분해능 집합

선형 대수학 및 연산자 이론에서, 선형 연산자의 분해 집합은 연산자가 어떤 의미에서 "잘 행동"하는 복잡한 숫자의 집합이다.해결책 세트는 해결책 형식주의에 중요한 역할을 한다.

정의들

X를 바나흐 공간으로 하고 $L{\displaystyle }$: ${\displaystyle D}$( L${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\colon D(L)\오른쪽$ 화살표 $X}$을(를) 도메인 D${\displaystyle }$( L${\displaystyle }$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D(L)\subseteq X}$을(를) 가진 선형 연산자로 하자$$$.$ id는 X의 ID 연산자를 나타내도록 한다.$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$에 대해$,$ let

${\displaystyle L_{\lambda }=L-\lambda \,\mathrm {id}.}$

복잡한 숫자 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은 다음과 같은 경우 정규값이라고 한다.

1. ${\displaystyle L_{}}$ ${\$$lambda$ $}}}$은(는) 주입식이며, 즉, $이미지$에서 ${\displaystyle L_{}}$\{\$displaystyle$ $L_${\lambda$$$}}}$은(는$)$ $역R{\displaystyle (,}$)을 가지며$,$ $다음$과 같다.
2. 경계 선형 연산자,
3. X의 밀도 하위 공간에 정의된다. 즉, L ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$은$$ 밀도 범위가 있다.

L의 분해능 집합은 L의 모든 정규값 집합이다.

$\\displaystyle \rho(L)=\\\\\lambda \in \mathb {C} \mid \lambda {\mbox{는 }}}의 정규 값이다.}$

스펙트럼은 분해자 집합의 보완물이다.

$\displaystyle \sigma(L)=\mathb {C} \setminus \rho(L).}$

스펙트럼은 점/분해 스펙트럼(조건 1이 실패하는 경우), 연속 스펙트럼(조건 1과 3은 유지하지만 조건 2는 실패하는 경우) 및 잔류/압축 스펙트럼(조건 1은 유지하지만 조건 3은 실패하는 경우)으로 분해될 수 있다.

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 폐쇄 연산자인 경우 각 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$도$($가) 그러하며 조건 3은 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$이(가) 과(가) 과부과(과(과)가$$)를 요하는 것으로 대체할 수 있다.

특성.

• 경계 선형 연산자 L의 분해능 집합 ${\displaystyle \rho \mathbb{}}$( ${\displaystyle L}$) ${\displaystyle \subseteq }$ C ${\$}은(는) 열린 집합이다.
• 보다 일반적으로, 밀도 있게 정의되는 폐쇄형 언바운드 연산자의 분해능 집합은 오픈 집합이다.

참조

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0.MR2028503 (제8.3절 참조)

외부 링크

• Voitsekhovskii, M.I. (2001) [1994], "Resolvent set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

참고 항목

• 형식주의를 해소하다
• 스펙트럼(기능분석)
• 스펙트럼 분해(기능분석)