베르트랑 정리

고전역학에서 베르트랑의 정리는 결합된 궤도를 가진 중심 힘 퍼텐셜 중 모든 결합된 궤도도 폐쇄된 궤도라는 속성을 가진 중심 힘(반지름) 스칼라 퍼텐셜은 두 가지 유형만 존재한다고 말합니다.^[1][2]

첫 번째 이러한 퍼텐셜은 중력 또는 정전기 퍼텐셜과 같은 역제곱 중심 힘입니다.

${\displaystyle V}$(${\displaystyle r}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle kr}${\$displaystyle$ V${\displaystyle (}$r) = -{\$frac {k}{r}}$에 힘 f${\displaystyle (}$r) = - d V${\displaystyle }$dr = - kr 2 {\displaystyle f${\displaystyle (}$r) = -{\frac {dV}{d${\displaystyle r}$}} = -{\frac {k}{r^{2}}}입니다.

두 번째는 방사형 고조파 발진기 전위입니다.

${\displaystyle V(r}$) = $r$ 2 {\$displaystyle$ V${\displaystyle (}$r) = {\frac {1}{2}kr^{2}} 힘 f${\displaystyle (}$r) = - d V${\displaystyle }$dr = - kr {\displaystyle f${\displaystyle (}$r) = - {\frac {dV}{d${\displaystyle r}$}} =-kr}입니다.

이 정리는 발견자인 조셉 버트랜드의 이름을 따서 지어졌습니다.

파생

모든 매력적인 중심력은 원형 궤도를 만들 수 있으며, 이는 자연적으로 닫힌 궤도입니다. 유일한 요구 사항은 중심 힘이 구심력과 정확히 일치해야 한다는 것인데, 구심력은 주어진 원 반지름에 대해 필요한 각속도를 결정합니다. 비중심력(즉, 각도 변수와 반지름에 의존하는 힘)은 일반적으로 원형 궤도를 생성하지 않기 때문에 여기서는 무시됩니다.

중심 전위 $V{\displaystyle (r)}$ ${\displaystyle$ V$(r)}$에서 이동하는 $질량{\displaystyle }$ m$${\$displaystyle m}$ 입자의$$ $반지름{\displaystyle }$ r$${\$displaystyle$r}에 대한 운동 방정식은$$ 운동 방정식으로 주어집니다.

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}},}$

여기서${\displaystyle }$ω ≡ d θ d ${\displaystyle \omega \equiv {\frac {$d$\backslash$theta }{dt}}, ${\displaystyle \mathrm{각운동량}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ = $mr$2 ω {\displaystyle L=mr^{2}\omega}는 보존됩니다. 예를 들어, 왼쪽의 첫 번째 항은 원형 궤도에 대해 0이고, 적용된 $안쪽$ 힘 ${\displaystyle \frac{\mathrm{Vdr}}{}}$ ${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}$은 예상대로 구심력 $요구량$ ${\displaystyle {mr2}^{}}$ω {\$displaystyle$mr^{2$}\$omega$\}$와 같습니다.

각운동량의 정의를 통해 독립 변수를 $t$ ${\displaystyle t}$에서$$θ {\displaystyle$\backslash$theta}(으)로 변경할 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }},}$

시간에 구애받지 않는 새로운 운동 방정식을 제시합니다.

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}.}$

이 방정식은 변수 ${\displaystyle \frac{u}{}}$의 변화를 ≡ $1r {\displaystyle u\equiv {\frac$ {1}{r}}를 만들고 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$에 ${\displaystyle \frac{{mr}^{}}{}}$2 $L2 {\displaystyle {\frac {mr^{2}}{$L^{2}}}를 곱하면 준선형이 됩니다(비넷 방정식 참조).

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right).}$

위에서 언급한 바와 같이 모든 중심 힘은 적절한 초기 속도가 주어지면 원형 궤도를 생성할 수 있습니다. 그러나 일부 방사 속도가 도입되면 이러한 궤도는 안정적일 필요가 없으며(즉, 무한히 궤도에 머물러 있음) 폐쇄적일 필요가 없습니다(반복적으로 정확히 동일한 경로로 되돌아감). 여기서 저희는 안정적이고 정확하게 닫힌 비원형 궤도에 필요한 조건이 역제곱 힘 또는 방사형 고조파 발진기 전위임을 보여줍니다. 다음 섹션에서는 두 힘 법칙이 안정적이고 정확하게 닫힌 궤도(충분조건)를 생성한다는 것을 보여줍니다. [독자에게는 정확하게 무엇이 충분조건인지 불분명합니다.]

$J$ ${\displaystyle$ J$(u)}$을(를) 정의합니다.

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=J(u)\equiv -{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {m}{L^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right),}$

$여기$서 f ${\displaystyle f}$는 반경 방향 힘을 나타냅니다$$. 반지름 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에서 완벽한 원운동의 기준은 왼쪽의 첫 번째 항이 0이라는 것입니다$$.

${\displaystyle u_{0}=J(u_{0})=-{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right),}$

(1)

여기서 $u$ ${\displaystyle 0_{}}$ ≡ 1 / r $0$ ${\displaystyle u_{0}\equiv$1$/$r_{0}입니다.

다음 단계는 완벽한 원형 궤도에서 작은 섭동${\displaystyle }$η ≡ ${\displaystyle u_{}}$- u 0 {\displaystyle \eta \equiv u_{0} 하에서 u ${\displaystyle$ u$}$에 대한 방정식을 고려하는 것입니다. 오른쪽에서 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$ 기능을$$ 표준 테일러 영상 시리즈로 확장할 수 있습니다.

${\displaystyle J(u)\approx J(u_{0})+\eta J'(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots }$

$이{\displaystyle }$ 확장을 u ${\displaystyle u}$에 대한 방정식에 대입하고$$ 상수항 수율을 빼면 됩니다.

${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\eta =\eta J'(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots ,}$

라고 쓸 수 있는

${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta ={\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots ,}$

(2)

여기서 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ≡ 1 - J${\displaystyle {}_{}}$($u$ 0) ${\displaystyle \beta$^{2$}\equiv 1-J'$ (u_{0)}는 상수입니다. ${\displaystyle {\beta }^{}}$2 ${\displayst$2}}는 음이 아니어야 합니다. 그렇지 않으면 궤도의 반지름이 초기 반지름에서 벗어나 기하급수적으로 변합니다. (${\displaystyle \mathrm{해}}$ $\beta$ = 0${\$displaystyle \ beta = 0}은 완벽한 원형 궤도에 해당합니다.) 우변이 (즉, 작은 섭동에 대해) 무시될 수 있다면, 해는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \eta(\theta )=h_{1}\cos(\beta \theta),}$

여기서 진폭 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 적분 상수입니다. 궤도가 닫히려면 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta}$가 유리수여야 합니다. 또한 $\beta {\displaystyle }${\$displaystyle \beta}$는 연속적으로 변할 수$$ 없기 때문에 모든 반지름에 대해 동일한 유리수여야 합니다. 유리수는 서로 완전히 단절되어 있습니다. $식{\displaystyle }$ (1)과$$ 함께 J ${\displaystyle$ J$}$의 정의를 사용하면,

${\displaystyle J'(u_{0})={\frac {2}{u_{0}}}\left[{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)\right]-\left[{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)\right]{\frac {1}{f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}}{\frac {d}{du_{0}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)=-2+{\frac {u_{0}}{f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}}{\frac {d}{du_{0}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)=1-\beta ^{2}.}$

${\displaystyle {이\mathrm{}}_{}}$ 값은 u$0$ {\$displaystyle$ u_${0}$의 값에 대해 유지되어야 하므로$,$

${\displaystyle {\frac {df}{dr}}=(\beta ^{2}-3){\frac {f}{r}}}$

힘의 법칙을 따라야 한다는 뜻이죠

${\displaystyle f(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2}}}.$

$따라서{\displaystyle }$ J ${\displaystyle J}$는 일반 형식을 가져야$$ 합니다.

${\displaystyle J(u)={\frac {mk}{L^{2}}}u^{1-\beta ^{2}}.}$

(3)

원형성에서 보다 일반적인 편차(즉, $J$ ${\displaystyle J}$의 테일러 확장에서 고차 항을 무시할 수 없는 경우)를 위해$$η${\displaystyle$ \eta}를 푸리에 시리즈로 확장할 수 있습니다.

${\displaystyle \eta(\theta )=h_{0}+h_{1}\cos \beta \theta +h_{2}\cos 2\beta \theta +h_{3}\cos 3\beta \theta +\cdots }$

이를 식 (2)에 대입하여 같은 빈도에 속하는 계수를 동일시하여 가장 낮은 차수의 항만 유지합니다. As we show below, ${\displaystyle h_{0}}$ and ${\displaystyle h_{2}}$ are smaller than ${\displaystyle h_{1}}$, being of order ${\displaystyle h_{1}^{2}}$. ${\displaystyle h_{3}}$, and all further coefficients, 적어도 $순서{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 13$${\$displaystyle h_{1}^{3}}$입니다$.$ 이는 ${\displaystyle {h\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ h ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {h\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$… ${\displaystyle h_{0}, h_{2}, h_{3},\ldots }$ 모두 원형 궤도에 접근함에$$ 따라 ${\displaystyle {h\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$보다 빨리 사라져야$$ 하므로 의미가 있습니다.

${\displaystyle h_{0}=h_{1}^{2}{\frac {J''(u_{0})}{4\beta ^{2}}},}$

${\displaystyle h_{2}=-h_{1}^{2}{\frac {J''(u_{0})}{12\beta ^{2}}},}$

${\displaystyle h_{3}=-{\frac {1}{8\beta ^{2}}}\left[h_{1}h_{2}{\frac {J''(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J'''(u_{0})}{24}}\right].}$

${\displaystyle \mathrm{코스}}$⁡ β θ {\$displaystyle$ \cos$$\beta \theta} 항으로부터, 우리는

${\displaystyle 0=(2h_{1}h_{0}+h_{1}h_{2}){\frac {J''(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J'''(u_{0})}{8}}={\frac {h_{1}^{3}}{24\beta ^{2}}}\left(3\beta ^{2}J'''(u_{0})+5J''(u_{0})^{2}\right),}$

마지막 단계에서 ${\displaystyle {h\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ 및$$ ${\displaystyle {h\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$의 값을 대체했습니다$.$

식 (3)과 (1)을 사용하여 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에서 평가된$$ $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ J$}$의 두 번째 도함수와 세 번째 도함수를 계산할 수 있습니다$.$

${\displaystyle J''(u_{0})=-{\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})}{u_{0}}$

${\displaystyle J''''(u_{0})={\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(1+\beta ^{2})}{u_{0}^{2}}.$

이 값들을 마지막 방정식에 대입하면 베르트랑 정리의 주요 결과가 나옵니다.

${\displaystyle \beta ^{2}(1-\beta ^{2})(4-\beta ^{2)=0.}$

따라서 안정적으로 닫힌 비 circular 궤도를 생성할 수 있는 유일한 전위는 역제곱 힘 법칙($$ = ${\$displaystyle$$\ beta = 1})과 방사형 고조파-oscill레이터 전위(β = 2 {\displaystyle \ beta = 2})입니다. ${\displaystyle \mathrm{솔루션}}$ $\beta$ = 0${\$displaystyle \ beta = 0}은 위에서 언급한 바와 같이 완벽한 원형 궤도에 해당합니다.

고전장 퍼텐셜

중력 퍼텐셜이나 정전기 퍼텐셜과 같은 역제곱 힘 법칙의 경우 퍼텐셜은 다음과 같습니다.

${\displaystyle V(\mathbf {r})={\frac {-k}{r}}=-ku.}$

궤도 u(θ)는 일반 방정식으로부터 유도될 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)={\frac {km}{L^{2}},}$

상수 ${\displaystyle \frac{k}{}}$ ${\displaystyle \frac{{L2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$의 해는 상수 k L2 {\displaystyle {\frac {km}} {$L^{2}}}+$단순$$ 부비동체:

${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}={\frac {km}{L^{2}}}[1+e\cos(\theta -\theta _{0})],}$

여기서 (이심률)과 θ (위상 오프셋)은 적분 상수입니다.

이것은 원점에 하나의 초점이 있는 원뿔 단면에 대한 일반적인 공식입니다. e = 0은 원, 0 < e < 1은 타원, e = 1은 포물선, e > 1은 쌍곡선에 해당합니다. 이심률 e는 총 에너지 E와 관련이 있습니다(라플라스-룽지-렌츠 벡터 참조).

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}.$

이 공식들을 비교해 보면 E < 0은 타원, E = 0은 포물선, E > 0은 쌍곡선에 해당합니다. 특히 $E$ =${\displaystyle }$- ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \frac{2^{}}{}}$m 2 L$2$ {\displaystyle E = -{\frac {k^{2}m}{2완벽한 원형 궤도를 위한 L$^{2}}}.$

고조파 발진기

방사상 고조파-oscill레이터 전위 하에서 궤도를 해결하려면 성분 r = (x, y, z)에서 작업하는 것이 더 쉽습니다. 잠재력은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2}).}$

질량 m의 입자에 대한 운동 방정식은 세 개의 독립적인 오일러 방정식에 의해 주어집니다.

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}y=0,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}z=0,}$

여기서 상수${\displaystyle {}_{}^{}}$ω 02$$≡ $km {\displaystyle \omega_{0}^{2}\equiv$ {\frac {k}{m}}는 한정된 닫힌 궤도를 보장하기 위해 양(즉, k > 0)이어야 합니다. 그렇지 않으면 입자는 무한대로 날아갈 것입니다. 이러한 단순 고조파 발진기 방정식의 해는 모두 유사합니다.

${\displaystyle x=A_{x}\cos(\omega_{0}t+\phi_{x}),}$

${\displaystyle y=A_{y}\cos(\omega_{0}t+\phi_{y}),}$

${\displaystyle z=A_{z}\cos(\omega_{0}t+\phi_{z}),}$

여기서 양의 상수 A, A 및 A는 진동의 진폭을 나타내고 각도 φ, φ 및 φ는 각각의 위상을 나타냅니다. 결과적인 궤도 r(t) = [x(t), y(y), z(t)]는 정확히 한 주기 후에 반복되므로 닫힙니다.

${\displaystyle T\equiv {\frac {2\pi}{\omega_{0}}}.$

진폭과 위상의 작은 섭동이 전체 궤도에 상응하는 작은 변화를 일으키기 때문에 시스템도 안정적입니다.

참고문헌

더보기

• Goldstein, H. (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-02918-5.
• Santos, F. C.; Soares, V.; Tort, A. C. (2011). "An English translation of Bertrand's theorem". Latin American Journal of Physics Education. 5 (4): 694–696. arXiv:0704.2396. Bibcode:2007arXiv0704.2396S.
• Leenheer, Patrick De; Musgrove, John; Schimleck, Tyler (2023). "A Comprehensive Proof of Bertrand's Theorem". SIAM Review. 65 (2): 563–588. doi:10.1137/21M1436658. ISSN 0036-1445. S2CID 258585586.