닫힌 그래프
Closed graph수학에서, 특히 기능 분석과 위상에서, 닫힌 그래프는 함수의 속성이다.[1][2]위상학적 공간 사이의 함수 f : X → Y는 그 그래프가 제품 공간의 닫힌 부분집합인 경우 닫힌 그래프를 가지고 있다 X × Y. 관련 속성은 열린 그래프다.[3]
이 속성은 닫힌 그래프 정리라고 알려진 많은 이론들이 있기 때문에 닫힌 그래프를 가진 함수가 반드시 연속적인 조건을 주기 때문에 연구된다.특히 잘 알려진 닫힌 그래프 이론 중 하나는 기능 분석에서 닫힌 그래프 이론이다.
정의들
그래프 및 다중 결합
- 정의 및 표기법:함수 f : X → Y의 그래프는 집합이다.
- Gr f := { (x, f(x)): x ∈ X } = { (x, y) x × Y : y = f(x) }.
- 정의:X와 Y가 설정된 경우, X에서는 Y의 설정값 함수로도 불리는 X의 Y 값 다기능은 2로Y 값을 매기는 도메인X의 F : X → 2 함수다Y.즉, F는 모든 x is X에 대해 F(x)가 Y의 부분집합이 되도록 X의 함수다.
- 일부 저자는 기능 F : X → 2를Y 모든 x call X에 대해 F(x)가 비어 있지 않다는 추가 요건을 만족하는 경우에만 다기능이라고 부르는데, 이 글은 이를 요구하지 않는다.
- 정의 및 표기법:F : X → 2가Y 집합 Y의 다기능이라면 F의 그래프는 집합이다.
- Gr F := { (x, y) X × Y : y y F(x) }.
- 정의: f : X → Y 함수는 모든 x ∈ X에 대해 F(x)에 의해 정의된 다기능 F : X → 2로Y 표준적으로 식별할 수 있으며, 여기서 F는 (또는 관련) f에 의해 유도되는 표준 다기능이라고 불린다.
- 이 경우 Gr f = Gr F에 유의하십시오.
열림 및 닫힘 그래프
위상 벡터 공간 X의 밀도 있는 하위 공간 S에 정의된 폐쇄 선형 연산자의 연구에서는 이 일반성이 필요하기 때문에 X의 부분 집합 S에 정의된 Y 값 함수나 다기능이 닫힌 그래프를 갖는 경우에 대한 보다 일반적인 정의를 제공한다(그리고 X 전체에서 반드시 정의되는 것은 아님).이 특별한 경우는 닫힌 그래프가 있는 함수를 기능 분석에서 연구하는 주요 이유 중 하나이다.
- 가정:전체적으로 X와 Y는 위상학적 공간, S ⊆ X이며, f는 S에 대한 Y 값 함수 또는 다기능(즉, f : S → Y 또는 f : S → 2)이다Y.X × Y는 항상 제품 토폴로지와 함께 부여된다.
- 정의:[4]X × Y가 제품 토폴로지를 제공했을 때, F, Gr f의 그래프가 X × Y의 부분집합인 경우, F는 X × Y에 닫힌 그래프(resp. open graph, 순차적으로 닫힌 그래프, 순차적으로 열린 그래프)를 가지고 있다.만약 S = X 또는 X가 문맥에서 명확하다면, 우리는 "X × Y"라고 쓰는 것을 생략할 수 있다.
- 관찰:If g : S → Y is a function and G is the canonical multifunction induced by g (i.e. G : S → 2Y is defined by G(s) := { g(s) } for every s ∈ S) then since Gr g = Gr G, g has a closed (resp. sequentially closed, open, sequentially open) graph in X × Y if and only if the same is true of G.
닫을 수 있는 지도 및 폐쇄
- 정의:우리는 함수(resp. 다기능) f는 S를 포함하는 부분집합 D x X와 X × Y에서 설정된 Gr f의 닫힘과 동일한 함수(resp. 다기능) F : D → Y가 존재한다면 X × Y로 마감할 수 있다고 말한다.그러한 F는 X × Y에서 f의 폐쇄라고 하며 f로 표시되며, 반드시 f를 확장한다.
- 정의:If f is closable on S then a core or essential domain of f is a subset D ⊆ S such that the closure in X × Y of the graph of the restriction f D : D → Y of f to D is equal to the closure of the graph of f in X × Y (i.e. the closure of Gr f in X × Y is equal to the closure of Gr f D in X × Y).
닫힌 지도 및 닫힌 선형 연산자
- 정의 및 표기법:우리가 f : D(f) x X → Y를 쓸 때, 우리는 f가 D(f) x X 도메인 D(f)를 가진 Y 값 함수라는 것을 의미한다. f : D(f) ⊆ X → Y가 닫히거나(순차적으로 닫힘) 또는 닫힌 그래프(resp)가 있다고 말한다.순차적으로 닫힌 그래프를 가지고 있음) 즉, 우리는 f의 그래프가 X × Y (D(f) × Y가 아닌)로 닫힌다는 것을 의미한다.
기능 분석에서 문헌을 읽을 때, f : X → Y가 위상 벡터 공간(TV) 사이의 선형 지도라면(예: 바나흐 공간) "f is closed"는 거의 항상 다음을 의미한다.
- 정의:지도 f : X → Y는 그 그래프가 X × Y로 닫히면 closed라고 한다.특히, "폐쇄 선형 연산자"라는 용어는 거의 확실히 그래프가 폐쇄된 선형 지도를 가리킬 것이다.
그렇지 않으면 특히 점 집합 위상에 관한 문헌에서 "f is closed"는 대신 다음을 의미할 수 있다.
- 정의:위상학적 공간 사이의 지도 f : X → Y는 닫힌 부분집합 X의 이미지가 Y의 닫힌 부분집합이라면 닫힌 지도라고 부른다.
"폐쇄 지도"의 이 두 정의는 동등하지 않다.만약 그것이 불분명하다면, 독자는 그들이 읽고 있는 문헌에 의해 "폐쇄 지도"가 어떻게 정의되는지를 확인하는 것이 좋다.
특성화
전체적으로 X와 Y는 위상학적 공간이 되도록 한다.
- 닫힌 그래프를 사용한 함수
f : X → Y가 함수인 경우, 다음과 같다.
- f는 닫힌 그래프를 가지고 있다(X × Y).
- (definition) f, Gr f의 그래프는 X × Y의 닫힌 부분 집합이다.
- X의 모든• x and X와• netxi = (x)i ∈ I X의 x → x x의 경우, y ∈ Y가 net f(x•) : (f(xi)i ∈ I → y의 경우 y = f(x);[4]
- 이것을 망의 관점에서 연속성의 정의와 비교해보라. 회수란 X의 모든 x ∈ X와 net• x = (xi)i ∈ I X의 x• → x, f(x•) → y의 f(x)와 같은 X의 net x = (x)에 대해서 말이다.
- 따라서 기능이 f는 동안 ∈ Y와 대신 이 말이 사실인 것이(, 우리는 좀 더 구체적으로 증명해야 하는 것은 f(x•)을 발휘해야 한다는 그 f우리가 f(x•)Y에서 y에 전진이 있는 것으로 간주할 수 있으므로 연속 있음을 보여 주기 우리가 f(x•)Y에서 y)∈ Y(그리고 보여 주그는 y)f())전진을 추정할 수 있는 폐쇄된 그래프의 분위기를 말해 주i. f())에 전진Yn).
Y가 Hausdorff의 콤팩트한 공간이라면 우리는 이 목록에 추가할 수 있다.
- f는 연속이다.[5]
X와 Y가 모두 첫 번째 카운트 가능한 공간인 경우 다음 목록에 추가하십시오.
- f는 순차적으로 닫힌 그래프를 가진다(X × Y).
- 순차적으로 닫힌 그래프로 함수
f : X → Y가 함수인 경우, 다음과 같다.
- f는 순차적으로 닫힌 그래프를 가진다(X × Y).
- (정의) f의 그래프는 X × Y의 순차적으로 닫힌 부분집합이다.
- 모든 x x X 및 시퀀스• x = (xi)∞
i=1 X의• x → x x의 경우, y ∈ Y가 net f(x•) :(f(xi)∞
i=1 → y의 경우 y = f(x);[4]
- 닫힌 그래프를 사용한 다기능
F : X → 2가Y 위상학적 공간 X와 Y 사이의 설정값 함수라면, 다음은 동등하다.
- F는 닫힌 그래프를 가지고 있다(X × Y).
- (정의) F의 그래프는 X × Y의 닫힌 부분집합이다.
만약 Y가 콤팩트하고 하우스도르프라면 우리는 이 리스트에 추가할 수 있다.
X와 Y가 모두 측정 가능한 공간이라면 이 목록에 추가할 수 있다.
- 모든 x ∈ X, y ∈ Y 및 시퀀스 x• = (xi)∞
i=1 X와 y• = (yi)∞
i=1 Y의 경우• x → x, y• → y의 경우 yi ∈ F(xi) 모든 i의 경우 y ∈ F(x)[citation needed]의 경우.
닫힌 그래프를 위한 충분한 조건
- f : X → Y가 위상학적 공간 사이의 연속함수이고 Y가 Hausdorff인 경우, f는 X × Y의 닫힌 그래프를 가진다.[4]
- f : X → Y가 Hausdorff 위상학적 공간 사이의 함수인 경우, f는 X × Y로 닫힌 그래프를 가질 수 있지만 연속성이 없다.
닫힌 그래프 정리:닫힌 그래프가 연속성을 나타내는 경우
닫힌 그래프를 가진 함수가 반드시 연속적이라는 것을 보장하는 조건을 닫힌 그래프 정리라고 한다.닫힌 그래프 이론은 특히 기능 분석에 관심이 많은데, 닫힌 그래프를 가진 선형 지도가 반드시 연속적인 조건을 제공하는 이론이 많다.
예
연속형 맵이지만 닫히지 않음
- X는 통상적인 유클리드 위상에서의 실제 숫자 Ⅱ를 나타내고 Y는 불분명한 위상 Ⅱ를 나타내도록 한다(Y는 하우스도르프가 아니며 Y에서 평가된 모든 기능이 연속적이라는 점에 유의한다).f : X → Y를 모든 x ≠ 0에 대해 f(0) = 1과 f(x) = 0으로 정의하도록 한다.그 다음 f : X → Y는 연속이지만 그 그래프는 X × Y로 닫히지 않는다.[4]
- X가 임의의 공간인 경우 ID 지도 Id : X → X는 연속이지만 X가 Hausdorff인 경우에만 X × X에서 대각선 Gr Id : { (x, x) : x [7]∈ X }인 그래프가 닫힌다.특히 X가 Hausdorff가 아니라면 Id : X → X는 연속이지만 닫히지 않는다.
- f : X → Y가 그래프가 닫히지 않은 연속 지도라면 Y는 하우스도르프 공간이 아니다.
닫혔지만 연속되지 않은 지도
- X와 Y 모두 일반적인 유클리드 위상에서의 실제 숫자 Ⅱ를 나타내도록 한다. Let f : X → Y be defined by f(0) = 0 and f(x) = 1/x for all x ≠ 0.그 다음 f : X → Y는 X × Y = ℝ로2 닫힌 그래프(및 순차적으로 닫힌 그래프)를 갖지만 연속적이지 않다(x = 0으로 불연속성을 가지기 때문에).[4]
- X는 통상적인 유클리드 위상에서의 실제 숫자 Ⅱ를 나타내고 Y는 이산 위상 Ⅱ를 나타내도록 하며, ID : X → Y는 식별 맵(예: 모든 x ∈ X에 대한 ID : x)이 되도록 한다.그러면 Id : X → Y는 그래프가 X × Y로 닫혀 있는 선형 지도지만, 분명히 연속적이지 않다(싱글톤 집합은 Y로 열려 있지만 X는 열려 있지 않기 때문이다).[4]
- 렛츠 (X, ))는 하우스도르프 TVS가 되고, 𝜐는 X의 벡터 위상으로서 than보다 엄격히 미세한 것이 된다.그 다음 ID맵 Id : (X, 𝜏) → (X, 𝜐)[8] 폐쇄 불연속 선형 연산자.
닫힌 선형 연산자
Hausdorff 위상 벡터 공간(TV)에서 평가된 모든 연속 선형 연산자는 닫힌 그래프를 가지고 있으며, 두 표준 공간 사이의 선형 연산자는 경계인 경우 및 경계인 경우에만 연속적이라는 것을 상기한다.
닫힌 그래프 정리
닫힌 그래프 정리는 두 개의 F-공간(Banach 공간 등) 사이에 닫힌 선형 연산자 f : X → Y가 연속적으로 존재한다고 명시하고 있으며, 여기서 X와 Y가 Banach 공간인 경우 f : X → Y가 연속되는 것은 f가 경계되는 것과 동등하다는 것을 상기시킨다.
기본 속성
Banach 공간 사이의 선형 연산자 f : D(f) ⊆ X → Y에 대한 다음 특성을 쉽게 확인할 수 있다.
- A가 닫히면 A - λId가D(f) 닫히고 여기서 λ은 스칼라, Id는D(f) ID함수;
- f가 닫힌 경우, 커널(또는 nullspace)은 X의 닫힌 벡터 서브스페이스가 된다.
- f가 닫히고 주입되는 경우, 역 f도 닫힌다.
- 선형 연산자 f는 모든 x ∈ X와 D(f)의 모든 시퀀스• x = (xi)∞
i=1와 y• = (yi)∞
i=1가 모두 X의 x로 수렴되는 경우에만 폐쇄를 허용하며, f(yii)∞
i=1 = (f•(x)∞
i=1와 f(y•)가 모두 Y로 수렴하고, imi → ∞ fxi = 림 fy가i → ∞i 있다.
예
파생 연산자 A = d/dx를 고려하십시오. 여기서 X = Y = C([a, b])는 간격 [a, b]에 있는 모든 연속함수의 Banach 공간이다.도메인 D(f)를 C1([a, b]로 한다면 f는 경계되지 않는 폐쇄 연산자일 것이다.[9]반면 D(f) = C∞([a, b])이면 f는 더 이상 닫히지 않지만 닫힘이 C1([a, b])에 정의된 확장자로 마감된다.
참고 항목
- 거의 열린 선형 지도
- 닫힌 그래프 정리 – 연속성과 그래프에 관련된 정리
- 폐쇄 그래프 정리(기능분석) – 연속성 추론을 위한 정리
- 카쿠타니 고정점 정리 – 콤팩트한 비빈 볼록 부분집합 S⊂ⁿ의 함수 f: S→Pow(S)가 고정점을 갖는 경우
- 개방형 매핑 정리(기능분석) – 선형 연산자가 개방될 수 있는 조건
- 웹베드 공간 – 열린 매핑과 닫힌 그래프 이론이 있는 공간
참조
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