선형 반응 함수

선형응답함수는 전자파를 음악으로 변환하는 무선이나 시냅스 입력을 응답으로 변환하는 뉴런 등의 신호변환기의 입출력 관계를 기술한다.정보 이론, 물리 및 공학 분야에서의 응용이 많기 때문에, 감수성, 임펄스 응답 또는 임피던스와 같은 특정 선형 응답 함수에 대한 대체 이름이 존재합니다. 전달 함수도 참조하십시오.그린 함수 또는 일반 미분 방정식의 기본 해법의 개념은 밀접하게 관련되어 있습니다.

수학적 정의

시스템의 입력은 $h(t)$ ( $h(t)$ t $h(t)$ ) { $displaystyle$ h $(t)}$ (예를 들어 힘)로 나타내고 시스템의 응답은 $x(t)$ x ( $)$ { $displaystyle$ x $(t)}$ (예를 들어 위치)로 나타냅니다.일반적으로 x $x(t)$ ( $x(t)$ ) { $displaystyle$ x $($ $t$ 의 $x(t)$ 값은 h $h(t)$ ( $)$ 의 $h(t)$ 값뿐만 아니라 과거 값에도 의존합니다. $x(t)$ x ( $x(t)$ $){$ $displaystyle$ x ( $x(t)$ $h(t')$ ){ $displaystyle$ h $( t$ $h(t')$ 의 $h(t')$ 값의 가중치 합계이며 선형 $\chi (t-t')$ $\chi (t-t')$ function ( t $\chi (t-t')$ - $\chi (t-t')$ $\chi (t-t')$ $){$ $displaystyle \chi$ ( t - $t$ ' $\chi (t-t')$ 에 의해 가중치가 부여됩니다.

\displaystyle x(t)=\int _{-\infty}^{t}dt',\chi(t-t')h(t')+\cdots,}

오른쪽의 명시적 항은 전체 비선형 반응에 대한 Volterra 확장의 선행 순서 항입니다.해당 시스템이 고도로 비선형인 경우 점으로 나타나는 팽창의 고차 항이 중요해지고 신호 변환기는 선형 응답 함수만으로 적절하게 설명할 수 없습니다.

선형 응답 함수의 복소수 푸리에 변환 ${\tilde {\chi }}(\omega )$ ~ ${\tilde {\chi }}(\omega )$ ( $display$ ) ${\tilde {\chi }}(\omega )$ { $displaystyle$ { $t$ $h(t)=h_{0}\sin(\omega t)$ $}$ $h(t)=h_{0}\sin(\omega t)$ $h(t)=h_{0}\sin(\omega t)$ $h(t)=h_{0}\sin(\omega t)$ sin $h(t)=h_{0}\sin(\omega t)$ ( $h(t)=h_{0}\sin(\omega t)$ t $h(t)=h_{0}\sin(\omega t)$ ) \ $display$ $style$ $h(t)=h_{0}\sin(\omega t)$ h ( t ) = $h _$ { $0$ } \ $sin$ ( \ $obega$ $)$ \ display style \ sin $\omega$ } \ $sin$ $h(t)=h_{0}\sin(\omega t)$ display $\omega$ displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay $\omega$ $h(t)=h_{0}\sin(\omega t)$ 출력은 다음과 같습니다.

(\displaystyle x(t)=\left(\tilde {chi }}((오메가)\right h_{0}\sin(\mega t+\sin(\tilde {chi})\,},)

진폭 게인 $|{\tilde {\chi }}(\omega )|$ ~ ( $|{\tilde {\chi }}(\omega )|$ ) $|{\tilde {\chi }}(\omega )|$ { $displaystyle$ \ $tilde$ \ $chi$ } （ $obmega$ $\arg {\tilde {\chi }}(\omega )$ } $phase$ phase phase $\arg {\tilde {\chi }}(\omega )$ phase phase shift $shift$ 、 ) ） $\arg {\tilde {\chi }}(\omega )$ $|{\tilde {\chi }}(\omega )|$ 、 $shift$ arg 、 $\arg {\tilde {\chi }}(\omega )$ （ $\arg {\tilde {\chi }}(\omega )$ \ ）。

예

외부 $h(t)$ h ( $)\displaystyle$ h $(t$ 에 의해 입력되는 감쇠 고조파 발진기를 고려합니다.

{x}(t)+\dot {x}(t)+\Omega _{0}^{2}x(t)=h(t)

선형 응답 함수의 복소값 푸리에 변환은 다음과 같이 주어진다.

{{tilde {x}}((오메가)}}}{\tilde {h}}((오메가)}}}={\opera _{0}^{2}-\opera ^{2}+i\opera \opera }}}.

진폭 게인은 복소수 ${\tilde {\chi }}(\omega ),$ ~ ( ${\tilde {\chi }}(\omega ),$ ${\tilde {\chi }}(\omega ),$ { $displaystyle {tilde {chi }}(((오메가$ )})의 ${\tilde {\chi }}(\omega ),$ 크기와 함수의 가상 부분을 arctan으로 나눈 위상 편이로 구한다.

$이$ 표현에서 선형 응답 함수의 푸리에 변환 $δ$ $\gamma$ ~ ${\tilde {\chi }}(\omega )$ ( ${\tilde {\chi }}(\omega )$ \ $displaystyle$ \ $gamma$ )는 $\gamma$ ${\tilde {\chi }}(\omega )$ 주파수 $\omega \approx \omega _{0}$ 0 ( \ displaystyle \ oth \ obs \ $obs obs _$ 0 $\omega \approx \omega _{0}$ $}$ )에서 현저한 최대값("공진 $")$ 을 산출함을 알 수 $있습니다$ .고조파 발진기의 선형 응답 함수는 수학적으로 RLC 회로와 동일합니다.최대값인 $\Delta \omega ,$ δ , {\ $displaystyle \Delta \obega}$ 의 $\Delta \omega ,$ 폭은 일반적으로 $\omega _{0},$ 0 $\omega _{0},$ , $\omega _{0},$ { $0}$ 보다 $\omega _{0},$ 훨씬 작기 때문에 품질 $Q:=\omega _{0}/\Delta \omega$ Q : $Q:=\omega _{0}/\Delta \omega$ 0 / $Q:=\omega _{0}/\Delta \omega$ {\ $displaystyle$ Q : = \ $obega$ _ ${0}/\Delta \obe}$ 는 $Q:=\omega _{0}/\Delta \omega$ 매우 커질 수 있습니다.

쿠보 공식

양자 통계학의 맥락에서 선형 반응 이론의 설명은 쿠보 ^[1]료고의 논문에서 찾을 수 있다.이것은 특히 Kubo 공식을 정의하며, 이는 " $힘$ " h $(t)$ 가 시스템의 기본 연산자인 ${\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')$ H ^ ${\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')$ ${\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')$ ${\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')$ ^ ${\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')$ - ${\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')$ ( t ${\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')$ ) ) ${\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')$ B ${\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')$ ^ ( ${\$ ) { $display$ { $H } _$ { $0$ } \ $to$ { $hat$ { $H _$ 0 } { $h$ （ t ） $。$ $ystyle$ {\ $hat {B}}$ 은 ${\hat {B}}$ 측정 가능한 입력량에 해당하며 출력 $x (t)$ 는 다른 측정 가능한 ${\hat {A}}(t)$ A ${\hat {A}}(t)$ ( ${\hat {A}}(t)$ ) { $displaystyle {A}}(t$ 의 열 기대치에 대한 섭동입니다.그런 다음 Kubo 공식은 상기 연산자만을 포함하는 일반 공식에 의해 감수성 $δ$ ( $\chi (t-t')$ - $t$ $)$ 의 $\chi (t-t')$ 양자 통계 계산을 정의한다.

인과관계 원리의 결과로, 복소수 ${\tilde {\chi }}(\omega )$ ${\tilde {\chi }}(\omega )$ ~ ${\tilde {\chi }}(\omega )$ ( ${\tilde {\chi }}(\omega )$ ) { $displaystyle$ { $tilde$ { chi } } （ $obega$ ） }는 ${\tilde {\chi }}(\omega )$ 하부 반평면에만 극성을 가진다.이를 통해 크래머-크로니그 관계는 통합에 ${\tilde {\chi }}(\omega )$ ${\tilde {\chi }}(\omega )$ ~ ( ${\tilde {\chi }}(\omega )$ \ $displaystyle$ \ $tilde$ \ $chi }}$ ( \ ${\tilde {\chi }}(\omega )$ $)$ 의 ${\tilde {\chi }}(\omega )$ 실제와 상상의 부분을 관련짓습니다.가장 간단한 예는 다시 감쇠 고조파 ^[2]발진기입니다.

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레퍼런스

^ Kubo, R., 일본물리학회지 제12권, 570-586쪽(1957년).
^ 드 클로조, 선형반응이론, E.안톤치크 외응집물질 이론, IAEA 비엔나, 1968

외부 링크

Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt 및 Alexander Lichtenstein(편집): 25세 DMFT: 무한 차원, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014년 ISBN 978-3-89336-953-9

[1] Kubo, R., 일본물리학회지 제12권, 570-586쪽(1957년).

[2] 드 클로조, 선형반응이론, E.안톤치크 외응집물질 이론, IAEA 비엔나, 1968

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