일반상대성이론의 정확한 해

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일반상대성이론
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=t_{\mu \nu }}$
서론 역사 수학 공식화 테스트
기본 개념 등가원칙 특수상대성이론 월드 라인 유사 리만 다양체
현상 케플러 문제 중력 렌즈 중력파 프레임 드래그 측지 효과 이벤트 호라이즌 특이점 블랙홀 시공간 시공간도 민코프스키 시공간 아인슈타인-로젠 다리
방정식 형식주의 방정식 선형 중력 아인슈타인 장 방정식 프리드만 측지학 매티슨-파페트루-딕슨 해밀턴-야코비-아인슈타인 형식주의 ADM BSSN 포스트뉴턴어 고급 이론 칼루자-클레인 이론 양자 중력
솔루션 슈바르츠실트(내부) 리스너-노르드스트롬 괴델 커 커-뉴먼 카스너 레마슈트르톨만 타우부 너트 밀른 로버트슨-워커 pp파 반스톡툼 더스트 바일루이스파파페트로우
과학자 아인슈타인 로렌츠 힐베르트 푸앵카레 슈바르츠실트 드 시터 리스너 노드스트롬 와일 에딩턴 프리드먼 밀른 즈위키 레마슈트르 괴델 휠러 로버트슨 바딘 워커 커 찬드라세카르 엘러스 펜로즈 호킹 레이쇼후리 테일러 헐스 반 스톡텀 타우브 뉴먼 야우 손 다른이들
물리 포털 카테고리
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일반 상대성 이론에서, 정확한 해는 아인슈타인 장 방정식의 해로, 그 유도의 시작점은 물질의 완벽한 구면 모양과 같은 이상적인 경우일 수 있지만, 그 유도는 단순화된 가정을 유발하지 않는다.수학적으로 정확한 해법을 찾는다는 것은 유체와 같은 일반 물질의 상태나 전자기장과 같은 고전적인 비중력장을 모델링하는 텐서장을 갖춘 로렌츠 다양체를 찾는 것을 의미한다.

배경과 정의

이러한 텐서장은 관련된 물리 법칙을 따라야 한다(예를 들어, 전자기장은 맥스웰의 방정식을 만족시켜야 한다).가장 널리 수리 물리학에서 사용되는 표준 recipe[어떤?]다음에는 이 텐서 분야도 stress–energy 텐서 Tα({\displaystyle T^{\alpha)}}.[1](필드가 라그랑주에 의해 현장에 관한 다양한 방정식을 주어야 할 것과 다양한 묘사된다 특정한 공헌을 내야 한다.resp과측정기준 외는 현장 때문에 응력-에너지 기여도를 제공해야 한다.)

마지막으로, 응력-에너지 텐서에 대한 모든 기여가 합산되면, 결과는 아인슈타인 장 방정식의 해여야 한다(여기서 빛의 속도 c = 중력 상수 G = 1)

${\displaystyle G^{\alpha \pi}=8\pi,T^{\alpha \pi}}$

위의 필드 방정식에서 ${\displaystyle G^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$β {\$displaystyle$ G$^{\alpha \beta$}}는 로렌츠 다양체의 정의의 일부인 메트릭 텐서에서 유일하게 계산되는 아인슈타인 텐서이다.아인슈타인 텐서를 주는 것이 리만 텐서를 완전히 결정하지는 않지만, 바일 텐서를 명시하지 않은 채로 두기 때문에, 아인슈타인 방정식은 일종의 양립 조건으로 간주될 수 있다: 시공간 기하학은 어떤 물질이나 비중력장의 양과 움직임과 일치해야 한다.비중력 에너지가 "지금 바로" 존재하면 비례적으로 "지금 바로 여기" 리치 곡률의 양이 발생한다.또한, 전기장 방정식의 공변 미분을 취하여 비앙치 식별성을 적용하면, 비중력 에너지 모멘텀의 적절한 변화량/운동이 물질이나 비중력장을 포함하지 않는 진공 영역 전체에 걸쳐도 곡률의 파문을 중력 방사선으로 전파할 수 있다는 것을 알 수 있다.

정의의 어려움

로렌츠 다양체는 아인슈타인 장 방정식의 어떤 우측에 대한 해이다.이는 다음 절차에서 확인할 수 있습니다.

• 로렌츠 다양체를 취하여 순수 수학 $연산$인 ${\displaystyle {아인슈타인}^{}}$ 텐서 G ${\displaystyle {\alpha }^{}}$β {\$displaystyle$ G$^{\alpha \beta$를 계산한다.
• ${\displaystyle 8}$로 나눕니다({$displaystyle$ 8$\pi}).$
• 결과 대칭 2순위 텐서장이 스트레스-에너지 $텐서{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$β {\$displaystyle T^{\alpha$ \$beta$임을 선언한다.

이는 일반상대성이론을 사용하는 두 가지 보완적인 방법이 있음을 보여준다.

• 응력-에너지 텐서의 형태를 고정하고(예를 들어, 어떤 물리적 이유로) 그러한 우측으로 아인슈타인 방정식의 해법을 연구할 수 있다(예를 들어, 응력-에너지 텐서가 완벽한 유체의 것으로 선택되면, 구면적으로 대칭적인 해는 스타 모델로 작용할 수 있다).
• 또는 시공간에서 일부 기하학적 특성을 수정하고 이러한 특성을 제공할 수 있는 물질 출처를 찾을 수 있습니다.이것이 2000년대 이후 우주론자들이 해온 것이다: 그들은 우주가 균질하고 등방성이며 가속하고 있다고 가정하고 어떤 물질(암흑 에너지라고 불리는)이 그러한 구조를 지탱할 수 있는지를 깨닫기 위해 노력한다.

첫 번째 접근법에서 주장되는 응력-에너지 텐서는 "합리적인" 물질 분포 또는 비중력장에서 표준 방식으로 발생해야 한다.실제로 이 개념은 매우 명확합니다. 특히 허용 가능한 비중력장을 1916년에 알려진 유일한 전자기장으로 제한한다면 더욱 그렇습니다.그러나 이상적으로는 "합리적인" 물리적 시나리오에서 발생할 수 있는 모든 것을 통과시키고 다른 모든 것을 거부하는 추정 "스트레스-에너지 텐서"에 적용할 수 있는 순수 수학적인 테스트를 기술하는 수학적 특성을 가지고 싶다.유감스럽게도 이러한 특성은 알려져 있지 않습니다.대신 에너지 조건으로 알려진 조잡한 테스트가 있는데, 이는 선형 연산자의 고유값과 고유 벡터에 제한을 두는 것과 유사합니다.한편으로, 이러한 조건들은 너무 관대하다: 그들은 거의 아무도 물리적으로 합리적이라고 믿지 않는 "해결책"을 인정할 것이다.반면에, 그것들은 너무 제한적일 수 있습니다: 가장 인기 있는 에너지 조건은 분명히 카시미르 효과에 의해 위반됩니다.

아인슈타인은 또한 정확한 해법의 정의의 또 다른 요소인 로렌츠 다양체(추가 기준 충족), 즉 매끄러운 다양체여야 한다는 것을 인식했다.그러나 일반상대성이론을 사용할 경우 모든 것이 매끄럽지 않은 해법을 인정하는 것이 매우 유용한 것으로 판명되었습니다.예를 들어 완벽한 유체 내부 해법을 진공 외부 해법과 매칭하여 만든 해법, 충격 평면파 등이 있습니다.다시 한번 우아함과 편리함 사이의 창조적 긴장감은 만족스럽게 해결되기 어렵다는 것이 입증되었다.

이러한 국지적인 반대 외에도, 우리는 국지적으로 반대할 수 없는 매우 많은 정확한 해결책이 있지만, 폐쇄적인 시간적 곡선이나 분리점이 있는 구조물("트루저 세계")과 같은 원인적으로 의심스러운 특징을 전 세계적으로 보인다는 훨씬 더 어려운 문제를 안고 있다.가장 잘 알려진 정확한 솔루션 중 일부는 사실 세계적으로 이상한 특성을 가지고 있습니다.

정확한 솔루션의 종류

잘 알려진 많은 정확한 솔루션은 스트레스-에너지 텐서의 의도된 물리적 해석에 따라 다음과 같은 여러 유형 중 하나에 속한다.

• 진공 솔루션:${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\beta }}$ $=$0 {\$displaystyle$ T$^{\alpha \display$ }=$0$ 이들은 물질장이나 비인공장이 존재하는 영역을 기술한다.
• 전기진공 솔루션:${\displaystyle {\mathrm{T\alpha }}^{}}$β(\$displaystyle T^{\alpha$ \$beta$})는 주어진 곡선 로렌츠 다양체의 소스 프리 맥스웰 방정식을 푸는 전자기장에서 전적으로 발생해야 한다. 이는 중력장의 유일한 소스가 전자기장의 필드 에너지(및 운동량)임을 의미한다.
• 특수한 먼지 솔루션:${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$β {\$displaystyle$ T$^{\alpha \beta$}}는$$ 주어진 로렌츠 다양체의 맥스웰 장 방정식을 풀지 않고 일관성이 없는 전자기 방사선에서 발생하는 것으로 해석될 수 있는 응력-에너지 텐서에 해당해야 한다.
• 유체 솔루션:${\displaystyle {T\alpha }^{}}$ $(\$ T$^{\alpha \beta$})는 유체의 응력-에너지 텐서(종종 완벽한 유체로 간주됨)에서 발생해야 한다. 중력장의 유일한 공급원은 유체를 구성하는 물질의 에너지, 운동량 및 응력(압력과 전단 응력)이다.

유체나 전자파와 같은 잘 확립된 현상 외에도, 중력장이 다양한 이국적인 가설장의 전계 에너지에 의해 전적으로 생성되는 모델을 고려할 수 있다.

• 스칼라 필드 솔루션:${\displaystyle {T\alpha }^{}}$(\$displaystyle$ T$^{\alpha \beta$})는 전적으로 스칼라장(종종 질량 없는 스칼라장)에서 발생해야 한다.이러한 것들은 중간자 빔의 고전적인 필드 이론 처리 또는 5진수로서 발생할 수 있다.
• Lamdavacuum 솔루션(표준 항이 아니라 아직 이름이 존재하지 않는 표준 개념):$(\$ T$^{\alpha \beta })$는 전적으로 0이 아닌 우주 상수에서 발생한다.

(아마도 수학이 너무 어렵기 때문에) 거의 주목을 받지 못한 한 가지 가능성은 탄성 고체를 모델링하는 문제이다.현재 이 특정 유형에 대한 정확한 해결 방법은 알려지지 않은 것으로 보입니다.

아래는 물리적 해석에 의한 분류를 스케치한 것이다.또한 Ricci 텐서의 가능한 대수적 대칭에 대한 세그먼트 분류를 사용하여 솔루션을 구성할 수 있다.

• 비늘 전기진공은 세그먼트 타입${\displaystyle }${ ( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$1)${\displaystyle }$(${\displaystyle 11}$ )$}({displaystyle \{,(1,1)\})$ 및$$ 등방성 그룹 SO(1,1) x SO(2),
• null 전기진공 및 null 더스트는 세그먼트 타입${\displaystyle }\{{\displaystyle }$ (${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 11}$) $}({displaystyle \{,$ ($2,11)\})$ 및$$ 등방성 그룹 E(2),
• 완벽한 유체는 세그먼트 ${\displaystyle 타입\mathrm{}}{\displaystyle }${${\displaystyle }$1,${\displaystyle }$(${\displaystyle 111)}$ $}$ ${{,1,(111)\} 및$ 등방성 그룹 SO(3)입니다.
• 람다 진공은 세그먼트 타입${\displaystyle }${ (${\displaystyle 1}$, $}({displaystyle \{,(1,111)\})$ 및$$ 등방성 그룹 SO(1,3)를 가집니다.

나머지 세그먼트 유형은 특별한 물리적 해석이 없으며, 대부분은 스트레스 에너지 텐서에 대한 알려진 기여 유형에 해당할 수 없다.

예

진공용액, 전기진공용액 등의 주목할 만한 예는 전문기사에 기재되어 있습니다(아래 참조).이러한 솔루션은 특정 종류의 물질 또는 장으로 인해 에너지-모멘텀 텐서에 최대 한 가지 기여도를 포함합니다.그러나 다음과 같은 두세 가지 기여가 포함된 주목할 만한 정확한 솔루션이 있습니다.

• NUT-Kerr-Newman-de Sitter 솔루션에는 전자장과 양의 진공 에너지뿐만 아니라 소위 NUT 매개변수에 의해 지정된 Ker 진공의 일종의 진공 섭동이 포함됩니다.
• Gödel 분진에는 무압 완전 유체(먼지)와 양의 진공 에너지로부터의 기여가 포함되어 있습니다.

솔루션 구축

아인슈타인 장 방정식은 결합된 비선형 편미분 방정식의 체계입니다.일반적으로, 이것은 그들을 해결하기 어렵게 만든다.그럼에도 불구하고 정확한 해결책을 얻기 위한 몇 가지 효과적인 기법이 확립되었다.

가장 단순한 것은 정지성(시간 변환 시 대칭성) 또는 축대칭성(일부 대칭 축에 대해 회전 시 대칭성)과 같은 대칭 조건을 메트릭 텐서에 부과하는 것이다.이런 종류의 충분히 현명한 가정으로 아인슈타인 장 방정식을 훨씬 단순한 방정식 체계로 줄이는 것이 종종 가능하다. 심지어 단일 편미분 방정식(에른스트 방정식에 의해 특징지어지는 고정 축대칭 진공 해법의 경우에서 일어나는 일)이나 상미분 등식의 체계로도 말이다.(슈바르츠실트 진공의 경우처럼) 이온.

이 순진한 접근법은 일반적으로 좌표 기준이 아닌 프레임 필드를 사용하는 경우에 가장 적합합니다.

관련 아이디어는 바일 텐서, 리치 텐서 또는 리만 텐서에 대수적 대칭 조건을 부과하는 것을 포함한다.이는 종종 바일 텐서의 가능한 대칭에 대한 페트로프 분류 또는 리치 텐서의 가능한 대칭에 대한 세그르 분류와 관련하여 언급된다.위의 논의에서 알 수 있듯이, 그러한 Anséze는 종종 물리적인 내용을 가지고 있지만, 수학적인 형태로는 분명하지 않을 수 있다.

이 두 번째 종류의 대칭 접근법은 종종 보다 효율적인 부기를 위해 스피노리얼 양을 사용하는 뉴먼-펜로즈 형식주의와 함께 사용되어 왔다.

이러한 대칭성 감소 후에도, 축소된 방정식 시스템은 종종 풀기 어렵다.예를 들어, 에른스트 방정식은 비선형 편미분 방정식(NLS)과 다소 유사합니다.

하지만 민코프스키 시공간에서의 등각군은 맥스웰 방정식의 대칭군임을 기억하라.또한 열 방정식의 해는 스케일링 Ansatz를 가정하여 구할 수 있다는 것을 기억하십시오.이러한 개념은 단지 미분방정식(또는 방정식 체계)의 점대칭에 대한 소퍼스 리의 개념의 특별한 경우에 불과하며, Lie가 보여주듯이, 이것은 중요하지 않은 대칭군을 가진 미분방정식에 대한 공격 수단을 제공할 수 있다.실제로, 에른스트 방정식과 NLS는 둘 다 중요하지 않은 대칭군을 가지고 있으며, 그 대칭성을 이용하여 몇 가지 해법을 찾을 수 있다.이러한 대칭 그룹은 종종 무한 차원이지만 이것이 항상 유용한 기능은 아닙니다.

에미 노에터는 리의 대칭 개념에 대한 경미하지만 심오한 일반화가 훨씬 더 강력한 공격 방법을 초래할 수 있다는 것을 보여주었다.이것은 완전히 적분할 수 있는 것으로 알려진 일부 방정식이 무한의 일련의 보존 법칙을 즐긴다는 발견과 밀접한 관련이 있는 것으로 밝혀졌다.매우 주목할 만한 것은 Ernst 방정식(정확한 해법 연구에서 여러 가지 방법으로 발생)과 NLS 모두 완전히 적분할 수 있다는 것입니다.따라서 이들은 원래 솔리톤 이론에서 발생하는 비선형 편미분 방정식인 KdV(Korteweg-de Vries) 방정식을 풀기 위해 개발된 역산란 변환과 유사한 기술에 의해 해답에 영향을 받기 쉬우며, 또한 완전히 적분할 수 있다.안타깝게도 이러한 방법으로 얻을 수 있는 솔루션은 원하는 만큼 좋지 않은 경우가 많습니다.예를 들어, KdV의 다중 솔리톤 솔루션을 단일 솔리톤 솔루션(Lie의 점 대칭 개념에서 찾을 수 있음)에서 얻는 것과 유사한 방법으로 다중 Ker 객체 솔루션을 얻을 수 있지만, 안타깝게도 이것은 물리적으로 불가능하게 만드는 ^[2]몇 가지 특징을 가지고 있다.

또한 다른 방법으로 발견된 진공용액을 새로운 진공용액, 전기진공용액 또는 유체용액으로 변환할 수 있는 다양한 변환(예를 들어 Belinski-Zakharov 변환 참조)이 있다.이것들은 솔리톤 방정식의 유명한 예를 포함하여 특정 편미분 방정식의 이론에서 알려진 베클룬트 변환과 유사합니다.이것은 우연이 아니다. 왜냐하면 이 현상은 대칭에 관한 노에터와 거짓말의 개념과도 관련이 있기 때문이다.안타깝게도, 이러한 변환은 "잘 이해된" 글로벌하게 허용되는 솔루션에 적용하더라도, 종종 제대로 이해되지 않고 일반적인 해석은 아직 알려지지 않은 솔루션을 산출합니다.

솔루션의 존재

아인슈타인 장 방정식의 "일반" 해법이나 심지어 진공장 방정식의 "일반" 해법과 같은 것을 제시하는 것은 물론, 명시적인 작은 해군을 구성하는 것의 어려움을 고려할 때, 매우 합리적인 접근은 모든 해법, 또는 적어도 모든 진공에 대해 유지되는 질적 특성을 찾는 것입니다.로션가장 기본적인 질문 중 하나는 솔루션이 존재하는지, 존재한다면 몇 개나 존재하는지입니다.

시작하기 위해 두 개의 새로운 방정식 시스템을 제공하는 필드 방정식의 적절한 초기 값 공식을 채택해야 합니다. 하나는 초기 데이터에 제약을 가하고 다른 하나는 이 초기 데이터를 솔루션으로 발전시키는 절차를 제공합니다.그러면, 다른 미분 방정식을 연구할 때 마주치는 것과 크게 다르지 않은 아이디어를 사용하여 적어도 국소적으로 해법이 존재한다는 것을 증명할 수 있다.

우리가 낙관적으로 예상할 수 있는 "몇 가지" 해법에 대한 아이디어를 얻기 위해, 아인슈타인의 제약 조건 계산법에 호소할 수 있습니다.이 논쟁 스타일의 전형적인 결론은 아인슈타인 장 방정식에 대한 일반 진공 해법은 3개의 변수의 4개의 임의 함수와 2개의 변수의 6개의 임의 함수를 제공함으로써 규정될 수 있다는 것이다.이러한 함수는 고유한 진공 솔루션을 개발할 수 있는 초기 데이터를 지정합니다.(반대로, 모든 고정 축대칭 진공 해군의 하나인 에른스트 진공은 두 변수의 두 가지 함수만 제공하여 지정됩니다. 이 함수는 임의적이지 않지만 두 개의 결합된 비선형 편미분 방정식의 시스템을 충족해야 합니다.이를 통해 일반적인 "대형" 솔루션 패밀리가 실제로 얼마나 작은지 알 수 있습니다.

그러나 이 조잡한 분석은 해결책의 세계적 존재에 대한 훨씬 더 어려운 질문에는 미치지 못한다.지금까지 알려진 지구적 존재의 결과는 또 다른 아이디어를 수반하는 것으로 판명되었다.

글로벌 안정성 이론

우리는 "무한에서 방사선을 방출"함으로써 고립된 거대한 물체 밖의 중력장을 "교란"시키는 것을 상상할 수 있다.질문할 수 있습니다. 들어오는 방사선이 주변 영역과 상호작용을 하면 어떻게 될까요?고전 섭동 이론의 접근에서, 우리는 민코프스키 진공(또는 드 시터 람다바큐움과 같은 다른 매우 단순한 해법)으로 시작할 수 있고, 매우 작은 메트릭 섭동을 도입할 수 있으며, 적절한 섭동 확장에 어떤 순서까지 항만을 유지할 수 있습니다 - 어떤 것은 우리의 기하학에 대한 테일러 급수를 평가하는 것과 같습니다.시공간이 접근법은 본질적으로 이진 펄서와 같은 중력계 모델을 구성하는 데 사용되는 포스트 뉴턴 근사치 뒤에 있는 아이디어입니다.그러나, 비선형 방정식의 경우, 일반적으로 섭동 확장은 장기적 존재와 안정성에 대한 질문에 대해 신뢰할 수 없다.

완전장 방정식은 매우 비선형적이므로, 우리는 완전 비선형장 방정식을 사용하여 처리되는 작은 섭동에서도 민코프스키 진공이 안정적이라는 것을 증명하고 싶다.이것은 많은 새로운 아이디어의 도입을 필요로 한다.때때로 민코프스키 진공이 비선형적으로 안정적이라는 슬로건으로 표현되는 바람직한 결과는 1993년에야 ^[3]데메트리오스 크리스토둘루와 세르지우 클라이너만에 의해 마침내 증명되었다.유사한 결과는 de Sitter lamdavacuum(Helmut Friedrich)의 람다박 섭동과 민코프스키 진공(Nina Zipser)의 전기 진공 섭동에 대해 알려져 있다.반면 안티-데-시터 ^[4][5]시공간은 특정 조건에서 불안정하다고 알려져 있습니다.

양의 에너지 정리

우리가 우려할 수 있는 또 다른 문제는 양의 질량 에너지 밀도(및 운동량)의 고립 농도의 순 질량 에너지가 항상 잘 정의된(및 음이 아닌) 순 질량을 산출하는지 여부이다.양의 에너지 정리로 알려진 이 결과는 마침내 1979년 Richard Schoen과 Sing-Tung Yau에 의해 입증되었고, 그는 스트레스-에너지 텐서의 특성에 대한 추가적인 기술적 가정을 했다.원래 증거는 매우 어렵다; 에드워드 위튼은 곧 수학자들에 의해 정당화된 훨씬 더 짧은 "물리학자 증명"을 제시했고, 더 어려운 논거를 사용했다.Roger Penrose와 다른 사람들은 또한 원래의 양의 에너지 정리의 변형에 대한 대안적인 주장을 제시했습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 프리드만-레마트르-로버트슨-워커 미터법
• 와일 텐서의 대수적 대칭에 대한 페트로프 분류

레퍼런스

추가 정보

• Krasiński, A. (1997). Inhomogeneous Cosmological Models. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-48180-5.
• MacCallum, M. A. H. (2006). "Finding and using exact solutions of the Einstein equations". AIP Conference Proceedings. Vol. 841. pp. 129–143. arXiv:gr-qc/0601102. Bibcode:2006AIPC..841..129M. doi:10.1063/1.2218172. Bichak 또는 Bonnor 등의 리뷰 기사에 비하면 너무 짧지만 최신 리뷰 기사입니다(아래 참조).
• 아인슈타인 방정식의 정확한 해 말콤 A.H. MacCallum Scholarpedia, 8(12): 8584.doi: 10.4249/scholarpedia.8584
• Rendall, Alan M. (27 September 2002). "Local and Global Existence Theorems for the Einstein Equations". Living Reviews in Relativity. 5 (1): 6. doi:10.12942/lrr-2002-6. PMC 5255525. PMID 28163637. Retrieved August 11, 2005. 상세하고 최신 리뷰 기사.
• Friedrich, Helmut (2005). "Is general relativity 'essentially understood' ?". Annalen der Physik. 15 (1–2): 84–108. arXiv:gr-qc/0508016. Bibcode:2006AnP...518...84F. doi:10.1002/andp.200510173. S2CID 37236624. 훌륭하고 간결한 리뷰.
• Bičák, Jiří (2000). "Selected exact solutions of Einstein's field equations: their role in general relativity and astrophysics". Lect. Notes Phys. Lecture Notes in Physics. 540: 1–126. arXiv:gr-qc/0004031. doi:10.1007/3-540-46580-4_1. ISBN 978-3-540-67073-5. S2CID 119449917. 훌륭한 현대식 조사.
• Bonnor, W. B.; Griffiths, J. B.; MacCallum, M. A. H. (1994). "Physical interpretation of vacuum solutions of Einstein's equations. Part II. Time-dependent solutions". Gen. Rel. Grav. 26 (7): 637–729. Bibcode:1994GReGr..26..687B. doi:10.1007/BF02116958. S2CID 189835151.
• Bonnor, W. B. (1992). "Physical interpretation of vacuum solutions of Einstein's equations. Part I. Time-independent solutions". Gen. Rel. Grav. 24 (5): 551–573. Bibcode:1992GReGr..24..551B. doi:10.1007/BF00760137. S2CID 122301194. 두 부분 중 첫 번째 부분인 현명한 리뷰.
• Griffiths, J. B. (1991). Colliding Plane Waves in General Relativity. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-853209-1. 충돌하는 평면파에 대한 최종 자원이지만 다른 정확한 솔루션에 관심이 있는 모든 사람에게도 유용합니다.저자에 의해 온라인으로 이용 가능
• Hoenselaers, C.; Dietz, W. (1985). Solutions of Einstein's Equations: Techniques and Results. New York: Springer. ISBN 3-540-13366-6.
• Ehlers, Jürgen; Kundt, Wolfgang (1962). "Exact solutions of the gravitational field equations". In Witten, L. (ed.). Gravitation: An Introduction to Current Research. New York: Wiley. pp. 49–101. 진공 pp파 공간 대칭 분류와 같은 중요한 원본 작업을 포함한 고전적인 조사.
• Stephani, Hans; Dietrich Kramer; Malcolm MacCallum; Cornelius Hoenselaers; Eduard Herlt (2009). Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46702-5.

외부 링크