는 이 시스템이 해밀턴계의 n-유전자주(n-유전자주)에 머무르는 동시에 위상계수를 얻는 것으로 본다.얻어진 위상은 주의 시간 진화에 기여하고 또 다른 위상은 변화하는 해밀턴과 함께 고유국가의 변화로부터 기여한다.두 번째 용어는 베리 단계에 해당하며, 해밀턴계의 비사이클적 변동에 대해서는 진화의 각 지점에서 해밀턴계의 고유성과 연관된 단계의 다른 선택에 의해 사라질 수 있다.null

그러나 변화가 주기적인 경우에는 베리 단계를 취소할 수 없다. 베리 단계는 불변하며 시스템의 관측 가능한 특성이 된다.막스 보른과 블라디미르 포크가 제시한 부차적 정리의 증거를 검토함으로써, 부차적 과정의 전체 변화를 단계적 용어로 특징지을 수 있었다.부차 근사치 하에서는 부차 공정 하의 n번째 고유 상태의 계수가 다음과 같이 주어진다.

C_{n}(t)=C_{n}(0)\exp \left[-\int _{0}^{t}\langle \psi _{n}(t') {\dot{\psi }}}}{n}(t')\rangle dt'\right]=C_{n}(0)e^{i\gamma _{n}(t)}}}

여기서

\gamma _{n}(t)

( t

\gamma _{n}(t)

)

\gamma _{n}(t)

은 매개 변수 t에 대한 베리의 단계다

\gamma _{n}(t)

.변수 t를 일반화된 파라미터로 바꾸면 베리의 단계를 다시 일반화된 파라미터로 바꿀 수 있어

\displaystyle \gamma _{n}=i\point _{C}\!\left\langlen, t\right \left(\nabla _{R}\left n, t\right\rangle \right)\,dR}

여기서

R

R

은(는) 주기적 부차적 프로세스를 파라메트리한다

R

.

\left|n,t\right\rangle

,

\left|n,t\right\rangle

\left|n,t\right\rangle

{\

의 정규화는 통합이 가상이므로

\gamma _{n}[C]

n

\gamma _{n}[C]

[

\gamma _{n}[C]

\gamma _{n}[C]

\gamma _{n}[C]

이(가) 실제임을

\gamma _{n}[C]

의미한다는

\left|n,t\right\rangle

점에 유의하십시오.적절한 매개 변수 공간에서

C

닫힌

경로

C

C

을(를) 따른다.폐쇄 경로

C

{\displaystyle

C

}

을(를) 따라 기하학적 위상은

C

{\displaystyle

C

}

에 둘러싸인 표면 위로 Berry 곡률을 통합하여 계산할 수도

C

있다

C

기하학적 위상의 예

푸코 진자

가장 쉬운 예로는 푸코 진자(Foucault piner)가 있다.기하학적 위상에 관한 쉬운 설명은 윌크제크와 샤프레에 의해 주어진다.

진자가 일반적인 경로 C를 돌 때 어떻게 진행되나?적도를 따라 이동하기 위해 진자는 전처리되지 않을 것이다. [...] 이제 C가 지오디컬 세그먼트로 구성된다면, 전처리된 것은 모두 지오디컬의 세그먼트가 만나는 각도에서 나올 것이다. 총 전처리각은 다시 C모듈로 2π에 둘러싸인 고체 각도와 같은 순결손각과 같다.마지막으로, 일련의 지오데틱 세그먼트에 의해 어떤 루프를 대략적으로 추정할 수 있으므로, 가장 일반적인 결과(구 표면 위 또는 바깥쪽)는 순전행이 밀폐된 고체 각도와 같다는 것이다.

다른 말로 표현하면, 진자를 전가시킬 수 있는 관성력이 없기 때문에, 전가(진자가 운반되는 경로의 운동방향에 상대적)는 전적으로 이 경로의 회전에 기인한다.따라서 진자의 방향은 평행 운송을 거친다.원래의 푸코 진자의 경우, 그 경로는 위도의 원이며, 가우스-보넷 정리에 의해 위상 변화는 밀폐된 고체 각도로 주어진다.^[9]null

광섬유의 편광

두 번째 예는 단일 모드 광섬유로 들어가는 선형 편광 광선이다.섬유가 우주의 일부 경로를 추적하고 빛이 들어온 방향과 같은 방향으로 섬유를 빠져나간다고 가정하자.그런 다음 초기 편광과 최종 편광을 비교하십시오.반시계학적 근사치에서 섬유는 도파관 역할을 하며 빛의 운동량은 항상 섬유에 접한다.양극화는 모멘텀에 수직인 방향이라고 생각할 수 있다.섬유가 그 경로를 추적할 때 빛의 모멘텀 벡터는 모멘텀 공간에서 구상의 한 경로를 추적한다.빛의 초기 방향과 최종 방향이 일치하기 때문에 길이 닫히고, 양극화는 구에 접하는 벡터다.모멘텀 스페이스로 가는 것은 가우스 지도를 찍는 것과 같다.양극화를 되돌릴 수 있는 힘은 없고, 단지 구에 접하는 제약이 있을 뿐이다.따라서 양극화는 평행 운송을 거치고 위상 편차는 밀폐된 고체 각(회전 횟수, 빛의 경우 1)에 의해 주어진다.null

확률 펌프 효과

확률형 펌프는 파라미터의 주기적인 변화에 평균적으로 0이 아닌 전류로 반응하는 고전적인 확률형 시스템이다.확률 펌프 효과는 확률 전류의 모멘트 생성 기능의 진화에서 기하학적 위상의 관점에서 해석할 수 있다.^[10]null

스핀1⁄2

기하학적 위상은 자기장의 스핀 ½ 입자에 대해 정확히 평가할 수 있다.^[1]null

유격기에 정의된 기하학적 위상

베리의 제형은 원래 선형 해밀턴 시스템을 위해 정의되었지만, 닝과 하켄에 의해 특정 순환 유인을 보유한 비선형 분산 시스템과 같이 완전히 다른 시스템에 대해 유사한 기하학적 위상이 정의될 수 있다는 것이 곧 실현되었다.그들은 그러한 순환 유인기가 특정 대칭이 있는 비선형 분산 시스템의 종류에 존재한다는 것을 보여주었다.^[12]null

분자 단열 전위 표면 교차로에서의 노출

Born Oppenheimer 프레임워크 내에서 분자의 기하학적 위상을 계산하는 몇 가지 방법이 있다.한 가지 방법은 다음과 같이 정의한 "비(非)-adiabatic coupling $M\times M$ $M\times M$ $M\times M$ $M\times M$ 행렬 $M\times M$ "을 통과하는 것이다.

\displaystyle \tau \ij}^{{ij}^{}}=\left\langle \langle \langle _{i} \i} \mu }\regl_{j}\right\rangle }}}

여기서

\psi _{i}

\psi _{i}

{\

는 핵

R_{\mu }

R

R_{\mu }

{\

displaystyle R_{\mu

R_{\mu }

에 따라 단파 전자파 함수다

\psi _{i}

.비방사성 결합은 M. Baer(1975, 1980, 2000)에 의해 분자 프레임워크용으로 독립적으로 개발된 필드 이론의 Wilson 루프(1974)와 유사한 루프 적분을 정의하는데 사용될 수 있다.Given a closed loop

\Gamma

, parameterized by

R_{\mu }\left(t\right)

where

t\in \left[0,1\right]

is a parameter and

{\displaystyle R_{\mu }\left(t+1\right)

=R_{\mu }\왼쪽(t\오른쪽)}

.D 매트릭스는 다음과 같이 제공된다.

D\왼쪽[\Gamma \오른쪽]{\hat{P}e^{\point _{\Gamma }{\tau ^{\mu }dR_{\mu }}}}}}}}}

(여기서

{\hat {P}}

{\hat {P}}

{\

은

{\hat{P}}

(는) 경로 순서 기호 입니다.일단

M

M

이

M

(가) 충분히 크면(즉, 충분한 수의 전자 상태를 고려함) 이 행렬은

e^{i\beta _{j}}

e^{i\beta _{j}}

e^{i\beta _{j}}

{\

e

^{i\beta _{j}

와 같은 대각선 원소와 대각선이며 여기서

e^{i\beta _{j}}

\beta _{j}

j

{\

은 루프

\beta _{j}

포와 관련된 기하학적 위상임을 알 수 있다.

r

j

{\

displaystyle j}

단열

j

전자 상태.null

시간 역 대칭 전자 해밀턴의 경우 기하학적 위상은 루프로 둘러싸인 원뿔형 교차점의 수를 반영한다.보다 정확하게:

e^{i\put_{j}=\왼쪽1\오른쪽)^{N_{j}}

\Gamma

서

N_{j}

N_{j}

{\

{

j}

은

\psi _{j}

\Gamma

Ⅱ{\

displaystyle

\psi _

{j

}

에

\psi _{j}

둘러싸인 단면 상태를

\psi _{j}

하는 원뿔형 교차로 수입니다

N_{j}

\Gamma

D-매트릭스 접근방식의 대안은 범차라트남 단계의 직접적인 계산일 것이다.이것은 특히 단일한 단열 상태의 기하학적 위상에만 관심이 있는 경우에 유용하다.In this approach, one takes a number $N+1$ of points $\left(n=0,\dots ,N\right)$ along the loop $R\left(t_{n}\right)$ with $t_{0}=0$ and $t_{N}=1$ then using only the j-thiabatic 상태 $\psi _{j}\left[R\left(t_{n}\right)\right]$ j $\psi _{j}\left[R\left(t_{n}\right)\right]$ [ R $\psi _{j}\left[R\left(t_{n}\right)\right]$ ( $\psi _{j}\left[R\left(t_{n}\right)\right]$ $\psi _{j}\left[R\left(t_{n}\right)\right]$ ) $\psi _{j}\left[R\left(t_{n}\right)\right]$ ${\$ 은 겹치는 범차남 제품을 계산한다 $\psi _{j}\left[R\left(t_{n}\right)\right]$ .

I_{j}\left(\Gamma ,N\right)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}{\left\langle \psi _{j}\left[R\left(t_{n}\right)\right] \psi _{j}\left[R\left(t_{n+1}\right)\right]\right\rangle }

$N\to \infty$ N → $N\to \infty$ {\ $displaystyle N\to \infit$ }에는 다음과 $N\to \infty$ 같은 항목이 있다(설명 및 일부 적용은 Ryb & Baer 2004 참조).null

I_{j}\왼쪽(\Gamma ,N\right)\to e^{i\beta _{j}}

사이클로트론 운동의 기하학적 위상 및 정량화

자기장 $B$ $B$ 에 따른 전자가 원형(사이클로트론) 궤도를 돈다 $B$ .^[2]고전적으로 어떤 사이클로트론 반경 $R_{c}$ $R_{c}$ ${\$ 이(가) 허용된다 $R_{c}$ .양자 기계학적으로 이산 에너지 수준(Landau 수준)만 허용되며, $R_{c}$ c ${\$ 은 전자의 에너지와 관련되므로 $R_{c}$ 이는 R $R_{c}$ ${\$ 의 정량화된 값에 해당한다 $R_{c}$ The energy quantization condition obtained by solving Schrödinger's equation reads, for example, $E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},\alpha =1/2$ for free electrons (in vacuum) or ${\textstyle E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\alpha =0}$ for electron $n=0,1,2,\ldots$ n $n=0,1,2,\ldots$ = $n=0,1,2,\ldots$ $n=0,1,2,\ldots$ , $n=0,1,2,\ldots$ , $n=0,1,2,\ldots$ … ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots$ $n=0,1,2,\ldots$ ^[3] 이러한 결과의 도출은 어렵지 않지만, 어떤 면에서는 란다우 수준 정량화에 대한 더 나은 물리적 통찰력을 제공하는 다른 방법이 있다.이 대체 방법은 반전설 보어-소머펠트 양자화 조건에 기초한다.

\hbar \codebf {r} \cdot \mathbf {k} -e\point d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2)

그것은 사이클로트론 궤도의 폐쇄 루프를 따라 그것의 (실공간) 움직임을 실행하는 동안 전자에 의해 포착된 $\gamma$ 기하학적 위상 $\gamma$ 을 포함한다.^[13]자유 전자의 경우 $\gamma =0$ = $\gamma =0$ ${\displaystyle \gamma =0},$ 그래핀의 $\gamma =0$ 전자에 대해서는 $\gamma =\pi$ $\gamma =\pi$ = { = ${\displaystyle \gamma =\pi }.$ 기하학적 위상은 자유전자의 $\alpha =1/2$ $\alpha =1/2$ = $\alpha =1/2$ / 2 ${\displaystyle \alpha =1/2},$ 그래핀의 $\alpha =0$ = $\alpha =0$ $\alpha =0$ 에 $\alpha =0$ 직접 연결된 것으로 나타났다.null

참고 항목

메모들

^ 단순성을 위해 2DEG와 평면에 수직인 자기장과 같은 평면에 국한된 전자를 고려한다.null

^ $\omega _{c}=eB/m$ $\omega _{c}=eB/m$ = $\omega _{c}=eB/m$ $\omega _{c}=eB/m$ / m $\omega _{c}=eB/m$ 은 사이클로트론 주파수(자유 전자용)이고 $\omega _{c}=eB/m$ v{\ $displaystyle$ v $}$ 은 $v$ (그래핀의 전자) 페르미 속도.null

각주

^ ^a ^b Solem, J. C.; Biedenharn, L. C. (1993). "Understanding geometrical phases in quantum mechanics: An elementary example". Foundations of Physics. 23 (2): 185–195. Bibcode:1993FoPh...23..185S. doi:10.1007/BF01883623. S2CID 121930907.
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^ 자습서는 Jiamin Xue: "Berry phase and in graphene in graphene"(2013)를 참조하십시오.

원천

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다른 물리적 현상(예: 얀-텔러 효과)과의 연관성은 여기서 논의된다: 베리의 기하학적 단계: 검토
교수별 논문콜게이트 대학의 갈베즈, 광학에서의 기하학적 위상 설명:광학에서의 기하학적 위상의 응용
Surya Ganguli, Fibre Bundle 및 게이지 이론: 추락하는 고양이, 자기 단풍나무, 베리의 위상에 대한 통일적 설명
로버트 배터맨, 추락하는 고양이, 평행 주차 및 편광 조명
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추가 읽기

마이클 5세Berry ; 기하학적 위상, Scientific American 259 (6) (1988), 26-34 [4]

외부 링크

Wikiquote의 기하학적 단계 관련 인용구
"Geometric phases and the separation of the world by Michael Berry". YouTube. International Centre for Theoretical Sciences. February 10, 2020.

[Solem1993-1] Solem, J. C.; Biedenharn, L. C. (1993). "Understanding geometrical phases in quantum mechanics: An elementary example". Foundations of Physics. 23 (2): 185–195. Bibcode:1993FoPh...23..185S. doi:10.1007/BF01883623. S2CID 121930907.

[2] T. Kato (1950). "On the Adiabatic Theorem of Quantum Mechanics". J. Phys. Soc. Jpn. 5 (6): 435–439. Bibcode:1950JPSJ....5..435K. doi:10.1143/JPSJ.5.435.

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[Longuet-Higgins1958-4] 12페이지 H. C. Longuet Higgins; U. Öpik; M. H. L. Pryce; R. A. Sack (1958). "Studies of the Jahn-Teller effect .II. The dynamical problem". Proc. R. Soc. A. 244 (1236): 1–16. Bibcode:1958RSPSA.244....1L. doi:10.1098/rspa.1958.0022. S2CID 97141844.참조

[5] M. V. Berry (1984). "Quantal Phase Factors Accompanying Adiabatic Changes". Proceedings of the Royal Society A. 392 (1802): 45–57. Bibcode:1984RSPSA.392...45B. doi:10.1098/rspa.1984.0023. S2CID 46623507.

[6] G. Herzberg; H. C. Longuet-Higgins (1963). "Intersection of potential energy surfaces in polyatomic molecules". Discuss. Faraday Soc. 35: 77–82. doi:10.1039/DF9633500077.

[7] 분자 대칭과 분광학, 제2편.필립 R.벙커 및 퍼 젠슨, NRC 연구소의 오타와(1998) [1] ISBN 9780660196282

[8] Wilczek, F.; Shapere, A., eds. (1989). Geometric Phases in Physics. Singapore: World Scientific. p. 4.

[9] Jens von Bergmann; HsingChi von Bergmann (2007). "Foucault pendulum through basic geometry". Am. J. Phys. 75 (10): 888–892. Bibcode:2007AmJPh..75..888V. doi:10.1119/1.2757623.

[sinitsyn-07epl-10] N. A. Sinitsyn; I. Nemenman (2007). "The Berry phase and the pump flux in stochastic chemical kinetics". Europhysics Letters. 77 (5): 58001. arXiv:q-bio/0612018. Bibcode:2007EL.....7758001S. doi:10.1209/0295-5075/77/58001.

[Ning-Haken92-11] C.Z.Ning and H. Haken (1992). "Geometrical phase and amplitude accumulations in dissipative systems with cyclic attractors". Phys. Rev. Lett. 68 (14): 2109–2122. Bibcode:1992PhRvL..68.2109N. doi:10.1103/PhysRevLett.68.2109. PMID 10045311.

[Ning-HakenMPL-12] C.Z.Ning and H. Haken (1992). "The geometric phase in nonlinear dissipative systems". Mod. Phys. Lett. B. 6 (25): 1541–1568. Bibcode:1992MPLB....6.1541N. doi:10.1142/S0217984992001265.

[13] 자습서는 Jiamin Xue: "Berry phase and in graphene in graphene"(2013)를 참조하십시오.

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