항변성(복잡한 분석)

수학적 분석 → 복합적 분석
복합분석
콤플렉스
실수 상수 복합면 콤플렉스 결합체 단위복합번호
복합함수
복합값함수 분석함수 홀로모르픽 함수 코치-리만 방정식 포멀 파워 시리즈
기본 이론
0과 극 코치의 적분 정리 지역 원시 코치의 적분식 권선번호 로랑 시리즈 절연 특이점 잔류 정리 등각도 슈바르츠 보조정리 조화함수 라플라스 방정식
기하함수 이론
사람
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복잡한 분석에서, 복잡한 가치 함수 g의 수학, 반변성, 또는 원시적 분과는 복합 파생물이 g인 함수다.더 정확히 말하면, 복합 평면에 오픈$$ 세트 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$와 ${\displaystyle 함수\mathbb{}}$ $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ C${\displaystyle }$, ${\displaystyle g:$$\to \mathb {C},}$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 해독제는 함수$$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle U\mathbb{}}$→ C ${\$${\displaystyle \frac{\mathrm{df<img\; alt="f:U\backslash to\; \backslash mathb\; C"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b0a9baac865b214fba8fce6842fb374f7e740361"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:10.29ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="98">}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{z}{}}$를 ${\displaystyle \mathrm{만족}}$하는 U\$to \mathb {C}$${\displaystyle \frac{}{}}$$}$ = g ${\dplaystyle {\df}{dz}}=g$}$$$.$

이와 같이, 이 개념은 실제 가치 함수의 반물질의 복합 변수 버전이다.

유니크함

상수함수의 파생상품은 영함수다.따라서 어떤 상수함수는 영함수의 해독제다.$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$이(가) 연결된 집합이면 상수함수는 영함수의 유일한 해독제다.그렇지 않으면 함수는 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 연결된 각 구성 요소에서 상수인 경우에만 영함수의 해독제(이 상수는 같을 필요가 없음)이다.$$

${\displaystyle 이}$ 관측치는 함수 $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle U\mathbb{}}$→ C ${\$$U\to \mathb {C}$에는$$해독제가 있으며, 그 해독제는 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 연결된 각 구성 요소에 상수인 함수를 추가하는 데까지 고유하다$.$

존재

실제 변수의 함수의 경우와 마찬가지로 복잡한 평면의 경로 통합을 통해 해독제의 존재를 특징 지을 수 있다.아마도 놀랄 것도 없이, g는 a에서 b까지의 모든 γ 경로에 대해 항변성 f를 가지고 있다.

$\displaystyle \int _{\put }g(\zeta )\,d\\\zeta =f(b)-f(a).}$

동등하게,

${\displaystyle \point _{\note }g(\zeta )\,d\zeta =0,}$

모든 폐쇄 경로 γ에 대해.

그러나, 이러한 형식적 유사성에도 불구하고, 복합항암제를 보유하는 것은 실제 조건보다 훨씬 더 제한적인 조건이다.불연속 실함수가 반파생성을 갖는 것은 가능하지만, 복합 변수의 홀로모픽 기능에도 반파생성은 존재하지 않을 수 있다.예를 들어, 구멍이 난 평면 C\{0}에서 홀모픽인 역 함수 g(z) = 1/z를 고려하십시오.직접적인 계산을 통해 원점을 둘러싸고 있는 원을 따라 g의 적분은 0이 아니라는 것을 알 수 있다.그래서 g는 위에서 인용한 조건을 만족시키지 못한다.이는 보수적인 벡터장에 대한 잠재적 기능의 존재와 유사하며, 코시 적분 정리의 경우처럼 단순히 연결된 영역에 문제의 기능이 규정되었을 때만 경로의 독립성을 보장할 수 있다.

실제로 홀로모피에는 국소적으로 항변성이 있는 것이 특징인데, 즉, 그 영역의 모든 z에 대해 g는 holomorphic이라면 g는 holomorphic이다, g는 holomorphic 함수의 파생은 holomorphy이기 때문에, 함수에게 holomorphy가 holomorphy를 가지는 데 필요한 조건이다.전형의

다양한 버전의 Cauchy 적분 정리, 경로 적분들을 많이 이용하는 Cauchy 함수 이론의 기초 결과로서, 홀로모르픽 g에 대해 충분한 조건을 제공한다.

${\displaystyle \point _{\note }g(\zeta )\,d\zeta }$

닫힌 경로 γ(예를 들어 g의 도메인이 단순하게 연결되거나 항성 쌍곡선일 수 있음)에 대해 사라진다.

필요성

먼저 우리는 만약 f가 U에서 g의 해독제라면 g는 위에 주어진 경로 적분 특성을 가지고 있다는 것을 보여준다.어떤 조각으로든 C¹ 경로 γ : [a, b] → U를 주었을 때, g over γ의 경로 integrated를 as 로 표현할 수 있다.

${\displaystyle \int _{\put \}g(z)\,dz=\int _{a}g(\b)(t)\property '(t)\,dt=\put _{a^{b}f'(t)\propert.$

체인 룰과 미적분학의 근본적인 정리에 의해 그때 하나가 가지고 있다.

${\displaystyle \int _{\put \}g(z)\,dz=\int _{a}^{d}{d}}{dt}f\왼쪽(\ft(\ft)(\ft)(\b)\rift(오른쪽)\f\f(a)\rift.}$

따라서 g over γ의 적분은 실제 경로 γ에 의존하는 것이 아니라 그 끝점에만 의존하는 것으로서 우리가 보여주고자 했던 것이다.

자급률

다음에 우리는 g가 홀모픽이고 어떤 경로에 걸쳐 g의 적분은 오직 엔드포인트에만 의존한다면, g는 해독제를 가지고 있다는 것을 보여준다.우리는 명시적으로 반분자를 찾아 그렇게 할 것이다.

일반성을 상실하지 않고 g의 도메인 U가 연결되어 있다고 가정할 수 있는데, 그렇지 않으면 연결된 각 구성 요소에서 해독제의 존재를 증명할 수 있기 때문이다.이 가정에서는 U에 점 z를₀ 고정하고 U에 있는 z에 대해 함수를 정의하십시오.

${\displaystyle f(z)=\int _{\put }\!g(\zeta )\,d\\zeta }$

여기서 γ은 z와₀ z를 연결하는 모든 경로다.U가 오픈 커넥티드 세트로 가정되기 때문에 그러한 경로가 존재한다.f함수는 γ의 끝점에만 의존하기 때문에 잘 정의되어 있다.

이 f가 g의 해독제라는 것은 실제 사례와 같은 방식으로 주장될 수 있다.우리는 U의 주어진 z에 대해, z에 중심을 두고 완전히 U 안에 포함된 디스크가 있어야 한다는 것을 알고 있다. 그러면 이 디스크 안에 있는 z를 제외한 모든 w에 대해

${\displaystyle {\begin{aligned}\left {\frac {f(w)-f(z)}{w-z}}-g(z)\right &=\left \int _{z}^{w}{\frac {g(\zeta )\,d\zeta }{w-z}}-\int _{z}^{w}{\frac {g(z)\,d\zeta }{w-z}}\right \\&\leq \int _{z}^{w}{\frac { g(\zeta )-g(z) }{ w-z }}\,d\zeta \\&\leq \sup _{\zeta \in [w,z]} g(\zeta )-g(z) ,\end{aligned}}}$

여기서 [z, w]는 z와 w 사이의 선 세그먼트를 나타낸다.g의 연속성에 의해 w가 z에 접근함에 따라 최종 식이 0으로 된다.즉 f′ = g.

참조

• Ian Stewart, David O. Tall (Mar 10, 1983). Complex Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-28763-4.
• Alan D Solomon (Jan 1, 1994). The Essentials of Complex Variables I. Research & Education Assoc. ISBN 0-87891-661-X.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Fundamental Theorems of Calculus". MathWorld.