분석함수

수학적 분석 → 복합적 분석
복합분석
콤플렉스
실수 상수 복합면 콤플렉스 결합체 단위복합번호
복합함수
복합값함수 분석함수 홀로모르픽 함수 코치-리만 방정식 포멀 파워 시리즈
기본 이론
0과 극 코치의 적분 정리 지역 원시 코치의 적분식 권선번호 로랑 시리즈 절연 특이점 잔류 정리 등각도 슈바르츠 보조정리 조화함수 라플라스 방정식
기하함수 이론
사람
아우구스틴루이코치 레온하르트 오일러 카를 프리드리히 가우스 자크 하다마르 오카 기요시 베른하르트 리만 카를 위어스트라스
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수학에서 분석함수는 수렴 동력 시리즈에 의해 국소적으로 주어지는 함수다. 실제 분석 기능과 복합 분석 기능이 모두 존재한다. 각 유형의 기능은 무한히 다르지만, 복합 분석 기능은 실제 분석 기능에 대해 일반적으로 보유하지 않는 특성을 나타낸다. 함수는 Taylor의 x에₀ 관한 시리즈가 그 영역의 모든 x에₀ 대해 어떤 동네의 함수로 수렴되는 경우에만 분석적이다.

정의들

$공식적$으로 f ${\displaystyle f}$ 함수는 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$∈ D ${\displaystyle x_{0}\in D}$에 대해 쓸 수 있는 경우 실제 라인에 있는$$ 오픈 $세트{\displaystyle }$ D ${\\displaystyle$D}에 대한 실제 분석 기능이다$$.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\nft }a_{n}\왼쪽(x-x_{0}\오른쪽)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+{3}+\cdots }}$

${\displaystyle {계수\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ a ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle a_{0},a_{1},\displaystyle$ f$(x$$)}$이$($가) 실수이고$$ x $0{\displaystyle }$ ${\$의$$근방에서 x ${\displaystyle$ x}에$$ 대해 영상 $시리즈$가${\displaystyle }$f ($)로 수렴$된다.

또는 실제 분석 함수는 테일러 시리즈가 그 영역의 ${\displaystyle {임의\mathrm{}}_{}}$ 지점 $x{\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\$에 있는 것과 같이 무한히 다른 기능이다.

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\inflt }{f^{f^{n}(x_{0}){n!}}{n!}(x-x_{0}})^{n}}}}}}}}}$

점괘가 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$인 근방에서$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대해 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}($으)로 수렴한다.^[a] 특정 집합 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 모든 실제 분석 기능 집합은 종종 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ (${\displaystyle {}^{}D}$ )${\displaystyle C^{\\,\omega }(D)}$로 표시된다$.$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 실제 분석인$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 주변 D ${\displaystyle d}$이(가) 있는 경우$$ 실제 $선$의 일부 하위 집합에 정의된$$ $f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle f}$ 함수는 x$$점에서 실제 분석이라고 한다.

위의 정의에서 "실제"를 "복제"로, "실제"를 "복제 평면"으로 교체하여 복합 분석 기능의 정의를 얻는다. 함수는 홀모픽인 경우에만 복잡한 분석이다. 즉, 복합적인 차이가 있다. 이러한 이유로 "고형"과 "분석적"이라는 용어는 종종 그러한 기능에 대해 서로 바꾸어 사용된다.^[1]

예

분석 기능의 대표적인 예는 다음과 같다.

• 모든 기본 기능:
  • 모든 다항식: 만약 다항식이 n도를 가지고 있다면, 그 다항식의 Taylor 시리즈 확장에서 n보다 큰 어떤 정도의 조건도 즉시 0으로 사라져야 하며, 따라서 이 시리즈는 사소한 융합이 될 것이다. 게다가, 모든 다항식들은 그들만의 Maclaurin 시리즈들이다.
  • 지수함수는 분석적이다. 이 함수에 대한 Taylor 시리즈는 (정의와 같이) x에₀ 충분히 가까운 x에 대해뿐만 아니라 x의 모든 값(실제 또는 복합)에 대해 수렴한다.
  • 삼각함수, 로그 및 전력함수는 해당 영역의 열린 집합에서 분석한다.
• 대부분의 특수 기능(적어도 복잡한 평면의 일부 범위):
  • 초기하 함수
  • 베셀 함수
  • 감마 함수

분석적이지 않은 기능의 대표적인 예는 다음과 같다.

• 실수나 복잡한 숫자의 집합에서 정의했을 때 절대값 함수는 0에서 다를 수 없기 때문에 모든 곳에서 분석되는 것은 아니다. 일반적으로 조각 정의 함수(다른 지역의 다른 공식에 의해 제공되는 기능)는 조각이 만나는 곳에서 분석되지 않는다.
• 복합결합함수 z → z*는 실선으로의 제한은 신분함수로서 실제 ${\displaystyle {}^{}}$로서 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 2 ${\$}}부터$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$}}까지의 함수로서 실제 분석함수는 아니다$.$
• Other non-analytic smooth functions, and in particular any smooth function ${\displaystyle f}$ with compact support, i.e. ${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$, cannot be analytic on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.^[2]

대체 특성화

다음 조건은 동일하다.

1. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$은(는) 열린 집합 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$에 대한 실제 분석법이다$.$
2. $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$을(를) 포함하는 개방형 집합 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ C ${\$에 대한 $복잡한{\displaystyle }$ 분석적 확장이 있다$.$
3. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$은(는) 평활하며, 모든 콤팩트 ${\displaystyle }$ K${\displaystyle }$⊂ ${\displaystyle D}${\$displaystyle$ K$}$에 대해 $모든{\displaystyle }$ x${\displaystyle k}$ K$${\$displaystyle x\in$K} 및 모든$$ 음이 아닌 $정수{\displaystyle }$ k$$${\$$displaystyle k$$}$에 대해 다음과 같은 한계가 있다^[3].
   $${\displaystyle \왼쪽 {\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\오른쪽 \leq C^{k+1}k!}$$

   

복잡한 분석 기능은 정확히 홀로모르프 기능과 동일하며, 따라서 훨씬 더 쉽게 특성화된다.

여러 변수를 갖는 분석 함수의 경우(아래 참조), 실제 분석은 푸리에-브로스-아이골니처 변환을 사용하여 특성화할 수 있다.

다변량 사례에서, 실제 분석 함수는 세 번째 특성화의 직접적인 일반화를 만족한다.^[4] $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}}$을(를) 열린 세트로 하고$$, $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle U\mathbb{}}$→ R ${\$$U\to \mathb {R}$ $\}.$

Then ${\displaystyle f}$ is real analytic on ${\displaystyle U}$ if and only if ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ and for every compact ${\displaystyle K\subseteq U}$ there exists a constant ${\displaystyle C}$ such that for every multi-index ${\displaystyle \a$$lpha \in \mathb {Z} _{\geq$ 0$}^{n}}}}$ 다음$$ 바인딩 고정^[5]

${\displaystyle \sup _{x\in K}\왼쪽 {\frac {\partial ^{\alpha }{\partial x^{\alpha }}}(x)\right \leq C^{\alpha +1}\alpha !}$

분석함수의 속성

• 분석 기능의 총합, 제품 및 구성은 분석적이다.
• 0이 아닌 분석함수의 역수는 분석적이다. 이는 파생상품이 0이 아닌 반전성 분석함수의 역이다(Lagrange 반전 정리도 참조).
• 어떤 분석적 기능도 매끄럽다, 즉 무한히 다른 것이다. 실제 기능에 대해서는 정반대되는 것이 아니다. 사실 어떤 의미에서 실제 분석 기능은 모든 실제 무한히 다른 기능에 비해 희박하다. 복잡한 숫자의 경우, 역은 유지되며, 실제로 오픈 세트에서 한 번 상이한 기능은 해당 집합에서 분석한다(아래 "분석성 및 상이한 기능" 참조).
• 모든 오픈 세트 Ω ⊆ C의 경우, 모든 분석 함수 u : Ω → C의 세트 A(Ω)는 콤팩트 세트의 균일한 수렴에 관한 프리셰트 공간이다. 소형 분석함수의 집합에 대한 균일한 한계가 분석적이라는 사실은 모레라의 정리의 쉬운 결과물이다. set $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$($){\$은 Barnach 공간이다.

다항식은 0 다항식이 아닌 한 너무 많은 점에서 0이 될 수 없다(더 정확히 말하면 0의 수는 다항식의 정도에 있다). 유사하지만 약한 진술은 분석 기능을 유지한다. 분석함수 ƒ의 0 집합이 그 영역 내에 축적점을 가지고 있다면, ƒ은 축적점을 포함하는 연결된 구성 요소의 모든 곳에 0이 된다. 즉, (r_n)가 모든 n에 대해 ((r_n) = 0과 같은 구별되는 숫자의 시퀀스이고 이 시퀀스가 D의 영역에서 r 점으로 수렴되는 경우, r을 포함하는 D의 연결된 구성요소에서 ƒ은 동일하게 0이다. 이것은 정체성 정리라고 알려져 있다.

또한 한 지점에서 분석함수의 모든 파생상품이 0이면 해당 연결 구성요소에서 함수는 일정하다.

이러한 진술은 분석적 기능이 다항식보다 자유도가 더 높지만 여전히 상당히 경직되어 있음을 암시한다.

분석성과 차별성

위에서 언급한 바와 같이, 모든 분석 기능(실제 또는 복합 기능)은 무한히 다를 수 있다(평활함수 또는^∞ C라고도 한다). (이 차이성은 실제 변수의 관점에서 존재한다는 점에 유의한다. 아래 복잡한 파생상품을 비교한다.) 분석적이지 않은 매끄러운 실제 기능이 존재한다. 분석적이지 않은 매끄러운 기능을 참조하라. 사실 그런 기능들이 많이 있다.

복잡한 분석 기능과 복잡한 파생상품을 고려할 때 상황은 사뭇 다르다. 개방형 집합에서 (복잡한 의미에서의) 서로 다른 복잡한 기능이 분석적임을 증명할 수 있다. 따라서 복잡한 분석에서 분석함수라는 용어는 홀로모르픽 함수와 동의어다.

실제 및 복합 분석 기능

실제와 복잡한 분석 기능에는 중요한 차이점이 있다(다양성과의 다른 관계에서도 이를 알아차릴 수 있다). 복잡한 기능의 분석성은 더 제한적인 필요 조건을 가지고 있고 복잡한 분석 기능이 실제 기능보다 더 많은 구조를 가지고 있기 때문에 더 제한적인 특성이다.^[6]

리우빌의 정리에 따르면, 전체 복합 평면에 정의된 모든 경계 복합 분석 기능은 일정하다. 실제 분석 기능에 대한 대응 문구는 복잡한 평면을 실제 선으로 대체한 상태에서 명백히 거짓이다. 이는 다음을 통해 설명된다.

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}.}$

또한, x점₀ 주위의 열린 공에서 복잡한 분석 기능이 정의되는 경우, x점에서의₀ 파워 시리즈 확장은 전체 열린 공에서 수렴된다(홀모픽 기능은 분석적이다). 실제 분석 기능(복합 평면의 열린 디스크가 아닌 실제 선의 열린 간격을 의미하는 열린 공으로)에 대한 이 진술은 일반적으로 사실이 아니다. 위의 예제의 함수는 x₀ = 0에 대한 예를⁴ 제공하며⁶, 파워 시리즈 1 - x² + x - x...가 x 1 1에 대해 분산되기 때문에 반지름 1을 초과하는 공은 1을 초과하는 공은 x = 0에 대한 예를 제공한다.

실제 라인의 일부 오픈 세트의 실제 분석 기능은 복합 평면 일부 오픈 세트의 복합 분석 기능으로 확장할 수 있다. 그러나 전체 실제 라인에 정의된 모든 실제 분석 기능이 전체 복잡한 면에 정의된 복잡한 함수로 확장될 수는 없다. 위의 단락에서 정의한 함수 not(x)는 x = ±i에 대해 정의되지 않기 때문에 counterrexample이다. 따라서 taylor(x)의 테일러 시리즈가 x > 1로 분산되는 이유, 즉 수렴 반경이 1인 이유는 복합함수는 평가점 0에서 거리 1에 극이 있고 평가점 주위의 열린 디스크 내에 더 이상의 극이 없기 때문이다.

여러 변수의 분석 기능

이러한 변수에서 파워 시리즈를 사용하여 여러 변수의 분석 기능을 정의할 수 있다(파워 시리즈 참조). 여러 변수의 분석 함수는 한 변수의 분석 함수와 동일한 특성 중 일부를 가진다. 그러나 특히 복잡한 분석 기능의 경우, 새롭고 흥미로운 현상이 2개 이상의 복잡한 차원으로 나타난다.

• 둘 이상의 변수에 있는 복합 분석 함수의 0 집합은 결코 이산되지 않는다. 이것은 하토그스의 확장 정리로 증명할 수 있다.
• 단일값 함수에 대한 홀로모피 도메인은 임의(연결된) 개방형 집합으로 구성된다. 그러나 몇 가지 복잡한 변수에서 일부 연결된 오픈 세트만이 홀로모피 영역이다. 홀로모피 영역의 특성화는 유사성 개념으로 이어진다.

참고 항목

• 코치-리만 방정식
• 홀로모르픽 함수
• 팰리-위너 정리
• 준분석함수
• 분석 기능의 무한 구성

메모들

참조

• Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable I. Graduate Texts in Mathematics 11 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90328-6.
• Krantz, Steven; Parks, Harold R. (2002). A Primer of Real Analytic Functions (2nd ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4264-1.

외부 링크

• "Analytic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Analytic Function". MathWorld.
• Ivan B에 의해 직사각형 영역 내에 있는 복잡한 분석 함수의 모든 0에 대한 용해제. 이바노프