사인과 코사인

사인과 코사인
사인과 코사인
일반정보
일반정의
응용분야	삼각법, 푸리에 급수 등

수학에서 사인과 코사인은 각도의 삼각함수입니다.예각의 사인과 코사인은 직각 삼각형의 맥락에서 정의됩니다. 지정된 각도에 대해 사인은 삼각형의 가장 긴 변의 길이와 반대인 변의 길이의 비율입니다(빗변). 코사인은 옆 다리의 길이와 빗변의 길이의 비율입니다.각도 θ $\theta$ 의 경우 $\theta$ 사인 및 코사인 함수는 단순히 $\sin \theta$ ⁡ θ $\sin \theta$ 및 $\cos \theta$ ⁡ θ $\cos \theta$ 로 표시됩니다 $\cos \theta$

일반적으로 사인 및 코사인의 정의는 단위 원의 특정 선분의 길이 측면에서 임의의 실제 값으로 확장할 수 있습니다.더 현대적인 정의는 사인과 코사인을 무한급수로 표현하거나 특정 미분 방정식의 해로 표현하여 임의의 양과 음의 값, 심지어 복소수까지 확장할 수 있게 합니다.

사인 함수와 코사인 함수는 소리와 광파, 고조파 진동자의 위치와 속도, 햇빛의 세기와 낮의 길이, 연중 평균 온도 변화와 같은 주기적 현상을 모델링하는 데 일반적으로 사용됩니다.그것들은 굽타 시대 동안 인도 천문학에서 사용되었던 jyā와 ko ṭi-jyā 함수로 추적될 수 있습니다.

표기법

sin과 cosine은 sin과 cos라는 약어와 함께 함수 표기를 사용하여 작성됩니다.

종종 인수가 충분히 간단하면 함수 값이 괄호 없이 $sin($ θ)이 아닌 $sin$ θ로 쓰여집니다 $.$

사인과 코사인 각각은 각도의 함수이며, 일반적으로 라디안 또는 도로 표현됩니다.명시적으로 달리 명시된 경우를 제외하고, 본 문서에서는 각도가 라디안 단위로 측정된다고 가정합니다.

정의들

직각삼각형 정의

예각 α의 사인과 코사인을 정의하려면 측정 각도 α가 포함된 직각 삼각형부터 시작합니다. 첨부된 그림에서 삼각형 ABC의 각도 α는 관심 각도입니다.삼각형의 세 변의 이름은 다음과 같습니다.

반대쪽은 관심 각도와 반대쪽입니다. 이 경우 a면입니다.
빗변은 직각의 반대쪽, 이 경우 h변입니다.빗변은 항상 직각 삼각형의 가장 긴 변입니다.
인접한 면은 나머지 면, 이 경우 b 면입니다.관심 각도(각도 A)와 직각의 한 변(근접)을 형성합니다.

이러한 삼각형을 선택하면 각도의 사인은 반대쪽의 길이와 같고 빗변의 길이로 나눕니다.^[2]

\sin(\alpha )={\frac {\textrm {hypot}}{\textrm {oppositeenuse}}}\qquad \cos(\alpha )={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}

각도의 다른 삼각함수도 유사하게 정의할 수 있습니다. 예를 들어, 접선은 반대쪽과 인접한 쪽 사이의 비율입니다.^[2]

명시된 바와 같이, $\sin(\alpha )$ ⁡ $\sin(\alpha )$ ( $\sin(\alpha )$ $\sin(\alpha )$ 및 $\cos(\alpha )$ ⁡ $\cos(\alpha )$ ( $\cos(\alpha )$ $\cos(\alpha )$ 의 값은 측정 각도 α를 포함하는 직각 삼각형의 선택에 따라 달라집니다.그러나 그렇지 않습니다. 이러한 삼각형은 모두 비슷하므로 각 삼각형에 대한 비율은 동일합니다.

단위 원 정의

삼각법에서 단위 원(unit circle)은 직교 좌표계에서 원점(0, 0)에 중심을 둔 반지름 1의 원입니다.

원점을 통과하는 선이 단위 원과 교차하도록 하여 x축의 양의 반과 θ의 각도를 만듭니다.이 교점의 x-좌표와 y-좌표는 각각 $cos($ θ $)$ 와 $sin($ θ)과 같습니다.이 정의는 단위 $0<\theta <{\frac {\pi }{2}}$ 의 빗변 $0<\theta <{\frac {\pi }{2}}$ 가 $0<\theta <{\frac {\pi }{2}}$ 1이므로 0 < π < θ 2 ${\$ displaystyle 0 $<\frac {\pi$ 2}}일 때 사인과 $코사인$ 의 직각 삼각형 정의와 일치합니다. $\sin(\theta )={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {\text{opposite}}{1}}={\text{opposite}}$ ( $\sin(\theta )={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {\text{opposite}}{1}}={\text{opposite}}$ ) $\sin(\theta )={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {\text{opposite}}{1}}={\text{opposite}}$ $\sin(\theta )={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {\text{opposite}}{1}}={\text{opposite}}$ $\sin(\theta )={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {\text{opposite}}{1}}={\text{opposite}}$ $\sin(\theta )={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {\text{opposite}}{1}}={\text{opposite}}$ = $\sin(\theta )={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {\text{opposite}}{1}}={\text{opposite}}$ ${\displaystyle \sin(\thet$ ) = {\ $frac {\t$ }}}={\frac ${\t$ site $}}$ }}={\ $t$ site $}}.$ 삼각형의 반대쪽 길이는 단순히 y좌표입니다.단위 원을 사용한 새로운 정의 하에서도 $0<\theta <{\frac {\pi }{2}}$ < $0<\theta <{\frac {\pi }{2}}$ θ < $0<\theta <{\frac {\pi }{2}}$ π $0<\theta <{\frac {\pi }{2}}$ ${\displaystyle$ $\cos(\theta)$ = ${\frac {\text$ {adjacent $}}{\text$ {hypotenuse $}}}}$ 일 때 $\cos(\theta )={\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}$ ⁡ ${\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$ θ $\cos(\theta )={\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}$ = $\cos(\theta )={\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}$ 한 빗변 ${\$ $displaystyle$ \ $cos$ (\ $theta$ )} { {\text ${pi}}$ 임을 나타내는 코사인 함수도 유사한 인수를 할 수 있습니다. 그런 다음 $tan($ θ $)$ 은 ${\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$ ⁡ ${\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$ θ ${\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$ ${\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$ ⁡ ${\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$ θ ${\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$ ${\dis$ 로 정의됩니다. $playstyle {\frac {\sin(\theta)}{\cos(\theta)}},$ 또는 이와 동등하게 선분의 기울기를 나타냅니다.

단위 원 정의를 사용하면 각도를 실제 인수로 확장할 수 있다는 장점이 있습니다.이는 특정 대칭을 필요로 하며 사인은 주기적인 함수가 됨으로써 달성할 수 있습니다.

복잡한 지수 함수 정의

지수 함수 $e^{z}$ ${\$ 는 복소수의 전체 도메인에 정의됩니다 $e^{z}$ .사인과 코사인의 정의는 다음을 통해 모든 복소수로 확장될 수 있습니다.

\sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}

\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}

오일러 공식을 제공하기 위해 이들을 되돌릴 수 있습니다.

e^{iz}=\cos z+i\sinz

e^{-iz}=\cos z-i\sinz

복소 평면에 표시하면 $x$ $x$ 의 실수 값에 대한 $e^{ix}$ 함수 $e^{ix}$ ${\$ e $^{ix}$ 가 복소 평면에서 단위 원을 추적합니다 $x$ .

$x$ $x$ 가 실수일 $x$ 때 사인 및 코사인은 다음과 같이 $e^{ix}$ $e^{ix}$ ${\$ e $^{ix}$ 또는 $e^{ix}$ $e^{-ix}$ - $e^{-ix}$ ${\$ 의 허수 및 실수 부분으로 단순화됩니다 $e^{-ix}$

\sin x=\operatorname {Im}(e^{ix})=-\operatorname {Im}(e^{-ix})

\cos x=\operator name {Re}(e^{ix})=\operator 이름 {Re}(e^{-ix})

실수 값 $x$ $x$ 및 $y$ $y$ 에 대해 $z=x+iy$ = $z=x+iy$ + $z=x+iy$ $z=x+iy$ ${\displaystyle$ z = x + $iy}$ 일 때 $y$ 사인과 코사인은 실수, 코사인, 쌍곡선 함수로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

{\begin{aligned}\sin z&=\sin x\coshy+i\cos x\sinhy\[5pt]\cos z&=\cos x\coshy-i\sin x\sinhy\end{aligned}

미분방정식정의

$(\cos \theta ,\sin \theta )$ $(\cos \theta ,\sin \theta )$ ⁡ $y'(\theta )=x(\theta )$ $(\cos \theta ,\sin \theta )$ $(\cos \theta ,\sin \theta )$ ⁡ θ $(\cos \theta ,\sin \theta )$ ${\displaystyle$ $(x(\theta ),y(\theta ))$ $\theta,\$ $(x(\theta ),y(\theta ))$ $\theta )}$ 은 미분방정식 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ $y'(\theta )=x(\theta )$ $(\cos \theta ,\sin \theta )$ $y'(\theta )=x(\theta )$ $(x(\theta ),y(\theta ))$ $x'(\theta )=-y(\theta )$ $(\cos \theta ,\sin \theta )$ $y'(\theta )=x(\theta )$ $x'(\theta )=-y(\theta )$ $y'(\theta )=x(\theta )$ ${\displaystyle$ $(x(\theta ),y(\theta ))$ y $'(\the$ $(\cos \theta ,\sin \theta )$ $a$ $)=$ x $x'(\theta )=-y(\theta )$ $theta$ )} $y'(\theta )=x(\theta )$ 및 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ x' $(\cos \theta ,\sin \theta )$ $=$ $(\cos \theta ,\sin \theta )$ $x'(\theta )=-y(\theta )$ $θ$ $x'(\theta )=-y(\theta )$ ${\displaystyle x'(\the$ $(\cos \theta ,\sin \theta )$ $a$ )=- $y(\theta )}$ 의 초기 조건을 갖는 해입니다. $y(0)=0$ ( $y(0)=0$ = 0 ${\displaystyle y(0$ )= $0},$ x $x(0)=1$ = $x(0)=1$ ${\displaystyle x(0$ )= $1}.$ 위 정의에서 단위 원을 주어진 초기 조건으로 미분 방정식의 위상 공간 궤적을 정의하는 것으로 해석할 수 있습니다 $x(0)=1$

위의 애니메이션은 사인 함수(빨간색)가 단위 원 위의 점(녹색)의 y 좌표(빨간색 점)에서 θ 각도로 어떻게 그래프화되는지 보여줍니다.코사인(파란색)은 x좌표입니다. $y'(\theta )=x(\theta )$ 조건 $y(0)=0$ (0) = 0 ${\displaystyle y'$ ) = $y'(\theta )=x(\theta )$ $(\theta)}$ 및 $x'(\theta )=-y(\theta )$ $x'(\theta )=-y(\theta )$ (θ $x'(\theta )=-y(\theta )$ = - $x'(\theta )=-y(\theta )$ (θ $x'(\theta )=-y(\theta )$ ${\displaystyle$ x' $(\theta$ ) = - y $(\theta)}$ 에서 시작하는 초기 조건 y ( $y(0)=0$ = $y(0)=0$ ${\displaystyle y(0$ ) = 0 $x(0)=1$ $x(0)=1$ $x(0)=1$ (0 $)$ = 1 {\ $displaystyle$ x $(0$ ) = $1}$ 의 위상 공간 궤적으로 해석할 수 있습니다 $x(0)=1$

영상 시리즈 정의

사인 함수(파란색)는 원점을 중심으로 하는 전체 주기에 대해 차수 7(분홍색)의 테일러 다항식으로 근사됩니다.

이 애니메이션은 테일러 영상 시리즈의 부분 합에 점점 더 많은 항을 포함하는 것이 사인 곡선에 어떻게 접근하는지 보여줍니다.

0에서 평가되는 사인의 연속 도함수는 테일러 급수를 결정하는 데 사용될 수 있습니다.기하학적 구조와 극한의 성질만을 사용하면 사인의 도함수는 코사인이고 코사인의 도함수는 사인의 음이라는 것을 알 수 있습니다.이것은 sin(x)의 연속 도함수가 cos(x), -sin(x), -cos(x), sin(x)이며 이 네 가지 함수를 계속 반복한다는 것을 의미합니다.(4n+k)번째 도함수, 점 0에서 평가:

\sin ^{(4n+k)}(0)={\begin{case}0&{\text{when}}}k=0\1&{\text{when }}k=1\0&{\text{when }k=2\-1&{when }k=3\end{case}

위첨자는 반복되는 차별화를 나타냅니다.이는 x = 0에서 다음과 같은 테일러 급수 확장을 의미합니다.그런 다음 테일러 급수 이론을 사용하여 다음 항등식이 모든 실수 x(여기서 x는 라디안 단위의 각도)에 대해 성립함을 보여줄 수 있습니다.^[3]^{[full citation needed]}

{\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}}x^{2n+1}\[8pt]\end{aligned}

각 항의 도함수를 취하면 코사인에 대한 테일러 급수는 다음과 같습니다.

{\begin{aligned}\cos(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}:x^{2n}\[8pt]\end{aligned}

연속 분율 정의

사인 함수는 일반화된 연속 분율로 나타낼 수도 있습니다.

{\displaystyle \sin(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}}{2\cdot 3-x^{2}}{{4\cdot 5-x^{2}+{\cdot 5-x^{2}}{{4\cdot 5-x^{2}}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots}}}}}.

{\displaystyle \cos(x)={{\cfrac {1}{1+{\cdot {x^{2}}}{{1\cdot 2-x^{2}}{{3\cdot 4-x^{2}}{{3\cdot 4-x^{2}}{{5\cdot 6-x^{2}+}}}}}}.

연속 분수 표현은 오일러의 연속 분수 공식에서 유도될 수 있으며 사인 함수와 코사인 함수의 유리수와 비합리수 값을 모두 표현할 수 있습니다.

아이덴티티

정확한 ID(레이디언 사용):

θ ${\displaystyle$ \ $theta$ 의 $\theta$ 모든 값에 적용됩니다.

\sin(\theta )=\cos \left ({\frac {\pi}{2}-\theta \right)=\cos \left(\theta -{\frac {\pi}{2}\right)

\cos(\theta )=\sin \left ({\frac {\pi}{2}}-\theta \right)=\sin \left(\theta +{\frac {\pi}{2}\right)

호혜성

사인의 역수는 공변, 즉 $\sin {\theta }$ ⁡ θ $\sin {\theta}$ 의 역수는 $\csc {\theta }$ ⁡ θ $\csc {\theta}$ 입니다 $\csc {\theta }$ 공변은 반대쪽 길이에 대한 빗변의 길이의 비율을 제공합니다.마찬가지로 코사인의 역수는 인접한 변의 길이에 대한 빗변의 길이의 비율을 제공하는 secant입니다.

\csc {\theta}={\frac {1}{\sin {\theta}}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}

\sec {\theta} = {\frac {1} {\cos {\theta}} = {\frac {\textrm {hypotenuse}} {\textrm {adjacent}}

인버스

사인의 역함수는 아크사인(호신 또는 사인) 또는 역사인( $사인 -1$ )입니다.코사인의 역함수는 아르코신(arccos, acos 또는 $cos -1$ )입니다.( $sin$ 과⁻¹ $cos$ 의⁻¹ -1 위첨자는 지수화가 아닌 함수의 역을 나타냅니다.)사인과 코사인은 주입형이 아니기 때문에 그 역은 정확한 역함수가 아니라 부분 역함수입니다.예를 들어 $sin(0)$ = $0$ 이지만 $sin($ π $)$ = $0$ , $sin($ 2π) = $0$ 등입니다.아크신 함수는 $arcsin(0)$ = $0뿐$ 만 아니라 $arcsin(0)$ =π, $arcsin(0)$ = 2 π 등의 다중값을 갖습니다.하나의 값만 원하는 경우 함수는 주 분기로 제한될 수 있습니다.이 제한을 사용하면 도메인의 각 x에 대해 $arcsin$ ( $x)$ 식을 주 값이라고 하는 단일 값으로만 평가합니다.아크신의 주값의 표준 범위는 - π $/2$ ~ π $/2$ 이고 아크신의 표준 범위는 $0$ ~ π입니다.

\theta =\arcsin \left ({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}\right)=\arcos \left ({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}\right)

여기서 (일부 정수 k의 경우):

{\begin{aligned}\sin(y)=x\iff &y=\arcsin(x)+2\pi, {\text{ or }}\&y=\arcsin(x)+2\pi -\cos(y)=x\iff &y=\arcos(x)+2\pi, {\text{ or }}\&y=-\arcos(x)+2\pi k\end{aligned}

정의에 따라 아크신과 아크코는 다음을 만족합니다.

\sin(x))=x\qquad \cos(\arccos(x))=x

그리고.

{\begin{aligned}\arcsin(\theta )=\theta \quad &{\text{for}}\quad -{\frac {\pi}{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}\\arcos(\theta )=\theta \quad &{\text{for}\leq \pi \end{aligned}

피타고라스 삼각형 항등식

사인과 코사인 사이의 기본적인 관계는 피타고라스 삼각형 항등식입니다.^[1]

\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1

여기서 sin²(x)는 (sin(x))²을 의미합니다.

이중각 공식

사인과 코사인은 다음과 같은 이중각 공식을 만족합니다.

\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )

\cos(2\theta )=\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )=2\cos ^{2}(\theta )-1-2\sin ^{2}(\theta )

사인 함수는 파란색, 사인 제곱 함수는 빨간색입니다.X축은 라디안 단위로 표시됩니다.

코사인 이중각 공식은 sin과² cos가² 자체적으로 이동 및 스케일된 사인파임을 의미합니다.구체적으로.^[4]

\sin ^{2}(\theta )={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}\qquad \cos ^{2}(\theta )={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}

그래프에는 사인 함수와 사인 제곱 함수가 모두 표시되며 사인은 파란색, 사인은 빨간색으로 표시됩니다.두 그래프의 모양은 같지만 값의 범위와 기간은 다릅니다.사인 제곱에는 양의 값만 있지만 주기 수는 두 배입니다.

도함수 및 적분

사인과 코사인의 도함수는 다음과 같습니다.

{\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)\qquad {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)

그리고 그들의 유도체는 다음과 같습니다.

\int \sin(x)\, dx=-\cos(x)+C

\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C

여기서 C는 적분 상수를 나타냅니다.^[1]

사분면과 관련된 속성

아래 표에는 인수의 사분면별로 배열된 사인 함수의 많은 주요 속성(부호, 단조성, 볼록성)이 표시되어 있습니다.표의 내용 이외의 인수에 대해서는 사인 함수의 $\sin(\alpha +2\pi )=\sin(\alpha )$ ⁡ $\sin(\alpha +2\pi )=\sin(\alpha )$ $\sin(\alpha +2\pi )=\sin(\alpha )$ 2 $\sin(\alpha +2\pi )=\sin(\alpha )$ π) $\sin(\alpha +2\pi )=\sin(\alpha )$ = $\sin(\alpha +2\pi )=\sin(\alpha )$ ⁡ $)$ {\ $displaystyle \sin(\alpha +$ 2\pi)=\ $sin(\alpha )}$ 를 사용하여 해당 정보를 계산할 수 있습니다.

사분면	각		사인			코사인
사분면	도	라디안스	서명하다	단조성	볼록성	서명하다	단조성	볼록성
1사분면, I	$0^{\circ}<x<90^{\circ}$	$0<x<{\frac {\pi}{2}}$	$+$	증가하는	오목한	$+$	감소하는	오목한
2사분면, II	$90^{\circ}<x<180^{\circ}$	${\frac {\pi}{2}}<x<\pi$	$+$	감소하는	오목한	$-$	감소하는	볼록한
삼사분면, III	$180^{\circ}<x<270^{\circ}$	$\pi <x<\frac {3\pi}{2}}$	$-$	감소하는	볼록한	$-$	증가하는	볼록한
사사분면, IV	$270^{\circ}<x<360^{\circ}$	${\frac {3\pi}{2}}<x<2\pi$	$-$	증가하는	볼록한	$+$	증가하는	오목한

다음 표는 사분면 경계의 기본 정보를 제공합니다.

도	라디안스	$\sin(x)$		$\cos(x)$
도	라디안스	가치	포인트타입	가치	포인트타입
$0^{\circ}$	$0$	$0$	근, 변곡	$1$	최대
$90^{\circ}$	${\frac {\pi}{2}$	$1$	최대	$0$	근, 변곡
$180^{\circ}$	$\pi$	$0$	근, 변곡	$-1$	최소값
$270^{\circ}$	${\frac {3\pi}{2}$	$-1$	최소값	$0$	근, 변곡

고정점

0은 사인 함수의 유일한 실수 고정점입니다. 즉, 사인 함수와 항등 함수의 유일한 교집합은 $\sin(0)=0$ ⁡ $\sin(0)=0$ ( $\sin(0)=0$ = 0 ${\displaystyle \sin(0$ )= $0}$ 입니다 $\sin(0)=0$ 코사인 함수의 유일한 실수 고정점을 도티 수라고 합니다.즉, 도티 수는 방정식 $\cos(x)=x.$ ⁡ $\cos(x)=x.$ ( $\cos(x)=x.$ = $\cos(x)=x.$ 의 고유한 실수근입니다 $\cos(x)=x.$ ${\displaystyle \cos(x$ ) = $x.}$ $\cos(x)=x.$ 도티 번호의 소수 확장은 $0.739085\ldots$ … $0.739085\ldots$ 입니다 $0.739085\ldots$ ^[5]

호 길이

$0$ $0$ 과 $0$ (와) $t$ $t$ 사이의 사인 곡선의 호 길이는 $t$

\int_{0}^{t}\!{\sqrt {1+\cos ^{2}(x)}\, dx= {\sqrt {2}}\연산자 이름 {E}(t,1/{\sqrt {2}}),

여기서 $\operatorname {E} (\varphi ,k)$ ⁡ $\operatorname {E} (\varphi ,k)$ (φ $\operatorname {E} (\varphi ,k)$ $\operatorname {E} (\varphi ,k)$ $\operatorname {E} (\varphi,k)$ 는 모듈러스 $k$ 가 $k$ 인 두 번째 종류의 불완전한 타원 적분입니다 $k$ 기본 함수를 사용하여 표현할 수 없습니다.

전체 주기의 호 길이는 다음과^[6] 같습니다.

L={\frac {4{\sqrt {2\pi ^{3}}}{\Gamma(1/4)^{2}}}+{\frac {\Gamma(1/4)^{2}}{\sqrt {2\pi }}={\frac {2\pi }{\varpi }+2\varpi =7. 64039578\ldots

여기서 γ $\Gamma$ 은(는) 감마 함수이고 ϖ $\varpi$ {\ $displaystyle$ \ $varpi}$ 은(는) 렘니스케이트 상수입니다.

법칙들

정소의 법칙에 따르면 변 a, b, c와 그 변 A, B, C와 반대인 각도를 갖는 임의의 삼각형에 대해 다음과 같습니다.

{\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}

이는 아래의 처음 세 식의 동일성에 해당합니다.

{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,

여기서 R은 삼각형의 원반지름입니다.

삼각형을 두 개의 오른쪽으로 나누고 사인의 위 정의를 사용하여 증명할 수 있습니다.사인의 법칙은 두 개의 각도와 한 개의 변이 알려진 경우 삼각형에서 미지의 변의 길이를 계산하는 데 유용합니다.이것은 두 개의 각도와 접근 가능한 밀폐 거리를 측정하여 알려지지 않은 거리를 결정하는 기술인 삼각측량에서 흔히 발생하는 상황입니다.

코사인의 법칙에 따르면, 변 a, b, c와 그 변 A, B, C와 반대인 각도를 갖는 임의의 삼각형에 대해 다음과 같습니다.

a^{2}+b^{2}-2ab\cos(C)=c^{2}

$C=\pi /2$ = π $C=\pi /2$ / $C=\pi /2$ ${\displaystyle$ C=\ $pi$ /2 $}$ 인 경우 $C=\pi /2$ $\cos(C)=0$ ⁡ $\cos(C)=0$ = 0 ${\displaystyle \cos(C$ )= 0 $}$ 이고 이것이 피타고라스 정리가 됩니다: 직각 삼각형의 경우, a $a^{2}+b^{2}=c^{2},$ + $a^{2}+b^{2}=c^{2},$ $2$ = $a^{2}+b^{2}=c^{2},$ $a^{2}+b^{2}=c^{2},$ $a^{2$ + b $^{2$ $=$ $c^{2},$ 여기서 c는 빗변입니다.

특수값

15°의 정수 배수(즉, π $\textstyle {\frac {\pi }{12}}$ $\textstyle {\frac {\pi}{12}$ 라디안)의 경우 sin(x) 및 cos(x) 값은 특히 단순하며 ${\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}$ ${\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}$ ${\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}},$ {\ $sqrt {$ 3}}, ${\sqrt {6}}$ 로만 표현할 수 있습니다.이 각도의 표는 아래에 나와 있습니다.더 복잡한 각도 표현은 정확한 삼각법 값 § 공통 각도를 참조하십시오.

각도, x				죄악(x)		cos(x)
도	라디안스	그라디언스	턴스	정확한	십진법	정확한	십진법
0°	0	0^g	0	0	0	1	1
15°	1/12 $π$	16+2/3^g	1/24	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}{4}$	0.2588	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}{4}$	0.9659
30°	1/6 $π$	33+1/3^g	1/12	1/2	0.5	${\frac {\sqrt {3}}{2}$	0.8660
45°	1/4 $π$	50^g	1/8	${\frac {\sqrt {2}}{2}$	0.7071	${\frac {\sqrt {2}}{2}$	0.7071
60°	1/3 $π$	66+2/3^g	1/6	${\frac {\sqrt {3}}{2}$	0.8660	1/2	0.5
75°	5/12 $π$	83+1/3^g	5/24	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}{4}$	0.9659	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}{4}$	0.2588
90°	1/2 $π$	100^g	1/4	1	1	0	0

90도 증분:

도 단위로 x	0°	90°	180°	270°	360°
라디안 단위의 x	0	$π$ /2	$π$	3 $π$ /2	2개
싱곤	0	100^g	200^g	300^g	400^g
x번씩	0	1/4	1/2	3/4	1
죄악의	0	1	0	−1	0
cos x	1	0	−1	0	1

복소수와의 관계

사인과 코사인은 복소수의 실수부와 허수부를 극좌표(r, φ)와 연결하는 데 사용됩니다.

z=r(\cos(\varphi))+i\sin(\varphi))

실제 부분과 가상 부분은 다음과 같습니다.

\operatorname {Re}(z)=r\cos(\varphi )

\operatorname {Im}(z)=r\sin(\varphi )

여기서 r과 φ는 복소수 z의 크기와 각도를 나타냅니다.

임의의 실수 θ에 대하여 오일러 공식은 다음과 같이 말합니다.

e^{i\theta} =\cos(\theta )+i\sin(\theta )

따라서 z의 극좌표가 (r, φ)이면 $z=re^{i\varphi }.$ = $z=re^{i\varphi }.$ φ $z=re^{i\varphi }.$ ${\displaystyle$ z= $re^{i\varphi}}$

복잡한 인수

사인과 코사인의 급수 정의를 복잡한 인수 z에 적용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

{\begin{aligned}\sin(z)&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\&={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}\&=-i\sinh \left(iz\right)\\\cos(z)&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}\&=\cosh(iz)\\\\end{aligned}

여기서 sinh와 cosh는 쌍곡사인과 코사인입니다.이것이 전체 기능입니다.

또한 복잡한 사인 함수와 코사인 함수를 인수의 실수부와 허수부로 표현하는 것도 유용합니다.

{\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\\cos(x+iy)&=\cos(x)\cos(iy)-\sin(x)\sin(iy)\\&=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\end{aligned}

복소사인의 부분분율 및 곱 전개

복소해석학에서 부분분율 확장 기법을 사용하면 무한급수를 발견할 수 있습니다.

\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z-n}}={\frac {1}{z}}-2z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{{n^{2}-z^{2}}}

둘 다 수렴하고 ⁡에서 ${\textstyle {\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}$ π(π ${\textstyle {\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi}{\sin(\piz$ 마찬가지로 다음을 보여줄 수 있습니다.

{\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\piz)}}=\sum _{n=-\infty}^{\infty}{\frac {1}{(z-n)^{2}}}

제품 확장 기술을 사용하여 도출할 수 있습니다.

\sin(\piz)=\pizz\prod _{n=1}^{\infty}}\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}\right).

또는 사인에 대한 무한 곱은 복소 푸리에 급수를 사용하여 증명할 수 있습니다.

사인에 대한 무한 곱의 증명

복소 푸리에 급수를 사용하면 함수 $\cos(zx)$ ⁡ $\cos(zx)$ x ) $\cos(zx)$ 을(를) 다음과 같이 분해할 수 있습니다.

\cos(zx)={\frac {z\sin(\pi)}}\displaystyle \sum _{n=-\infty}^{\infty}}{\frac {(-1)^{n}\,e^{inx}}{z^{2}-n^{2}},\,z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z},\,x\in [-\pi],\pi

$x=\pi$ = π ${\displaystyle$ x =\ $pi}$ 수율 설정

{\displaystyle \cos(\pi z)={\frac {z\sin(\pi z)}{\pi }}\displaystyle \sum _{n=-\infty}^{\infty}{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}={\frac {z\sin(\pi z)}{\pi }}\left ({\frac {1}{z^{2}}+2\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}\right}.

그래서 우리는

\pi \cot(\piz)={\frac {1}{z}}+2\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {z}{z^{2}-n^{2}}}

함수 π $\pi \cot(\pi z)$ ⁡ $\pi \cot(\pi z)$ π z $\pi \cot(\pi z)$ ) $\pi \cot(\pizz)$ 는 ln ⁡ $\ln(\sin(\pi z))+C_{0}$ ( $\ln(\sin(\pi z))+C_{0}$ ⁡ $\ln(\sin(\pi z))+C_{0}$ z $\ln(\sin(\pi z))+C_{0}$ ) $\ln(\sin(\pi z))+C_{0}$ + $\ln(\sin(\pi z))+C_{0}$ $\ln(\sin(\pi z))+C_{0}$ ${\displaystyle \ln(\sin(\pizz))$ 의 파생형입니다. $+C_{0$ 또한, 만약 ${\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {z}{z^{2}-n^{2}}}}$ f ${\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {z}{z^{2}-n^{2}}}}$ ${\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {z}{z^{2}-n^{2}}}}$ z = ${\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {z}{z^{2}-n^{2}}}}$ ${\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {z}{z^{2}-n^{2}}}}$ ${\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {z}{z^{2}-n^{2}}}}$ - ${\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {z}{z^{2}-n^{2}}}}$ n 2 ${\textstyle {\frac$ { $df}{$ dz}}={\ $frac {z}{$ z^{ $2}-n^{2}}}}}$ 인 경우 ${\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {z}{z^{2}-n^{2}}}}$ 출현한 급수가 $\mathbb {C}$ $\mathbb {C$ 의 일부 열린 부분집합에 수렴하도록 하는 $f$ f $f$ 는 ${\textstyle f={\frac {1}{2}}\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)+C_{1}}$ = ${\textstyle f={\frac {1}{2}}\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)+C_{1}}$ ${\textstyle f={\frac {1}{2}}\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)+C_{1}}$ ⁡ ${\textstyle f={\frac {1}{2}}\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)+C_{1}}$ ( ${\textstyle f={\frac {1}{2}}\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)+C_{1}}$ - ${\textstyle f={\frac {1}{2}}\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)+C_{1}}$ 2 ${\textstyle f={\frac {1}{2}}\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)+C_{1}}$ ${\textstyle f={\frac {1}{2}}\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)+C_{1}}$ ) ${\textstyle f={\frac {1}{2}}\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)+C_{1}}$ + ${\textstyle f={\frac {1}{2}}\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)+C_{1}}$ 1 ${\textstyle$ f = {\ $frac {1}{2}}\ln \left(1-{\frac {z^{2}}\right)+$ $C_{1$ 이는 Weiersstrass M-검정을 사용하여 증명할 수 있습니다.합과 도함수의 교환은 균일한 수렴에 의해 정당화됩니다.다음과 같습니다.

\ln(\sin(\piz))=\ln(z)+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}}\ln \left(1-{\frac {z^{2}}}{n^{2}}\right)+C.

지수화하는 것은

\sin(\piz)=ze^{C}\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty}}\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}\right).

${\textstyle \lim _{z\to 0}{\frac {\sin(\pi z)}{z}}=\pi }$ ${\textstyle \lim _{z\to 0}{\frac {\sin(\pi z)}{z}}=\pi }$ → ${\textstyle \lim _{z\to 0}{\frac {\sin(\pi z)}{z}}=\pi }$ ${\textstyle \lim _{z\to 0}{\frac {\sin(\pi z)}{z}}=\pi }$ ⁡ ${\textstyle \lim _{z\to 0}{\frac {\sin(\pi z)}{z}}=\pi }$ π z ${\textstyle \lim _{z\to 0}{\frac {\sin(\pi z)}{z}}=\pi }$ ) ${\textstyle \lim _{z\to 0}{\frac {\sin(\pi z)}{z}}=\pi }$ = π ${\textstyle \lim _{z\to 0}{\frac {\sin(\piz)}{z$ }}=\ $pi}}$ 및 ${\textstyle \lim _{z\to 0}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)=1}$ ${\textstyle \lim _{z\to 0}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)=1}$ → ${\textstyle \lim _{z\to 0}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)=1}$ ∏ ${\textstyle \lim _{z\to 0}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)=1}$ = ${\textstyle \lim _{z\to 0}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)=1}$ ∞ ${\textstyle \lim _{z\to 0}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)=1}$ ( ${\textstyle \lim _{z\to 0}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)=1}$ - ${\textstyle \lim _{z\to 0}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)=1}$ 2 ${\textstyle \lim _{z\to 0}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)=1}$ ${\textstyle \lim _{z\to 0}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)=1}$ ) ${\textstyle \lim _{z\to 0}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)=1}$ = 1 ${\textstyle \lim _{z\to$ 0 $}\$ prod $_{n$ = $1}^{\infty }\left(1$ - ${\frac {z^{2}}}{n^{2}}\right$ )= $1}$ 이므로 ${\textstyle \lim _{z\to 0}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)=1}$ $e^{C}=\pi$ $e^{C}=\pi$ = π ${\displaystyle e^{C$ }=\ $pi}$ 가 있습니다 $e^{C}=\pi$ 따라서

\sin(\piz)=\piz\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty}}\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}\right)

$\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ 의 일부 열린 부분 집합과 연결된 부분 집합의 경우 $\mathbb {C}$ ${\textstyle a_{n}(z)=-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}}$ ( ${\textstyle a_{n}(z)=-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}}$ = ${\textstyle a_{n}(z)=-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}}$ - z ${\textstyle a_{n}(z)=-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}}$ n ${\textstyle a_{n}(z)=-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}}$ ${\textstyle a_{n}(z$ )=-{\ $frac {z^{2}}{n^{2}}}}.$ ∑ n = ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}(z)|}$ ∞ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}(z)|}$ ( ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}(z)|}$ $textstyle \sum _{n$ = $1}^{\infty$ } $a_{n}(z)}$ 가 닫힌 디스크에서 균일하게 수렴하므로, $=$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n}(z))}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n}(z))}$ ( ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n}(z))}$ + ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n}(z))}$ ( ${\textst$ 도 닫힌 디스크에서 균일하게 수렴합니다.무한 곱은 $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ 에서 동형임을 알 수 있습니다 $\mathbb {C}$ 항등식 정리에 의해 사인에 대한 무한 곱은 모든 $z\in \mathbb {C}$ ∈ $z\in \mathbb {C}$ $z\in \mathbb {C$ 에 대해 유효하며 $z\in \mathbb {C}$ 이것은 증명을 완성합니다. ${\$

복소사인의 사용

sin(z)는 감마 함수에 대한 함수식에서 발견됩니다.

\Gamma(s)\Gamma(s)={\pi \over \sin(\pis)}

리만 제타 함수에 대한 함수 방정식에서 찾을 수 있습니다.

\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin \left ({\frac {\pi}{2}s\right)\zeta(1-s)

동형 함수로서, sinz는 라플라스 방정식의 2차원 해입니다.

\Deltau(x_{1},x_{2})=0.

복잡한 사인 함수는 진자의 레벨 곡선과도 관련이 있습니다.^[how?]^[9]^{[better source needed]}

복잡한 그래프

**복소 평면에서 사인 함수**

실물부품	허수성분	규모의

**복소 평면에서의 아크신 함수**

실물부품	허수성분	규모의

역사

삼각법의 초기 연구는 고대로 거슬러 올라갈 수 있지만, 오늘날 사용되고 있는 삼각법 함수는 중세 시대에 개발되었습니다.화음의 기능은 니케아의 히파르코스 (기원전 180–125)와 로마 이집트의 프톨레마이오스 (기원전 90–165)에 의해 발견되었습니다.^[10]

사인 함수와 코사인 함수는 산스크리트어에서 아랍어로, 그리고 아랍어에서 라틴어로 번역을 통해 굽타 시대의 인도 천문학에서 사용된 jyā와 ko ṭi-jā 함수로 추적될 수 있습니다.

현재 사용되는 6개의 삼각함수는 모두 9세기에 이슬람 수학에서 알려졌고 삼각형을 푸는 데 사용되는 사인의 법칙도 마찬가지였습니다.^[12](인도 수학에서 채택된) 사인을 제외한 나머지 다섯 개의 현대 삼각함수는 아랍 수학자들에 의해 코사인, 접선, 코탄젠트, 시컨트, 코탄젠트 등이 발견되었습니다.^[12]알콰리즈미 ī (c. 780–850)는 정강이, 코사인, 접선의 표를 만들었습니다.무함마드 이븐 자비르 알-하란 ī 알-바탄 ī (853–929)는 시맨트와 시맨트의 호혜적인 기능을 발견했고, 1°에서 90°까지의 각 차수에 대한 시맨트의 첫 번째 표를 만들었습니다.

sin, cos, tan이라는 약자를 처음으로 사용한 것은 16세기 프랑스 수학자 알베르 지라르(Albert Girard)에 의해 발표되었습니다.코페르니쿠스의 학생인 게오르크 요아힘 리테쿠스의 삼각함수의 오푸스 팔라티눔 데 삼각함수는 아마도 유럽에서 최초로 삼각함수를 원이 아닌 직각 삼각형의 용어로 직접 정의한 것일 것입니다. 이 연구는 1596년에 리테쿠스의 학생 발렌틴 오토에 의해 완성되었습니다.

1682년에 출판된 논문에서, 라이프니츠는 sin x가 x의 대수함수가 아니라는 것을 증명했습니다.^[15] 로저 코츠는 그의 하모니아 멘수라룸 (1722)에서 사인의 도함수를 계산했습니다.^[16]레온하르트 오일러의 분석학 입문서(1748)는 유럽에서 삼각함수의 분석적 처리를 확립하는 데 주로 기여했으며, 삼각함수를 무한급수로 정의하고 "을러의 공식"과 근현대적인 약어 sin., cos., tang., cot., sec., cot., sec. 및 cos.를 제시했습니다.^[11]

어원

어원학적으로 사인이라는 단어는 대응하는 화음을 가진 원의 호와 현을 가진 활 사이의 시각적 유사성 때문에 산스크리트어 단어 jyā 'bow-string' 또는 더 구체적으로 그것의 동의어 j īvá(둘 다 고대 그리스 χορδή 'string'에서 채택됨)에서 유래했습니다.이것은 아랍어로 j ī바라고 번역되었는데, 그것은 그 언어에서 의미가 없고 jb(جب)라고 축약되었습니다.아랍어는 단모음 없이 쓰이기 때문에, jb는 'bosom', 'pocket', 'fold'를 의미하는 동형문자 jaib, jayb (جيب)로 해석되었습니다.알바타니와 알콰리즈미 ī의 아랍어 문헌이 크레모나의 제라르에 의해 12세기에 중세 라틴어로 번역되었을 때, 그는 라틴어와 동등한 동('만' 또는 '접다', 더 구체적으로 '가슴 위에 토가의 늘어뜨린 주름'을 의미하기도 함)을 사용했습니다.제라드는 아마도 이 번역을 사용한 최초의 학자는 아니었을 것입니다; 체스터의 로버트가 그보다 앞선 것으로 보이며 훨씬 더 이른 사용의 증거가 있습니다.^[22]^[23]영어 형태 사인(sine)은 1590년대에 소개되었습니다.^[24]

코사인이라는 단어는 에드먼드 군터의 캐논 삼각형(1620)에 나오는 라틴어 보각동 '상보각의 사인'을 코사인으로 축약한 것에서 유래했으며, 코탱겐에 대한 유사한 정의도 포함하고 있습니다.^[25]^[26]^[27]

소프트웨어 구현

사인과 코사인을 계산하는 표준 알고리즘은 없습니다.신뢰할 수 있는 부동 소수점 계산의 사양에 가장 널리 사용되는 표준인 IEEE 754는 사인과 같은 삼각 함수 계산을 다루지 않습니다.그 이유는 특히 큰 입력에 대해 지정된 정확도로 사인과 코사인을 계산하는 데 효율적인 알고리즘이 알려져 있지 않기 때문입니다.^[28]

사인을 계산하는 알고리즘은 속도, 정확도, 휴대성 또는 허용된 입력 값의 범위와 같은 제약 조건에 대해 균형을 맞출 수 있습니다.이는 특히 매우 큰 입력과 같은 특수한 상황에서 다른 알고리즘에 대해 다른 결과를 초래할 수 있습니다.sin(10²²).

특히 3D 그래픽에서 사용되는 일반적인 프로그래밍 최적화는 사인 값 표(예: 도당 하나의 값)를 미리 계산한 다음 그 사이의 값에 대해 가장 가까운 사전 계산 값을 선택하거나 두 개의 가장 가까운 값 사이를 선형으로 보간하여 근사화하는 것입니다.이렇게 하면 실시간으로 계산되지 않고 테이블에서 결과를 조회할 수 있습니다.현대적인 CPU 아키텍처에서는 이 방법이 아무런 이점을 제공하지 못할지도 모릅니다.^{[citation needed]}

CORDIC 알고리즘은 과학 계산기에서 일반적으로 사용됩니다.

사인 함수와 코사인 함수는 다른 삼각 함수와 함께 프로그래밍 언어와 플랫폼에서 널리 사용할 수 있습니다.컴퓨팅에서 일반적으로 다음과 같이 약칭됩니다.sin그리고.cos.

80387 이후의 Intel x87 FPU 등 일부 CPU 아키텍처에는 사인(sine)에 대한 명령어가 내장되어 있습니다.

프로그래밍 언어에서는.sin그리고.cos는 일반적으로 내장된 함수이거나 언어의 표준 수학 라이브러리 내에서 찾을 수 있습니다.

예를 들어, C 표준 라이브러리는 math.h 내에서 사인 함수를 정의합니다.sin(double),sinf(float),그리고.sinl(long double). 각각의 파라미터는 각도를 라디안 단위로 지정하는 부동 소수점 값입니다.각 함수는 자신이 허용하는 것과 동일한 데이터 유형을 반환합니다.코사인, 아크사인 및 쌍곡사인(sinh)과 같은 다른 많은 삼각함수도 math.h로 정의됩니다.

마찬가지로 파이썬은 다음과 같이 정의합니다.math.sin(x)그리고.math.cos(x)붙박이로math모듈.복잡한 사인 및 코사인 함수도 사용할 수 있습니다.cmath모듈(module), 예를 들어cmath.sin(z). C파이썬의 수학함수는 C라고 부릅니다. math라이브러리, 그리고 이중 정밀 부동 소수점 형식을 사용합니다.

턴스 기반 구현

일부 소프트웨어 라이브러리는 입력 각도를 반회전으로 사용하여 사인 및 코사인을 구현합니다. 반회전은 180도 각도 또는 π $\pi$ 라디안입니다.회전 또는 반회전으로 각도를 나타내는 것은 정확성과 효율성의 장점이 있는 경우도 있습니다.^[29]^[30]MATLAB, OpenCL, R, Julia, CUDA, ARM에서는 이러한 기능을sinpi그리고.cospi.^[29]예를^[29]^[31]^[30]^[32]^[33]^[34] 들면.sinpi(x)는 $\sin(\pi x),$ ⁡ $\sin(\pi x),$ (π $\sin(\pi x),$ $\sin(\pi x),$ ${\displaystyle \sin(\pix)},$ 여기서 x는 반turns로 표현되며, 결과적으로 함수에 대한 최종 입력인 sin은 $sin$ 에 의해 라디안으로 해석될 수 있습니다.

정확도의 이점은 이진 부동 소수점 또는 고정 소수점에서 풀턴, 하프턴, 쿼터턴과 같은 주요 각도를 무손실로 완벽하게 표현할 수 있는 능력에서 비롯됩니다.이와는 대조적으로, 이진 부동 소수점 또는 이진 축척 $2\pi$ $2\pi$ 에서 $2\pi$ 2 $2\pi$ π {\ $displaystyle$ 2 $\pi$ pi $},$ π {\ $displaystyle$ \ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ }, ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ π 2 {\ $textstyle {\frac {\pi}{$ 2}}을(를) 나타내는 것은 비합리적인 숫자를 무한히 많은 이진 숫자로 표현할 수 없기 때문에 항상 정확도가 떨어집니다.

턴은 모듈로를 한 주기로 계산하기 위한 정확성과 효율성의 이점도 가지고 있습니다.계산 모듈로 1 턴 또는 모듈로 2 반 턴은 부동 소수점과 고정 소수점 모두에서 손실 없이 효율적으로 계산할 수 있습니다.예를 들어 이진 포인트 스케일 고정 포인트 값에 대해 모듈로 1 또는 모듈로 2를 계산하는 경우 비트 시프트 또는 비트 단위 AND 연산만 필요합니다.대조적으로 ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ 계산 모듈로 π ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi}{2}}$ 는 π ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi}{2$ }}을 $($ 를) 부정확하게 표현합니다.

각도 센서를 포함하는 응용 프로그램의 경우, 센서는 일반적으로 회전 또는 반회전과 직접 호환되는 형태로 각도 측정을 제공합니다.예를 들어, 각도 센서는 한 번의 완전한 회전 동안 0에서 4096까지 셀 수 있습니다.^[35]반턴을 각도의 단위로 사용하면 센서가 제공하는 값이 직접적으로 손실 없이 이진 포인트의 오른쪽에 있는 11비트의 고정 포인트 데이터 유형에 매핑됩니다.반대로 라디안을 각도를 저장하는 단위로 사용하는 경우 원시 센서 정수에 π ${\textstyle {\frac {\pi }{2048}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi}{2048}}$ 의 근사치를 곱하는 부정확성과 비용이 발생합니다.

참고 항목

인용문

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보기
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다양한 정보원들은 동축의 첫번째 사용을 다음 중 하나에 공을 돌립니다.
- 1116년 플라톤 티부르티누스의 알바타니 천문학 번역본
- 크레모나의 제라르 알콰리즈미 대수 번역
- 1145년 체스터의 로버트가 알콰리즈미의 표를 번역함.
Merlet 참조, Ceccarelli의 삼각함수의 역사에 관한 주석(ed.), 기계와 메커니즘의 역사에 관한 국제 심포지엄, Springer, 2004
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보기
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참고문헌

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외부 링크

Wikimedia Commons의 사인 함수 관련 매체

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[:2-2] "Sine, Cosine, Tangent". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-29.

[3] 43-44페이지의 알포스를 참조.

[4] "Sine-squared function". Retrieved August 9, 2019.

[5] "OEIS A003957". oeis.org. Retrieved 2019-05-26.

[oeisArc-6] "A105419 - Oeis".

[7] Adlaj, Semjon (2012). "An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse" (PDF). American Mathematical Society. p. 1097.

[8] . Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (Third ed.). McGraw-Hill Book Company. ISBN 0-07-100276-6. 299, 정리 15.4

[9] "Why are the phase portrait of the simple plane pendulum and a domain coloring of sin(z) so similar?". math.stackexchange.com. Retrieved 2019-08-12.

[10] Brendan, T. (February 1965). "How Ptolemy constructed trigonometry tables". The Mathematics Teacher. 58 (2): 141–149 – via JSTOR.

[boyer-11] Merzbach, Uta C.; Boyer, Carl B. (2011), A History of Mathematics (3rd ed.), John Wiley & Sons우리의 단어 "sine"을 만든 Merzbach, Uta C.; Boyer, Carl B. (2011), A History of Mathematics (3rd ed.), John Wiley & Sons것은 아랍어에서 체스터의 로버트의 번역이었습니다. 힌두교도들은 삼각법에서 반음계에 지바라는 이름을 붙였고, 아랍인들은 이 이름을 지바로 받아들였습니다. 아랍어에는 "만" 또는 "입구"를 의미하는 자이브(jaib)라는 단어도 있습니다. 체스터의 로버트가 기술적인 단어인 지바를 번역하기 위해 왔을 때, 그는 이것을 자이브라는 단어와 혼동했던 것으로 보입니다. (아마도 모음이 생략되었기 때문에) 그래서 그는 라틴어인 "만" 또는 "입구"를 뜻하는 단어인 동음이라는 단어를 사용했습니다.

[Gingerich_1986-12] Gingerich, Owen (1986). "Islamic Astronomy". Scientific American. Vol. 254. p. 74. Archived from the original on 2013-10-19. Retrieved 2010-07-13.

[Sesiano-13] Jacques Sessiano, "이슬람 수학", p. 157, in.

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[15] Nicolás Bourbaki (1994). Elements of the History of Mathematics. Springer. ISBN 9783540647676.

[16] "Wayback Machine에서 사인에 단순한 도함수가 있는 이유 2011-07-20 Achived 2011-07-20 Achived 2011-07-20 Achived 2011-07-20 Achived by Wayback Machine. Wayback Machine에서 Frederick Rickey 아카이브 2011-07-20

[17] "How the Trig Functions Got their Names". Ask Dr. Math. Drexel University. Retrieved 2 March 2010.

[18] J J O'Connor and E F Robertson (June 1996). "The trigonometric functions". Retrieved 2 March 2010.

[Plofker_2009-19] Plofker, Mathematics in India, Princeton University Press, 2009, p. 257 참조
보기
어원에 관해서는 Maor(1998), 3장 참조.

[20] Eli Maor (1998), 삼각법 딜라이트, 프린스턴: 프린스턴 대학 출판부, p. 35-36.

[katz-21] 빅터 J. 카츠(2008), 수학의 역사, 보스턴:Addison-Wesley, 3rd. ed., p. 253, 사이드바 8.1. : 영어 단어 "sine"은 산스크리트어 jyā-ardha (cord-half)의 일련의 오역에서 유래했습니다. 랴바 ṭ라는 용어는 종종 jyā 또는 그 동의어인 j īvá로 줄여졌습니다. 힌두 작품 중 일부가 나중에 아랍어로 번역되었을 때, 그 단어는 단순히 음성학적으로 다른 의미 없는 아랍어 지바로 번역되었습니다. 하지만 아랍어는 모음 없이 쓰이기 때문에, 후대의 작가들은 자음 jb를 가슴 또는 가슴을 의미하는 jaib으로 해석했습니다. 12세기에 아랍어 삼각법 작품이 라틴어로 번역되었을 때, 번역자는 동등한 라틴어 단어인 동음이 사용되었는데, 동음이는 가슴을 의미하기도 하고, 더 나아가 접어서(가슴 위의 토가처럼), 만 또는 만을 의미하기도 했습니다.

[22] Smith, D.E. (1958) [1925], History of Mathematics, vol. I, Dover, p. 202, ISBN 0-486-20429-4

[23] 다양한 정보원들은 동축의 첫번째 사용을 다음 중 하나에 공을 돌립니다.
1116년 플라톤 티부르티누스의 알바타니 천문학 번역본

크레모나의 제라르 알콰리즈미 대수 번역

1145년 체스터의 로버트가 알콰리즈미의 표를 번역함.
Merlet 참조, Ceccarelli의 삼각함수의 역사에 관한 주석(ed.), 기계와 메커니즘의 역사에 관한 국제 심포지엄, Springer, 2004
Gerard의 초기 어원에 대해서는 Maor(1998), 3장을 참조하십시오.
보기

[24] 1116년 플라톤 티부르티누스의 알바타니 천문학 번역본

[25] 크레모나의 제라르 알콰리즈미 대수 번역

[26] 1145년 체스터의 로버트가 알콰리즈미의 표를 번역함.

[24] 영어화된 형태는 1593년 토마스 페일의 호로지오그래피, 전화 걸기의 기술에 처음 기록되어 있습니다.

[Gunter_1620-25] Gunter, Edmund (1620). Canon triangulorum.

[Roegel_2010-26] Roegel, Denis, ed. (6 December 2010). "A reconstruction of Gunter's Canon triangulorum (1620)" (Research report). HAL. inria-00543938. Archived from the original on 28 July 2017. Retrieved 28 July 2017.

[cosine-27] "cosine".

[28] Zimmermann, Paul (2006), "Can we trust floating-point numbers?", Grand Challenges of Informatics (PDF), p. 14/31, archived (PDF) from the original on 2011-07-16, retrieved 2010-09-11

[matlab-29] "MATLAB 설명서 sinpi

[r-30] "R 설명서 sinpi

[31] "OpenCL Documentation sinpi

[32] "줄리아 문서 sinpi

[33] "CUDA Documentation sinpi"

[34] "ARM 설명서 sinpi"

[35] "ALLEGRO 각도 센서 데이터 시트

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v t 삼각함수와 쌍곡선함수
무리	삼각법 사인과 코사인 역삼각형 쌍곡선 역쌍곡선
다른.	버진 엑센트 지야, 코티자야, 웃크라마자 2번에

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