개방형 매핑 정리(복잡한 분석)
Open mapping theorem (complex analysis)복잡한 분석에서 오픈 맵핑 정리는 U가 복합 평면 C와 f : U → C의 도메인이라면, f는 오픈 맵(즉, U의 오픈 서브셋을 C의 오픈 서브셋으로 보내고, 우리는 도메인의 불변성을 가진다)이라고 기술하고 있다.
오픈 맵핑 정리는 홀로모피와 실제 차별성의 첨예한 차이를 지적한다.실제 라인에서 예를 들어, 개방 간격의 이미지(-1, 1)가 반쯤 열린 간격[0, 1)이기 때문에 f(x) = x는2 개방형 맵이 아니다.
예를 들어, 이 정리는 비정규적인 홀로모르픽 함수가 복잡한 평면에 내장된 어떤 선의 일부에 열린 디스크를 매핑할 수 없다는 것을 암시한다.홀로모르픽 함수의 영상은 실제 치수 0(상수일 경우) 또는 2(불정수일 경우)일 수 있지만 치수 1은 절대 아닐 수 있다.
증명
가정 f : U → C는 비정수 홀로모르픽 함수, U는 복합 평면의 영역이다.f(U)의 모든 포인트가 f(U)의 내부 포인트, 즉 f(U)의 모든 포인트는 이웃(오픈 디스크)이 있다는 것을 보여줘야 하는데, 이 포인트 역시 f(U)에 있다.
f(U)의 임의 w를0 고려한다.그리고 U에는 w0 = f(z0)와 같은 점 z가0 존재한다.U가 열려 있기 때문에 반경 d가 있는 z 주위에0 닫힌 디스크 B가 U에 완전히 포함되도록 d > 0을 찾을 수 있다. 함수 g(z) = f(z)-w를0 고려한다.z는0 함수의 루트라는 점에 유의하십시오.
우리는 g(z)가 일정하지 않고 홀로모픽적이지 않다는 것을 안다.g의 뿌리는 정체성 정리에 의해 격리되며, 이미지 디스크 d의 반경을 더욱 줄임으로써 g(z)는 B에 단 하나의 루트만을 가질 수 있음을 보장할 수 있다(이 단일 루트가 1보다 큰 다수를 가질 수도 있지만).
B의 경계는 원이고 따라서 콤팩트 집합이므로 g(z)는 양의 연속함수이므로, 극값 정리는 양의 최소 e, 즉 e는 B와 e > 0의 경계에서 z의 최소 g(z)의 존재를 보증한다.
Radius e가 있는 w 주위에0 열린 디스크를 D로 표시한다.Rouché의 정리에 의해, 함수 g(z) = f(z)-w는0 (다중성으로 카운트된) B에1 h(z):=f(z)-w와1 같은 수의 뿌리를 가질 것이다.왜냐하면 h(z) = g(z) + (w0 - w)의1 경계에 있는 z의 경우, 그리고 B의 경계에 있는 z의 경우0, g1(z) every e > w - w. 따라서 D의 모든1 w에 대해, B에는 f(z1) = w와1 같은 z가1 적어도 하나 존재하기 때문이다.이것은 디스크 D가 f(B)에 포함되어 있다는 것을 의미한다.
볼 B, f(B)의 이미지는 U, f(U)의 이미지의 서브셋이다.따라서 w는0 f(U)의 내부 지점이다.w가0 f(U)에서 임의였기 때문에 f(U)가 열려 있다는 것을 우리는 알고 있다.U는 임의였기 때문에 f함수는 개방되어 있다.
적용들
참고 항목
참조
- Rudin, Walter (1966), Real & Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1
