전기진공용액

일반상대성이론에서 전기진공용액(전진공)은 아인슈타인 필드 방정식의 정확한 해법으로서, 존재하는 유일한 비라비테이셔널 질량-에너지만이 전자기장의 필드 에너지로서, 주어진 기하학에 적합한 (곡선-스페이스타임) 소스-자유 맥스웰 방정식을 만족시켜야 한다. 이 때문에 전기진공을 (원인이 없는) 아인슈타인-맥스웰 해법이라고 부르기도 한다.

수학적 정의

일반상대성이론에서 물리적 현상에 대한 기하학적 설정은 로렌츠 다지관으로, 물리적으로 곡면 스페이스타임으로 해석되며, 미터법 텐서 $\,g_{ab}$ a ${\$ 또는 프레임 필드를 정의하여)를 정의하여 수학적으로 지정된다. 이 $\,R_{abcd}$ 다지관의 리만 곡률 텐서 R a $\,R_{abcd}$ $\,R_{abcd}$ $\,R_{abcd}$ $\,R_{abcd}$ d ${\$ 및 아인슈타인 텐서 $G^{ab}$ a $G^{ab}$ ${\$ 와 같은 관련 양은 수학적으로 잘 정의되어 있다 $G^{ab}$ 일반 상대성에서는 중력장의 기하학적 발현(곡선과 힘)으로 해석할 수 있다.

또한 로렌츠 다지관의 전자기장 $F_{ab}$ 텐서 F $F_{ab}$ ${\$ 를 정의하여 전자기장을 지정할 필요가 있다. 이 두 개의 텐셔너는 다음의 두 가지 조건을 만족시키기 위해 필요하다^{[clarification needed]}.

전자파장 텐서는 소스가 없는 곡선 스페이스타임 Maxwell 필드 방정식 F $\,F_{ab;c}+F_{bc;a}+F_{ca;b}=0$ c $\,F_{ab;c}+F_{bc;a}+F_{ca;b}=0$ + $\,F_{ab;c}+F_{bc;a}+F_{ca;b}=0$ $\,F_{ab;c}+F_{bc;a}+F_{ca;b}=0$ $\,F_{ab;c}+F_{bc;a}+F_{ca;b}=0$ + F $\,F_{ab;c}+F_{bc;a}+F_{ca;b}=0$ $\,F_{ab;c}+F_{bc;a}+F_{ca;b}=0$ = $\,F_{ab;c}+F_{bc;a}+F_{ca;b}=0$ ${\displaystyle \,F_{ab;c}+$ 를 충족해야 한다. $F_{bc;a}+$ ${F^{jb}}_{;j}=0$ ${ca;b}=0}$ 및 $\,F_{ab;c}+F_{bc;a}+F_{ca;b}=0$ F ${F^{jb}}_{;j}=0$ ; ${F^{jb}}_{;j}=0$ = ${\displaystyle$ {F $^{jb}}_{;j}=0}$
The Einstein tensor must match the electromagnetic stress-energy tensor, $G^{ab}=2\,\left(F^{a}{}_{j}F^{bj}-{\frac {1}{4}}g^{ab}\,F^{mn}\,F_{mn}\right)$ .

전자파 전위 ${\vec {A}}$ A ${\vec {A}}$ → ${\$ 의 관점에서 필드 텐서를 정의하면 첫 번째 맥스웰 방정식이 자동으로 충족된다 ${\vec {A}}$ 이중 코브터(또는 잠재적 단일 형태)와 전자기 2-폼의 관점에서 $F=dA$ = d $F=dA$ $F=dA$ 를 설정하여 이 작업을 수행할 수 있다 $F=dA$ 그런 다음, 분기가 소멸되고(즉, 두 번째 맥스웰 방정식이 원천 없는 장에 대해 충족됨) 전자기 응력 에너지가 아인슈타인 텐서와 일치하는지 확인만 하면 된다.

불변제

평탄한 시간처럼 전자기장 텐서는 대칭성이며 대수적으로 독립된 스칼라 불변량이 2개뿐입니다.

[\displaystyle I=\star (F\wedge \star F)==F_{ab}\,F^{ab}=-2\,\좌측(\\\vec {E}\ ^{2}-\\\\\\vec {B}\{2}\{2}\우측)}

J=\star(F\wedge F)=F_{ab}\,{\star F}^{ab}=-4\,{\vec{E}\cdot{\vec{B}}}

여기, 그 별은 호지 별이다.

이를 이용하여 가능한 전자기장을 다음과 같이 분류할 수 있다.

$J=0$ $I<0$ 가 $I<0$ $I<0$ 을(를 $I<0$ ) $J=0$ J $J=0$ = 0 {\ $displaystyle$ J $=0}$ 을 $J=0$ 를) 가진다면, 우리는 정전기장을 가지고 있는데, 이는 일부 관측자가 정전기장을 측정하고 자기장은 없다는 것을 의미한다.
$I>0$ I $I>0$ > $I>0$ ${\displaystyle$ I $>0}$ 이 $I>0$ $J=0$ )지만 $J$ = 0 {\displaystyle $J=0}$ 이 $J=0$ 가) 있다면, 우리는 자기장(자기장)을 가지고 있는데, 이는 일부 관찰자는 정적인 자기장을 측정할 것이고, 전기장은 없다는 것을 의미한다.
$I=J=0$ = $I=J=0$ = $I=J=0$ ${\displaystyle I=J=0$ 전자기장은 null이라고 하며, 우리는 null 전기진공이 있다.

Null 전기진공은 전자기 방사선과 관련이 있다. null이 아닌 전자기장을 non-null이라고 하는데, null이 아닌 전기진공이 있는 겁니다.

아인슈타인 텐서

좌표 기준이 아닌 프레임 필드에 대해 계산한 텐서의 구성요소는 관찰자가 (원칙적으로) 측정할 수 있는 구성요소들이기 때문에 종종 물리적 구성요소라고 불린다.

전기진공 용액의 경우, 개조된 프레임

{\vec{e}_{0},\\\vec {e}_{1},\\vec {e}_{2},\\vec {e}_{3}

아인슈타인 텐서가 특히 단순한 외모를 가지고 있는 것을 항상 발견할 수 있다. 여기서, 첫 번째 벡터는 시간 단위 벡터장으로 이해된다; 이것은 전자파장과 "정렬"된 동작의 해당 적응된 관찰자 계열의 세계선과 접하는 모든 곳이다. 마지막 세 가지는 공간과 같은 단위 벡터장이다.

Null이 아닌 전기 진공의 경우, 아인슈타인 텐서가 형태를 취하는 변형된 프레임을 찾을 수 있다.

G^{\hat{a}}{\hat{b}}=8\pi \엡실론 \,\왼쪽[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\&0&0&#0&0&#1\end}{matrix}오른쪽]}}

여기서 $\epsilon$ $\epsilon$ 은(는) 적응된 관찰자가 측정한 전자기장의 에너지 밀도다 $\epsilon$ . 이 표현에서, ${\vec {e}}_{3}$ ${\vec {e}}_{3}$ → ${\vec {e}}_{3}$ ${\$ 3} ${\vec {e}}_{3}$ 과 $\vec{e}_3$ e → ${\vec {e}}_{3}$ 3 {\ $displaystyle{\vec}_{3}$ 축에 ${\vec {e}}_{3}$ 대한 회전에 의해 Null이 아닌 전기진공의 동위원소 그룹이 생성되는 것을 쉽게 알 수 있다. 즉, Null이 아닌 전기진공의 동위원소 그룹은 SO(1,1) x SO(2)에 대한 2차원 아벨리안 리 그룹 이형이다.

null 전기 진공의 경우, 아인슈타인 텐서가 형태를 취하는 변형된 프레임을 찾을 수 있다.

G^{\hat{a}}{\b}}=8\pi \엡실론 \,\좌측[{\begin{matrix}1&0&0&\\0&0&0&0&0\\\\\\pm 1&0&0&0&1\nd{matrix\오른쪽]

여기서부터 우리의 null 전기진공의 동위원소 그룹이 ${\vec {e}}_{3}$ ${\vec {e}}_{3}$ → 3 ${\$ 축에 ${\vec {e}}_{3}$ 대한 회전을 포함한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 2개의 발전기는 e → 3 ${\$ ${\vec {e}}_{3}$ 과 $\vec{e}_3$ 정렬된 ${\vec {e}}_{3}$ 의 파라볼릭 로렌츠 변환이다.무리를 짓다 즉, 무효 전기진공의 동위원소 그룹은 유클리드 평면의 등위계 그룹인 E(2)에 대한 3차원 Lie 그룹 이형성이다.

이러한 결과가 평평한 민코프스키 스페이스타임의 전기역학에서와 곡면 스페이스타임에서 정확히 같다는 사실은 동등성 원리의 한 표현이다.

아이겐값

Null이 아닌 전기 진공에서 아인슈타인 텐서의 특성 다항식은 반드시 형태를 가져야 한다.

\chi(\displaystyle \da )=\왼쪽(\displayda +8\pi 엡실론 \right)^{2}\,\왼쪽(\da -8\pi 엡실론 \right)^{2}

뉴턴의 정체성을 이용하여 이 상태는 아인슈타인 텐서(Ainstein tensor)의 힘의 흔적이라는 관점에서 다시 표현될 수 있다.

t_{1}=t_{3}=0,\;t_{4}=t_{2}^{2}/4

어디에

t_{1}={G^{a}}_{a},\;t_{2}={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a},\;t_{3}={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a},\;t_{4}={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}

이 필요한 기준은 투입성 비 Null 전기진공 용액이 타당한지 확인하는 데 유용할 수 있으며, 때로는 Null이 아닌 전기진공 용액을 찾는 데 유용할 수 있다.

에너지 밀도가 0이 아니더라도 null 전기진공의 특성 다항식은 동일하게 사라진다. 이 가능성은 제로 벡터가 아니더라도 null 벡터는 항상 소멸되는 길이를 갖는 것으로 잘 알려진 것의 텐서 아날로그다. 따라서 모든 null 전기진공에는 4배 이상의 고유값인 0이 있다.

레이니치 조건

1925년, 조지 유리 레이니치는 로렌츠 다지관이 일반 상대성 이론의 해석을 null이 아닌 전기진공으로서 인정하기에 필요하고 충분한 순수 수학 조건을 제시하였다. 이것들은 3개의 대수적 조건과 1개의 미분적 조건으로 구성된다. 이 조건은 때때로 비 null 전기 진공이 실제로 그것이 주장하는 바인지 확인하거나 심지어 그러한 해결책을 찾는데 유용하다.

무효 전기 진공을 위한 유사한 필요 조건과 충분한 조건이 찰스 토레에 의해 발견되었다.^[1]

테스트 필드

때때로 어떤 전자기장의 전기장 에너지가 너무 작아서 그 중력 효과를 무시할 수 있다고 가정할 수 있다. 그렇다면 대략적인 전기 진공 용액을 구하려면 주어진 진공 용액에 대한 맥스웰 방정식만 해결하면 된다. 이 경우 전자기장을 시험 입자(주변 중력장에 눈에 띄게 기여하기에는 질량이 너무 작은 작은 물체를 나타냄)라는 용어와 유사하게 시험장이라고 부르는 경우가 많다.

여기서, 존재할 수 있는 킬링 벡터는 (진공 용액의 경우) 자동으로 곡선 스페이스타임 맥스웰 방정식을 만족시킬 수 있다는 것을 아는 것이 유용하다.^[2]

이 절차는 전자기장이 아니라 중력장이 "약하다"고 가정하는 것에 해당한다는 점에 유의한다. 때때로 우리는 더 나아가서 중력장이 또한 "약하다"고 여겨진다면, 우리는 독립적으로 밍코우크시의 진공 배경에서 선형화된 아인슈타인 장 방정식과 (평평한 스페이스타임) 맥스웰 방정식을 풀 수 있다. 그러면 (약한) 미터법 텐서는 대략적인 기하학적 구조를 제공한다; 민코프스키 배경은 물리적인 수단으로 관찰할 수 없지만 수학적으로 우리가 그러한 손쉬운 방법에서 벗어날 수 있을 때마다 훨씬 더 간단하다.

예

주목할 만한 개별 비 Null 전기진공 솔루션은 다음과 같다.

레이스너-Nordström 전기진공(충전된 구형 질량 주위의 지오메트리를 설명함)
커-뉴먼 전기 진공(충전되고 회전하는 물체 주위의 지오메트리를 설명함),
멜빈 전기진공(원통형 대칭 자기장 모델),
가핑클-멜빈 전기진공(앞과 같으나 대칭의 축을 따라 이동하는 중력파를 포함)
Vertotti-Robinson 전기진공: 이것은 놀라운 제품 구조를 가진 간단한 스팩타임이다. 그것은 레이스너-노르드스트룀 전기진공의 지평선의 일종의 "폭발"에서 발생한다.
비튼 전기진공 (에드워드 비튼의 아버지 루이 비튼이 발견했다.)

주목할 만한 개별 null 전기진공 솔루션:

단색 전자파, 고전 전자기학에서 평면파의 일반적인 상대론적 아나그인 정확한 용액,
Bell-Szekeres 전기진공(충돌 평면파 모델)

잘 알려진 전기진공 제품군은 다음과 같다.

Weyl-Maxwell 전기진공: 이것은 모든 정적 축대칭 전기진공 솔루션 제품군이며, 레이스너-노르드스트룀 전기진공을 포함한다.
Ernst-Maxwell 전기진공: 모든 고정 축대칭 전기진공 솔루션 제품군이며, 커 뉴먼 전기진공이 포함된다.
벡-맥스웰 전기진공: 모든 비회전 원통형 원통형 전기진공 솔루션,
Ehlers-Maxwell 전기 진공: 모든 고정된 원통형 전기 진공 솔루션,
Szekeres 전기진공: 모든 쌍의 충돌 평면 파형으로, 각 파형이 중력과 전자기 방사선을 모두 포함할 수 있다. 이러한 해결책은 상호작용 영역 밖의 무효 전기진공이지만, 충돌 후 두 파형의 비선형 상호작용 때문에 일반적으로 상호작용 영역 내부의 비 Null 전기진공이다.

많은 pp-wave spacetime은 전자기장 텐서(tensor)를 정확한 null 전기진공 용액으로 변환하는 것을 인정한다.

참고 항목

참조

^ Torre, Charles (2014). "The spacetime geometry of a null electromagnetic field". Classical and Quantum Gravity. 31: 045022. arXiv:1308.2323. Bibcode:2014CQGra..31d5022T. doi:10.1088/0264-9381/31/4/045022.
^ Papapetrou, A (1966). "Champs gravitationnels stationnaires à symétrie axiale". Annales de l'Institut Henri Poincaré A (in French). 4 (2): 83–105. Bibcode:1966AnIHP...4...83P. Retrieved 19 December 2011.

Stephani, 한스, 크레이머, 디트리히, MacCallum, 말콤, Hoenselaers, 코르넬리우스, Herlt, 에두아르트(2003년).엄밀한 해결책 아인슈타인의 필드 Equations.캠브리지:캠브리지 대학 출판부.아이 에스비엔 0-521-46136-7.그 Rainich을 위해 조건을 위한 섹션 5.4, Weyl-Maxwell electrovacuums 섹션 19.4, Ernst-Maxwell electrovacuums 섹션이 21.1, pp-waves 섹션 24.5, Szekeres electrovacuums 섹션 25.5등을 참조하십시오
Griffiths, J. B. (1991). Colliding Plane Waves in General Relativity. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-853209-1. 위에서 언급한 예를 포함하여 비행기 파동에 대한 결정적인 자원이다.

[1] Torre, Charles (2014). "The spacetime geometry of a null electromagnetic field". Classical and Quantum Gravity. 31: 045022. arXiv:1308.2323. Bibcode:2014CQGra..31d5022T. doi:10.1088/0264-9381/31/4/045022.

[papa66-2] Papapetrou, A (1966). "Champs gravitationnels stationnaires à symétrie axiale". Annales de l'Institut Henri Poincaré A (in French). 4 (2): 83–105. Bibcode:1966AnIHP...4...83P. Retrieved 19 December 2011.

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