평행사변형

평행사변형
평행사변형
	이 평행사변형은 직각이 없고 변이 일정하지 않기 때문에 마름모꼴이다.
유형	사각형 사다리꼴
모서리 및 정점	4
대칭군	C2, [2]+,
지역	b × h (베이스 × 높이);; ab sin δ(인접한 변과 그에 의해 결정되는 정점 각도의 곱)
특성.	볼록한

유클리드 기하학에서 평행사변형(parallel diagon)은 두 쌍의 평행변을 가진 단순한 사변형이다.평행사변형의 대향 또는 대향변은 길이가 같고 평행사변형의 대향각은 같은 측정값입니다.반대쪽과 반대쪽 각도의 합치는 유클리드 평행 공식의 직접적인 결과이며, 두 조건 모두 유클리드 평행 공식이나 그에 상응하는 공식 중 하나에 호소하지 않고서는 증명될 수 없다.

그에 비해, 평행한 변이 하나만 있는 사변형은 미국식 영어로는 사다리꼴, 영국식 영어로는 사다리꼴이다.

평행사변형의 3차원 대응물은 평행사변형이다.

어원(그리스어 ααμμο, parallēl-ogrammon, 평행선의 형태)은 정의를 반영한다.

특수한 경우

직사각형 – 크기가 같은 4개의 각도(직각)를 가진 평행사변형입니다.
마름모 – 길이가 같은 네 변을 가진 평행사변형.직사각형도 아니고 마름모도 아닌 평행사변형은 전통적으로 마름모꼴이라고 불렸지만 이 용어는 현대 ^[1]수학에서는 사용되지 않는다.
정사각형 – 길이가 같은 네 변과 크기가 같은 각도(직각)를 가진 평행사변형입니다.

특성화

단순(자체 교차하지 않음) 사각형은 다음 문장 중 하나에 ^[2]^[3]해당하는 경우에만 평행사변형입니다.

두 쌍의 반대쪽은 (정의상) 평행하다.
두 쌍의 대각선은 길이가 같다.
대각선의 두 쌍은 크기가 같다.
대각선은 서로 이등분한다.
반대편 한 쌍은 평행하고 길이가 같다.
인접각은 보충각이다.
각 대각선은 사변형을 두 개의 합동 삼각형으로 나눈다.
변의 제곱합은 대각선의 제곱합과 같습니다.(이것은 평행사변형의 법칙입니다)
그것은 2차 회전 대칭을 가지고 있다.
내부 점에서 변까지의 거리의 합계는 ^[4]점의 위치와 무관합니다.(이것은 Viviani의 정리의 연장선이다.
사각형 평면에는 X를 통과하는 모든 직선이 사변형을 같은 ^[5]면적의 두 영역으로 나눈다는 성질을 가진 점 X가 있다.

따라서 모든 평행사변수는 위에 열거된 모든 성질을 가지며, 반대로 단순한 사변형에서 이러한 진술 중 하나만 참이면 평행사변형이 됩니다.

기타 속성

평행사변형의 반대쪽은 (정의상) 평행하기 때문에 절대 교차하지 않습니다.
평행사변형의 면적은 대각선 중 하나에 의해 생성된 삼각형의 두 배입니다.
평행사변형의 면적은 인접한 두 변의 벡터 교차곱의 크기와 같다.
평행 사변형의 중간점을 통과하는 선은 영역을 ^[6]이등분합니다.
모든 비퇴행 아핀 변환은 평행사변형을 다른 평행사변형으로 변환합니다.
평행사변형의 회전대칭은 2차입니다(180°까지).(또는 정사각형일 경우 4를 정렬합니다).만약 그것이 정확히 두 개의 반사 대칭선을 가지고 있다면, 그것은 마름모꼴이거나 직사각형이어야 한다.만약 그것이 네 개의 반사 대칭선을 가지고 있다면, 그것은 정사각형이다.
평행사변형의 둘레는 2(a + b)입니다.여기서 a와 b는 인접한 변의 길이입니다.
다른 볼록 다각형과 달리 평행사변형은 ^[7]면적이 두 배 미만인 삼각형에 새길 수 없습니다.
평행사변형의 변에 모두 내부 또는 외부로 구성된 네 개의 정사각형의 중심은 ^[8]정사각형의 꼭지점입니다.
평행사변형의 변에 평행한 2개의 선을 대각선과 동시에 구성하면 그 대각선의 반대편에 형성된 평행사변형의 면적은 ^[8]같아진다.
평행사변형의 대각선은 그것을 같은 면적의 네 개의 삼각형으로 나눈다.

면적식

A diagram showing how a parallelogram can be re-arranged into the shape of a rectangle

평행사변형을 같은 면적의 직사각형으로 재배치할 수 있습니다.

면적

K=bh

K

K=bh

K=bh

h \

displaystyle

K

=

parames

K=bh

}의 애니메이션.

일반 볼록 사변수에 대한 모든 면적 공식이 평행사변형에 적용됩니다.추가 공식은 병렬 사변형에만 적용됩니다.

베이스 b와 높이 h의 평행사변형을 사다리꼴과 직각삼각형으로 분할하여 왼쪽 그림과 같이 직사각형으로 재배치할 수 있다.즉, 평행사변형의 면적은 밑면과 높이가 동일한 직사각형의 면적과 동일합니다.

(\displaystyle K=displaystyle).}

평행사변형의 영역은 평행사변형의 내부인 파란색 영역의 영역입니다.

베이스 × 높이 면적 공식은 오른쪽의 그림을 사용하여 도출할 수도 있습니다.오른쪽 평행사변형의 영역 K(파란색 영역)는 직사각형의 총 면적에서 두 주황색 삼각형의 영역을 뺀 값입니다.직사각형의 넓이는

K_{\text{rect}}=(B+A)\times H,

그리고 오렌지색 삼각형의 면적은

({displaystyle K_{\text{tri}}=black {A}{2}}\times H.,})

따라서 평행사변형의 면적은

\displaystyle K=K_{\text{rect}-2\times K_{\text{tri}}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H.}

또 다른 면적 공식은 B, C와 각도 θ에 대해 다음과 같다.

(\displaystyle K=B\cdot C\cdot \sin \theta ., )

대각선의 교차점에서 변이 B와 C(B ) C)이고 $\gamma$ 가 $θ$ (\ $displaystyle$ \gamma $)$ 인 $\gamma$ 평행 사변형의 면적은 다음과^[9] 같습니다.

K=frac {\tan \flac}{2}\cdot \left B^{2}-C^{2}\right

평행사변형이 대각선 길이₁ D와 함께 인접한 두 변의 길이 B와 C에서 지정되면 면적은 헤론의 공식에서 찾을 수 있습니다.구체적으로는

K=2{\sqrt {S(S-B)(S-C)(S-D_{1}}}

$S=(B+C+D_{1})/2$ 서 S $=$ ( $S=(B+C+D_{1})/2$ + $S=(B+C+D_{1})/2$ + $S=(B+C+D_{1})/2$ ) / $S=(B+C+D_{1})/2$ (\ $displaystyle$ S=( $B+C+D_{1})/2)$ 및 $S=(B+C+D_{1})/2$ 선행 요인 2는 선택한 대각선이 평행 사변형을 두 개의 합동 삼각형으로 분할한다는 사실에서 비롯됩니다.

정점의 데카르트 좌표를 기준으로 한 면적

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}$ a $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}$ $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}$ R $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}$ (\ $displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b}$ \ $in \mathbb {R}$ ^{ $2}}$ )로 $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}$ $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ V $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ [ $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ 1 $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ 2 $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ 1 $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ b $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ ] $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ R $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ × $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ (\ $displaystyle$ V = $bgin {bmatrixa}a$ {1}a $_$ {1}_{1}&a {b} {b} {b} {b} {b} {b} {b} {b} {b} {b} {{b} { $b}$ {b} {b} {그런 다음 a와 b에 의해 생성되는 평행사변형의 면적은 $|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,$ det ( $|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,$ $|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,$ $|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,$ 1 $|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,$ 2 - $|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,$ $|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,$ $|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,$ { $displaystyle \det(V)$ = $a_{1} b_{2}-a_{2}b_{1$ } $|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,$ 과 같습니다.

벡터 a, b∈ Rn{\displaystyle \mathbf{},\mathbf{b}\in \mathbb{R}^{n}}과 V=[12때문에 오빠 b1b2. 깨지bn]∈ R2×n{\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}& 해 주세요;a_{2}&, \dots, a_{n}\\b_{1}&, b_{2}& &, \dots &, b_{n}\end{bmatrix}}\in \math자.Bb(^{2\times n}}.다음으로 a와 b에 의해 생성되는 평행사변형의 면적은 ${\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}$ det ( $V$ ) {\ $displaystyle {\sqrt$ {Det $VV^{\mathrm {T}}}}$ 과 같습니다.

$a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}$ $a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}$ $a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}$ R $a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}$ {\ $displaystyle$ a, $b, c\in \mathbb {R}$ ^{ $2$ 점으로 합니다.그러면 a, b, c에 정점이 있는 평행사변형의 면적은 다음과 같이 a, b, c를 행으로 하여 작성된 행렬식 절대값과 같습니다.

\displaystyle K=\left,\det {bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\c_{1}&1\c_{2}&1\end{bmatrix}\right.

대각선이 서로 이등분한다는 증거

평행사변형의 대각선이 서로 이등분한다는 것을 증명하기 위해 합동삼각형을 사용한다.

\displaystyle \angle ABE \cong \angle CDE

(내부 각도가 동일함)

\angle BAE\cong \angle DCE

B

\angle BAE\cong \angle DCE

E

\angle BAE\cong \angle DCE

\angle BAE\cong \angle DCE

C

E

\

displaystyle

\

angle BAE

\

cong

\ angle

DCE

（

\angle BAE\cong \angle DCE

ateate angles angles내각은 동일).

(이는 횡선이 AB와 DC를 평행선으로 만드는 각도이기 때문입니다).

또, 평행사변형의 대향변은 길이가 같기 때문에, 변 AB는 변 DC와 길이가 같다.

따라서, 삼각형 ABE와 CDE는 합동이다(ASA 공식, 두 개의 대응하는 각도와 포함된 변).

그러므로,

AE=CE

(\displaystyle BE=DE)

대각선 AC와 BD는 같은 길이의 세그먼트로 나누기 때문에 대각선은 서로 이등분합니다.

이와는 별도로 대각선 AC와 BD는 점 E에서 서로 이등분하므로 점 E는 각 대각선의 중간점이 된다.