스피너 구형 고조파

양자역학에서 스피너 구형 고조파^[1](스핀 구형 고조파,^[2] 스피너 고조파^[3], 파울리 스피너로도^[4] 알려져 있다)는 구체 위에 정의된 특수 함수다.스피너 구형 고조파들은 벡터 구형 고조파들의 자연스러운 스피너 아날로그다.표준 구면 고조파는 각운동량 연산자의 기초가 되는 반면, 스피너 구면 고조파는 총각운동량 연산자(사각형 운동량 + 스핀)의 기초가 된다.이러한 함수는 방사상 전위의 Dirac 방정식에 대한 해석적 해법에 사용된다.^[3]스피너 구형 고조파들은 스핀-오빗 상호작용을 가진 수소 원자의 용액에 그들을 고용한 볼프강 파울리에게 경의를 표하여 때때로 파울리 중심장 스피너라고 불린다.^[1]

특성.

스피너 구형 고조파 Y는_{l, s, j, m} 다음 각운동량 연산자 제곱의 스피너 고유상태다.

${\displaystyle {\displaysty}\mathbf {j} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=j(j+1)Y_{l,s,j,m}\\mathrm {j} _{\mathrm {z}{{l,s,j,m}&=mY_{l,s,j,m}\;\m=j,-(j-1);\cdots,j-1,j\\\mathbf {l}{2}Y_{l,s,j,m}&=l(l+1)Y_{l,s,j,m}\\\mathbf {s} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=s(s+1)Y_{l,s,j,m}\end{aigned}}}$

여기서 j = l + s, 여기서 j, l 및 s는 (무진) 총, 궤도 및 스핀 각도 운동량 연산자, j는 총 방위 양자수, m은 총 자기 양자수다.

패리티 작전 하에서

${\displaystyle PY_{l,sj,m}=(-1)^{l}Y_{l,s,j,m}.}$

스핀-프로그래밍 시스템의 경우, 다음과^[1][3] 같이 매트릭스 형태로 제공된다.

${\displaystyle Y_{j\pm {\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},j,m}={\frac {1}{\sqrt {2{\bigl (}j\pm {\frac {1}{2}}{\bigr )}+1}}}{\begin{pmatrix}\mp {\sqrt {j\pm {\frac {1}{2}}\mp m+{\frac {1}{2}}}}Y_{j\pm {\frac {1}{1}:{1}:{m-{\frac {1}:{2}}:\\\sqrt {j\pm {1}{1}:{2}}: 오후 m+{1}:{1}:{1}:{m-{1}2}}:00}Y_{j\pm {\frac {1}{1}:{1}:{m+{\frac {1}{1}:{2}}:}\end{pmatrix}}.}$

여기서 $Y{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle l_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 일반적인$$ 구형 고조파다.

참조

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