리벳의 정리

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리벳의 정리(이른바 엡실론 추측 또는 --conjecture로 불리는 것)는 수 이론의 일부분이다.그것은 모듈형 형태와 관련된 갈루아 표현 특성에 관한 것이다.장피에르 세레가 제안했고 켄 리벳이 증명했다.그 증거는 페르마의 마지막 정리(FLT)를 증명하기 위한 중요한 조치였다.세레와 리벳이 보여주듯이 타니야마-요.시무라 추측(당시 상태가 미해결된 상태)과 엡실론 추측이 함께 FLT가 사실임을 암시한다.

수학적 용어로 리벳의 정리를 보면 타원곡선과 연관된 갈루아 표현에 어떤 특성이 있다면 그 곡선은 모듈화될 수 없다(동일한 표현을 발생시키는 모듈형 형식이 존재할 수 없다는 점에서).^[1]

성명서

q absolutely p와 q = p에서 유한한 평면이 q = p인 경우 q가 절대적으로 수정되지 않은 2차원 mod p Galois 표현으로_f,p N–을 나누지 않는 q 레벨 qN의 γ₀(qN)–즉, q 레벨 qN의 중량 2 새로운 형식이 되도록 한다.그리고 N레벨의 무게 2 새로운 형태의 g가 존재한다.

$\displaystyle \rho _{f,p}\simeq \rho _{g,p}.}$

특히 E가 도체 qN으로 Q ${\$에 대한 타원 곡선인 경우, 모듈성 정리는 2차원 mod p Galois 표현 ρ의_{f, p} 2차원 modd p Galois 표현 ρ에_{E, p} 이소모르픽인 레벨 qN의 중량 2 새로운 형태의 f가 존재함을 보장한다.ρ에_{E, p} 리벳의 정리를 적용하기 위해서는 ρ의_{E, p} 무reducibility와 ramination을 확인하는 것으로 충분하다.테이트 곡선의 이론을 이용하면 p가 최소 판별 Δ에_E q가 나타나는 힘을 나누면 q p p에서 ρ이_{E, p} 미합성되고 q = p에서 유한 플랫이 된다는 것을 증명할 수 있다.그렇다면 리벳의 정리는 ρ_{g, p} ρ ρ과_{E, p} 같은 수준 N의 무게 2 새로운 형태의 g가 존재한다는 것을 암시한다.

레벨 하강

리벳의 정리는 도체 qN의 타원곡선 E로 시작하는 것이 ρ_{E, p} ρ_{E′, p} ρ과 같은 레벨 N의 타원곡선 E'의 존재를 보증하지 않는다고 기술하고 있다.레벨 N의 새로운 형태 g는 합리적인 푸리에 계수를 가지고 있지 않을 수 있으며, 따라서 타원 곡선이 아닌 고차원 아벨리안 다양성과 관련될 수 있다.예를 들어, 크레모나 데이터베이스의 타원 곡선 4171a1이 방정식으로 주어진다.

${\displaystyle E:y^{2}+xy+y=x^{3}-663204x+1441595}$

도체 43×97과 판별 43⁷×97은³ 도체 97의 타원 곡선까지 낮은 모드의 7을 수평으로 하지 않는다.오히려, 모드 p 갈루아 표현은 수준 97의 비합리적인 새로운 형태 g의 모드 p 갈루아 표현과 이형적이다.

단, 레벨이 낮은 새로운 형태의 수준 N에 비해 충분히 큰 p의 경우, 합리적인 새로운 형태(예: 타원 곡선)는 다른 합리적인 새로운 형태(예: 타원 곡선)로 수평을 낮춰야 한다.특히 p ≫ N의^N1+ε 경우, 합리적인 새로운 형태의 mod p Galois 표현은 수준 N의 비이성적인 새로운 형태에 대해 이형적일 수 없다.^[2]

마찬가지로 Frey-Mazur 추측에 따르면 충분히 큰 p(도체 N과는 무관)에 대해 이소모픽모드 p 갈루아 표현을 가진 타원곡선은 사실 이등성이므로 동일한 도체를 갖는다고 예측한다.따라서 합리적인 새로운 형태들 사이의 비교 수준 저하는 큰 p (p > 17)에 대해 발생하지 않을 것으로 예측된다.

역사

Yves Hellegouarch [fr]는 논문에서 페르마 방정식의 해법(a,b,c)을 다른 수학적 대상인 타원곡선과 연관시키는 사상을 창안했다.^[3]p가 홀수 프라임이고 a, b, c가 양수인 경우 다음과 같은 정수가 된다.

${\displaystyle a^{p}+b^{p}}}=c^{p},}$

그 다음 해당 Frey 곡선은 방정식에 의해 주어진 대수 곡선이다.

${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p})}$

이것은 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 정의된 속 1의 비논술 대수 곡선이며$,$ 투영 완료는 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 타원 곡선이다$.$

1982년 게르하르트 프레이는 현재 프리 곡선이라고 불리는 같은 곡선의 특이한 성질에 주의를 환기시켰다.^[4]이것은 FLT에 대한 counterrexample이 모듈화되지 않은 곡선을 만들 것이라는 것을 보여줌으로써 Fermat과 Taniyama 사이에 다리를 놓았다.그 추측은 프레이가 타니야마-을 제안했을 때 상당한 관심을 끌었다.시무라-Weil 추측은 FLT를 암시한다.그러나 그의 주장은 완전하지 않았다.^[5]1985년 장 피에르 세레는 프리 곡선은 모듈화할 수 없고 부분적인 증거를 제공할 수 없다고 제안했다.^[6][7]이것은 타니야마-타니야마-의 반증할 수 있는 사건의 증거를 보여주었다.시무라 추측이 FLT를 암시할 것이다.세레는 완전한 증거를 제시하지 못했고 빠진 비트는 엡실론 추측 또는 or-컨벤션으로 알려지게 되었다.1986년 여름, 케네스 앨런 리벳은 엡실론 추측을 증명했고, 따라서 타니야마-아세안간에도 엡실론 추측을 증명했다.시무라-Weil 추측이 FLT를 암시했다.^[8]

시사점

지수 p ≥ 5의^[8] 페르마트 방정식이 0이 아닌 정수 a, b, c의 해답을 가지고 있다고 가정하자.해당 Frey 곡선 E는_a^p,b^p,c^p 최소 판별 Δ가 2⁻⁸ (abc)^2p와 같고 도체 N이 abc의 래디컬인 타원형 곡선이다. 즉, abc를 나누는 모든 구별되는 프라임의 산물이다.등식^p a^p + b^p = c의 기초적인 고려는 a, b, c 중 하나가 짝수라는 것을 분명히 하고 따라서 N이다. 타니야마-에 의해시무라 추측, E는 모듈형 타원 곡선이다.N에서 a, b, c를 나누는 모든 홀수 프리임이 최소 판별 Δ에서 pth 파워에 나타나기 때문에, 리벳의 정리 반복 레벨 강하 모듈로 p는 도체로부터 모든 홀수 프리임을 벗겨낸다.그러나 모듈형 곡선 X₀(2)의 속은 0이기 때문에 수준 2의 새로운 형태는 남아 있지 않다(그리고 수준 N의 새로운 형태는 X₀(N)의 미분이다.

참고 항목

• ABC 추측
• 와일스의 페르마의 마지막 정리 증명

메모들

1. ^ "The Proof of Fermat's Last Theorem". 2008-12-10. Archived from the original on 2008-12-10.
2. ^ Silliman, Jesse; Vogt, Isabel (2015). "Powers in Lucas Sequences via Galois Representations". Proceedings of the American Mathematical Society. 143 (3): 1027–1041. arXiv:1307.5078. CiteSeerX 10.1.1.742.7591. doi:10.1090/S0002-9939-2014-12316-1. MR 3293720.
3. ^ Hellegouarch, Yves (1972). "Courbes elliptiques et equation de Fermat". Doctoral Dissertation. BNF 359121326.
4. ^ Frey, Gerhard (1982), "Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven" [Rational points on Fermat curves and twisted modular curves], J. Reine Angew. Math. (in German), 331 (331): 185–191, doi:10.1515/crll.1982.331.185, MR 0647382
5. ^ Frey, Gerhard (1986), "Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations", Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae, 1 (1): iv+40, ISSN 0933-8268, MR 0853387
6. ^ Serre, J.-P. (1987), "Lettre à J.-F. Mestre [Letter to J.-F. Mestre]", Current trends in arithmetical algebraic geometry (Arcata, Calif., 1985), Contemporary Mathematics (in French), vol. 67, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 263–268, doi:10.1090/conm/067/902597, ISBN 9780821850749, MR 0902597
7. ^ Serre, Jean-Pierre (1987), "Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Q/Q)", Duke Mathematical Journal, 54 (1): 179–230, doi:10.1215/S0012-7094-87-05413-5, ISSN 0012-7094, MR 0885783
8. ^ ^{a b} Ribet, Ken (1990). "On modular representations of Gal(Q/Q) arising from modular forms" (PDF). Inventiones Mathematicae. 100 (2): 431–476. Bibcode:1990InMat.100..431R. doi:10.1007/BF01231195. MR 1047143.

참조

• 케네스 리벳, 타니야마시무라 추측부터 페르마의 마지막 정리까지.Annales de la compenses de Toulouse Sér. 5, 11 no. 1(1990), 페이지 116–139.
• Andrew Wiles (May 1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559.
• Richard Taylor and Andrew Wiles (May 1995). "Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras" (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 553–572. CiteSeerX 10.1.1.128.531. doi:10.2307/2118560. ISSN 0003-486X. JSTOR 2118560. OCLC 37032255. Zbl 0823.11030.
• 프리 커브와 리벳의 정리

외부 링크

• 케빈 버자드 2008년 6월 28일 켄 리벳과 페르마의 마지막 정리