선택 규칙

물리학과 화학에서 선택 규칙 또는 전환 규칙은 한 양자 상태에서 다른 양자 상태로의 가능한 시스템 전환을 공식적으로 구속한다. 선택 규칙은 분자, 원자, 원자핵 등에서의 전자기 전환에 대해 도출되었다. 선택 규칙은 전환을 관찰하는 데 사용되는 기법에 따라 달라질 수 있다. 선택 규칙은 또한 화학 반응에 역할을 하는데, 일부는 공식적으로 스핀-포기 반응, 즉 스핀 상태가 반응 물질에서 제품으로 적어도 한 번 변하는 반응이다.

다음에서는 주로 원자 및 분자 전환이 고려된다.

개요

양자역학에서 분광 선택 규칙의 기본은 전환 모멘트의 정수 값이다.

{\daystyle \int \int \{1}^{*}\;\mu \;\mu \;\reason _{2}\reasonname {d} \tau ~,}

여기서 $ψ$ ${\$ 및 $\psi _{1}$ $\psi _{2}$ 2 ${\$ }}는 두 상태의 파동 함수인 "state 1"과 "state 2"이며 $\psi _{2}$ 전환 모멘트 연산자다. 이 적분은 상태 1과 상태 2 사이의 전환의 전파자(따라서 확률)를 나타낸다. 이 적분 값이 0이면 전환은 "포기"된다.

실제로 선택 규칙을 결정하기 위해 적분 자체를 계산할 필요는 없다. 전환 모멘트 함수 $\,\psi _{1}^{*}\;\mu \;\psi _{2}~.$ $\,\psi _{1}^{*}\;\mu \;\psi _{2}~.$ μ $\,\psi _{1}^{*}\;\mu \;\psi _{2}~.$ μ μ $\,\psi _{1}^{*}\;\mu \;\psi _{2}~.$ 2. {\ $displaystyle \,\psi \{1}^{*}\;\mu \;\psi _{2}.}$ 전환 모멘트 함수가 원자나 분자가 속한 점 그룹의 모든 완전 대칭 표현에 대해 대칭인 $\,\psi _{1}^{*}\;\mu \;\psi _{2}~.$ 경우, 적분자의 값은 다음과 같다. (일반적으로) 0이 아니고 전환이 허용된다. 그렇지 않으면, 전환은 "매수"된다.

전환 모멘트 함수 $\psi _{1}^{*}\;\mu \;\psi _{2}\,,$ $\psi _{1}^{*}\;\mu \;\psi _{2}\,,$ μ $\psi _{1}^{*}\;\mu \;\psi _{2}\,,$ μ $\psi _{1}^{*}\;\mu \;\psi _{2}\,,$ μ $\psi _{1}^{*}\;\mu \;\psi _{2}\,,$ 2 , ${\displaystyle \psi \{1}^{$ 1}\\;\ $mu$ $~y(x)=-y(-x)~$ $\;\psi$ _ ${2}\}\}}$ 가 대칭성이거나 홀수인 $\psi _{1}^{*}\;\mu \;\psi _{2}\,,$ $~y(x)=-y(-x)~$ $~y(x)=-y(-x)~$ , 즉 y ( x ) = $~y(x)=-y(-x)~$ - $~y(x)=-y(-x)~$ ( $~y(x)=-y(-x)~$ - x $)=-y(x$ )~x $~}}}}}}}}}}}.$ 전환 모멘트 함수의 대칭성은 그 세 요소들의 parity의 직접적인 산물이다. 각 성분의 대칭 특성은 표준 문자표를 통해 얻을 수 있다. 직접 제품의 대칭을 얻기 위한 규칙은 문자표의 텍스트에서 찾을 수 있다.^[2]

전환 모멘트 연산자의^[2] 대칭특성

전환형	$μ$ 는 로 변환하다.	컨텍스트
전기 쌍극자	$x, y, z$	광학 스펙트럼
전동 쿼드폴	$x 2, y 2, z 2, xy, xz, yz$	$제약 22$ 조건 $x 2$ + y + z = 0
전기 편광성	$x 2, y 2, z 2, xy, xz, yz$	라만 스펙트럼
자기 쌍극자	$R$ _x, $R$ _y, $R$ _z	광학 스펙트럼(취약)

예

전자 스펙트럼

라포르테 규칙은 다음과 같이 공식적으로 명시된 선택 규칙이다. 중심대칭 환경에서 s-s, p-p, d-d 또는 f-f와 같은 원자 궤도 사이의 전환은 금지된다. 라포르트 규칙(법)은 전기 쌍극자 전환에 적용되므로 운영자는 u 대칭(언저레이드, 홀수라는 의미)을 갖는다.^[3] p 궤도에는 u 대칭도 있기 때문에 transition moment 함수의 대칭은 u 대칭이 있는 3중 곱인 u×u×u에 의해 주어진다. 그러므로 전환은 금지된다. 마찬가지로 d 궤도에는 g 대칭(게레이드를 의미, 짝수)이 있으므로, 3중 제품 g×u×g도 u 대칭성을 가지고 있어 전환이 금지되어 있다.^[4]

단일 전자의 파동함수는 공간에 의존하는 파동함수와 스핀파함수의 산물이다. 스핀은 방향성이 있으며 홀수 패리티를 가지고 있다고 말할 수 있다. 스핀 "방향"이 바뀌는 전환은 금지된다. 공식 용어로, 동일한 총 스핀 퀀텀 수를 가진 상태만 "spin-허용"된다.^[5] 결정장 이론에서 스핀-포비드 전환은 스핀-허용 전환보다 훨씬 약하다. 라포르테 규칙에도 불구하고, 실제 전환은 반대칭이고 쌍극자 모멘트 연산자와 대칭이 같은 진동과 결합되기 때문에 둘 다 관찰할 수 있다.^[6]

진동 스펙트럼

진동 분광학에서는 다른 진동 상태 사이에서 전환이 관찰된다. 근본적인 진동에서는 분자가 그 접지 상태(v = 0)에서 첫 번째 흥분 상태(v = 1)로 흥분한다. 지상파 함수의 대칭은 분자의 대칭과 같다. 따라서 분자의 점군에서 완전히 대칭적인 표현을 위한 기초가 된다. 따라서 진동 전환이 허용되려면 흥분 상태파 함수의 대칭이 전환 모멘트 연산자의 대칭과 같아야 한다.^[7]

적외선 분광학에서 전환 모멘트 연산자는 x 및/또는 y 및/또는 z로 변환한다. 흥분 상태 파동 기능도 최소한 이러한 벡터 중 하나로 변환해야 한다. 라만 분광학에서 연산자는 아래 문자표의 맨 오른쪽 열에 있는 2차 항 중 하나로 변환한다.^[2]

T_d 점 그룹의 문자 표

	E	섭씨₃ 8도	3 C₂	6 S₄	6 σ_d
A을₁	1	1	1	1	1		x² + y² + z²
A을₂	1	1	1	-1	-1
E	2	-1	2	0	0		(2 z² - x² - y²,x² - y²)
T₁	3	0	-1	1	-1	(R_x, R_y, R_z)
T₂	3	0	-1	-1	1	(x, y, z)	(xy, xz, yz)

메탄 분자인 CH는₄ 이러한 원리의 적용을 예시하기 위해 사용될 수 있다. 이 분자는 사면체이고 T 대칭이다_d. 메탄의 진동은 A₁ + E + 2T₂ 표시에 걸쳐 있다.^[8] 문자표를 보면 4개의 진동이 모두 라만-능동성이지만 적외선 스펙트럼에서는 T진동만₂ 볼 수 있다.^[9]

고조파 근사치에서 적외선과 라만 스펙트럼 모두에서 오버톤이 금지됨을 알 수 있다. 그러나, 조화성을 고려할 때, 전환은 약하게 허용된다.^[10]

라만과 적외선 분광학에서 선택 규칙은 특정 진동 모드가 라만 및/또는 IR에서 0의 강도를 가질 것으로 예측한다.^[11] 이상적인 구조로부터의 변위는 선택 규칙의 완화를 초래하고 스펙트럼에서 이러한 예기치 않은 포논 모드가 나타날 수 있다. 따라서 스펙트럼에서 새로운 모드의 외관은 대칭분해를 나타내는 유용한 지표가 될 수 있다.^[12]^[13]

회전 스펙트럼

강체 로터 내 회전파 함수의 대칭에서 도출된 회전 전환 선택 규칙은 ΔJ = ±1이며, 여기서 J는 회전 양자수다.^[14]

커플링 전환

HCl 가스의 적외선 스펙트럼

진동 회전 스펙트럼에서 관찰되는 등 여러 유형의 커플링 전환이 있다. 흥분 상태파 기능은 진동과 회전과 같은 두 가지 파동 기능의 산물이다. 일반적인 원리는 흥분 상태의 대칭성이 요소파 함수의 대칭의 직접적인 산물로 얻어지는 것이다.^[15] 로비브로닉 전환에서 흥분 상태는 세 가지 파동 기능을 포함한다.

염화수소 가스의 적외선 스펙트럼은 진동 스펙트럼에 겹쳐진 회전 미세 구조를 보여준다. 이것은 이핵 이원자 분자의 적외선 스펙트럼의 전형이다. 이른바 P지점과 R지점을 보여준다. 진동 주파수에 위치한 Q지점이 부재하다. 대칭적인 상단 분자는 Q 분기를 나타낸다. 이것은 선택 규칙의 적용에서 비롯된다.^[16]

공명 라만 분광법은 일종의 바이브론 결합을 포함한다. 허용된 전자 전환에서 진동이 "스틸" 강도로 "스틸" 강도로 작용함에 따라 기본 및 오버톤 전환의 강도가 크게 증가한다.^[17] 외관에도 불구하고 선발 규칙은 라만 분광법에서와 같다.^[18]

각 운동량

각도 모멘텀 커플링 참조

일반적으로 전기(충전) 방사선 또는 자기(전류, 자기모멘트) 방사선은 순서 2의^$λ$ 다중점 Eλ(전기) 또는 Mλ(자기)로 분류할 수 있다(예: 전기 쌍극의 경우 E1, 4극의 경우 E2, 옥투폴의 경우 E3). 초기 상태와 최종 상태 사이의 각도 모멘텀의 변화가 여러 개의 다중극 방사선을 가능하게 하는 전환에서, 일반적으로 가장 낮은 순위의 다중극이 압도적으로 더 가능성이 높고 전환을 지배한다.^[19]

방출된 입자는 각운동량 $λ$ 을 운반하는데, 이는 광자의 경우 벡터 입자( $즉$ ^$P$, J = 1⁻)이므로 최소 1이어야 한다. 따라서 E0(전기 단층)이나 M0(자기 단층, 존재하지 않는 것 같은)의 방사선이 존재하지 않는다.

총각운동량은 전환 과정에서 보존해야 하기 때문에, 우리는 그것을 가지고 있다.

\mathbf {J} _{\mathrm {i}=\mathbf {J} _{\mathrm {f}+{\boldsymbol{\lambda }}}}}}

where $\Vert {\boldsymbol {\lambda }}\Vert ={\sqrt {\lambda (\lambda +1)\,}}\;\hbar ~,$ and its z-projection is given by $\lambda _{z}=\mu \,\hbar ~;$ and where $~\mathbf {J} _{\mathrm {i} }~$ and $~\mathbf {J} _{\mathrm {f} }~$ $~\mathbf {J} _{\mathrm {f} }~$ 은 $~\mathbf {J} _{\mathrm {f} }~$ (는) 원자의 초기 및 최종 각도 모멘텀이다. 해당 양자수 $μ$ 와 $μ$ (z축 각도운동량)를 만족시켜야 한다.

J_{\mathrm {i} }-J_{\mathrm {f} \leqda \leq J_{\mathrm {i}+J_{\mathrmatrm {f}}}}}}}}}}

그리고

\mu =M_{\mbox{i}-M_{\mbox{f}\,

패리티도 보존된다. 전기 멀티폴 전환의 경우

\pi(\mathrm {E} \lambda )=\pi _{\mathrm {i}\pi _{\mathrm {f}=(-1)^{\lambda }\,

자석 다중의 경우

\pi(\mathrm {M} \lambda )=\pi _{\mathrm {i}\pi _{\mathrm {f}=(-1)^{\lambda +1}\,

따라서 패리티는 E-even 또는 M-odd 다중폴더에 대해서는 변경되지 않는 반면 E-odd 또는 M-even 다중폴더에 대해서는 변경되지 않는다.

이러한 고려사항은 다중홀 순서 및 유형에 따라 서로 다른 전환 규칙 집합을 생성한다. 금지된 전환이라는 표현이 자주 사용되지만, 이는 이러한 전환이 일어날 수 없다는 것을 의미하지는 않으며, 단지 전기-디폴-포비드라는 것을 의미한다. 이러한 전환은 완벽하게 가능하다; 그것들은 단지 더 낮은 비율로 일어날 뿐이다. E1 전환 속도가 0이 아닌 경우 전환이 허용된다고 하며, 0이면 M1, E2 등의 전환은 훨씬 낮은 전환 속도로도 방사선을 생성할 수 있다. 이른바 '포기' 전환이다. 전환율은 한 멀티폴에서 다음 멀티폴로 1000배 정도 감소하므로 가장 낮은 멀티폴 전환이 발생할 가능성이 높다.^[20]

반강제 전환(일명 결합 라인에서 발생하는)은 스핀이 변하지 않는 선택 규칙을 위반하는 전기 쌍극(E1) 전환이다. LS 커플링 고장에 따른 결과다.

요약표

$~J=L+S~$ = $~J=L+S~$ + $~J=L+S~$ ${\$ $~}$ 은 $~J=L+S~$ 총 각도운동량, L ${\$ $displaystyle$ ~ $L~}$ 은 방위각 $양자수$ , S {\ $displaystyle ~S~}$ 은 $~S~$ 스핀 양자수, $~M_{J}~$ $~M_{J}~$ $displaystytle ~M_{J}}}}}$ 은 $~M_{J}~$ 2차 총 각도운동량운동량이다. 어떤 전환이 허용되는지는 수소 같은 원자에 기초한다. 기호 $~\not \leftrightarrow ~$ transition {\ $displaystyle ~\not$ \좌우 이동 ~}은 $($ 는) 금지된 전환을 나타내는 데 사용된다 $~\not \leftrightarrow ~$ $.$

허용된 전환		전기 쌍극자(E1)	자기 쌍극자(M1)	전동 쿼드폴(E2)	자기 쿼드폴(M2)	전기 옥투폴(E3)	자기 옥투폴(M3)
엄격한 규칙	(1)	$디스플레이 스타일 {\displaystyle}\델타 J=0,\pm 1\\(J=0\not \좌우 이동 0)\end{매트릭스}}$		$디스플레이 스타일 {\displaystyle}\델타 J=0,\pm 1,\pm 2\\(J=0\not \leftrightarrow 0,1;\\\\\\begin{matrix}{matrix}}}\not \leftrightarrow {\begin{matrix}{1}{matrix}}}}}}}}}}}\end{matrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$		$디스플레이 스타일 {\displaystyle}\Delta J=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3\\(0\not \leftrightarrow 0,1,2;\ {\begin{matrix}{1 \over 2}\end{matrix}}\not \leftrightarrow {\begin{matrix}{1 \over 2}\end{matrix}},{\begin{matrix}{3 \over 2}\end{matrix}};\ 1\not \leftrightarrow 1)\end{matrix}}}$
	(2)	$\Delta M_{J}=0,\pm 1$		$\Delta M_{J}=0,\pm 1,\pm 2$		$\Delta M_{J}=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3$
	(3)	$\pi _{\mathrm {f} }=-\pi _{\mathrm {i}\,$	$\pi _{\mathrm {f} }=\pi _{\mathrm {i}\,$		$\pi _{\mathrm {f} }=-\pi _{\mathrm {i}\,$		$\pi _{\mathrm {f} }=\pi _{\mathrm {i}\,$
LS 커플링	(4)	일전자점프 $\Delta L=\pm 1$	전자점프 금지 $\Delta L=0$ $\Delta L=0$ = $\Delta L=0$ ${\displaystyle \Delta L=0$ $\Delta n=0$	전자점프 없음 또는 1개 $\Delta L=0,\pm 2$	일전자점프 $\Delta L=\pm 1$	일전자점프 $\Delta L=\pm 1,\pm 3$	일전자점프 $\Delta L=0,\pm 2$
LS 커플링	(5)	$\Delta S=0$ $\Delta S=0$ = $\Delta S=0$ $\Delta S=0$ 인 경우 $디스플레이 스타일 {\displaystyle}\델타 L=0,\pm 1\\(L=0\not \좌우 이동 0)\end{매트릭스}}$	$\Delta S=0$ $\Delta S=0$ = $\Delta S=0$ $\Delta S=0$ 인 경우 $\Delta L=0\,$	$\Delta S=0$ $\Delta S=0$ = $\Delta S=0$ $\Delta S=0$ 인 경우 $디스플레이 스타일 {\displaystyle}\델타 L=0,\pm 1,\pm 2\\(L=0\not \좌우 이동 0,1)\end{matrix}}$		$\Delta S=0$ $\Delta S=0$ = $\Delta S=0$ $\Delta S=0$ 인 경우 $디스플레이 스타일 {\displaystyle}\Delta L=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3\(L=0\not \좌측 화살표 0,1,2;\1\not \not \좌측 화살표 1)\end{매트릭스}}}$
중간 결합	(6)	$\Delta S=\pm 1$ $\Delta S=\pm 1$ = $\Delta S=\pm 1$ ± $\Delta S=\pm 1$ ${\displaystyle \Delta$ S $=\pm$ 1 $}$ 인 경우 $\Delta L=0,\pm 1,\pm 2\,$		$\Delta S=\pm 1$ $\Delta S=\pm 1$ = $\Delta S=\pm 1$ ± $\Delta S=\pm 1$ ${\displaystyle \Delta$ S $=\pm$ 1 $}$ 인 경우 $디스플레이 스타일 {\displaystyle}\Delta L=0,\pm 1,\\pm 2,\pm 3\\\(L=0\not \좌우 이동 0)\end{매트릭스}}}$	$\Delta S=\pm 1$ $\Delta S=\pm 1$ = $\Delta S=\pm 1$ ± $\Delta S=\pm 1$ ${\displaystyle \Delta$ S $=\pm$ 1 $}$ 인 경우 $디스플레이 스타일 {\displaystyle}\델타 L=0,\pm 1\\(L=0\not \좌우 이동 0)\end{매트릭스}}$	$\Delta S=\pm 1$ $\Delta S=\pm 1$ = $\Delta S=\pm 1$ ± $\Delta S=\pm 1$ ${\displaystyle \Delta$ S $=\pm$ 1 $}$ 인 경우 $디스플레이 스타일 {\displaystyle}\델타 L=0,\pm 1,\\pm 2,\pm 3,\pm 4\\\(L=0\not \좌우타로우 0,1)\end{matrix}}$	$\Delta S=\pm 1$ $\Delta S=\pm 1$ = $\Delta S=\pm 1$ ± $\Delta S=\pm 1$ ${\displaystyle \Delta$ S $=\pm$ 1 $}$ 인 경우 $디스플레이 스타일 {\displaystyle}\델타 L=0,\pm 1,\\pm 2\\(L=0\not \좌우 이동 0)\end{matrix}}$

초미세 구조에서 원자의 총 각도운동량은 $~F=I+J~,$ = $~F=I+J~,$ + $~F=I+J~,$ , $~F=I+J~$ 이며, 여기서 $~F=I+J~,$ $I$ ${\$ 은 $~I~$ 핵 스핀 각도운동량이고 $J$ ${\$ 은 $~J~$ 전자의 총 각도운동량이다. $~F=I+J~$ $~J=L+S~,$ $~F=I+J~$ = $~F=I+J~$ + J ${\$ 은(는) $~J=L+S~,$ = $~J=L+S~,$ + S $~J=L+S~,$ $~J=L+S~$ 과(와) 수학 형식이 비슷하므로 $~F=I+J~$ 위의 표와 유사한 선택 규칙 표를 따른다.

표면

표면 진동 스펙트럼 분석에서는 표면 선택 규칙을 적용하여 진동 스펙트럼에서 관측된 피크를 식별한다. 분자가 기질에 흡착될 때, 분자는 기질에 있는 반대 이미지 전하를 유도한다. 분자와 이미지의 쌍극자 모멘트는 표면과 수직으로 전하가 서로 강화된다. 대조적으로, 분자의 쌍극자 모멘트와 이미지는 표면에 평행하게 충전된다. 따라서 표면에 수직인 동적 쌍극자 모멘트를 발생시키는 분자 진동 피크만 진동 스펙트럼에서 관측된다.

참고 항목

메모들

^ 해리스 & 베르톨루치, 페이지 130
^ ^a ^b ^c Salthouse, J.A.; Ware, M.J. (1972). Point Group Character Tables and Related Data. Cambridge University Press. ISBN 0-521-08139-4.
^ u(독일어 언게레이드) 대칭이 있는 것은 대칭 중심과 관련하여 대칭성이 없다. g(독일어 게레이드)는 대칭 중심과 대칭성을 나타낸다. 전환 모멘트 함수에 u 대칭이 있으면 양의 부분과 음의 부분이 서로 같기 때문에 적분은 0의 값을 갖는다.
^ 해리스 & 베롤루치, 페이지 330
^ 해리스 & 베롤루치, 페이지 336
^ 면 섹션 9.6, 선택 규칙 및 편광
^ 면, 섹션 10.6 기본 진동 전환에 대한 선택 규칙
^ 면, 10장 분자 진동
^ 면 페이지 327
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^ 아레나스, D. J. 외 "라만 연구 비스무트 피로클로레스에서의 포논 모드 연구." 신체 검토 B 82.21 (2010): 214302. DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevB.82.214302
^ 자오, 옌위안 등 "Bi 2 S 3 나노 구조의 포논: 라만 산란과 제1원칙 연구." 물리적 검토 B 84.20(2011): 205330. DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevB.84.205330
^ Kroto, H.W. (1992). Molecular Rotation Spectra. new York: Dover. ISBN 0-486-49540-X.
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^ Condon, E.V.; Shortley, G.H. (1953). The Theory of Atomic Spectra. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09209-4.

참조

Harris, D.C.; Bertolucci, M.D. (1978). Symmetry and Spectroscopy. Oxford University Press. ISBN 0-19-855152-5.
Cotton, F.A. (1990). Chemical Applications of Group Theory (3rd ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-51094-9.

추가 읽기

Stanton, L. (1973). "Selection rules for pure rotation and vibration-rotation hyper-Raman spectra". Journal of Raman Spectroscopy. 1 (1): 53–70. Bibcode:1973JRSp....1...53S. doi:10.1002/jrs.1250010105.
Bower, D.I; Maddams, W.F. (1989). The vibrational spectroscopy of polymers. Cambridge University Press. ISBN 0-521-24633-4. 섹션 4.1.5: 라만 활동에 대한 선택 규칙
Sherwood, P.M.A. (1972). Vibrational Spectroscopy of Solids. Cambridge University Press. ISBN 0-521-08482-2. 제4장: 방사선과 결정의 상호작용.

외부 링크

[1] 해리스 & 베르톨루치, 페이지 130

[sw-2] Salthouse, J.A.; Ware, M.J. (1972). Point Group Character Tables and Related Data. Cambridge University Press. ISBN 0-521-08139-4.

[3] u(독일어 언게레이드) 대칭이 있는 것은 대칭 중심과 관련하여 대칭성이 없다. g(독일어 게레이드)는 대칭 중심과 대칭성을 나타낸다. 전환 모멘트 함수에 u 대칭이 있으면 양의 부분과 음의 부분이 서로 같기 때문에 적분은 0의 값을 갖는다.

[4] 해리스 & 베롤루치, 페이지 330

[5] 해리스 & 베롤루치, 페이지 336

[6] 면 섹션 9.6, 선택 규칙 및 편광

[7] 면, 섹션 10.6 기본 진동 전환에 대한 선택 규칙

[8] 면, 10장 분자 진동

[9] 면 페이지 327

[10] Califano, S. (1976). Vibrational states. Wiley. ISBN 0-471-12996-8. 제9장 무해성

[11] 페인틀리, W. G., 닐 T. 맥데빗, 프리먼 F. 벤틀리 격자 진동에 대한 적외선 및 라만선정 규칙:상관법. 적용 분광학 25.2 (1971): 155-173.

[12] 아레나스, D. J. 외 "라만 연구 비스무트 피로클로레스에서의 포논 모드 연구." 신체 검토 B 82.21 (2010): 214302. DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevB.82.214302

[13] 자오, 옌위안 등 "Bi 2 S 3 나노 구조의 포논: 라만 산란과 제1원칙 연구." 물리적 검토 B 84.20(2011): 205330. DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevB.84.205330

[14] Kroto, H.W. (1992). Molecular Rotation Spectra. new York: Dover. ISBN 0-486-49540-X.

[15] 해리스 & 베롤루치, 페이지 339

[16] 해리스 & 베롤루치, 페이지 123

[17] Long, D.A. (2001). The Raman Effect: A Unified Treatment of the Theory of Raman Scattering by Molecules. Wiley. ISBN 0-471-49028-8. 제7장 진동 공명 라만 산란

[18] 해리스 & 베롤루치, 페이지 198

[19] Softley, T.P. (1994). Atomic Spectra. Oxford, UK: Oxford University Press. ISBN 0-19-855688-8.

[20] Condon, E.V.; Shortley, G.H. (1953). The Theory of Atomic Spectra. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09209-4.

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