전위 구배

물리학, 화학 및 생물학에서 잠재적 경사는 변위와 관련된 잠재력의 국부적 변화율(즉, 공간적 파생상품 또는 경사로)이다.이 양은 어떤 형태의 유동으로 이어지기 때문에 물리적인 과정의 방정식에서 자주 발생한다.

정의

원차원

한 차원에서의 잠재적 그라데이션 F에 대한 가장 간단한 정의는 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle F={\frac {\phi _{2}-\phi _{1}{1}{{x_{2}-x_{1}}={\fraca \delta \pi }{\Delta x}\,\!}$

여기서 ϕ(x)는 스칼라 전위의 일부 유형이고 x는 x 방향의 변위(거리 아님)이며 첨자는 해당₁ 지점의 x, x₂ 및 전위 위치인₁ potential = ϕ(x₁), ϕ₂ = ϕ(x₂)에 레이블을 붙인다.극소수의 변위 한계에서 차이의 비율은 차이의 비율이 된다.

${\displaystyle F={\frac {{\rm {d}\phi }{{\rm {d}x}}\,\!}$

전위 구배 방향은 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}부터$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}까지입니다$.$

삼차원

데카르트 좌표는 3차원에서 결과적 전위 구배는 각 방향의 전위 구배 합이라는 것을 명확히 한다.

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\,\!}$

여기서 e_x, e_y, e는_z x, y, z 방향의 단위 벡터다.이것은 그라데이션 연산자 ∇의 관점에서 압축적으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \phi .\,\!}$

비록 이 최종 형태는 데카르트식만이 아니라 어떤 곡선 좌표계에서도 유지된다.

이 표현식은 보수적인 벡터 필드 F의 중요한 특징을 나타낸다. 즉, F는 그에 상응하는 잠재력 ϕ을 가지고 있다.^[2]

스톡스의 정리를 이용하여 이것은 다음과 같이 동등하게 기술된다.

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}\,\!}$

즉, 벡터 필드의 컬이 사라진다.

물리학

뉴턴 인력

보수적인 것으로 보일 수 있는 중력장 g의 경우,^[3] 중력전위 φ의 구배와 같다.

${\displaystyle \mathbf {g} =-\\nabla \Phi .\,\!}$

전위 구배와 전위 간에는 정반대 신호가 있는데, 전위 구배와 전위가 반대 방향이기 때문이다. 전위가 증가할수록 중력장 강도가 감소하고 그 반대도 마찬가지다.

전자기학

전기장에서 전기장 E는 시간 t와 독립적이므로 패러데이의 유도 법칙에 의해 시간에 의존하는 자기장 B의 유도는 없다.

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B}{\partial t}={\boldsymbol {0}}}}}$

E는 고전적인 중력장과 동일한 전위 V의 구배임을 의미한다.^[4]

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla V.\,\!}$

전기역학에서 E 필드는 시간에 의존하며 시간에 의존하는 B 필드도 유도하기 때문에(파라데이의 법칙에 따라), E의 컬은 이전처럼 0이 아니며, 이는 전기장이 더 이상 전위의 경사가 아님을 의미한다.시간 의존적인 항을 추가해야 한다.^[5]

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla V+{\frac {\partial \mathbf {A}{\partial t}\,\!}$

여기서 A는 전자기 벡터 전위다.사실 이 마지막 잠재적 표현은 패러데이의 법칙을 정체성으로 축소시킨다.

유체역학

유체역학에서 속도장 v는 유체 운동을 설명한다.비회전 흐름은 속도장이 보수적이거나 동등하게 vorticity 유사벡터 필드 Ω이 0임을 의미한다.

${\displaystyle {\bmbol {\omega }=\bla \mathbf {v} = {\bmithmbol {0}.}$

이는 속도 전위를 단순히 다음과 같이 정의할 수 있게 한다.

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathla \phi }$

화학

전기화학 반전지, 전해질(이온 용액)과 금속 전극 사이의 인터페이스에서 표준 전위차는 다음과 같다.^[6]

${\displaystyle \Delta \pi _{(M,M^{+z})}=\Delta \phi _{(M,M^{+z})^{\minus }+{\frac {RT}{zeN_{\text}A}}}\ln a_{M^{+z}\,\!}$

여기서 R = 기체 상수, T = 용액의 온도, z = 금속의 Valency, e = 기본 전하_A, N = 아보가드로 상수, a는_M^+z 용액 내 이온의 활성도다.위첨자 ⊖이 있는 수량은 표준 조건에서 측정됨을 나타낸다.금속과 용액 사이에 거의 확실한 경계가 있으므로 접점 용어인 잠재적 경사는 비교적 갑작스럽다.^{[clarification needed]}

생물학

생물학에서 전위 구배는 세포막에 걸친 전하의 순차이다.

전위성이 고유하지 않음

전위의 구배는 물리적 영역에 해당하므로 상수를 추가해도 아무런 차이가 없다(부분적인 분화를 포함하는 구배 연산자 ∇에 의해 지워짐).이것은 잠재력 "절대값"이 무엇인지 알 방법이 없다는 것을 의미한다 – 잠재력의 영값은 완전히 임의적이며 편리함("무한도"에서도 어느 곳에서나 선택할 수 있다.이 사상은 벡터 전위에도 적용되며, 고전적 장 이론에도 활용되고 장 이론을 계량한다.

전위의 절대값은 물리적으로 관측할 수 없으며, 구배와 경로 의존적 전위차만 관측할 수 있다.그러나 아하로노프-봄 효과는 밀폐 루프를 따라 비제로 전자파 전위(이 지역의 모든 곳에 E와 B 장이 0인 경우에도)가 지역 내 전기 충전 입자의 파동 기능의 위상 변화를 초래한다는 것을 보여주는 양자역학적 효과로서 전위성이 측정된 것으로 보인다.유력한 의의

전위론

전기, 자력, 중력에 대한 가우스의 법칙과 같은 필드 방정식은 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있다.

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =X\rho }$

여기서 ρ은 전하 밀도, 단극 밀도(존재해야 한다) 또는 질량 밀도, X는 상수(물리적 상수 G, μ₀₀ 및 기타 수치 인자에 관한 것)이다.

스칼라 전위 구배는 포아송의 방정식으로 이어진다.

$\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \phi )=X\rho \quad \Rightarrow \quad \quad \nabla ^{2}\phi =X\rho }}$

전위성에 대한 이 방정식을 해결하기 위해 전위 이론이 개발되었다.그 용액의 경사는 필드 방정식을 푸는 물리적 장을 제공한다.

참고 항목

• 곡선 좌표의 텐서

참조