쌍곡선 운동

기하학에서 쌍곡선 운동은 쌍곡선 공간의 등축 자동화다.매핑의 구성에서 쌍곡선 운동은 연속 그룹을 형성한다.이 그룹은 쌍곡선 공간의 특징을 나타낸다고 한다.그러한 기하학적 접근법은 펠릭스 클라인이 에를랑겐 프로그램에서 배양한 것이다.기하학을 그것의 특징적인 그룹으로 축소하는 아이디어는 특히 마리오 피에리가 기하학의 원초적인 개념을 단지 점과 움직임으로 축소하는 것에 의해 개발되었다.

쌍곡선 운동은 종종 역행 기하학에서 취한다: 이것들은 선이나 원의 반사(또는 2차원 이상의 2차원 쌍곡선 공간에 대한 쌍곡선 또는 하이퍼스피어.쌍곡선 운동을 구별하기 위해 특정 선이나 원을 절대자로 한다.단서는 절대자는 모든 쌍곡선 운동의 불변 집합이어야 한다는 것이다.절대자는 평면을 두 개의 연결된 구성요소로 나누며, 쌍곡선 운동은 이러한 구성요소를 허용해서는 안 된다.

반전 기하학 및 쌍곡선 움직임의 가장 보편적인 맥락 중 하나는 뫼비우스 변환에 의한 복잡한 평면 매핑의 연구에 있다.복합함수에 관한 교과서에서는 쌍곡 기하학의 두 가지 일반적인 모델, 즉 콤플렉스 평면의 실제 선인 푸앵카레 반평면 모델과 콤플렉스 평면의 단위 원인 푸앵카레 디스크 모델을 자주 언급하고 있다.쌍곡선 운동은 쌍곡선 기하학의 쌍곡선 모델에도 설명될 수 있다.^[1]

이 글에서는 쌍곡선 동작의 사용 예를 보여 준다: 미터법 $d{\displaystyle (}$ a${\displaystyle }$,${\displaystyle b}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 로그}$ ${\displaystyle (b}$/ a${\displaystyle }$) ${\$의 반평면에 대한 확장$$, 하이퍼 복합형 번호 시스템의 준동 위치.

쌍곡면에서의 동작

쌍곡면 자체에 대한 모든 움직임(변환 또는 등축)은 최대 세 개의 반사의 구성으로 실현될 수 있다.n차원 쌍곡선 공간에서는 최대 n+1개의 반사가 필요할 수 있다.(유클리드 및 구형 기하학에도 해당되지만, 아래의 분류는 다르다.)

쌍곡면의 모든 등각도는 다음과 같은 등급으로 분류할 수 있다.

• 방향 보존
  • 그 정체성은 - 아무것도 움직이지 않고, 반사하지 않고, 자유도를 0으로 한다.
  • 한 점을 통한 반전(반회전) — 주어진 점을 통과하는 상호 수직선을 통한 두 개의 반사, 즉 점 둘레를 180도 회전; 자유도 2도.
  • 정상 지점을 중심으로 회전 - 주어진 점을 통과하는 선(특수 사례로서 역행)을 통한 두 개의 반사; 점들은 중앙을 중심으로 원을 그리며, 자유도는 3도.
  • 이상적인 점(경고) 주위에 "경고" - 이상적인 점으로 이어지는 선을 통한 두 개의 반사; 점들은 이상적인 점을 중심으로 호로시클을 따라 움직인다; 2도의 자유.
  • 직선을 따라 번역 - 주어진 선에 수직인 선을 통과하는 두 개의 반사; 주어진 선에서 벗어난 점, 하이퍼사이클을 따라 이동하는 자유도 3도.
• 방향 후진
  • 선을 통한 반사 - 하나의 반사; 두 개의 자유도.
  • 한 줄을 통한 반사와 같은 선에 따른 번역, 즉 반사 및 번역 통근, 3개의 반사가 필요함, 3개의 자유도.^{[citation needed]}

푸앵카레 반평면 모델의 미터법 도입

푸앵카레 반평면 모델 HP의 지점은 카르테시아 좌표에서 {(x,y: y > 0})로, 극좌표에서 {(r cos a, r sin a): 0 < ,, r > 0}으로 주어진다.쌍곡선 운동은 세 가지 근본적인 쌍곡선 운동으로 구성될 것이다.p = (x,y) 또는 p = (r cos a, r sin a), p ∈ HP로 한다.

기본 동작은 다음과 같다.

p → q = (x + c, y ), c ∈ R (좌 또는 우 시프트)

p → q = (sx, sy ), s > 0 (수정)

p → q = ( r ⁻¹ cos a, r ⁻¹ sin a ) (단위 세미크기의 반전).

참고: 이동과 확장은 각각 수직선 또는 동심원의 반사 쌍으로 구성된 반전 기하학으로부터의 매핑이다.

반원 Z 사용

삼각형 {(0,0),(1,0),(1,tan a)}을 고려하십시오.1 + tana² = seca이기² 때문에 삼각형 하이포텐use의 길이는 a초인데, 여기서 sec는 secant 함수를 나타낸다.r = sec a를 설정하고 세 번째 기본 쌍곡선 운동을 적용하여 q = (r cos a, r sin a) 여기서 r = seca⁻¹ = cos a를 얻는다.지금

q – (½, 0) = (코사² – ½)² +코사² 시나² = ¼

q가 반경 ½과 중심( (, 0)의 반원 Z에 위치하도록 한다.따라서 (1, 0)의 접선 광선은 세 번째 기본 쌍곡선 운동에 의해 Z에 매핑된다.어떤 반원이라도 반경 ½까지의 확장에 의해 크기를 재조정할 수 있고, Z로 이동하면 반대로 그것을 접선 광선으로 운반할 수 있다.그래서 쌍곡선 움직임의 집합은 y = 0에 지름의 반원형을 허용하며, 때로는 수직 광선을 허용하기도 한다.로그 측정을 사용하여 수직 광선의 길이를 측정하는 데 동의한다고 가정합시다.

d(x,y),(x,z) = log(z/y) .

그런 다음 쌍곡선 운동을 통해 반원형의 점 사이의 거리를 측정할 수도 있다. 먼저 적절한 이동과 확장으로 점을 Z로 이동한 다음 로그 거리가 알려진 접선 광선에 역방향으로 배치한다.

HP에서 m과 n의 경우, b를 m과 n을 연결하는 라인 세그먼트의 수직 이등분자가 되게 한다.b가 압시사와 평행하면 m과 n이 수직 광선으로 연결되고, 그렇지 않으면 b가 압시사와 교차하기 때문에 m과 n을 통과하는 이 교차로에 반원이 있다.설정된 HP는 수직선이나 반원형에서 발견되는 m,n hp HP의 거리 d(m,n)를 갖추면 미터법 공간이 된다.어떤 사람은 HP에서 수직선과 반원형을 쌍곡선이라고 부른다.HP에서 점들과 쌍곡선의 기하학은 비유클리드 기하학의 한 예다. 그럼에도 불구하고 HP에 대한 선과 거리 개념의 구성은 유클리드 본래의 기하학에 크게 의존한다.

디스크 모델 동작

복합 평면 C의 디스크 D = {z ∈ C : z* < 1 }을(를) 고려하십시오.로바체프스키의 기하학적 평면은 D를 나타내는 쌍곡선의 경계에 수직인 원형 호를 D로 표시할 수 있다.복잡한 숫자의 산술과 기하학, 그리고 뫼비우스 변환을 사용하여 쌍곡면의 푸앵카레 디스크 모델이 있다.

a와 b가 a* - b* = 1.의 복잡한 숫자라고 가정하자.

bz + a* - az + b* = (aa* - bb**)(1 - z),

그래서 z < 1은 (아즈 + b*)/(bz + a*) < 1. 따라서 디스크 D는 뫼비우스 변환의 불변 집합이다.

f(z) = (az + b*)/(bz + a*)

쌍곡선 또한 허용하기 때문에, 우리는 이러한 변형이 쌍곡 기하학의 D 모델의 움직임임을 알 수 있다.복잡한 행렬

${\displaystyle q={\pmatrix}a&b\b^{*}&a^{*}\end{pmatrix}}}}$

aa* - bb* = 1로, 특수 단일 그룹 SU(1,1)의 한 요소다.

참조

• 프로젝트 유클리드 경유 나고야 수학 저널 29:163–5
• Francis Bonahon (2009) 저차원 기하학 : 유클리드 표면에서 쌍곡 매듭까지, 제2장 "쌍곡면", 11~39페이지 미국수학협회:학생 수학 도서관, 제49권 ISBN 978-0-8218-4816-6.
• 빅터 V. Prasolov & VM Tikhomirov (1997,2001) 기하학, 미국 수학 협회:Mathematical Monographs의 번역, 200권, ISBN 0-8218-2038-9.
• 틀:축구단 스모고르제프스키(1982) 모스크바 미르 출판사 로바체프스키안 기하학