코치의 적분식

수학적 분석 → 복합적 분석
복합분석
콤플렉스
실수 상수 복합면 콤플렉스 결합체 단위복합번호
복합함수
복합값함수 분석함수 홀로모르픽 함수 코치-리만 방정식 포멀 파워 시리즈
기본 이론
0과 극 코치의 적분 정리 지역 원시 코치의 적분식 권선번호 로랑 시리즈 절연 특이점 잔류 정리 등각도 슈바르츠 보조정리 조화함수 라플라스 방정식
기하함수 이론
사람
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수학에서 아우구스틴-루이 카우치(Augustin-Louis Cauchy)의 이름을 딴 카우치(Cauchy)의 적분식은 복잡한 분석에서 중심적인 표현이다.디스크에서 정의한 홀로모르픽 함수가 디스크의 경계에서 그 값에 의해 완전히 결정된다는 사실을 표현하고, 홀로모르픽 함수의 모든 파생상품에 대해 일체형 공식을 제공한다.Cauchy의 공식은 복잡한 분석에서 "분화는 통합과 동등하다"는 것을 보여준다: 통합과 같이 복잡한 분화는 균일한 한계 아래에서 잘 동작한다 – 실제 분석에서는 유지되지 않는 결과.

정리

U를 복합 평면 C의 열린 부분 집합으로 하고 닫힌 디스크 D가 다음과 같이 정의된다고 가정한다.

${\displaystyle D={\bigl \{}z: z-z_{0} \leq r{\bigr \}}}$

U에 완전히 포함되어 있다. 렛 f : U → C는 홀모픽 함수가 되며, γ은 D의 경계를 이루는 반시계방향의 원이 되도록 한다.그럼 D의 실내에 있는 모든 a에 대해

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}\point _{\point _{\frac {f(z)}{z-a}\,\mathrm {d}z.\,}$

이 진술의 증명은 Cauchy 적분 정리를 사용하며, 그 정리처럼 단지 f가 복잡하게 구별될 수 있게 요구될 뿐이다.$1{\displaystyle \mathrm{}}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$-${\displaystyle }$) ${\displaystyle 1/(z-a)}$은(는) $변수{\displaystyle }$ a ${\displaystyle$ a$}$에서 파워 시리즈로 확장할 수 있으므로$$

${\displaystyle {\frac {1}{z-a}={\frac {1+{\frac {a}}}{z}}}\frac {a}\오른쪽)^{2}+\cdots{z}}}}}}}}$

이는 홀로모르프 함수가 분석적인 것으로서, 즉 그것들은 수렴 전력 시리즈로 확장될 수 있다.특히 f는 사실 무한히 다른데, 와는

${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}}{2\pi i}\point _{\frac {f(z)}{\\왼쪽(z-a\오른쪽)^{n+1}\,dz.}$

이 공식은 때때로 카우치의 분화 공식으로 일컬어지기도 한다.

위에서 기술한 정리는 일반화할 수 있다.원 γ은 1번 권선이 a 정도인 U의 닫힌 정류 가능 곡선으로 대체될 수 있다.더욱이, Cauchy 적분 정리에 대해서는, f가 경로에 둘러싸인 개방된 영역에서 홀로모르픽이 되어 폐쇄에 연속성을 갖도록 요구해도 충분하다.

경계의 모든 연속 함수를 주어진 경계 함수에 맞는 경계 내 함수를 생성하는 데 사용할 수 있는 것은 아니라는 점에 유의하십시오.예를 들면, 만약 우리가 f(z)기능을).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output .s.Frac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/z, z=1에 대해 정의된, 코시 적분 공식.로, 우리는 원 안의 모든 점에 대해 영점 처리된다사실, 홀로모르픽 함수의 경계에 있는 실제 부분만을 주는 것은 상수까지 기능을 결정하기에 충분하다. 즉, 주어진 실제 부분에 해당하는 경계에는 상수 추가까지 상수 부분이 하나만 있을 뿐이다.우리는 뫼비우스 변환과 슈틸트제스 반전 공식을 조합하여 경계상의 실제 부분으로부터 홀로모르픽 함수를 구성할 수 있다.예를 들어 f(z) = i - iz 함수에는 실제 부분 Re f(z) = Im z가 있다.단위 원에는 i/z - iz/2라고 쓸 수 있다.뫼비우스 변환과 스틸레트제스 공식을 이용하여 원 안에 기능을 구성한다.i/z 용어는 아무런 기여를 하지 못하며, 우리는 -iz라는 함수를 발견한다.이것은 경계에 정확한 실제 부분을 가지고 있으며, 또한 그에 상응하는 상상의 부분을 우리에게 주기도 하지만 상수, 즉 i에 의해 벗어났다.

교정 스케치

Cauchy 적분 정리를 사용함으로써 C에 대한 적분(또는 닫힌 정류 가능 곡선)이 a 주위의 임의의 작은 원을 가로지르는 적분과 동일하다는 것을 보여줄 수 있다.f(z)는 연속적이기 때문에 f(z)가 임의로 f(a)에 가까운 작은 원을 선택할 수 있다.한편, 일체형

${\displaystyle \point _{C}{\frac {1}{z-a}\,dz=2\pi i,}$

a를 중심으로 C 원을 가로지른다.이는 파라메트리제이션(대체에 의한 통합) z(t) = a + εe를^it 통해 직접 계산할 수 있으며, 여기서 0 ≤ t ≤ 2π과 ε은 원의 반지름이다.

ε → 0으로 하면 원하는 추정치를 얻을 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\left{\frac{1}{2\pi 나는}}\oint _{C}{\frac{f(z)}{z-a}}\,dz-f(를)\right&=\left{\frac{1}{2\pi 나는}}\oint _{C}{\frac{f(z)-f(를)}{z-a}}\,dz\right \\[.5em]&, =\left{\frac{1}{2\pi 나는}}\int _ᆼ^ᆽ\left({\frac{f{\bigl(}z(t){\bigr)}(를)}{\varepsilon e^{그것}}}\cdot \varepsilon e^{그것}i\right)\,dt\right \\&, \le.q{\frac{1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac { f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a) }{\varepsilon }}\,\varepsilon \,dt\\[.5em]&\leq \max _{ z-a =\varepsilon } f(z)-f(a) {\xrightarrow[{\varepsilon \to 0}]{}}0.\end{정렬}}}$

예

내버려두다

${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}:{z^{2}+2z+2}},}$

C를 z = 2(반경 2의 원)로 설명한 등고선이 되게 한다.

등고선 C 주변에서 g(z)의 적분을 찾으려면 g(z)의 특이점을 알아야 한다.g를 다음과 같이 재작성할 수 있음을 관찰하십시오.

${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}:{{(z-z_{1})(z-z_{2}}}}}}}$

여기서 z₁ = -1 + i 및 z₂ = -1 - i

따라서 g는 z와₁ z에₂ 극을 가진다.이러한 점의 모듈리는 2보다 작으므로 등고선 안에 위치한다.이 적분은 Cauchy-Goursat 정리에 의해 두 개의 작은 적분으로 나눌 수 있다. 즉, 우리는 등고선 주위의 적분을 각 극 주위에 작은 원인 z와₁ z 주위에₂ 있는 적분의 합으로 표현할 수 있다.이₁ 등고선을 z 주위에₁ C, z 주위에₂ C라고₂ 부른다.

이제 이 작은 통합들은 각각 코시 적분식(Cauchy integral formula)에 의해 평가될 수 있지만, 우선 정리를 적용하려면 다시 작성해야 한다.C₁ 주위의 적분인 경우 f를₁ f₁(z) = (z₁ - z)g(z)로 정의한다.이것은 분석적인 것이다(윤곽선에 다른 특이점이 없기 때문이다).f를₁ 다음과 같이 단순화할 수 있다.

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac{z^{2}}:{z-z_{2}}:$

그리고 지금

${\displaystyle g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}.}$

Cauchy 적분 공식에 따르면 다음과 같다.

${\displaystyle \point _{C}{\frac {f_{1}(z)}{z-a}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a),}$

다음과 같이 적분을 평가할 수 있다.

${\displaystyle \point _{C_{1}g(z)\,dz=\point _{1}{C_{1}:{1}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{{1}{{1}^{{1}-2}}.}$

다른 윤곽선에 대해서도 동일하게 수행:

${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {z^{2}}:{z-z_{1}},}$

우리는 평가한다.

${\displaystyle \point _{C_{2}}:{{F_{2}(z)}{z-z_{2}}\,dz=2\pi i{\z_{2}^{2}}:{z_{2}-z_{1}.}$

그러면 원래 등고선 C 주위에 있는 적분은 다음과 같은 두 통합의 합이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{정렬}}}$

부분분수분해법을 사용한 기본 트릭:

${\displaystyle \point _{C}g(z)\,dz=\point _{C}\좌측(1-{\frac {1}{z-z_{2}}-{1}-{1}-{1}-{z-z_{2}}\}\오른쪽)\,dz=0-2\pi i-4pi i}$

결과들

그 필수 공식은 광범위한 응용을 가지고 있다.첫째로, 그것은 오픈 세트에서 홀로모픽인 함수가 실제로 그곳에서 무한히 다른 것을 암시한다.나아가 전력 시리즈로 나타낼 수 있는 분석 기능이다.이를 증명하는 것은 지배적인 융합 정리 및 에 적용된 기하학적 시리즈를 이용한다.

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }\,dz.}$

이 공식은 또한 공식 함수에 대한 결과인 잔여 정리 및 관련 결과인 주장 원리를 증명하는 데 사용된다.모레라의 정리로는 홀모픽 함수의 균일한 한계가 홀모픽이라는 것을 알 수 있다.이것은 또한 Cauchy의 통합 공식에서 추론할 수 있다: 실제로 공식은 한계와 통합, 그리고 따라서 통합은 파워 시리즈로 확장될 수 있다.또한 상위 파생상품에 대한 Cauchy 공식은 이러한 모든 파생상품이 균일하게 수렴된다는 것을 보여준다.

실제 분석에서 Cauchy 적분 공식의 아날로그는 고조파 함수에 대한 Poisson 적분 공식이다. 홀로모르픽 함수에 대한 많은 결과는 이 설정으로 이어진다.그러나 그러한 결과는 상이한 분석 기능 또는 실제 분석 기능의 더 일반적인 등급에 유효하지 않다.예를 들어, 실제 함수의 첫 번째 파생상품의 존재는 더 높은 순서의 파생상품의 존재, 특히 함수의 분석성을 의미할 필요는 없다.마찬가지로 일련의 (실제) 상이한 기능의 균일한 한계는 상이하지 않을 수도 있고, 상이할 수도 있지만, 상이할 수 있는 파생상품은 상이하지 않을 수도 있다.

또 다른 결과는 f(z) = σ a z가_nⁿ z < R>과 0 < r < R>에서 홀로모르픽이라면 계수는 a가_n Cauchy의 불평등을^[1] 만족시키는 것이다.

${\displaystyle a_{n} \leq r^{-n}\sup _{z =r}f(z) .}$

카우치의 불평등으로부터 모든 경계된 전체 기능은 일정해야 한다는 것을 쉽게 추론할 수 있다(이것은 리우빌의 정리다).

일반화

부드러운 기능

Cauchy의 적분 공식의 버전은 Cauchy-Pompeiu 공식이며,^[2] Stokes의 정리를 바탕으로 하기 때문에 부드러운 기능도 보유한다.D를 C의 디스크로 하고, f가 D의 폐쇄에 대한 복합¹ 값 C 함수라고 가정한다.그^[3] 다음 (Hörmander 1966, 정리 1.2.1)

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)\,dz}{z-\zeta }}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-\zeta }}.}$

D의 비균형 Cauchy-Remann 방정식을 해결하기 위해 이 표현식을 사용할 수 있다.실제로 φ이 D의 함수라면 방정식의 특정 용액 f는 μ의 지지 밖에 있는 홀로모르픽 함수다.게다가 오픈 세트 D에 있으면

${\displaystyle d\mu ={\frac {1}{2\pi i}\varphi \,dz\pi d{z}}}$

일부 φ C^k(D)의 경우(여기서 k ≥ 1), f(ζ, ζ)도 C^k(D)에 있고 방정식을 만족한다.

${\displaystyle {\frac {\bar f}{\bar}}}=\varphi(z,{\bar {z})}$

첫 번째 결론은, 간결하게, 코우치 알맹이로 압축적으로 지원되는 측정치의 콘볼루션 μ k k(z)이다.

${\displaystyle k(z)=\p.v.} {p.v.} {\frac {1}{z}}}$

μs 지지에서 벗어난 홀로모르픽 함수다.여기서 p.v는 기본값을 나타낸다.두 번째 결론은 Cauchy 낟알이 Cauchy-Remann 방정식의 근본적인 해결책이라고 주장한다.C에 대한 콤팩트 서포트 f의 부드러운 복합 값 함수의 경우 일반화된 Cauchy 적분 공식은 다음과 같이 단순화됨

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}\iint{\frac {\bar}{\fract{dz\d}}{z}}{z-\zeta}},}$

그리고 분포로 간주되는 (πz)⁻¹가 Cauchy-Remann 운영자 ∂/∂z̄^[4]의 근본적인 해결책이라는 사실을 다시 진술한 것이다.일반화된 Cauchy 적분식은 이 결과로부터 C 경계¹ boundaryX를 가진 모든 경계 개방형 영역 X와 X의 특성함수 χ의_X 분포적 파생에 대한 공식에 대해 추론할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial \chi_{X}{\partial {\bar{z}}}={\frac {i}{2}}\point _{\partial X}\,dz,}$

여기서 우측의 분포는 ∂X를 따라 윤곽선 통합을 나타낸다.^[5]

여러 변수

몇 가지 복잡한 변수에서, Cauchy 적분 공식은 폴리디스크로 일반화할 수 있다(Hörmander 1966, Orgion 2.2.1).D를 n개의 오픈 디스크 D₁, ..., D_n:의 데카르트 제품으로 주어지는 폴리디스크로 한다.

${\displaystyle D=\prod _{i=1}^{n}D_{i}.}$

f는 D의 폐쇄에 대한 D 연속형에서 홀로모르픽 함수라고 가정하자.그러면

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{\좌측(2\pi i\우측)^{n}}}\int \cdots \iint _{\partial D_{1}\times \cdots \times \partial D_{n}}{\frac {f(z_{1},\ldots ,z_{n})}{(z_{1}-\zeta _{1})\cdots (z_{n}-\zeta _{n})}}\,dz_{1}\cdots dz_{n}}$

여기서 ζ = (ζ₁, ..., ζ_n) ∈ D.

진짜 알헤브라스에서

Cauchy 적분식은 2차원 이상의 실제 벡터 공간으로 일반화할 수 있다.이 성질에 대한 통찰은 스칼라와 벡터(평면체 이형자, 체적 삼형자 등)를 초월한 물체가 고려되는 기하학적 대수학에서 비롯되며, 스톡스의 정리를 적절히 일반화한다.

기하학적 미적분학은 기하학적 산물에서 파생 연산자 ∇ = ê_i ∂_i을 정의한다. 즉, k-벡터 필드 ψ(r)의 경우, 일반적으로 등급 k + 1과 k - 1을 포함한다. 예를 들어 벡터 필드(k = 1)는 파생상품에 스칼라 부분, 발산(k = 0), 바이벡터 부분인 컬(k = 2).이 특정 파생상품 사업자는 그린의 기능을 가지고 있다.

${\displaystyle G\left(\mathbf {r},\mathbf {r} '\right)={\frac {1}{S_{n}}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r}'}{{\re}}}}}{{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}오른쪽 ^{\mathb}}}}}$

여기서 S는_n 공간 내 단위 n볼의 표면적(즉₂, S = 2㎛, 반지름 1인 원의 원주, 반지름 1인 구의₃ 표면적 S = 4㎛)이다.그린의 함수의 정의에 따르면

$\\displaystyle \nabla G\left(\mathbf {r},\mathbf {r} '\right)=\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}$

일반화된 스톡스 정리(Stokes)와 함께 사용할 수 있는 유용한 특성이다.

${\displaystyle \partial V}d\mathbf {S} \;f(\mathbf {r} )=\int_{V}d\mathbf {V} \\nabla f(\mathbf {r} )}$

여기서, n차원 벡터 공간의 경우 dS는 (n - 1)-벡터, dV는 n-벡터다.f(r) 함수는 원칙적으로 다중 벡터의 조합으로 구성될 수 있다.고차원 공간에 대한 Cauchy의 적분 정리의 증명은 G(r, r′) f(r′)의 양에 대한 일반화된 스토크스 정리와 제품 규칙의 사용에 의존한다.

${\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left(\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)+G\왼쪽(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\nabla 'f\f\lift(\mathbf {r}\right)\;d\mathbf {V}}}}$

∇f = 0, f(r)를 모노제닉 함수라고 할 때, 고차원 공간에 대한 홀로모픽 함수의 일반화 - 실제로, 카우치-리만 조건은 모노제닉 조건의 2차원 표현에 불과하다는 것을 알 수 있다.그 조건이 충족되면, 오른쪽 적분에서의 두 번째 임기는 사라지고, 오직 한 가지 일만 남게 된다.

${\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)=-\int _{V}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)f\left(\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {V} =-i_{n}f(\mathbf {r} )}$

여기서 나는_n 그 대수학 단위의 n-mal, 가성분자.결과는

${\displaystyle f(\mathbf {r} )=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{S_{n}\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right ^{n}}}\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)}$

따라서 2차원(복잡한 분석) 사례에서와 같이 한 점에서 분석(원성)함수의 값은 점을 둘러싼 표면 위에 있는 적분자에 의해 찾을 수 있으며, 이는 스칼라함수뿐만 아니라 벡터 및 일반 멀티플렉터 기능에도 유효하다.

참고 항목

• 코치-리만 방정식
• 등고선 통합 방법
• 나흐빈의 정리
• 모레라의 정리
• 미타그-레플러의 정리
• 그린의 기능은 이 아이디어를 비선형 설정으로 일반화한다.
• 슈바르츠 적분 공식
• 파르세발-구츠머 공식
• 보크너-마티넬리 공식

메모들

참조

• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-000657-7..
• Pompeiu, D. (1905). "Sur la continuité des fonctions de variables complexes" (PDF). Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Série 2. 7 (3): 265–315.
• Titchmarsh, E. C. (1939). Theory of functions (2nd ed.). Oxford University Press.
• Hörmander, Lars (1966). An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. Van Nostrand.
• Hörmander, Lars (1983). The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Springer. ISBN 3-540-12104-8.
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003). Geometric Algebra for Physicists. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71595-9.

외부 링크

• "Cauchy integral", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Cauchy Integral Formula". MathWorld.