이산 사인 변환

수학에서 이산 사인 변환(DST)은 이산 푸리에 변환(DFT)과 유사하지만 순수 실행렬을 사용하는 푸리에 관련 변환입니다.이는 길이가 약 2배인 DFT의 허수 부분과 동일하며, 홀수 대칭을 가진 실제 데이터에 대해 동작한다(실수 및 홀수 함수의 푸리에 변환은 허수 및 홀수이기 때문에). 일부 변형에서는 입력 및/또는 출력 데이터가 샘플 절반씩 이동한다.

사인 쌍곡선 함수와 사인 쌍곡선 함수로 구성된 변환 패밀리가 존재합니다.이러한 변환은 경계 ^[1]조건이 다른 얇은 정사각형 판의 자연 진동을 기반으로 이루어집니다.

DST는 Discrete Cosine Transform(DCT; 이산 코사인 변환)과 관련되어 있습니다.DCT는 실함수와 짝함수의 DFT에 해당합니다.경계조건이 다양한 DCT 및 DST 타입과 어떻게 관련되어 있는지에 대한 일반적인 설명은 DCT 문서를 참조하십시오.일반적으로 DST는 x=0의 노이만 조건을 디리클레 ^[2]조건으로 치환함으로써 DCT로부터 도출된다.DCT와 DST는 모두 Nasir Ahmed T에 의해 기술되었다.1974년 나타라잔과 K.^[3]^[4]R. 라오.타입 I DST(DST-I)는 1976년 아닐 K. 자인에 의해 기술되었으며 타입 II DST(DST-II)는 H.B에 의해 기술되었습니다.케크라와 J.K.1978년 ^[5]솔랑카.

적용들

DST는 스펙트럼 방법에 의한 편미분 방정식을 푸는 데 널리 사용된다. DST의 다른 변형은 어레이의 양단에서 약간 다른 홀수/짝수 경계 조건에 대응한다.

비공식 개요

N=9 데이터 포인트(빨간색 점)에 대한 DST 입력 데이터의 암묵적인 짝수/홀수 확장, DST의 가장 일반적인 4가지 유형(타입 I~IV)에 대한 그림.

다른 푸리에 관련 변환과 마찬가지로 이산 사인 변환(DST)은 주파수 및 진폭이 다른 사인파 합계의 관점에서 함수 또는 신호를 나타냅니다.이산 푸리에 변환(DFT)과 마찬가지로 DST는 한정된 수의 이산 데이터 포인트에서 함수에서 작동합니다.DST와 DFT의 분명한 차이점은 전자는 사인 함수만 사용하는 반면 후자는 코사인 및 사인(복잡한 지수 형식)을 모두 사용한다는 것입니다.그러나 이러한 가시적인 차이는 단지 더 깊은 구별의 결과일 뿐입니다.DST는 DFT 또는 다른 관련 변환과는 다른 경계 조건을 의미합니다.

DFT, DST 또는 푸리에 시리즈와 같이 유한 도메인에 걸친 함수에서 작동하는 푸리에 관련 변환은 해당 함수의 확장을 도메인 외부에서 암묵적으로 정의하는 것으로 간주할 수 있습니다.즉, 함수 $x)$ { $displaystyle$ f $(x)}$ 를 $f(x)$ 사인파의 합으로 쓰면 $f(x)$ f $)$ { $displaystyle$ f $(x)}$ 가 $f(x)$ 지정되지 않은x{ $displaystyle$ x $}$ 에 $x$ $대해서도$ 그 합계를 $x$ 할 수 있습니다.DFT는 푸리에 급수와 마찬가지로 원래 함수의 주기적 확장을 의미합니다.DST는 사인 변환과 마찬가지로 원래 함수의 홀수 확장을 의미합니다.

그러나 DST는 유한 이산 시퀀스에서 동작하기 때문에 연속 사인 변환에는 적용되지 않는 두 가지 문제가 발생합니다.우선, 함수가 도메인의 왼쪽과 오른쪽 경계(즉, 아래 정의에서 각각 최소 n과 최대 n 경계)에서 짝수인지 홀수인지를 지정해야 한다.둘째, 함수가 짝수인지 홀수인지를 지정해야 한다.특히 간격이 동일한 3개의 데이터 점의 시퀀스(a, b, c)를 고려하여 홀수 왼쪽 경계를 지정했다고 가정합니다.데이터가 a보다 앞의 점에 대해 홀수이거나(-c,-b,-a,0,a,b,c), 또는 데이터가 a와 이전 점 사이의 중간 지점에 대해 홀수 확장(-c,-b,-a,a,b,c)의 두 가지 합리적인 가능성이 있습니다.

이러한 선택은 DST의 모든 표준 변형과 이산 코사인 변환(DCT)으로 이어집니다.각 경계는 짝수 또는 홀수(경계당 2개 선택)일 수 있으며, 데이터 포인트 또는 두 데이터 포인트 사이의 중간 지점(경계당 2개 선택)에 대해 대칭이 될 수 있으며, 총 $2\times 2\times 2\times 2=16$ 2 × $2\times 2\times 2\times 2=16$ × $2\times 2\times 2\times 2=16$ $16$ {\ $displaystyle$ 2\ $times$ 2\ $times$ 2 $=$ 16} $2\times 2\times 2\times 2=16$ 의 $2\times 2\times 2\times 2=16$ 가능성이 있다.이러한 가능성의 절반(왼쪽 경계가 홀수인 경우)은 8가지 유형의 DST에 해당하고 나머지 절반은 8가지 유형의 DCT에 해당합니다.

이러한 서로 다른 경계 조건은 변환의 적용에 큰 영향을 미쳐 다양한 DCT 유형에 고유하게 유용한 속성으로 이어집니다.가장 직접적으로, 푸리에 관련 변환을 사용하여 스펙트럼 방법으로 편미분 방정식을 풀 때, 경계 조건은 해결 중인 문제의 일부로 직접 지정됩니다.

정의.

형식적으로 이산 사인 변환은 선형 역함수 F^N : R^N(여기서 R은 실수의 집합을 나타냄) 또는 동등하게 N × N 정사각형 행렬이다.DST에는 정의가 약간 변경된 여러 종류가 있습니다.N개의 실수₀ x, x는 다음 식 중 하나에_{N − 1} 따라 N개의 실수₀ X, X로_{N − 1} 변환됩니다.

DST-I

X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {pi }{N+1}(k+1)\right]\quad \pad k=0,\sum, N-1

DST-I 행렬은 직교 행렬(최대 스케일 요인)입니다.

DST-I는 0번째 및 중간점 주위에 홀수인 실제 시퀀스의 DFT와 정확히 동등하며 1/2씩 스케일링됩니다.예를 들어, N=3 실수(a,b,c)의 DST-I는 1/2 스케일링된 8개의 실수(0,a,b,c,0,-c,-b,-a)(홀수 대칭)의 DFT와 정확히 동등하다(반대되는 DST 유형 II–a).IV는 동등한 DFT의 반표본 이동을 수반합니다.)이것이 사인함수의 분모에 N + 1이 있는 이유입니다.등가 DFT에는 2(N+1) 포인트가 있고 사인주파수에 2µ/2(N+1)가 있기 때문에 DST-I의 주파수에는 δ/(N+1)가 있습니다.

따라서 DST-I는 경계 조건에 대응합니다.x는_n n = -1 주변에서 홀수이고 n = N 주변에서 홀수입니다.X도_k 마찬가지입니다.

DST-II

X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {1}{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)(k+1)\sin \displaystylek=0,N-1

일부 저자는 X 항에_{N − 1} 1/µ2를 더 곱한다(DST-II의 해당 변경에 대해서는 아래 참조).이것에 의해, DST-II 매트릭스가 직교(스케일 팩터까지)하게 되지만, 반시프트 입력의 실제 홀수 DFT와의 직접적인 대응이 끊어집니다.

DST-II는 경계 조건을 의미합니다. x는_n n = -1/2 주변에서 홀수이고 n = N - 1/2 주변에서 홀수입니다. X는_k k = -1 주변에서 홀수이고 k = N - 1 주변에서 홀수입니다.

DST-III

({displaystyle X_{k}=flac {(-1)^{k}}{2}+\sum _{n=0}^{N-2}x_{n}\sin \left[{\frac {pi }{N+1}\left(k+{\frac {2}\flac {2}\right}\fright)

일부 저자는 x 항에_{N − 1} δ2를 더 곱한다(DST-II의 해당 변화에 대해서는 위 참조).따라서 DST-II 행렬은 (최대 스케일 팩터까지) 직교하지만 반시프트 출력의 실제 홀수 DFT와의 직접적인 대응이 깨집니다.

DST-II는 경계 조건을 암시한다. x는_n n = -1 주변에서 홀수이고, n = N -1 주변에서 홀수이고, X는 k = -1/2 주변에서 홀수이고, k = N - 1/2 주변에서 홀수이다_k.

DST-IV

{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {1}{2}}\right]\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\lef(k+{\frac {1}{2}}\right)\sin k=1,0,\sin \left,\fright)

DST-IV 행렬은 직교 행렬(최대 스케일 요인)입니다.

DST-IV는 경계 조건을 의미합니다. x는_n n = -1/2 주변 및 심지어 n = N - 1/2 주변에서도 홀수입니다. X도 이와_k 유사합니다.

DST V-VII

DST 타입 I-IV는 짝수의 실제 홀수 DFT에 해당합니다.원칙적으로, 논리적으로 홀수 차수의 실제 홀수 DFT에 대응하는 4가지 유형의 이산 사인 변환이 있습니다(Martucci, 1994). 사인 인수의 분모는 N+1/2입니다.그러나 이러한 변형은 실제로 거의 사용되지 않는 것으로 보인다.

역변환

DST-I의 역수는 DST-I에 2/(N+1)를 곱한 값입니다.DST-IV의 역수는 DST-IV에 2/N을 곱한 값입니다.DST-II의 역수는 DST-III에 2/N을 곱한 값(및 그 반대도 마찬가지)입니다.

DFT의 경우, 이러한 변환 정의 앞에 있는 정규화 계수는 단지 관례일 뿐이며 처리마다 다르다.예를 들어 일부 저자는 변환에 2 $(\$ 을 $\sqrt{2/N}$ 곱하여 역수를 곱할 필요가 없습니다.

계산

이러한 공식을 직접 적용하려면 O(N²) 연산이 필요하지만 고속 푸리에 변환(FFT)과 유사한 계산을 인수분해하여 O(N log N) 복잡도만으로 동일한 것을 계산할 수 있습니다(O(N) 전처리 및 후처리 단계와 결합된 FFT를 통해 DST를 계산할 수도 있습니다).

DST-II 또는 DST-IV는 DCT-II 또는 DCT-IV에서 각각 입력의 순서를 반전시켜 다른 모든 출력의 부호를 플립함으로써 계산할 수 있으며, DST-II의 경우에는 DCT-II에서 DST-II 또는 DST-IV를 계산할 수 있다.이 방법으로 타입 II를 따릅니다.DST의 IV에는 대응하는 DCT 타입과 정확히 같은 수의 산술 연산(더하기 및 곱하기)이 필요합니다.

레퍼런스

^ Abedi, M.; Sun, B.; Zheng, Z. (July 2019). "A Sinusoidal-Hyperbolic Family of Transforms With Potential Applications in Compressive Sensing". IEEE Transactions on Image Processing. 28 (7): 3571–3583. Bibcode:2019ITIP...28.3571A. doi:10.1109/TIP.2019.2912355. PMID 31071031.
^ Britanak, Vladimir; Yip, Patrick C.; Rao, K. R. (2010). Discrete Cosine and Sine Transforms: General Properties, Fast Algorithms and Integer Approximations. Elsevier. pp. 35–6. ISBN 9780080464640.
^ Ahmed, Nasir; Natarajan, T.; Rao, K. R. (January 1974), "Discrete Cosine Transform" (PDF), IEEE Transactions on Computers, C-23 (1): 90–93, doi:10.1109/T-C.1974.223784
^ Ahmed, Nasir (January 1991). "How I Came Up With the Discrete Cosine Transform". Digital Signal Processing. 1 (1): 4–5. doi:10.1016/1051-2004(91)90086-Z.
^ Dhamija, Swati; Jain, Priyanka (September 2011). "Comparative Analysis for Discrete Sine Transform as a suitable method for noise estimation". International Journal of Computer Science. 8 (5): 162–164. Retrieved 4 November 2019 – via ResearchGate.

참고 문헌

S. A. Martucci, "대칭 Convolution and 이산 사인 및 코사인 변환", IEEE Trans. 신호 처리SP-42, 1038–1051(1994)
마테오 프리고와 스티븐 G. 존슨: FFTW, http://www.fftw.org/.고속 DST(타입 I~)를 계산할 수 있는 프리(GPL) C 라이브러리IV) 임의의 크기의 1개 이상의 치수.그리고 M.Frigo와 S. G. Johnson, "FFTW3의 설계와 구현", IEEE 93(2), 216–231(2005).
오우라 타쿠야: 범용 FFT 패키지, http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/1902.208.1차원, 2차원 또는 3차원 고속 DST를 2사이즈의 전력으로 계산하기 위한 무료 C&FORTRAN 라이브러리.
를 클릭합니다Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 12.4.1. Sine Transform", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8.
R. Chivukula 및 Y. Reznik, "타입 VI 및 VII의 이산 코사인 및 사인 변환의 고속 컴퓨팅", Proc. SPIE Vol. 8135, 2011.

[1] Abedi, M.; Sun, B.; Zheng, Z. (July 2019). "A Sinusoidal-Hyperbolic Family of Transforms With Potential Applications in Compressive Sensing". IEEE Transactions on Image Processing. 28 (7): 3571–3583. Bibcode:2019ITIP...28.3571A. doi:10.1109/TIP.2019.2912355. PMID 31071031.

[2] Britanak, Vladimir; Yip, Patrick C.; Rao, K. R. (2010). Discrete Cosine and Sine Transforms: General Properties, Fast Algorithms and Integer Approximations. Elsevier. pp. 35–6. ISBN 9780080464640.

[pubDCT-3] Ahmed, Nasir; Natarajan, T.; Rao, K. R. (January 1974), "Discrete Cosine Transform" (PDF), IEEE Transactions on Computers, C-23 (1): 90–93, doi:10.1109/T-C.1974.223784

[Ahmed-4] Ahmed, Nasir (January 1991). "How I Came Up With the Discrete Cosine Transform". Digital Signal Processing. 1 (1): 4–5. doi:10.1016/1051-2004(91)90086-Z.

[5] Dhamija, Swati; Jain, Priyanka (September 2011). "Comparative Analysis for Discrete Sine Transform as a suitable method for noise estimation". International Journal of Computer Science. 8 (5): 162–164. Retrieved 4 November 2019 – via ResearchGate.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Search