의사홀로모르픽 곡선

수학에서 특히 위상과 기하학에서 사이비홀로모픽 곡선(또는 J홀로모픽 곡선)은 리만 표면에서 카우치-리만 방정식을 만족시키는 거의 복잡한 다지관으로 가는 매끄러운 지도다.1985년 미하일 그로모프에 의해 도입된 사이비홀로모픽 곡선은 그 이후 복합 다지관 연구에 혁명을 가져왔다.특히 그로모프-위튼 불변론, 플로어 호몰로지(Floer homology)로 이어지며 끈 이론에서 두드러진 역할을 한다.

정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 거의 복잡한 구조 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$을(를) 가진 거의 복잡한 다지관이다$.$ C ${\displaystyle$ $C$$}$은(는) $복잡한{\displaystyle }$구조 j {\$displaysty$ j$}$을(를) 가진 매끄러운 리만 표면이다$.$ $X{\displaystyle }$ ${\$$displaysty$$$X}의 유사 홀형 $곡선$이다$.$$Playstylease style f:$Cauchy-Remann 방정식을 충족하는$$ $C\to$ X$}$

${\displaystyle {\bar {\partial }_{J,J}f:={\frac {1}{2}}(df+)J\circ df\circ j)=0.}$

$J{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle J^{2}=-1$ 이 조건은

${\displaystyle J\circ df=df\circ j,}$

즉, 차동 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle df}$이(가) 복합 선형이라는 의미$$, 즉 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$이(가) 각 접선 공간을 매핑한다는$$ 의미

${\displaystyle T_{x}f(C)\subseteq T_{x}X}$

그 자체로기술적 이유 때문에 종종 일종의 비균형 용어 ${\displaystyle \nu}$을(를) 소개하고$$ 동요된 Cauchy-Remann 방정식을 만족하는 지도를 공부하는 것이 바람직하다.

${\displaystyle {\bar {\partial }_{J,J}f=\nu.}$

이 방정식을 만족하는 의사홀모픽 곡선은 보다 구체적으로 a${\displaystyle }$(${\displaystyle j}$, ${\displaystyle J}$ ,${\displaystyle \nu }$) ${\displaystyle (j,J,\nu )}$ -홀모픽$$ 곡선이라고 할 수 있다.섭동 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$은(특히 Floer 이론에서) 해밀턴인에 의해 생성된다고 가정하기도 하지만$$, 일반적으로 그럴 필요는 없다.

사이비홀로모픽 곡선은 그 정의에 의해 항상 파라메트릭화된다.어플리케이션에서, $X{\displaystyle }${\$displaystyle X$의 내장된(또는 담근) 2 서브마니폴드라는 뜻인, 흔히 매개변수가 없는 곡선에 진정으로 관심이 있으므로, 관련 구조를 보존하는 도메인의 재포장(reparametrization)에 의해 한 모드가 나온다.예를 들어 그로모프-위튼 불변성의 경우, $고정속{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g}$의 닫힌 $도메인{\displaystyle }$ C$${\$displaystyle C}$만을 고려하고$$, $C{\displaystyle }${\$displaystyle C}$에 n ${\displaystyn$$}$ 표시점(또는 펑크)을 도입한다$.$ 구멍 뚫린 $오일러{\displaystyle \mathrm{}\mathrm{특성}}$ ${\displaystyle 2}$ - 2 -${\displaystyle }$2 - 2g - n - ${\$ - {\n - {\d}$$ 음, 표시된 점을 보존하는$$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 홀오모르픽 리파라메트리징만 매우 많다.도메인 곡선 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C$}은 곡선의 Deligne-Mumford moduli 공간의 요소다.

고전적인 카우치-리만 방정식과의 유사성

고전적인 경우는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$과 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) 모두 단순한 숫자 평면일$$ 때 발생한다.실제 좌표

${\displaystyle j=J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix},}$

그리고

${\displaystyle df={\matrix}du/dx&du/dy\\nd{bmatrix},}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$,$$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ) $displaystyle f(x,y)=(u,y),v(x,y$ 이러한 행렬을 두 개의 다른 순서로 곱한 후, 즉시 방정식을 보게 된다.

${\displaystyle J\circ df=df\circ j,}$

위에 쓰여진 것은 고전적인 Cauchy-Remann 방정식과 같다.

${\displaystyle {\case}du/dx=dx=dy\dy\dx=-du/dy.\end{case}}}$

공통 토폴로지의 응용 프로그램

거의 모든 복잡한 다지관에 대해 정의될 수 있지만, 의사홀모픽 $곡선$은 $J{\displaystyle }$${\displaystyle \omega }$ $\Omega$과 상호작용할 때 특히 흥미롭다$.$ 거의 복잡한 구조 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$는 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$ -tame인 경우라고 한다$$.

$\displaystyle \omega(v,Jv)>0}$

0이 아닌 모든 접선 벡터 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$에 대해$,$ tamnity는 공식을 의미한다.

${\displaystyle (v,w)={\frac {1}{2}}\왼쪽(\omega(v,Jw)+\omega(w,Jv)\오른쪽)}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 리만 메트릭스를 정의한다$.$ 그로모프는 주어진 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$에 대해$$$\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$ -tame$$ $J{\displaystyle }$ ${\displaysty J}$의 공간이 비어$$ 있지 않고 수축할 수 있음을 보여주었다.그는 이 이론을 이용하여 실린더에 구를 심는 공동 임베딩에 관한 비흡수적 정리를 증명했다.

그로모프는 사이비홀로모픽 곡선의 특정 모듈리 공간(추가 지정 조건을 만족함)이 콤팩트하다는 것을 보여주었고, 유한한 에너지만을 가정했을 때 사이비홀로모픽 곡선이 퇴보할 수 있는 방법을 설명했다.(J가 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$} -tame$$ 또는 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$} -호환성인$$ 경우 고정 호몰로지 클래스가 있는 곡선의 경우 유한 에너지 조건이 가장 두드러지게 유지됨).이 그로모프 콤팩트성 정리는 현재 안정적 지도를 사용하여 크게 일반화되었으며, 동시 다지관에서 의사홀모픽 곡선을 계수하는 그로모프-위튼 불변성의 정의를 가능하게 한다.

사이비홀로모픽 곡선의 콤팩트한 모듈리 공간도 플로어 호몰로지 구축에 사용되는데, 안드레아스 플로어(그리고 이후 저자들, 더 큰 일반성으로)가 해밀턴 흐름의 고정점 수에 관한 블라디미르 아르놀드의 유명한 추측을 입증하는 데 사용한 것이다.

물리학의 응용

II형 끈 이론에서, 사람들은 끈에 의해 추적된 표면들이 칼라비-에서 길을 따라 이동할 때 그들을 고려한다.야우 3배.양자역학의 경로 적분 제형에 따라, 사람들은 그러한 모든 표면의 공간에 걸쳐 특정한 적분들을 계산하기를 원한다.그러한 공간은 무한한 차원이기 때문에 이러한 경로 통합은 일반적으로 수학적으로 잘 정의되어 있지 않다.단, A-twist에서는 표면이 의사홀로모픽 곡선에 의해 파라메트릭화되어 있어 경로 통합이 유한한 의사홀로모픽 곡선(또는 오히려 안정적인 지도)의 모듈리 공간에 걸쳐 통합되는 것으로 추정할 수 있다.예를 들어 폐쇄형 IIA 문자열 이론에서 이러한 통합은 정확하게 그로모프-위튼 불변성 물질이다.

참고 항목

• 홀로모르픽 곡선

참조

• 두사 맥더프와 디트마르 살라몬, J홀로모르픽 커브와 컴플렉틱 토폴로지, 미국수학협회 콜로키움 출판물, 2004. ISBN0-8218-3485-1.
• 미하일 레오니도비치 그로모프, 사이비 홀로모르픽 커브(Cosphious holomorphic curve in synoptic 다지관)발명품 매스매티카에 82, 1985, pgs. 307-347.
• Donaldson, Simon K. (October 2005). "What Is...a Pseudoholomorphic Curve?" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 52 (9): 1026–1027. Retrieved 2008-01-17.