코시-리만 방정식

도메인에 있는 벡터 X에 *복소수* z를 곱한 다음 f를 곱한 다음 f를 곱한 다음 f를 곱한 후 z를 곱한 것을 시각적으로 묘사합니다. 만약 이 두 가지 결과 모두 점이 모든 X와 z에 대해 같은 위치에 있게 된다면, f는 코시-리만 조건을 만족시킵니다.

수학의 복소해석학 분야에서, 아우구스틴 코시와 베른하르트 리만의 이름을 딴 코시-리만 방정식은 복소변수의 복소함수가 미분 가능하도록 필요충분조건을 형성하는 두 편미분 방정식 체계로 구성됩니다.

이 방정식들은

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}

(1a)

그리고.

{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}

(1b)

여기서 $u (x,$ $y)$ 와 $v (x,$ $y)$ 는 실제 미분 가능한 이변량 함수입니다.

일반적으로 $u$ 와 $v$ 는 각각 단일 복소수 변수 z = x + iy의 복소수 값 함수 $f (x$ + $iy)$ = f $(x,$ $y)$ = u(x, y) + iv(x, y)의 실수 부분이며, x와 y는 실수 변수의 실수 미분 가능 함수입니다. $그렇다면$ u와 $v$ 의 편미분이 그 지점에서 코시-리만 방정식을 만족하는 경우에만 복소점에서 $f$ 는 복소 미분 가능합니다.

복소함수는 복소평면 $C$ 의 일부 열린 부분집합의 모든 점에서 미분 가능한 복소함수입니다. 복소함수는 해석적이고 해석적 복소함수는 복소분할 수 있다는 것이 증명되었습니다. 특히 복소함수는 무한히 복잡미분적입니다.

미분 가능성과 분석 가능성 사이의 이러한 동등성은 모든 복잡한 분석의 출발점입니다.

역사

코시-리만 방정식은 장 르롱 달랑베르의 작품에서 처음 등장했습니다.^[1] 나중에 레온하르트 오일러는 이 체계를 분석 함수에 연결시켰습니다.^[2] 그리고^[3] 코시는 이 방정식들을 이용하여 자신의 함수 이론을 구축했습니다. 함수론에 관한 리만의 논문은 1851년에 등장했습니다.^[4]

단순예시

$z=x+iy$ = $z=x+iy$ + $z=x+iy$ iy {\displaystyle z = x+iy}라고 가정합니다. 복소값 함수 $f(z)=z^{2}$ = $f(z)=z^{2}$ $f(z)=z^{2}$ {\displaystyle f(z) = z^{2}}는 복소평면의 어느 점 z에서도 미분 가능합니다.

f(z)=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy

실수 부분

u(x,y)

y

u(x,y)

{\displaystyle

u

(x,

y

)}

및

u(x,y)

허수 부분

v(x,y)

y

v(x,y)

{\displaystyle v(x,

y

)}

은

v(x,y)

(는)

{\begin{aligned}u(x,y)&=x^{2}-y^{2}\\v(x,y)&=2xy\end{aligned}

그리고 그들의 편미분들은

u_{x}=2x;\quad u_{y}=-2y;\quad v_{x}=2y;\quad v_{y}=2x

우리는 $u_{x}=v_{y}$ 코시-리만 방정식이 만족됨을 알 수 있습니다, $u_{x}=v_{y}$ x = ${\$ $display$ $u_{x$ }=v_{y}}이고 u = - v x {\display u_{y}=-v_{x}}입니다.

해석 및 재구성

코시-리만 방정식은 복소해석학의 의미에서 함수가 미분 가능하도록 조건을 살펴보는 한 가지 방법입니다. 즉, 이들은 복소변수의 함수 개념을 기존의 미분적분학을 통해 캡슐화합니다. 이론에서 이 개념을 보는 몇 가지 주요한 방법이 있으며, 종종 다른 언어로 조건을 번역해야 합니다.

등각 사상

첫째, 코시-리만 방정식은 복소 형식으로 작성될 수 있습니다.

{\displaystyle {i{\frac {\partial f}{\partial x}}}={\frac {\partial f}{\partial y}}.

(2)

이 형식에서 방정식들은 구조적으로 야코비안 행렬이 다음과 같은 형식을 갖는 조건과 일치합니다.

{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}

여기서

a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y

= ∂ u / ∂

x

= ∂ v / ∂ y

{\displaystyle

a =\partial u /\partial x =\partial v /\partial y} 및 b = ∂ v / ∂ x = - ∂ u / ∂ y {\displaystyle b =\partial v/\partial x =-\partial u /\partial y}입니다. 이 형태의 행렬은 복소수의 행렬 표현입니다. 기하학적으로, 그러한 행렬은 항상 스케일링이 있는 회전의 구성이며, 특히 각도를 보존합니다. 함수

f (z)

의 야코비안은 z의 두 곡선의 교점에서 무한소 선분을 취하여

f (z

)의 해당 선분으로 회전합니다

.

결과적으로 0이 아닌 도함수를 가진 코시-리만 방정식을 만족하는 함수는 평면에서 곡선 사이의 각도를 보존합니다. 즉, 코시-리만 방정식은 함수가 등각하기 위한 조건입니다.

또한, 다른 등각 변환과의 등각 변환의 구성도 등각이기 때문에, 등각 지도를 갖는 코시-리만 방정식의 해의 구성은 그 자체로 코시-리만 방정식을 풀어야 합니다. 따라서 코시-리만 방정식은 등각적으로 불변합니다.

복잡미분성

허락하다

f(z)=u(z)+i\cdot v(z)

where

{\textstyle u}

and

v

are real-valued functions, be a complex-valued function of a complex variable

{\textstyle z=x+iy}

where

{\textstyle x}

and

{\textstyle y}

are real variables.

{\textstyle f(z)=f(x+iy)=f(x,

y)}

따라서

{\textstyle f(z)=f(x+iy)=f(x,y)}

함수는 실수

{\textstyle x}

x

{\textstyle

x

}

{\textstyle y}

y

{\textstyle x}

{\textstyle

y

{\textstyle y}

의 함수로도 간주될 수 있습니다. 그런 다음, 점 z

{\textstyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}

=

{\textstyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}

0 +

{\textstyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}

0 {\textstyle z_{0}= x_{0}+iy_{0}}에서 f {\

textstyle

f}의

{\textstyle f}

복소 deriv는 다음으로 정의됩니다.

f'(z_{0})=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}

이 한계가 존재하는 경우(

{\textstyle z_{0}}

, 한계는 z

{\textstyle z_{0}}

{\

에 접근하는 모든 경로를 따라 존재하며

{\textstyle z_{0}}

선택한 경로에 의존하지 않음).

복소 분석의 기본 $f$ 는 f ${\displaystyle$ f $}$ 가 z $z_{0}$ ${\$ 에서 복소 미분 가능하다는 $f$ 것입니다( $z_{0}$ 즉, 복소 미분을 갖습니다), if and only if the bivariate real functions $u(x+iy)$ and $v(x+iy)$ are differentiable at $(x_{0},y_{0}),$ and satisfy the Cauchy–Riemann equations at this point.^[5]^[6]^[7]

실제로 복소 도함수가 ${\textstyle z_{0}}$ ${\textstyle z_{0}}$ ${\$ 에 존재하는 ${\textstyle z_{0}}$ 경우 ${\textstyle z_{0}}$ 과 허수축을 따라 ${\textstyle z_{0}}$ ${\textstyle z_{0}}$ 0 ${\$ 에서 극한을 취하여 계산할 수 있으며 두 극한은 같아야 합니다. 실제 축을 따라 한계는

\lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}

그리고 가상의 축을 따라서 한계는

\lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}=\left.{\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}

그래서, 도함수들의 동일성은 다음을 의미합니다.

i\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}

이는

{\textstyle z_{0}}

{\textstyle z_{0}}

{\

에서의 코시-리만 방정식의 복소 형태입니다

{\textstyle z_{0}}

(Note that if $f$ is complex differentiable at $z_{0}$ , it is also real differentiable and the Jacobian of $f$ at $z_{0}$ is the complex scalar $f'(z_{0})$ , regarded as a real-linear map of $\mathbb {C}$ , since the limit $f(z)-f(z_{0})-f'(z_{0})(z-z_{0}) / z-z_{0} \to 0$ as $z\to z_{0}$ .)

반대로, ${\textstyle z_{0}}$ $f$ 가 ${\textstyle z_{0}}$ ${\textstyle z_{0}}$ ${\$ 에서 미분 가능하고 거기서 코시-리만 방정식을 만족한다면, 이 시점에서 복소 미분 가능합니다. $두 0$ 실제 변수 $x$ 와 $y$ 의 함수로서의 $f$ 가 z에서 미분 가능하다고 가정합니다(실제 미분 가능). 이는 다음과 같은 선형 근사치가 존재하는 것과 같습니다.

\Delta f(z_{0})=f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})=f_{x}\,\Delta x+f_{y}\,\Delta y+\eta (\Delta z)

여기서

{\textstyle f_{x}=\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}}

{\textstyle f_{x}=\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}}

= ∂

f

∂ x

z 0

{\textstyle

f_

{x}=\left.

{\frac {\partial

f}{\

partial

x}}\

right\vert _{z_{

{\textstyle f_{y}=\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}}

{\textstyle f_{x}=\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}}

{\textstyle f_{y}=\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}}

=

∂

f

∂

y z 0 {\textstyle f_{y}

=

\left.

{\frac {\partial

f}{\

partial

y}}\

right\vert _{z_{

0

{\textstyle f_{y}=\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}}

z

=

x + iy

{\textstyle \eta (\Delta z)/|\Delta z|\to 0}

η

(

δ

z

{\textstyle \eta (\Delta z)/|\Delta z|\to 0}

) /

{\textstyle \eta (\Delta z)/|\Delta z|\to 0}

δ

{\textstyle \eta (\Delta z)/|\Delta z|\to 0}

z

→

0 {\textstyle \

eta

(\Delta z)/ \Delta z \ to 0}을(를)

δ

z

→

0으로 지정합니다.

δ $z$ + ${\textstyle \Delta z+\Delta {\bar {z}}=2\,\Delta x}$ δ ${\textstyle \Delta z-\Delta {\bar {z}}=2i\,\Delta y}$ ¯ = ${\textstyle \Delta z-\Delta {\bar {z}}=2i\,\Delta y}$ 2 δ x {\textstyle \Delta z+\Delta {\bar {z}}= 2\,\Delta x} 및 δ z - δ z ¯ = 2 I δ y {\textstyle \Delta z-\Delta {\bar {z}}= 2i\,\Delta y} 이므로 위의 내용을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

\Delta f(z_{0})={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}\,\Delta z+{\frac {f_{x}+if_{y}}{2}}\,\Delta {\bar {z}}+\eta (\Delta z)\,

{\frac {\Delta f}{\Delta z}}={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}+{\frac {f_{x}+if_{y}}{2}}\cdot {\frac {\Delta {\bar {z}}}{\Delta z}}+{\frac {\eta (\Delta z)}{\Delta z}},\;\;\;\;(\Delta z\neq 0).

이제 ${\textstyle \Delta z}$ δ z {\textstyle $\Delta$ z}가 ${\textstyle \Delta {\bar {z}}/\Delta z=1}$ 인 경우 ${\textstyle \Delta {\bar {z}}/\Delta z=1}$ δ z ¯ / δ z ${\textstyle \Delta {\bar {z}}/\Delta z=1}$ = 1 {\ $textstyle$ \ $Delta$ {\bar {z}/\Delta z = 1}이고, 허수인 경우 δ z ¯ / δ z = - 1 {\textstyle \Delta {\bar {z}/\Delta z = - 1}입니다. 따라서 두 번째 항은 ${\textstyle f_{x}+if_{y}=0}$ 하게 사라질 때(그리고 그럴 때만 ${\textstyle f_{x}+if_{y}=0}$ f ${\textstyle f_{x}+if_{y}=0}$ + ${\textstyle f_{x}+if_{y}=0}$ $y$ = 0 ${\textstyle f_{$ x}+ ${\textstyle \Delta z\to 0}$ {y}=0}의 ${\textstyle \Delta z\to 0}$ δ $z$ → 0 {\textstyle f_{x}+if_{y}= 0}의 경로와 무관하며, 이는 정확히 복소 형태의 코시-리만 방정식입니다. 이 증거는 또한 그 경우에

\left.{\frac {df}{dz}}\right _{z_{0}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta z}}={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}.

$z_{0}$ $z_{0}$ 0 $z_{0}$ {\ $displaystyle z_{0}}$ 에서 실제 미분 가능성에 대한 가설은 필수적인 $z_{0}$ 것이므로 분배할 수 없습니다. 예를 들어, 허수 부분이 동일하게 0인 복소수 함수로 간주되는 $f(x,y)={\sqrt {|xy|}}$ f $f(x,y)={\sqrt {|xy|}}$ ( $f(x,y)={\sqrt {|xy|}}$ $f(x,y)={\sqrt {|xy|}}$ ) = $f(x,y)={\sqrt {|xy|}}$ ${\$ displaystyle f $(x,$ y) = {\sqrt {xy}}는 (x 0, y 0) = (0, 0) {\displaystyle (x_{0}, y_{0}) = (0, 0)에서 두 편미분을 모두 갖습니다. 또한 그 시점에서 코시-리만 방정식을 만족하지만 (여러 변수의) 실제 함수의 의미에서 미분할 수 없으므로 첫 번째 조건인 실제 미분 가능성은 충족되지 않습니다. 따라서 이 기능은 복잡미분이 아닙니다.

일부 출처는^[9]^[10] 코시-리만 방정식 외에도 점 $z_{0}$ 0 ${\$ 에서 $z_{0}$ 복소 미분 가능성에 대한 충분한 조건을 명시합니다. $u$ $u$ 및 $u$ v $v$ 의 부분 도함수는 이 연속성 조건이 앞서 언급한 선형 근사치의 존재를 보장하기 때문에 해당 지점에서 연속입니다 $v$ . 복잡한 미분 가능성의 필수 조건은 아니라는 점에 유의하십시오. 예를 들어 함수 $f(z)=z^{2}e^{i/|z|}$ = $f(z)=z^{2}e^{i/|z|}$ $f(z)=z^{2}e^{i/|z|}$ e $i$ / z {\displaystyle f(z) = z^{2} e^{i/z}}는 0에서 복소 미분 가능하지만 실수부와 허수부는 불연속적인 부분 도함수를 갖습니다. 복잡한 미분가능성은 일반적으로 열린 집합에서 고려되기 때문에 실제로 모든 부분 도함수의 연속성을 의미하기 때문에(아래 참조), 이러한 구별은 종종 문헌에서 무시됩니다.

복소 켤레의 독립성

위의 증명은 코시-리만 방정식의 또 다른 해석을 시사합니다. $z$ ¯ {\ $textstyle$ bar {z}}로 표시된 $z$ $z$ 의 복소 켤레는 다음으로 정의됩니다.

{\overline {x+iy}}:=x-iy

실수 변수 $x$ $x$

y

y

y

의 경우

y

두 Wirtinger 도함수를 다음과 같이 정의합니다.

{\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left partial  {\({}{\partial x}-i{\frac {\partial  y}}\right),\;\;\;{\frac {\partial  y}{\bar {z}}}={\frac {1}{2}}\left ({ {\partial  x}}+i{\frac {\partial  y}\right),

그러면 코시-리만 방정식은 하나의 방정식으로 쓸 수 있습니다.

{\frac {\partial f}{\bar {z}}}}=0,

이 경우 ${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$ 의 복소 도함수는

{\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {\partial f}{\partial z}}.}

{\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {\partial f}{\partial z}}.}

z = ∂

f

∂ z입니다.

{\textstyle

{\frac {df}{dz}}={\

frac {\

partial f}{\partial z}}입니다. 이 형식에서, 코시-리만 방정식은 복소 변수 $z {\textstyle$ $z$ $}$ 의 복소 ${\textstyle f}$ f ${\textstyle$ f $}$ 가 변수

z

¯ {\textstyle

bar

{z}}와 독립적이라는 문장으로 해석할 수 있습니다. 이와 같이, 분석 함수를 두 개의 실제 변수( $x {\textstyle$ x $}$ 및 ${\textstyle y}$ ${\textstyle$ y $})$ 의 복소 함수가 아닌 한 개의 복소 변수( ${\textstyle z}$ {\ $textstyle$ z ${\textstyle z}$ 의 참 함수로 볼 수 있습니다. ${\textstyle y}$

물리적 해석

함수 이론에 대한 리만의 연구로 돌아가는 코시-리만^[11] 방정식의 표준 물리적 해석은 u는 평면에서 비압축성 정상 유체 흐름의 속도 퍼텐셜을 나타내고 v는 스트림 함수를 나타낸다는 것입니다. (연속적으로 미분 가능한) 함수 u와 v의 쌍이 코시-리만 방정식을 만족한다고 가정합니다. 우리는 우리를 속도 퍼텐셜로 간주할 것입니다. 즉, 평면의 각 점에서 유체의 속도 벡터가 다음에 의해 정의되는 u의 기울기와 같도록 평면에서 유체의 흐름을 상상한다는 것을 의미합니다.

\nabla={\frac {\partial u}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial u}{\partial y}\mathbf {j}.

함수 u와 v에 대한 코시-리만 방정식을 2차 도함수의 대칭과 미분함으로써 u가 라플라스 방정식을 푸는 것을 보여줍니다.

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}=0.

즉, u는 조화 함수입니다. 이는 구배의 발산이 0이므로 유체가 압축되지 않는다는 것을 의미합니다.

함수 v도 유사한 분석에 의해 라플라스 방정식을 만족합니다. 또한, 코시-리만 방정식은 도트 ${\textstyle \nabla u\cdot \nabla v=0}$ ∇ ${\textstyle \nabla u\cdot \nabla v=0}$ ⋅ ∇ $v$ = 0 {\textstyle \n을 의미합니다. $abla u\cdot \n$ $abla v=0}$ ( ${\textstyle \n$ $abla u\cdot \n$ $ablav={\frac{\$ $u}{\partial$ x}}\cdot ${\frac {\partial$ v $}{\partial$ u $}{\partial$ y $}\cdot {\partial$ v}{\ $partial$ y}}\cdot {\ $frac$ {\ $partial$ u}{\ $partial$ $y}}=$ {\frac {\ $partial$ u}{\ $partial$ x}}\cdot {\ $partial$ x}}-{\frac {\ $partial$ u}{\ $partial$ x}}-{\frac {\ $partial$ u}}{\ $partial$ x} $=$ 0}), 즉, u의 최대 기울기와 v의 최대 기울기의 방향은 서로 직교합니다. 이것은 u의 기울기가 ${\textstyle v={\text{const}}}$ = ${\$ textstyle v = {\text{const}} 곡선을 따라 가리켜야 한다는 것을 의미하며, 이는 흐름의 유선형입니다. ${\textstyle u={\text{const}}}$ = ${\$ textstyle u = {\text{const}} 곡선은 흐름의 등퍼텐셜 곡선입니다.

따라서 레벨 곡선 ${\textstyle u={\text{const}}}$ = ${\textstyle$ u = {\text{const}} 및 v = const {\textstyle v = {\text{const}}의 두 족을 표시하여 완전 동형 함수를 시각화할 수 있습니다. u(또는 이와 동등하게 v)의 기울기가 0이 아닌 점 근처에서 이들 족은 직교 곡선의 족을 형성합니다. ∇ ${\textstyle \nabla u=0}$ u = ${\textstyle \nabla u=0}$ ${\textstyle$ \n인 점에서 $abla=$ 0}, 흐름의 정지점, u $=$ const {\textstyle u $=$ {\text{const}}의 등퍼텐셜 곡선이 교차합니다. 유선형도 같은 점에서 교차하여 등퍼텐셜 곡선이 이루는 각도를 이등분합니다.

고조파 벡터장

코시-리만 방정식에 대한 또 다른 해석은 Polya & Szeg ő에서 찾을 수 있습니다. u와 v가 R의² 열린 부분집합에서 코시-리만 방정식을 만족한다고 가정하고, 벡터장을 고려합니다.

{\bar {f}}={\begin{bmatrix}u\-v\end{bmatrix}}

(실제) 2성분 벡터로 간주됩니다. 그런 다음 두 번째 코시-리만 방정식(1b)은

f

¯

{\displaystyle

{\bar {f}}가 비회전적이라고 주장합니다(컬은 0).

{\frac {\partial(-v)}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0.

첫 번째 코시-리만 방정식(1a)은 벡터장이 솔레노이드(또는 발산이 없는)라고 주장합니다.

{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial(-v)}{\partial y}}=0.

각각 그린의 정리와 발산 정리 덕분에 이러한 필드는 반드시 보수적인 필드이며, 구멍이 없는 열린 도메인을 통해 순속이 0과 같아지는 소스나 싱크가 없습니다. (이 두 관측은 코시의 적분 정리에서 실수 부분과 허수 부분으로 결합됩니다.) 유체 역학에서 이러한 벡터장은 잠재적 흐름입니다.^[13] 자기역학에서, 그러한 벡터장들은 전류를 포함하지 않는 평면의 영역의 정적 자기장들을 모델링합니다. 정전기학에서는 전하를 포함하지 않는 평면 영역의 정전기장을 모델링합니다.

이 해석은 미분 형식의 언어로 동등하게 재 진술될 수 있습니다. 쌍 u와 v는 단일 형식 $v\,dx+u\,dy$ $v\,dx+u\,dy$ + $uy$ {\ $displaystyle v\,dx+$ u\, $dy}$ 가 $v\,dx+u\,dy$ 닫히고 공접(조화 미분 형식)인 경우에만 코시-리만 방정식을 만족합니다.

복합구조물 보존

코시-리만 방정식의 또 다른 공식은 다음과 같은 평면의 복잡한 구조를 포함합니다.

{\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}.

이것은 J의 제곱이 2×2 항등 행렬의 음수라는 의미에서 복잡한 구조입니다:

J^{2}=-I

J^{2}=-I

=

J^{2}=-I

-

J^{2}=-I

{\

displaystyle J^{2} = - I}. 위와 같이 평면에서 u(x,y)와 v(x,y)가 두 함수이면,

f(x,y)={\begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{bmatrix}}.

f 의 야코비안 행렬은 편미분의 행렬입니다.

Df(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}&{\dfrac {\partial u}{\partial y}}\[5pt]{\dfrac {\partial v}{\partial x}}&{\dfrac {\partial v}}{\partial y}}\end{bmatrix}}

그렇다면 함수 u, v의 쌍은 2×2 행렬 Df가 J와 커뮤테이션하는 경우에만 코시-리만 방정식을 만족합니다.^[14]

이 해석은 유사홀형 곡선 연구의 출발점이 되는 심플렉틱 지오메트리에서 유용합니다.

기타 표현

코시-리만 방정식의 다른 표현은 때때로 다른 좌표계에서 발생합니다. (1a)와 (1b)가 미분 가능한 함수 u와 v의 쌍에 대해 성립하면, 다음과 같습니다.

{\frac {\partial u}{\partial n}}={\frac {\partial v}{\partial s}},\quad {\frac {\partial v}{\partial n}}=-{\frac {\partial u}{\partial s}

임의의 좌표계 ( ${\textstyle (\nabla n,\nabla s)}$ $(x,$ y $),$ $s ($ $x$ $,$ y $)$ 에 대하여 ${\textstyle (\nabla n,\nabla s)}$ 쌍 ${\textstyle (\nabla n,\nabla s)}$ ∇ n, ∇s){\textstyle){\n $블랑,\n블랑$ $ablas)}$ 은(는 ${\textstyle (\nabla n,\nabla s)}$ ) 정규적이고 정방향입니다. 그 결과, 특히 극 $z=re^{i\theta }$ z = $z=re^{i\theta }$ θ {\displaystyle z = re^{i\theta }}에 의해 주어진 좌표 체계에서 방정식은 다음 형태를 취합니다.

{\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \theta }}\quad {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }

이것들을 하나의 $방정식$ 으로 결합하면 다음과 같습니다.

{\partial f \over \partial r}={1 \overir}{\partial f \over \partial \theta}

비균질 코시-리만 방정식은 두 실제 변수의 미지 함수 $u (x,$ y $)$ 와 $v (x,$ $y)$ 쌍에 대한 두 방정식으로 구성됩니다.

{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\alpha y}}&=\alpha(x,y)\\[4pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}}{\partial x}}&=\beta (x,y)\end{align}}}

R의² 열린 부분집합에서 정의된 어떤 주어진 함수 $α(x,$ $y)$ 와 $β(x,$ y $)$ 에 대하여. 이 방정식들은 보통 하나의 방정식으로 결합됩니다.

{\frac {\partial f}{\bar {z}}}}=\varphi(z,{\bar {z}}

여기서 f = u + iv 및 𝜑 = (α + iβ)/2.

𝜑가 C인 경우, 𝜑가 D의 폐쇄에 연속적인 경우, 비균질 방정식은 임의의 유계 정의역 D에서 명시적으로 풀 수 있습니다. 실제로 코시 적분 공식에 의하면

f\left(\zeta,{\bar {\zeta}}\right)={\frac {1}{2\pii}\int_{D}\varphi \left(z,{\bar {z}\right)\,{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}\right}\,{\z-\zeta}

모든 ζ ∈ D에 대하여

일반화

Goursat의 정리와 그 일반화

$f$ = u + iv가 함수 $f$ 로 미분 가능한 복소수 함수라고 가정하자: R → R. 그런 다음 Goursat의 정리는 f가 열린 복소 도메인 ω에서 분석적이라고 주장합니다. 그것이 도메인에서 코시-리만 방정식을 만족하는 경우에만 말입니다. 특히 f의 연속적인 미분가능성을 가정할 필요는 없습니다.^[16]

구르사트 정리의 가설은 상당히 약화될 수 있습니다. $열린$ 집합 ω에서 f = $u$ + iv가 연속이고 x와 y에 대한 f의 편미분이 ω ω에 존재하고 ω 전체에서 코시-리만 방정식을 만족하면 f는 동형(따라서 해석적)입니다. 이 결과가 루만-멘초프 정리입니다.

f가 ω 영역 전체에서 코시-리만 방정식을 따른다는 가설은 매우 중요합니다. 한 점에서 코시-리만 방정식을 만족하는 연속 함수를 구성할 수 있지만, 그 점에서는 분석적이지 않습니다( $예$ : f $(z)$ = z $/z).$ 마찬가지로 코시-리만 방정식(연속성 등) 외에도 다음 예에서^[17] 알 수 있듯이 몇 가지 추가 가정이 필요합니다.

f(z)={\begin{case}\exp \left (-z^{-4}\right)&{\text{if}}z\not =0\\0&{\text{if }}z=0\end{cases}}

이는 모든 곳에서 코시-리만 방정식을 만족시키지만 z = 0에서 연속적이지 않습니다.

그럼에도 불구하고 함수가 약한 의미에서 열린 집합에서 코시-리만 방정식을 만족하면 함수는 분석적입니다. 더 정확하게:^[18]

f(z)가 열린 도메인 ω ⊂ C에서 국부적으로 적분 가능하고 코시-리만 방정식을 약하게 만족하면 f는 ω의 분석 함수와 거의 모든 곳에서 일치합니다.

이것은 사실 저탄성 편미분 방정식의 해의 규칙성에 대한 보다 일반적인 결과의 특별한 경우입니다.

여러 변수

여러 개의 복잡한 변수 이론에는 적절히 일반화된 코시-리만 방정식이 있습니다. 그들은 PDE의 상당히 과도하게 결정된 시스템을 형성합니다. 이것은 위링거 도함수의 간단한 일반화를 사용하여 수행되며, 여기서 문제의 함수는 각 복소 변수와 관련하여 (부분적인) 위링거 도함수가 사라지도록 해야 합니다.

복소미분형태

종종 공식화되듯이, d-bar 연산자는

{\bar {\partial }}

완전체 함수를 소멸시킵니다. 이것은 가장 직접적으로 공식을 일반화합니다.

{\partial f \over \partial {\bar {z}}=0,

어디에

{\partial f \over \partial {\bar {z}}={1 \over 2}\left ({\partial f \over \partial x}+i{\partial f \over \partial y}\right)}

베클룬트 변환

공액 조화 함수로 간주되는 코시-리만 방정식은 베클룬드 변환의 간단한 예입니다. 사인-고든 방정식과 같이 더 복잡하고 일반적으로 비선형인 Baecklund 변환은 솔리톤 및 적분 가능한 시스템 이론에서 큰 관심을 가지고 있습니다.

클리포드 대수학에서의 정의

In the Clifford algebra $C\ell (2)$ , the complex number $z=x+iy$ is represented as $z\equiv x+Iy$ where $I\equiv \sigma _{1}\sigma _{2}$ , (σ $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=1$ = $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=1$ σ $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=1$ 22 = 1 ${\displaystyle$ \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=1}). 이 클리퍼드 대수에서 디랙 연산자는 $\nabla \equiv \sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y}$ ∇ ≡ σ $\nabla \equiv \sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y}$ ∂ x + σ 2 ∂ y {\displaystyle \n으로 정의됩니다. $abla \equiv$ \ $sigma _{$ 1}\ $partial$ _{x}+\ $sigma$ _{2}\ $partial$ _{y}}. $f=u+Iv$ f = u $f=u+Iv$ + $f=u+Iv$ I v ${\displaystyle$ f = u + Iv}은 ∇ f = 0 {\ $displaystyle$ \n인 경우에만 분석으로 간주됩니다. $다음$ 과 같은 방법으로 계산할 수 있는 $ablaf=0$

{begin{aligned}0&=\nabla f=(\sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y})(u+\sigma _{1}\sigma _{2}v)\[4pt]&=\sigma _{1}\partial _{1}\sigma _{x}u+\언더브레이스 {\sigma _{1}\sigma _{1}\partial _{2}\sigma _{=\partial _{2}\sigma _{x}v+\sigma _{2}\sigma _{y}u+\언더브레이스 {\sigma _{2}\sigma _{1}\{ _{2}\{ _{=-\{ _{1}}\{}}-\sigma _{1}\ _{y}v=0\end{aligned}

σ $\sigma _{1}$ ${\$ $displaystyle$ \ $sigma_{$ 1}} 및 σ 2 {\displaystyle \sigma_{2}}로 그룹화:

\nablaf=\sigma _{1}(\partial _{x}u-\partial _{y}v)+\sigma _{2}(\partial _{x}v+\partial _{y}u)=0\좌측 화살표 {\begin {case}\partial _{x}u-\partial _{y}v=0\[4pt]\partial _{x}v+\partial _{y}u=0\end{case}

따라서 전통적인 표기법에서는 다음과 같습니다.

{\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}}\[12pt]{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}\end{case}}

상위 차원의 등각 매핑

ω를 유클리드 공간 R의 열린집합이라고 하자. 방향 보존 매핑 $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ 에 대한 방정식 $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ ω → R {\displaystyle f: $\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ 이 되는 등각 사상(즉, 각도 보존)은 $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ 다음과 같습니다.

Df^{\mathsf {T}}Df=(\det(Df)^{2/n}I

여기서 Df는 전치 $Df^{\mathsf {T}}$ $Df^{\mathsf {T}}$ ${\$ 인 자코비안 행렬이고 $Df^{\mathsf {T}}$ I는 항등 행렬을 나타냅니다.^[19] $n$ = $2$ 인 경우, 이 시스템은 복소 변수의 표준 코시-리만 방정식과 동일하며, 해는 홀로포밍 함수입니다. 차원 $n$ > $2$ 에서, 이것은 여전히 코시-리만 시스템이라고 불리기도 하며, 리우빌의 정리는 적절한 평활 가정 하에서 이러한 매핑이 뫼비우스 변환임을 암시합니다.

참고 항목

참고문헌

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원천

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외부 링크

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