뫼비우스 변환

기하학과 복소해석학에서 복소평면의 뫼비우스 변환은 다음 형태의 유리함수입니다.

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}

하나의 복소수 변수 z의 경우; 여기서 계수 a, b, c, d는 ad - bc ≠ 0을 만족하는 복소수입니다.

기하학적으로 뫼비우스 변환은 먼저 평면에서 단위 구로 역 입체 사영을 적용하고 구를 공간의 새로운 위치와 방향으로 이동 및 회전한 다음 입체 사영을 적용하여 구에서 다시 평면으로 매핑함으로써 얻을 수 있습니다.^[1] 이러한 변환은 각도를 보존하고 모든 직선을 선이나 원에 매핑하며 모든 원을 선이나 원에 매핑합니다.

뫼비우스 변환은 복잡한 사영선의 사영 변환입니다. 이들은 뫼비우스 군이라고 불리는 군을 형성하는데, 이 군은 사영 선형 군 PGL(2, C)입니다. 하위 그룹과 함께 수학 및 물리학 분야에서 수많은 응용 프로그램을 가지고 있습니다.

뫼비우스 기하학과 그 변환은 이 경우를 다른 분야에 비해 다양한 차원으로 일반화합니다.

뫼비우스 변환은 아우구스트 페르디난트 뫼비우스를 기리기 위해 명명된 것으로, 호모그래피, 선형 분수 변환, 쌍선형 변환, 스핀 변환(상대성 이론에서)의 한 예입니다.^[2]

개요

뫼비우스 변환은 ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ 된 복소 평면 C^ ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ = ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ ∪ { ∞ } ${\$ displaystyle ${\widehat$ {\mathbb {C}}}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}(즉, 무한대의 점으로 증강된 복소 평면)에서 정의됩니다.

입체 사영은 ${\widehat {\mathbb {C} }}$ ${\$ 를 구와 ${\widehat {\mathbb {C} }}$ 동일시하며, 이를 리만 구라고 합니다. ${\widehat {\mathbb {C} }}$ C ${\widehat {\mathbb {C} }}$ ${\$ 는 복소 사영선 $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}$ $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}$ ${\$ 로 생각할 수 있습니다 ${\widehat {\mathbb {C} }}$ $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}$ 뫼비우스 변환은 정확하게 리만 구에서 그 자체로의 주관적 등각 지도, 즉 복잡한 다양체로서의 리만 구의 자기 동형화이며, 또는 $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}$ 다양체로서의 CP $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}$ $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}$ ${\$ { $C} \mathbb$ { $P} ^{$ 1}의 $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}$ 자기 동형화입니다. 따라서 모든 뫼비우스 변환들의 집합은 구성 아래의 군을 형성합니다. 이 그룹을 뫼비우스 그룹이라고 하며, 때로는 $\operatorname {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})$ ⁡ $(C$ ^) ${\displaystyle \operatorname {Aut}({\widehat {\mathbb {$ C $\operatorname {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})$ 라고 합니다.

뫼비우스 그룹은 쌍곡 3-공간의 방향 보존 등각의 그룹과 동형이므로 쌍곡 3-매니폴드를 연구할 때 중요한 역할을 합니다.

물리학에서 로렌츠 군의 항등원 성분은 뫼비우스 군이 리만 구에 작용하는 것과 같은 방식으로 천구에 작용합니다. 사실 이 두 군은 동형입니다. 상대론적 속도로 가속하는 관측자는 지구 근처에서 볼 수 있는 별자리의 패턴이 무한소 뫼비우스 변환에 따라 연속적으로 변환되는 것을 보게 될 것입니다. 이 관측은 종종 트위스터 이론의 출발점으로 여겨집니다.

뫼비우스 군의 특정 부분군은 단순히 연결된 다른 리만 곡면(복소수 평면과 쌍곡 평면)의 자기 형태론 군을 형성합니다. 이처럼 뫼비우스 변환은 리만 표면 이론에서 중요한 역할을 합니다. 모든 리만 표면의 기본 군은 뫼비우스 군의 이산 부분군입니다(복시안 군과 클라이니아 군 참조). 뫼비우스 군의 특히 중요한 이산 부분군은 모듈러 군이며, 모듈러 형태, 타원 곡선 및 펠리안 방정식 이론의 중심입니다.

뫼비우스 변환은 차원 n > 2의 공간에서 n-구에서 n-구로의 주관적 등각 방향 보존 맵으로 더 일반적으로 정의될 수 있습니다. 이러한 변환은 도메인의 컨포멀 매핑의 가장 일반적인 형태입니다. 리우빌의 정리에 따르면 뫼비우스 변환은 번역, 유사성, 직교 변환 및 반전의 구성으로 표현될 수 있습니다.

정의.

뫼비우스 변환의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},

여기서 a, b, c, d는

ad

-

bc

≠ 0을 만족하는 임의의 복소수입니다.

$c$ ≠ 0인 경우, 이 정의는 다음과 같이 정의함으로써 리만 구 전체로 확장됩니다.

f\left ({\frac {-d}{c}}\right)=\infty {\text{ and }}f(\infty )={\frac {a}{c}

$c$ = $0$ 이면, 다음을 정의합니다.

f(\infty )=\infty .

따라서 뫼비우스 변환은 항상 리만 구에서 리만 구로 가는 주관적 홀로포밍 함수입니다.

모든 뫼비우스 변환들의 집합은 구성 아래 집단을 형성합니다. 이 군은 합성과 반전이 복소형 지도인 복소형 다양체의 구조를 부여받을 수 있습니다. 뫼비우스 군은 복소 리 군입니다. $\operatorname {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})$ 군은 일반적으로 오토 ⁡ $C$ ^) ${\$ displaystyle \operatorname {Aut}({\widehat {\mathbb {C}}})으로 표시되며, 리만 구의 오토모피즘 군입니다.

$ad$ = $bc$ 인 경우 위에서 정의된 유리 함수는 상수입니다(c = d = 0이 아닌 경우, 정의되지 않은 경우).

{\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}},

분모가 0인 분수는 무시됩니다. 상수 함수는 이분법적이지 않으므로 뫼비우스 변환으로 간주되지 않습니다.

고정점

모든 비 항등식 뫼비우스 변환은 리만 구에 두 개의 고정점 $\gamma _{1},\gamma _{2}$ γ 1 $,$ γ 2 ${\$ displaystyle $\gamma_{$ 1},\gamma_{2}를 가지고 있습니다. 여기서 고정된 점은 다중으로 계산됩니다. 포물선 변환은 고정된 점이 일치하는 것입니다. 이 고정된 점들 중 하나 또는 둘 다 무한대의 점일 수 있습니다.

고정점 결정

변환의 고정점은

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}

는 고정점 방정식 f(γ) = γ를 풀어서 얻어집니다. c ≠ 0의 경우, 이 방정식을 다음과 같이 확장하여 얻은 두 근을 갖습니다.

c\gamma ^{2}-(a-d)\ gamma -b=0\,

그리고 2차 공식을 적용합니다. 뿌리는.

\gamma _{1,2}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {\Delta }}}{2c}}

분별력 있게

\Delta =(\operatorname {tr} {\mathfrak {H}})^{2}-4\det {\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}-4(ad-bc).

포물선 변환은 0개의 판별식으로 인해 우연히 고정된 점을 갖습니다. 0이 아닌 판별식과 0이 아닌 판별식의 경우 변환은 타원형 또는 쌍곡선입니다.

c = 0일 때 2차 방정식은 선형 방정식으로 퇴화되고 변환은 선형입니다. 이것은 고정된 점 중 하나가 무한대의 점이라는 상황에 해당합니다. ≠ d가 유한할 때 두 번째 고정점은 다음과 같이 주어집니다.

{\displaystyle \gamma =-{\frac {b}{a-d}}.

이 경우 변환은 번역, 회전 및 확장으로 구성된 단순 변환이 됩니다.

z\maps to \alpha z+\beta .

c = 0이고 a = d인 경우 두 고정점은 무한대이며 뫼비우스 변환은 순수 번역에 해당합니다.

z\mapsto z+\beta.

위상 증명

위상적으로, (비 항등식) 뫼비우스 변환이 2개의 점(복수성)을 고정한다는 사실은 구면의 오일러 특성이 2인 것과 일치합니다.

\chi({\hat {\mathbb {C}}})=2.

첫째, 투영 선형 그룹 PGL(2, K)은 급격하게 3-경향적입니다. - 구별되는 점의 순서 3배에 대해 뫼비우스가 변환하는 것과 동일한 대수적 증명(본질적으로 그룹이 3차원인 것처럼 차원 계산)에 의해 하나의 삼중을 다른 삼중으로 취하는 고유한 맵이 있습니다. 따라서 최소 3개의 점을 고정하는 모든 지도가 항등식입니다.

다음으로, $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )$ ( $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )$ C $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )$ $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {C})$ 로 뫼비우스 군을 식별하면 모든 뫼비우스 함수가 $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )$ 항등원성임을 알 수 있습니다. 실제로, 일반 선형 그룹의 구성원은 가우스-조단 제거에 의해 동일성 맵으로 축소될 수 있으며, 이는 투영 선형 그룹이 경로 연결되어 동일성 맵에 대한 호모토피를 제공한다는 것을 보여줍니다. The Lefschetz–호프 정리(Hopf theorem)는 유한 개의 고정점이 있는 지도의 고정점의 지수(이 맥락에서 다중성)의 합은 지도의 레프셰츠 수와 같으며, 이 경우 단순히 오일러 특성인 상동성 그룹에 대한 항등식 지도의 흔적입니다.

반면 실제 투영 선의 투영 선형 그룹인 PGL(2, R)은 점을 고정할 필요가 없습니다. 예를 들어 $(1+x)/(1-x)$ ( $(1+x)/(1-x)$ + x $(1+x)/(1-x)$ ) $(1+x)/(1-x)$ / $(1+x)/(1-x)$ ( $(1+x)/(1-x)$ - $(1+x)/(1-x)$ ) ${\displaystyle (1$ + x) / (1 - x $)}$ 에는 (실제) 고정점이 없습니다. 복잡한 변환으로 ±i를 고정합니다. 반면 지도 2x는 0과 ∞의 두 점을 고정합니다. 이는 원의 오일러 특성(실사영선)이 0이라는 사실과 일치하며, 따라서 레프셰츠 고정점 정리는 최소 0점 이상을 고정해야 하지만 그 이상일 가능성이 있다고만 말합니다.

노멀폼

뫼비우스 변환은 또한 소위 정상 형태로 고정된 점의 관점에서 작성되기도 합니다. 우리는 먼저 두 개의 뚜렷한 고정점이 있는 비포물선 사례를 처리합니다.

포물선이 아닌 경우:

포물선이 아닌 모든 변환은 확장/회전, 즉 형태의 변환에 결합됩니다.

z\mapstockz

(k ∈ C) 0과 ∞에 고정된 점이 있습니다. 이것을 보려면 지도 정의

g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}

포인트(γ, γ)를 (0, ∞)로 보냅니다. 여기서 우리는 γ와 γ가 구별되고 유한하다고 가정합니다. 만약 그들 중 하나가 이미 무한대에 있다면 g는 무한대를 고정하고 다른 하나의 점을 0으로 보내기 위해 수정될 수 있습니다.

f에 서로 다른 고정점(γ, γ)이 있는 경우 변환 $gfg$ - 1 ${\displaystyle$ gfg^{-1}}은 0과 ∞에 고정점이 있으므로 $확장$ 입니다. $gfg^{-1}(z)=kz$ - $gfg^{-1}(z)=kz$ 1(z) = $kz$ {\ $displaystyle$ gfg^{-1}(z) = kz}. 그런 다음 변환 f에 대한 고정점 방정식을 쓸 수 있습니다.

{\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}

다음을 위한 풀이 포브(행렬 형태):

{\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&(k-1)\gamma _{1}\gamma _{2}\\1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}

또는 고정점 중 하나가 무한대인 경우:

{\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma,\infty )={\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}}.

위 식을 통해 고정점에서 f 의 도함수를 계산할 수 있습니다.

f'(\gamma _{1})=k

그리고.

f'(\gamma _{2})=1/k.

고정된 점들의 순서가 주어지면, 우리는 f 의 승수들 중 하나(k)를 특성 상수 off로 구별할 수 있습니다. 고정된 점의 순서를 반대로 하면 특성 상수에 대한 역승수를 취하는 것과 같습니다.

{\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma_{1},\gamma_{2})={\mathfrak {H}(1/k;\gamma_{2},\gamma_{1}).

록소드로믹 변환의 경우, k > 1일 때마다 γ이 반발 고정점이고, γ이 매력적인 고정점이라고 말합니다. k < 1의 경우 역할이 반대입니다.

포물선 경우:

포물선의 경우 고정된 점 γ가 하나만 존재합니다. 그 지점을 ∞로 보내는 변환은

g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}

또는 γ가 이미 무한대에 있다면 정체를 알 수 있습니다. 변환

gfg^{-1}

-

gfg^{-1}

{\

은 무한대를 고정하므로

gfg^{-1}

다음과 같이 변환됩니다.

gfg^{-1}(z)=z+\beta \,

여기서 β를 번역 길이라고 합니다. 포물선 변환에 대한 고정점 공식은 다음과 같습니다.

{\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }+\beta .

(행렬 형태의) f에 대한 풀이는 다음을 제공합니다.

{\mathfrak {H}}(\beta;\gamma)={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}

또는, γ = ∞:

{\mathfrak {H}}(\beta;\infty)={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}

β는 포물선 변환의 경우 항상 1인 f의 특성 상수가 아닙니다. 위 식을 통해 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

f'(\gamma)=1.

변환의 극점

${\textstyle z_{\infty }=-{\frac {d}{c}}}$ ${\textstyle z_{\infty }=-{\frac {d}{c}}}$ ∞ = - d ${\textstyle z_{\infty }=-{\frac {d}{c}}}$ c {\textstyle ${\mathfrak {H}}$ z_{\infty} =-{\frac {d}{c}}는 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}의 극으로 불리는데, 이 점은 H {\displaystyle {\mathfrak {H}} 아래에서 무한대의 점으로 변환됩니다.

역극 ${\textstyle Z_{\infty }={\frac {a}{c}}}$ ∞ = c ${\$ textstyle Z_{\infty} = {\frac {a}{c}}는 무한대의 점이 변환되는 지점입니다. 두 극의 중간 지점은 항상 두 고정 지점의 중간 지점과 동일합니다.

\gamma_{1}+\gamma_{2}=z_{\infty}+Z_{\infty}

이 네 개의 점은 변환의 특징적인 평행사변형이라고도 불리는 평행사변형의 꼭짓점입니다.

변환 ${\mathfrak {H}}$ ${\mathfrak {H}$ 은 두 개의 고정 점 γ $,$ γ 및 pole z ∞ ${\$ displaystyle z_{\infty}}로 지정할 수 있습니다.

{\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}Z_{\infty }&-\gamma _{1}\gamma _{2}\\1&-z_{\infty }\end{pmatrix}}\;\;Z_{\infty }=\gamma _{1}+\gamma _{2}-z_{\infty

이를 통해 $\gamma _{1},\gamma _{2}$ γ 1, γ $2 {\displaystyle$ \gamma_ $\gamma _{1},\gamma _{2}$ 1},\gamma_{2}가 주어진 $\gamma _{1},\gamma _{2}$ 와 $z_{\infty }$ ∞ {\displaystyle $z_{\$ infty}} 간의 변환 공식을 도출할 수 있습니다.

z_{\infty}={\frac {k\gamma _{1}-\gamma _{2}}{1-k}

k={\frac {\gamma _{2}-z_{\infty }}{\gamma _{1}-z_{\infty }}={\frac {Z_{\infty }-\gamma _{1}{Z_{\infty }-\gamma _{2}}={\frac {a-c\gamma _{1}}{a-c\gamma _{2}

로 줄었습니다.

k={\frac {(a+d)+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{(a+d)-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}}.

마지막 식은 행렬의 (상호) 고유값 비율 ${\textstyle {\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}$ λ 1 λ 2 ${\textstyle {\lambda _{$ 1}}{\lambda _{2}} 중 하나와 일치합니다.

{\mathfrak {H}}={\b\c&d\end {pmatrix}

변환을 나타냅니다(compare 변환의 특성 상수에 대한 앞 절의 논의). 특성 다항식은 다음과 같습니다.

\det(\lambda I_{2}-{\mathfrak {H}})=\lambda ^{2}-\\operatorname {tr} {\mathfrak {H}}\,\lambda +\det {\mathfrak {H}}=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad-bc)

뿌리가 있는

\lambda _{i}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2}}=c\gamma _{i}+d\,.

단순 뫼비우스 변환 및 구성

뫼비우스 변환은 단순 변환의 시퀀스로 구성될 수 있습니다.

다음과 같은 간단한 변환도 뫼비우스 변환입니다.

$f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)$ = $z$ + b $f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)$ (a = 1 $f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)$ c = 0 $f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)$ d = 1) {\displaystyle f $f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)$ z) = z $f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)$ quad $f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)$ (a = 1 $f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)$ c = 0 $f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)$ d = 1)}는 번역입니다.
$f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)$ = $f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)$ (b = 0 $f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)$ c = 0 $f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)$ d = 1) {\displaystyle f $f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)$ z) = $f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)$ quad $f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)$ (b = 0 $f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)$ c = 0 $f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)$ d = 1)}는 호모티와 회전의 조합입니다. = $1$ $style$ a = 1}이면 $|a|=1$ 회전이고, ∈ $a\in \mathbb {R}$ {\style a\ $in$ \mathbb {R}이면 동형 사상입니다.
$f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ ( $f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ ) = $1$ / $f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ (a = 0 $f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ b = 1 $f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ c = 1 $f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ d = 0) {\displaystyle f $f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ z) = 1 $f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ quad $f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ (a = 0 $f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ b = 1 $f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ c = 1 $f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ d = 0)} (실축에 $f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ sion 및 반사)

단순 변환의 구성

$c가$ ≠ 0인 $경우 {\displaystyle$ c\n $eq$ 0 $c\neq 0$ 다음을 입력합니다.

$f_{1}(z)=z+d/c\quad$ $f_{1}(z)=z+d/c\quad$ ) = z $f_{1}(z)=z+d/c\quad$ + d / c {\displaystyle f_{1 $f_{1}(z)=z+d/c\quad$ (z) = z + $f_{1}(z)=z+d/c\quad$ quad } (d/c로 번역)
$f_{2}(z)=1/z\quad$ 2 $f_{2}(z)=1/z\quad$ ) = 1 $f_{2}(z)=1/z\quad$ / $f_{2}(z)=1/z\quad$ {\displaystyle f_{2 $f_{2}(z)=1/z\quad$ (z) = 1 $f_{2}(z)=1/z\quad$ quad } (실축에 $f_{2}(z)=1/z\quad$ rsion 및 반사)
$f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad$ 3 $f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad$ ) = $f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad$ c - ad c 2 z {\displaystyle f_{3 $f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad$ (z) = {\frac {bc-ad}{c^{2 $f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad$ quad } (동형 및 회전)
$f_{4}(z)=z+a/c\quad$ $f_{4}(z)=z+a/c\quad$ ) = z $f_{4}(z)=z+a/c\quad$ + a / c {\displaystyle f_{4 $f_{4}(z)=z+a/c\quad$ (z) = z+ $f_{4}(z)=z+a/c\quad$ quad } (a/c로 번역)

그런 다음 이 함수를 구성하여 다음과 같이 표시할 수 있습니다.

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},

가지고 있는

{\displaystyle f=f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}.

즉, 한 사람은

{\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {e}{z+{\frac {d}{c}}}},

와 함께

{\displaystyle e={\frac {bc-ad}{c^{2}}.

이러한 분해는 뫼비우스 변환의 많은 특성을 명확하게 합니다.

기본 속성

뫼비우스 변환은 일련의 단순한 변환과 같습니다. 구성은 뫼비우스 변환의 많은 특성을 명확하게 합니다.

역변환 공식

역 뫼비우스 변환의 존재와 그것의 명시적인 공식은 더 단순한 변환의 역함수의 구성에 의해 쉽게 도출됩니다. 즉_i, 각_i g가 f의 역이 되도록₄ 함수 g₁, g₂, g₃, g를 정의합니다. 그러면 구성이.

g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4}(z)=f^{-1}(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}

는 역수에 대한 공식을 제공합니다.

각도와 일반화된 원의 보존

이러한 분해로부터, 우리는 뫼비우스 변환이 원 반전의 모든 사소한 특성을 수행한다는 것을 알 수 있습니다. 예를 들어, 각도 보존은 각도를 보존하는 확장과 등각선(번역, 반사, 회전)이기 때문에 원 반전이 각도를 보존한다는 것을 증명하기 위해 축소됩니다.

또한 뫼비우스 변환은 일반화된 원과 일반화된 원을 매핑하는데, 이는 원 반전이 이러한 특성을 가지고 있기 때문입니다. 일반화된 원은 원 또는 선이며, 후자는 무한대의 점을 통과하는 원으로 간주됩니다. 뫼비우스 변환이 반드시 원을 원에, 선을 선에 매핑하는 것은 아니며, 두 개를 혼합할 수 있습니다. 원을 다른 원에 매핑하더라도 반드시 첫 번째 원의 중심을 두 번째 원의 중심에 매핑할 필요는 없습니다.

교차비율보존

교차 비율은 뫼비우스 변환 하에서 불변입니다. 즉, 뫼비우스 변환이 4개의 서로 다른 점 $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ 1 $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ z $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ ${\$ 를 $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ $w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}$ $w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}$ 의 서로 다른 점 w $w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}$ $w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}$ $w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}$ $w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}$ , w 4 {\displaystyle $w_{1}, w_{2}, w_3}, w_4}$ 를 매핑하면,

{\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4})}}.

점 $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4$ 중 하나가 무한대에 있는 점인 경우 교차 비율은 $z_{1},z_{2},z_{3},\infty$ 제한을 사용하여 정의해야 합니다. 예를 들어, $z_{1},z_{2},z_{3},\infty$ 1, $z_{1},z_{2},z_{3},\infty$ 2 $z_{1},z_{2},z_{3},\infty$ $z_{1},z_{2},z_{3},\infty$ $3$ ∞ ${\displaystyle z_{1}, z_{$ 2}, $z_$ {3 $},\$ infty}의 교차 비율은 다음과 같습니다.

{\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}.

네 개의 다른 점들의 교차비는 선이나 원이 그들을 통과하는 경우에만 실제입니다. 이것은 뫼비우스 변환이 일반화된 원을 보존한다는 것을 보여주는 또 다른 방법입니다.

공액

일반화된 원 D가₁ z와₂ z를 통과하고 두 점 a와 b에서 C를 절단하는 경우 (z₁, z; a, b), (z, z₂; a, b)는 조화 교차비(즉, 그들의 교차비는 -1)일 때, 두 점 z와₁ z는₂ 일반화된 원 C에 대해 켤레입니다. 이 속성은 원 D의 선택에 의존하지 않습니다. 이 속성은 선 또는 원에 대해 대칭이라고도 합니다.^[3]^[4]

두 점 z, z는^∗ 선에 대해 대칭인 경우 선에 대해 공액입니다. 두 점은 원에 대해 공역을 하면 원에 대해 공역을 합니다.

점^∗ z는 L이 점 z에서₀ e에^iθ 기초하여 벡터에 의해 결정되는 선일 때 z에 켤레입니다. 이것은 명시적으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

z^{*}=e^{2i\theta }\,{\overline {z-z_{0}}}+z_{0}.

C가 z를₀ 중심으로 하는 반지름 r의 원일 때, 점 z는^∗ z에 켤레입니다. 이것은 명시적으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

z^{*}={\frac {r^{2}}{\overline {z-z_{0}}}+z_{0}

뫼비우스 변환은 일반화된 원과 교차 비율을 보존하기 때문에 결합도 보존합니다.

투영 행렬 표현

뫼비우스 군과 PGL 간의 동형

복소 사영선 CP에¹ 대한 PGL(2, C)의 자연 작용은 정확히 리만 구에 대한 뫼비우스 군의 자연 작용입니다.

복소 사영선과 리만 구면의 대응

여기서 사영선 CP와¹ 리만 구는 다음과 같이 식별됩니다.

{\displaystyle [z_{1}:z_{2}]\ \ thicksim {\frac {z_{1}}{z_{2}}.

여기서 [z:z]는 CP의 동차 좌표이며, 점 [1:0]은 리만 구의 점 ∞에 해당합니다. 뫼비우스 변환과 관련된 많은 계산은 동차 좌표를 사용함으로써 단순화될 수 있습니다. 왜냐하면 ∞를 다루는 경우의 구별이 필요하지 않기 때문입니다.

복소 사영선에 대한 PGL(2, C)의 작용

모든 가역적 복소수 2×2 행렬

{\mathfrak {H}}={\b\c&d\end {pmatrix}

사영선 상에서 작용하는 것은

z=[z_{1}:z_{2}]\mapsto w=[w_{1}:w_{2}],

어디에

{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}az_{1}+bz_{2}\\cz_{1}+dz_{2}\end{pmatrix}}.

결과는 그러므로

w=[w_{1}:w_{2}]=[az_{1}+bz_{2}:cz_{1}+dz_{2}]

위의 항등식을 이용하면 리만 구 위의 다음과 같은 점에 해당합니다.

w=[az_{1}+bz_{2}:cz_{1}+dz_{2}]\thicksim {\frac {az_{1}+bz_{2}}{cz_{1}+dz_{2}}}={\frac {a{\frac {z_{1}}{z_{2}}}+b}{c{\frac {z_{1}}{z_{2}}}+d}}.

리만 구면에서 뫼비우스 변환과 동치

위 행렬은 그것의 행렬식 $ad$ - $bc$ 가 0이 아닌 경우에만 가역적이기 때문에, 이것은 복잡한 사영선에서 PGL(2, C)의 작용과 함께 뫼비우스 변환 그룹의 작용의 식별을 유도합니다. 이 식별에서 위 행렬 ${\mathfrak {H}}$ ${\$ $displaystyle {\mathfrak {H}}$ 는 뫼비우스 변환 $z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.$ ↦ az + b $z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.$ + $z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.$ . {\ $displaystyle$ z $\maps$ to ${\frac {az+b}{$ cz+d}}에 해당합니다.

${\mathfrak {H}}$ 식별은 ${\mathfrak {H}}$ H {\ $displaystyle$ {\ $mathfrak$ { $H}}$ 와 0이 아닌 스칼라 $\lambda$ λ ${\$ displaystyle \lambda }의 곱셈이 PGL(2, C)의 요소를 변경하지 않으며, 이 곱셈이 모든 행렬 $\lambda ,$ 에 $\lambda ,$ λ ${\displaystyle$ \lambda, $}$ 이는 $\lambda ,$ 해당 뫼비우스 변환을 변경하지 않습니다.

기타그룹

임의의 필드 K에 대하여, 사영 선형 자기 동형의 그룹 PGL(2, K)을 부분 선형 변환의 그룹과 유사하게 식별할 수 있습니다. 이것은 예를 들어 광학에서 실제 선의 호모그래피와 그 응용에 대한 연구에 널리 사용됩니다.

${\mathfrak {H}}$ ${\$ 를 행렬식의 제곱근으로 ${\mathfrak {H}}$ 나누면 행렬식 1을 얻을 수 있습니다. 이것은 $\pm I$ ± $\pm I$ $\pm I$ 를 커널로 $\pm I$ 하는 특수 선형 그룹 SL(2, C)에서 PGL(2, C)로 주관적 그룹 동형을 유도합니다.

이를 통해 뫼비우스 군이 3차원 복소 리 군(또는 6차원 리얼 리 군)이며, 이는 반단순하고 비콤팩트한 군이며, SL(2,C)이 PSL(2,C)의 이중 피복임을 알 수 있습니다. SL(2, C)은 단순히 연결되어 있기 때문에 뫼비우스 군의 보편 피복이며, 뫼비우스 군의 기본 군은 Z입니다₂.

변환을 3점으로 지정

리만 구면에 $z_{1},z_{2},z_{3}$ $z_{1},z_{2},z_{3}$ 세 개의 구별점 z $z_{1},z_{2},z_{3}$ 1, $z_{1},z_{2},z_{3}$ $z_{1},z_{2},z_{3}$ $z_{1},z_{2},z_{3}$ 3 $z_{1},z_{2},z_{3}$ {\ $displaystyle z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 집합과 두 번째 구별점 $w_{1},w_{2},w_{3}$ $w_{1},w_{2},w_{3}$ $w_{1},w_{2},w_{3}$ $w_{1},w_{2},w_{3}$ $w_{1},w_{2},w_{3}$ 3 ${\$ 집합이 주어지면 $w_{1},w_{2},w_{3}$ j = 1, 2, 3 {\displaystyle j=1, 2, 3}에 대해 $f(z_{j})=w_{j}$ j $f(z_{j})=w_{j}$ = $f(z_{j})=w_{j}$ j $f(z_{j})=w_{j}$ $displaystyle$ f(z_{j})= w_{j}}를 갖는 뫼비우스 변환 $f(z)$ ( $f(z)$ $f(z)$ 가 정확히 하나 존재합니다. (즉, 리만 구에 대한 뫼비우스 군의 작용은 급격하게 3-일시적입니다.) $f(z)$ 점 집합에서 $f(z)$ f $f(z)$ ${\displaystyle$ f $(z)}$ 를 결정하는 몇 가지 방법이 있습니다.

0, 1,,로 먼저 매핑

뫼비우스 변환을 쉽게 확인할 수 있습니다.

f_{1}(z)={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}

행렬이 있는

{\mathfrak {H}}_{1}={\begin{pmatrix}z_{2}-z_{3}&-z_{1}(z_{2}-z_{3})\\z_{2}-z_{1}&-z_{3}(z_{2}-z_{1})\end{pmatrix}}

$z_{1},z_{2}{\text{ and }}z_{3}$ $z_{1},z_{2}{\text{ and }}z_{3}$ 1, $z_{1},z_{2}{\text{ and }}z_{3}$ $z_{1},z_{2}{\text{ and }}z_{3}$ $z_{1},z_{2}{\text{ and }}z_{3}$ z $z_{1},z_{2}{\text{ and }}z_{3}$ {\ $displaystyle z_{1}, z_{2}{\text{ and }}z_{3}}~$ $0$ $0,1,\ {\text{and}}\ \infty ,$ ∞, ${\displaystyle$ 0, 1 $,$ {\ $text{and}}\\$ infty,}를 매핑합니다. $z_{j}$ $z_{j}$ 중 $하나가$ ∞ {\ $displaystyle$ infty}인 경우, ${\mathfrak {H}}_{1}$ 다음 ${\mathfrak {H}}_{1}$ 의 것으로부터 $z_{j}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathfrak {H}_{1}}$ 에 대한 적절한 공식을 구합니다. 먼저 모든 엔트리를 zj $z_{j}$ 로 나눈 다음 $z_{j}\to \infty$ z → $z_{j}\to \infty$ ∞ {\ $displaystyle z_$ {j}\to $\$ infty}를 취합니다 $.$

If ${\mathfrak {H}}_{2}$ is similarly defined to map $w_{1},w_{2},w_{3}$ to $0,1,\ {\text{and}}\ \infty ,$ then the matrix ${\mathfrak {H}}$ which maps ${\displaystyle z_{1,$ $2,3}}$ ~ $w_{1,2,3}$ $w_{1,2,3}$ ${\$ 가 됩니다 $w_{1,2,3}$ .

{\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}_{2}^{-1}{\mathfrak {H}_{1}

$0$ $\{0,1,\infty \}$ ∞ } {\displaystyle \{0, 1,\infty \}(순서화되지 않은 집합)의 안정기는 하모닉 그룹으로 알려진 하위 그룹입니다.

명시적 행렬식

방정식이.

w={\frac {az+b}{cz+d}

표준 쌍곡선의 방정식과 같습니다.

cwz-az+ dw-b=0

$(z,w)$ $(z,w)$ $(z,w)$ -평면에서 $(z,w)$ . The problem of constructing a Möbius transformation ${\mathfrak {H}}(z)$ mapping a triple $(z_{1},z_{2},z_{3})$ to another triple $(w_{1},w_{2},w_{3})$ is thus equivalent to finding the coefficients $a,$ $b,$ $c,$ $d$ ${\displaystyle a$ c, d} 점 $(z_{i},w_{i})$ ( $(z_{i},w_{i})$ $(z_{i},w_{i})$ $(z_{i,w_{i})$ 을 지나는 쌍곡선의 a $(z_{i},w_{i})$ b,c $,d}.$ 명시적인 방정식은 행렬식을 평가함으로써 찾을 수 있습니다.

\det {\begin{pmatrix}zw&z&w&1\\z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}\,

첫 번째 줄을 따라 라플라스 확장을 통해. 그 결과 행렬식이 생성됩니다.

a=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}

b=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}\end{pmatrix}}

c=\det {\begin{pmatrix}z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}

d=\det {\begin{pmatrix}z_{1}w_{1}&z_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&1\end{pmatrix}}

${\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ 행렬 ${\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ = ${\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ (b $c$ d ) {\ $displaystyle$ ${\$ $mathfrak$ {H}} = {\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}}의 $a,b,c,d$ a $,$ b $,$ $c,$ d ${\$ displaystyle $a, b,$ c, d $}$ 입니다. The constructed matrix ${\mathfrak {H}}$ has determinant equal to $(z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})(w_{1}-w_{2})(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{3})$ which does not $z_{j}$ $z_{j}$ ${\$ resp $z_{j}$ . $w_{j}$ j ${\$ 가 쌍으로 다르므로 $w_{j}$ 뫼비우스 변환이 잘 정의되어 있으면 사라집니다. $z_{j}$ $z_{j}$ j $z_{j}$ {\ $displaystyle z_{j}}$ $w_{j}$ w $w_{j}$ j {\ $displaystyle$ w_ ${j$ } 중 $하나가$ ∞ {\ $displaystyle$ \infty}인 경우, 먼저 4개의 결정 요소를 모두 이 변수로 나눈 다음 변수가 ∞ {\displaystyle \infty}에 가까워질 때 한계를 취합니다.

뫼비우스 군의 부분군

뫼비우스 변환의 계수 a, $b$ , $c$ , $d$ ${\displaystyle$ a, $b$ , $c, d}$ 가 d - $ad-bc=1$ $ad-bc=1$ = $ad-bc=1$ ${\$ displaystyle ad-bc = 1}인 실수가 필요하면 PSL(2, R)로 표시된 뫼비우스 그룹의 하위 그룹을 얻습니다. 이것은 상위 반평면 H = x + iy : y > 0을 자신에게 매핑하는 뫼비우스 변환의 그룹이며, 모든 생체형(또는 동등하게: 양방향, 등각 및 방향 보존) 맵 H → H의 그룹과 동일합니다. 적절한 메트릭이 도입되면, 상위 반평면은 쌍곡면 H의² 모델이 되고, Poincaré 반평면 모델이 되며, PSL(2, R)은 이 모델에서 H의² 모든 방향 보존 등각의 그룹입니다.

열린 원반 D = z : z < 1 을 자신에게 매핑하는 모든 뫼비우스 변환의 부분군은 모든 형태의 변환으로 구성됩니다.

f(z)=e^{i\phi }{\frac {z+b}{{\bar {b}}z+1}}

ϕ

\phi

{\displaystyle \phi } ∈ R, b ∈ C 및 b < 1. 이는 모든 생체 동형(또는 동등하게: 쌍방향, 각도 보존 및 방향 보존) 맵 그룹 D → D와 같습니다. 적절한 메트릭을 도입함으로써 열린 디스크는 쌍곡면의 또 다른 모델인 푸앵카레 디스크 모델로 바뀌며, 이 그룹은 이 모델에서² H의 모든 방향 보존 등각의 그룹입니다.

위의 두 부분군은 모두² H의 등각군 역할을 하므로 동형입니다. 변환과 결합하여 구체적인 동형이 주어집니다.

f(z)={\frac {z+i}{iz+1}

열린 단위 디스크를 상반면에 객관적으로 매핑합니다.

또는 ri를 중심으로 반지름이 r인 열린 디스크를 고려합니다. 이 디스크의 Poincaré 디스크 모델은 r이 ∞에 가까워질수록 상위 반평면 모델과 동일합니다.

뫼비우스 군 ${\mathcal {M}}$ ${\$ {M $}}$ 의 최대 콤팩트 부분군은 다음과 ${\mathcal {M}}$ 같습니다(Tóth 2002).^[5]

{\mathcal {M}}_{0}:=\left\{z\maps to {\frac {uz-{\bar {v}}{vz+{\bar {u}}}: u^{2}+ v ^{2}=1\right\}

그리고 동형

{\mathcal {M}}\cong \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )

≅

{\mathcal {M}}\cong \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )

⁡(2, C) {\

displaystyle {\mathcal

{M}}\

cong \operatorname {PSL}(

2,\mathbb {C})}에서 3차원 회전의 특수 직교군 SO(3)와 동형이며 리만 구의 회전으로 해석할 수 있습니다. 모든 유한 부분군은 이 최대 콤팩트 군에 결합되므로 이들은 3차원 점군인 다면체 군과 정확히 일치합니다.

펠릭스 클라인(Felix Klein)은 뫼비우스 변환의 20면체 그룹을 사용하여 (Klein 1913)의 5차 방정식에 대한 분석적 해결책을 제시했습니다. (Tóth 2002)에 현대적인 설명이 제공됩니다.^[6]

뫼비우스 변환의 계수 a, b, c, d가 ad - bc = 1인 정수가 필요한 경우 복잡한 평면의 격자, 타원 함수 및 타원 곡선 연구에서 중요한 PSL(2, R)의 이산 하위 그룹인 모듈 그룹 PSL(2, Z)을 얻습니다. PSL의 이산 부분군(2, R)을 푹시안 군(Fuchsian group)이라고 하며, 이들은 리만 표면 연구에서 중요합니다.

분류

다음 논의에서는 항상 표현 행렬 ${\mathfrak {H}}$ ${\mathfrak {H}$ 가 $\det {\mathfrak {H}}=ad-bc=1$ H = $\det {\mathfrak {H}}=ad-bc=1$ - b $\det {\mathfrak {H}}=ad-bc=1$ = $\det {\mathfrak {H}}=ad-bc=1$ ${\displaystyle$ \det {\mathfrak {H} = ad-bc = 1}이 되도록 정규화되었다고 가정합니다.

비동일성 뫼비우스 변환은 일반적으로 포물선, 타원형, 쌍곡선 및 록소드로믹의 네 가지 유형으로 분류되며 쌍곡선은 록소드로믹의 하위 클래스입니다. 분류는 대수적 및 기하학적 의미를 모두 가지고 있습니다. 기하학적으로 다른 유형은 아래 그림에서 보여주는 것처럼 복잡한 평면의 다른 변환을 초래합니다.

트레이스 $\operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=a+d$ ⁡ H = $a$ + d {\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}= a+d}를 보면 4가지 유형을 구분할 수 있습니다. 궤적은 공액 하에서 불변입니다. 즉,

\operatorname {tr} \,{\mathfrak {GHG}}^{-1}=\operatorname {tr} \,{\mathfrak {H}

그래서 공액 클래스의 모든 구성원은 동일한 흔적을 갖게 될 것입니다. 모든 뫼비우스 변환은 표현 행렬

{\mathfrak {H}}

{\

가 (엔트리에 적합한 스칼라를 곱함으로써) 결정적인 것을 갖도록

{\mathfrak {H}}

기록될 수 있습니다. Two Möbius transformations

{\mathfrak {H}},{\mathfrak {H}}'

(both not equal to the identity transform) with

\det {\mathfrak {H}}=\det {\mathfrak {H}}'=1

are conjugate if and only if

\operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=\operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}'.

{\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=\operatorname {tr} ^{\mathfrak {H}}'입니다.

}

포물선 변환

행렬식 1의 ${\mathfrak {H}}$ ${\mathfrak {H}}$ H ${\mathfrak {H}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathfrak {H}}$ 로 정의된 비 항등식 뫼비우스 변환은 포물선이라고 합니다. 다음과 같습니다.

\operatorname {tr}^{2}{\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}=4

(따라서 트레이스는 + 또는 - 2입니다.

{\mathfrak {H}}

{\

은(는) 부호까지만 결정되므로

{\mathfrak {H}}

주어진 변환에 대해 둘 중 하나가 발생할 수 있습니다.)

{\mathfrak {H}}

H

{\

에 대한 선택 중 하나는 항등 행렬과 동일한 특성 다항식² X - 2X + 1을 가지므로

{\mathfrak {H}}

전능하지 않습니다. 뫼비우스 변환은 확장된 복소 평면

{\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}

^

{\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}

=

C

∪ {∞ }

{\

displaystyle

{\

widehat {\mathbb {C}}} =\mathbb {C} \cup \{\infty \} 에 대한 행렬 켤레로 정의될 수 있는 경우에만 발생하는 포물선입니다.

{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}

복잡한 평면에서의 번역을 설명합니다.

${\widehat {\mathbb {C} }}$ ${\$ 에서 주어진 고정점을 갖는 모든 포물선 뫼비우스 변환의 집합은 ${\widehat {\mathbb {C} }}$ 항등식과 함께 부분군을 형성합니다.

\left\{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}\mid b\in \mathbb {C} \right\};

이것은 보렐 부분군(뫼비우스 군, 또는 행렬 군에 대한 SL(2, C)의 전능한 라디칼의 예이며, 이 개념은 임의의 환원적 Lie 군에 대해 정의됩니다.

특성상수

포물선이 아닌 모든 변환은 두 개의 고정된 점을 가지며 다음과 같은 행렬에 의해 정의됩니다.

{\begin{pmatrix}\lambda &0\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}

복소수 λ이 0, 1 또는 -1과 같지 않은 경우, 변환의 특성 상수 또는 승수라고 하는 복소수 k = λ의 곱셈을 통한 확장/rotation에 해당합니다.

타원 변환

이 변환은 그 ${\mathfrak {H}}$ 이 ${\mathfrak {H}}$ 실수인 $행렬$ H {\ $displaystyle {\mathfrak {$ H}}로 ${\mathfrak {H}}$ 표현될 수 있다면 타원형이라고 합니다 $.$

0\leq \operatorname {tr}^{2}{\mathfrak {H}}<4.

변환은 λ = 1이고 λ ≠ ±1인 경우에만 타원형입니다. λ = ei $\lambda =e^{i\alpha }$ α {\displaystyle \ lambda = e^{i\alpha}} 쓰기, 타원 변환은 다음에 공액됩니다.

{\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}

α리얼로.

특성 상수가 k인 ${\mathfrak {H}}$ ${\mathfrak {H}}$ 의 H ${\$ 에 대하여 ${\mathfrak {H}}^{n}$ ${\$ 의 특성 상수는 k입니다 ${\mathfrak {H}}^{n}$ ⁿ. 따라서 유한한 순서의 모든 뫼비우스 변환은 타원 변환, 즉 정확히 λ이 통합의 뿌리인 경우 또는 동등하게 α가 π의 합리적 $배수$ 인 경우입니다. 분수 다중 평균 α = π/2의 가장 단순한 가능성은 tr ⁡ H = 0 {\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=0}의 고유한 $경우$ 이기도 하며, 이는 기하학적으로 약 2개의 고정점에 대해 180° 회전하는 것과 일치합니다. 이 클래스는 행렬 형태로 표시됩니다.

{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.

이 세

1-z

의 대칭 그룹에 있는 3개의 전위인 {0, 1, ∞}를 고정하는 대표자가 있습니다.

1-z

1/z, {\displaystyle 1/z}는 1을 고정하고 0을 ∞(점 1 및 -1을 기준으로 180° 회전)와 스왑합니다. 1 - z {\displaystyle 1-z}, ∞를 고정하고 0을 1과 스왑합니다(점 1/2 및 ∞에 대해 180° rotation). 0을 고정하고 1을 ∞과 스왑하는 z / (z - 1 ) {\displaystyle z/(z-1)}.

쌍곡 변환

만약 이 변환이 그 ${\mathfrak {H}}$ 이 ${\mathfrak {H}}$ 실수인 $행렬$ H {\ $displaystyle {\mathfrak$ {H ${\mathfrak {H}}$ }}로 표현될 수 있다면 쌍곡선이라고 합니다 $.$

\operatorname {tr}^{2}{\mathfrak {H}}>4.

변환은 λ가 실제이고 λ ≠가 ±1인 경우에만 쌍곡선입니다.

록소드로믹 변환

$\operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}$ 은 $2$ ⁡ H ${\displaystyle \operatorname$ { $tr}$ ^{ $2}{\mathfrak$ {H}}가 [0, 4]에 없으면 loxodromic이라고 합니다. 변환은 $|\lambda |\neq 1$ λ ≠ 1 {\ $displaystyle \lambda$ \n인 경우에만 loxodromic입니다. $eq$ 1 $|\lambda |\neq 1$

역사적으로 록스로드롬이나 마름모선에 의한 항해는 일정한 베어링의 경로를 의미합니다. 그 결과 생성된 경로는 로그 나선형으로 록스드로믹 뫼비우스 변환이 만드는 복잡한 평면의 변환과 유사한 형태입니다. 아래의 기하학적 도형을 참조하십시오.

일반구분

변신	트레이스 제곱	승수	학급대표
원형	σ = 0	k = -1	${\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}$	z ↦-z
타원형	0 ≤ σ < 4	k = 1 $k=e^{\pmi\theta}\neq 1$	${\begin{pmatrix}e^{i\theta /2}&0\\0&e^{-i\theta /2}\end{pmatrix}$	z ↦ z
포물선	σ = 4	k = 1	${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}$	z ↦ z + a
쌍곡	4 < σ <	$k\in \mathbb {R} ^{+}$ $k=e^{\pm \theta}\neq 1$	${\begin{pmatrix}e^{\theta /2}&0\0&e^{-\theta /2}\end{pmatrix}$	z ↦ z
Loxodromic	σ ∈ C \ [0,4]	$k \neq 1$ $k=\lambda ^{2},\lambda ^{-2}$	${\begin{pmatrix}\lambda &0\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}$	z ↦ kz

실제 사례와 용어에 대한 주석

실수 위에서는 (계수가 실제여야 하는 경우) 쌍곡선이 아닌 록소드로믹 변환이 없으며 분류는 실제 원뿔의 경우와 같이 타원형, 포물선 및 쌍곡선으로 구성됩니다. 이 용어는 trace의 절대값인 tr /2의 절반을 변환의 편심으로 간주하기 때문입니다 – 차원에 대해 2로 나눈 것이 수정되므로 항등식이 편심도 1을 갖습니다(이 때문에 tr / n은 때때로 trace의 대안으로 사용됩니다). 그리고 절대값은 PSL 작업으로 인해 ±1의 인자까지만 정의된 트레이스에 대해 수정됩니다. 또는 위에서 수행한 것과 같이 이심률 제곱의 절반을 이심률 제곱의 대용으로 사용할 수도 있습니다. 이러한 분류는 실제 이심률과 일치하지만(제곱과 절대값이 다르기 때문에 정확한 이심률 값은 아닙니다) 복잡한 이심률은 아닙니다. SL(2, R)의 요소를 분류하는 데에도 동일한 용어가 사용되며(2중 덮개), 다른 곳에서도 유사한 분류가 사용됩니다. 록소드로믹 변환은 본질적으로 복잡한 현상이며 복잡한 이심률에 해당합니다.