렘니케이트 타원함수

수학에서 렘니세이트 타원함수는 베르누이의 렘니세이트의 원호 길이와 관련된 타원함수입니다.그것들은 1718년에 Giulio Fagnano에 의해 처음 연구되었고, 다른 것들 중에서 Leonhard Euler와 Carl Friedrich Gauss에 의해 나중에 연구되었습니다.^[1]

일반적으로 sl 및 cl 기호로 쓰여진 렘니세이트 사인 및 렘니세이트 코사인 함수는 삼각 함수 사인 및 코사인과 유사합니다(또는 sinlem 및 coslem 또는 sinlem 및 cosemn이 대신 사용되기도 함).^[2]삼각 사인은 원호 길이를 단위 - diameter${\displaystyle {}^{}}$원 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ + ${\displaystyle y}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= x$,$ {\$displaystyle$ x$^{2}$ + y^{2}= x$,}$ 렘니스케이트 사인은 원호 길이를$$렘니스케이트 (${\displaystyle x^{}{}^{}{}^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle 2^{}{}^{}}$= x ${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$. {\$displaystyle {\bigl$(}$x^{2$} + y$^{2}{\bigr )}{}^{2$}= x$^{2}$ - y$^{2}}.$

렘니스케이트 함수에는 숫자 ϖ =${\displaystyle \varpi$ =} 2.622057과 관련된 주기가 있습니다.렘니스케이트 상수라 불리는, 렘니스케이트의 둘레와 지름의 비율.이 숫자는 원의 지름에 대한 둘레의 비율인 (quadratic) π =${\displaystyle \pi$ =} 3.141592...의 4차 아날로그입니다.

복잡한 함수로서, sl과 cl은 기본 주기가${\displaystyle \{(1}$+ ${\displaystyle i)}$ ϖ${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle (1}$ -${\displaystyle i)}$ ϖ ${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle \{(1+i)\varpi,$ $(1-i)\varpi \}}$인 정사각형 주기 격자(가우시안 정수의 배수)를 가지며, 해당 격자에 두 개의 야코비 타원 함수인 ${\displaystyle \mathrm{sl}}$ ⁡ z = ${\displaystyle \mathrm{sn}}$ ⁡ (${\displaystyle z;}$ ${\displaystyle i),}$ ${\displaystyle \operatorname {sl}$ z=\$operatornam$$e {sn}(z;i),}$ ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ $⁡$ ${\displaystyle z}$ $=$ ${\displaystyle \mathrm{cd}}$ $⁡$${\displaystyle (z;i)}$ ${\displaystyle \operatorname {cl$ z$=$\$operatorname {cd}(z;i)}.$

마찬가지로 쌍곡 렘니스케이트 사인 slh 및 쌍곡 렘니스케이트 코사인 clh는 기본 주기가$${${\displaystyle 2}$ ϖ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 2}$ ϖ i${\displaystyle \}}$인 정사각형 주기 격자를 갖습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\bigl \{}{\sqrt {2}}\varpi$, ${\sqrt {2}}\varpi$ i${\bigr \}}.$

렘니스케이트 함수 및 쌍곡 렘니스케이트 함수는 Weiersstrass 타원 함수$$℘${\displaystyle (z;a,0)}$ ${\displaystyle \wp(z;a,0)}$와 관련이 있습니다$.$

렘니스케이트 사인 및 코사인 함수

정의들

렘니스케이트 함수 sl과 cl은 초기값 문제의 해결책으로 정의할 수 있습니다.^[5]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} z}\operatorname {sl} z={\bigl (}1+\operatorname {sl}^{2}z{\bigr )}\operatorname {cl} z,\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} z}\operatorname {cl} z=-{\bigl (}1+\operatorname {cl}^{2}z{\bigr )}\operatorname {sl} 0=0,\operatorname {cl} 0=1,}$

또는 타원 적분의 역수로서 복소 단위 원판에서 모서리가 있는 정사각형 $\{{\displaystyle \frac{12}{}}$ ϖ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 12}$ ϖ i${\displaystyle ,}$- ${\displaystyle \frac{12}{}}$ ϖ${\displaystyle ,}$- ${\displaystyle \frac{12}{}}$ ϖ ${\displaystyle i\}}$ :${\displaystyle {\big \{}{\tfrac {1}{2}}\varpi$, ${\tfrac {1}{2}}\varpi$, -${\tfrac {1}{2}}\varpi$, -${\tfrac {1}{2}\varpi i{\big \}\colon }$

${\displaystyle z=\int _{0}^{\operatorname {sl} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=\int _{\operatorname {cl} z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}.$

그 사각형 너머에서, 함수들은 일련의 반사에 의해 복소 평면 전체에 분석적으로 계속될 수 있습니다.

이에 비해 원형 사인과 코사인은 초기 값 문제의 해결책으로 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} z}\sin z=\cos z,\{\frac {\mathrm {d} z}\cos z=-\sin z,\ \sin 0=0,\cos 0=1,}$

또는 위의 반평면에서 실제 부분이${\displaystyle -12}$ π 사이에 있는 반infinite 스트립까지의 지도의 역으로${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \frac{12}{}}$ π ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\pi,$ {\$tfrac {1}{2}\pi},$ 양의 허수 부분:

${\displaystyle z=\int _{0}^{\sin z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}=\int _{\cos z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}}$

렘니세이트 상수와의 관계

렘니스케이트 함수는 최소 실수 주기 2 ϖ, 최소 허수 주기 2 ϖi 및 기본 복소 주기 $({\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle i)}$ ϖ ${\displaystyle (1+i)\varpi }$ 및 $({\displaystyle 1}$ -${\displaystyle i}$)$$ϖ {\$displaystyle (1-i)\varpi }$을(를) ϖ합니다.

${\displaystyle \varpi = 2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=2.62205\ldots }$

렘니스케이트 함수는 기본 관계 ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ⁡ ${\displaystyle z}$ = ${\displaystyle \mathrm{sl}}$ ${\displaystyle (\frac{12}{}}$ ϖ${\displaystyle }$- z${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle \operatorname {cl}$z = {\$operatorname {sl}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )}$를 만족합니다$.$ ${\displaystyle \cos }$ = ${\displaystyle \sin }$ (${\displaystyle \mathrm{12}}$ ⁡ - ${\displaystyle z}$ )${\displaystyle }$. $displaystyle$ \$cos z$= {\$sin }{\bigl (}{\tfrac {1}}\pi -z{\bigr )}.$

렘니세이트 상수 ϖ은 원 상수 π의 가까운 유사체이며, 삼각함수를 포함하는 동일체는 렘니세이트 함수를 포함하는 유사체를 가지므로 π을 포함하는 많은 동일체는 ϖ을 포함하는 유사체를 갖습니다.예를 들어, π에 대한 비엣의 공식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

ϖ에 대한 유사한 공식은 다음과 같습니다.

π의 기계 공식은 14 π $$=$$4 $\arctan$ ⁡$$1 $\frac{5}{}$ - $\arctan$ ⁡ 1 $,$ {\$textstyle {\tfrac {1}{$4}}\$pi$ = 4$\arctan {\tfrac$ {1$}{5}}-\arctan {\tfrac$ {1$}{239$}}이며$,$ 오일러의 공식 1 π $$=$$ ⁡$$1 $\frac{2}{}$ +$\frac{\arctan }{}$ ⁡ 1 $3$ ${\textstyle$ {1$}{4}\pi$ =\$arctan {\$tfrac {\tfrac {$1$}}\tfcan {\tfrac {4}}\pi =$rac {1}{2}}+\arctan {\tfrac {1}{3$ 가우스가 찾은 $다음$과 같은 $ϖ$에 대해 유사한 공식을 개발할 수 있습니다. 12 $ϖ$${\displaystyle }$$=$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{arcsl}}$ $⁡$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ +${\displaystyle \mathrm{arcsl}}$ $⁡$ 7 ${\displaystyle \frac{23}{}}$.${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi$ $=$ $2\operatorname {arcsl} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arcsl} {\tfrac {7}{23}}.$$}$^[9]

렘니세이트와 원 상수는 가우스에 의해 산술-기하학 평균 M에 의해 서로 관련이 있음이 발견되었습니다.^[10]

인수 항등식

0, 극 및 대칭

렘니세이트 함수 cl과 sl은 각각 짝수 및 홀수 함수이고,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl}(-z)&=\operatorname {cl} z\[6mu]\operatorname {sl}(-z)&=-\operatorname {sl} z\end{aligned}}$

${\displaystyle \frac{12}{}}$ ϖ 변환 시${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi ,}$ sl을 교환하고, ${\displaystyle 12}$ i ϖ$${\$displaystyle {\tfrac {1}{2}}i\varpi }$ 변환 시 추가로 회전 및 왕복 이동합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {cl}}{\bigl(}z\pm {\tfrac {1}{2}}&=\mp \operatorname {sl} z,&{\operatorname {cl}}{\bigl(}z\pm {\tfrac {1}{2}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\mp i}{\operatorname {sl} z}\[6mu]{\operatorname {sl}}{\bigl(}z\pm {\tfrac {1}{2}}&=\pm \operatorname {cl} z,&{\operatorname {sl}}{\bigl(}z\pm {\tfrac {1}{2}}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\pm i}{\operatorname {cl}z}\end{aligned}}$

ϖ ${\displaystyle$ \$varpi}($즉, ±$$ϖ ${\displaystyle$ \pm$\varpi$} 또는 $±$$$i ϖ ${\displaystyle$ \pm $i\varpi})$의 단위-가우스-정수 곱만큼 변환을 두 배로 하면 각 함수가 무효화됩니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operator name {cl}(z+\varpi)&=\operator name {cl}(z+i\varpi)=-\operator name {cl}(z+\varpi)&=\operator name {sl}(z+i\varpi)=-\operator name {sl} z\end{aligned}}$

결과적으로, 두 함수 모두 ϖ ${\displaystyle \varpi}$의 짝수 가우스-정수 곱셈에 의한 변환 하에서는 불변입니다$.$ 즉, a, b, k에 $대하여$ a ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle b}$= 2 ${\displaystyle \mathrm{k}}${\$displaystyle$ a + b = $2k}$인 변위$$(${\displaystyle a}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathrm{bi})}$ ϖ${\displaystyle ,}$ ${\$displaystyle $($$a$ +$bi)\varpi,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {cl}}{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {cl}{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {cl}z\[4mu]{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {sl}{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {sl}z\end{aligned}}$

이것은 기본 주기 (${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle i)}$ϖ ${\displaystyle (1$+ $i)\varpi }$ 및$$(${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle i}$)${\displaystyle }$ϖ ${\displaystyle (1$ - i$)\varpi }$의 대각 사각 주기 격자를 갖는 타원 함수(복소 평면에서 이중 주기 메로형 함수)로 만듭니다$.$ 사각 주기 격자를 갖는 타원 함수는 임의의 타원 함수보다 더 대칭적입니다.사각형의 대칭을 따르고 있습니다.

렘니스케이트 함수 인수의 반사와 쿼터 턴 회전은 간단한 표현을 갖습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {cl} z}\[6mu]\operatorname {sl}{\overline {\operatorname {sl} z}\[4mu]\operatorname {cl} iz&={\frac {1}{\operatorname {cl} z}\[6mu]\operatorname {sl} iz&=i\operatorname {sl} z\end{aligned}}$

sl 함수는 ϖ 가우스 정수 배수에서 단순 0, 정수 a와 b에 대한 $a$ ϖ${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$ ϖ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a\varpi +b\varpi i}$ 형태의 복소수를 갖습니다.가우스 ϖ 반 정수 배수의 단순 극, 형태$$(${\displaystyle a}$ ${\displaystyle +}$ 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$) ϖ +${\displaystyle (b}$+ 1${\displaystyle \frac{2}{}}$ ) ϖ i$${\$displaystyle${\$bigl$(}$a$+ {\$tfrac {1}{2}}\varpi$ + {\$bigl$(}b + ${\tfrac {$${\displaystyle 1}$$}{2}}\bigr )}\varpi$ i$}$이며$$잔수$$(${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle a^{}}$ -${\displaystyle b^{}}$+ 1 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (-1)^{a$ - b + $1}i$입니다$.$cl 함수는 sl 함수인 ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ⁡ ${\displaystyle z}$ = ${\displaystyle \mathrm{sl}}$( ${\displaystyle \frac{12}{}}$ ϖ${\displaystyle }$- z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {cl}$z = {\$operatorname {sl}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr$ 인수$$(${\displaystyle a}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ 2${\displaystyle }$) ϖ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle b}$ ϖ ${\displaystyle i}${\$displaystyle${\$bigl$(}a + ${\tfrac {1}{2}{\bigr )}\varpi$+ b$\varpi$ i$}$ 및 인수 $a{\displaystyle }$ϖ${\displaystyle }$+${\displaystyle }$(${\displaystyle b}$ + ${\displaystyle \frac{1}{}}$ 2 ) 의 극을 갖습니다.${\displaystyle \frac{}{})}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle a\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi,}$에 잔수 ${\displaystyle (-1^{}}$ a -${\displaystyle {}^{}.}$ ${\displaystyle (-1)^{a$ -${\displaystyle }$b$}i$를 ϖ합니다$.$$}$

또한.

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatorname {sl} w\왼쪽 오른쪽 화살표 z= (-1)^{m+n}w+(m+ni)\varpi }$

일부 $m{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle n}$ ∈ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z}}$ 및

${\displaystyle \operatorname {sl}((1\pm i)z)=(1\pm i){\frac {\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} 'z}}}}$

마지막 공식은 복소수 곱셈의 특수한 경우입니다.${\displaystyle \mathrm{sl}}$ ⁡ (${\displaystyle }$(${\displaystyle }$( n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{mi}}$) z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operator$ name ${sl} ((n+ mi)z)$에 대해서도 유사한 공식을 제공할 수 있습니다.$}$여기서$$ $n{\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{mi}}$ ${\displaystyle n$+ $mi}$은(는) 가우스 정수입니다. 함수$$ {\$displaystyle$ \$operatorname$ {$sl}$은$($는) $Z{\displaystyle \mathbb{}[i]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z}[i]}$의 복소 곱셈을 갖습니다$.$^[15]

sl의 0과 극의 분포를 반영하는 무한급수도 있습니다.^[16][17]

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sl} z}}=\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z}^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+n\varpi +k\varpi i}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} z=-i\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z}^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+(n+1/2)\varpi +(k+1/2)\varpi i}}$

피타고라스적 정체성

렘니세이트 함수는 피타고라스와 유사한 항등식을 만족합니다.

${\displaystyle \operator name {cl^{2}} z+\operator name {sl^{2}} z\,\operator name {sl^{2}} z=1}$

결과적으로 매개 변수 방정식 $({\displaystyle x,}$ y )${\displaystyle }$= ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ⁡ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \mathrm{sl}}$ ⁡ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle (x,$ y) = (\$operatorname {cl} t,\operatorname {sl}$t$)}$는 4차 곡선 $x$ ${\displaystyle 2^{}}$+ y ${\displaystyle 2^{}}$+ x ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ = ${\displaystyle 1.}$ {\displaystyle $x^{2}$ + y$^{2}$ + $x^{2}y^{2}$=$1.$

이 ID는 번갈아가며 다시 작성할 수 있습니다.^[18]

${\displaystyle {\bigl (}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr )} {\bigl (}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr )}=2}$

${\displaystyle \operatorname {cl^{2}} z={\frac {1-\operatorname {sl^{2}} z}{1+\operatorname {sl^{2}} z},\quad \operatorname {sl^{2} z={\frac {1-\operatorname {cl^{2}} z}{1+\operatorname {cl^{2} z}}$

접선-합 연산자를 ⊕ ${\displaystyle b}$ := ${\displaystyle \tan }$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle \arctan }$ ⁡ ${\displaystyle a}$ +${\displaystyle \arctan }$ ⁡ b${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle a\oplus b\mathrel$ {:=} $\tan(\arctan a+\arctan b)$로 정의하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {cl^{2}} z\opplus \operatorname {sl^{2}} z=1.}$

함수 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{cl}}}$${\displaystyle \stackrel{}{~\{\backslash }}$$displaystyle {\tilde {\$operatorname {$cl}}}$과$$sl~{\$displaystyle {\$tilde ${\operatorname {sl}}}$은(는) 또 다른 피타고라스와 같은 항등식을 만족합니다$$.

${\displaystyle \left(\int _{0}^{x}}{\tilde {\operatorname {cl}}}\,t\,\mathrm {d} t\right)^{2}+\left(1-\int _{0}^{x}{\tilde {\operatorname {sl}}}\,t\,\mathrm {d} t\right)^{2}=1}$

파생상품 및 통합

파생상품은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=\operatorname {cl'} z&=-{\bigl(}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr}}\operatorname {sl} z=-{\frac {2\operatorname {sl} ^{2} z+1}\\\operatorname {cl'^{2} z&=1-\operatorname {cl^{4} z\[5mu]{\frac {\mathrm {d} z&\mathrm {d} z}\operatorname {sl} z}}-{\frac {2} z+1}\\operatorname {cl'^{2} z\[5mu]{\frac {\mathrm {d} z}}\operatorname {sl}{sl} z=\operatorname {sl'} z&={\bigl(}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr}}\operatorname {cl} z={\frac {2\operatorname {cl} ^{2}z+1}\\\operatorname {sl'^{2}} z&=1-\operatorname {sl^{4} z\end{align}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} z}\,{\tilde {\operatorname {cl}}}\,z&=-\,{\tilde {\operatorname {sl}}\,z\operatorname {cl} z-{\frac {2\operatorname {sl} z\,{\tilde {\operatorname {cl}}^{3}z}\{\frac {\mathrm {d} z}\,{\tilde {\operatorname {sl}}\,z&=2\,{\tilde {\tilde {\peratorname {sl}}\,{\tilde {\tilde {\tilde {\til} z}},\frac {cl}^{3}z},\frac {\mathrm {d} z},\tilde {\mathrm {d} z}},\tilde {\operatorname {sl}},\,z&=2\,{\tilde {\tilde {\tilde {\til}torname {cl}}\,z\,\operatorname {cl} z-{\frac {\tilde {\operatorname {cl}}\,z}{\operatorname {cl} z}\end{aligned}}$

렘니세이트 사인과 렘니세이트 코사인의 두 번째 유도체는 음의 중복 큐브입니다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}\operator name {cl} z=-2\operator name {cl^{3} z}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}\operator name {sl} z=-2\operator name {sl^{3} z}$

렘니세이트 함수는 역접합 함수를 사용하여 통합할 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {cl} z\mathrm {d} z} &=\arctan \operatorname {sl} z+C\\int \operatorname {sl} z\mathrm {d} z+C\\int \operatorname {cl}\tilde {\operatorname {cl}}\,z\,\mathrm {d} z={\frac {\operatorname {sl} z\,{\tilde {\operatorname {cl}}\,z}{\operatorname {cl}}\,z}{\operatorname {cl}}+C\\\int {\t}\tilde {\operatorname {sl}}}\,z\,\mathrm {d} z&=-{\frac {\tilde {\operatorname {cl}}\,z}{\operatorname {cl} z}+C\end{aligned}}$

인수합계 및 다중아이덴티티

삼각 함수와 마찬가지로 렘니세이트 함수도 인수 합과 차 항등식을 만족합니다.파냐노가 렘니케이트를 이등분하기 위해 사용한 최초의 신원은 다음과 같습니다.^[19]

${\displaystyle \operatorname {sl}(u+v)={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {sl'} v+\operatorname {sl} v\,\operatorname {sl'} u}{1+\operatorname {sl^{2} u\,\operatorname {sl^{2} v}$

도함수와 피타고라스와 유사한 항등식은 파가노가 sl과 cl에서 사용한 항등식을 재작업하는 데 사용될 수 있습니다.접선-합 $연산자$를 ⊕ ${\displaystyle b}$ := ${\displaystyle \tan }$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle \arctan }$ ⁡ ${\displaystyle a}$ +${\displaystyle \arctan }$ ⁡ b${\displaystyle }$) ${\displaystyle a\oplus b\mathrel$ {:=} $\tan(\arctan a+\arctan$ b$)}$와 접선-diffe 연산자 $a$ ⊖ ${\displaystyle b}$ := ${\displaystyle a}$ ⊕ (${\displaystyle }$- ${\displaystyle b),}$ ${\displaystyle a\ominus$ b$\mathrel$ {:=} $a\oplus (-b)$로 정의하면 인수 합과 차 항등식은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl}(u+v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v-\,\operatorname {sl} v{1+\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\,\operatorname {cl} v}\[2mu]\operatorname {cl]rname {cl}(u-v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {sl} v\[2mu]\operatorname {sl}(u+v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v+\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v}{1-\operatorname {sl}u\,\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v},\operatorname {cl} v}\[2mu]\operatorname {sl}(u-v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\end{aligned}}$

이들은 삼각형 유사체와 유사합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(u\pm v)&=\cos u\,\cos v\mp \sin u\,\sin v\[6mu]\sin u\,\cos v\pm \cos u\,\sin v\end{aligned}}$

특히 실수 성분의 복소수 함수를 계산하기 위해서는

${\displaystyle {\begin{aligned}\operator name {cl}(x+iy)&={\frac {\operatorname {cl} x-i\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y} {\operatorname {cl} y+i\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y}\[4mu]&={\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {sl}^{2}x\,\operatorname {sl}^{2}y\right)}{\operatorname {cl}^{2}y+\operatorname}{sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}-i{\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)} {\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}\[12mu]\operatorname {sl}(x+iy)&={\frac {\operatorname {sl} x+i\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y} {\operatorname {cl} y\,\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y}\[4mu]&={\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {cl}^{2}x\,\operatorname {sl}^{2}y\right)}{\operatorname {cl}^{2}y+\operatorname}{sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}+i{\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}\end{aligned}}$

이등분선 공식:

${\displaystyle \operatorname {cl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1+\operatorname {cl}x{\sqrt {1+\operatorname {sl}^{2}x}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl}^{2}x}}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1-\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}}}$

복제 수식:^[21]

${\displaystyle \operatorname {cl} 2x={\frac {-1+2\,\operatorname {cl}^{2}x+\operatorname {cl}^{4}x}{1+2\,\operatorname {cl}^{2}x-\operatorname {cl}^{4}x}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} 2x=2\,\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x{\frac {1+\operatorname {sl} ^{2}x} {1+\operatorname {sl} ^{4}x}}$

곱셈 공식:^[21]

${\displaystyle \operatorname {cl} 3x={\frac {-3\,\operatorname {cl} x+6\,\operatorname {cl}^{5}x+\operatorname {cl}^{9}x{1+6\,\operatorname {cl}^{4}x-3\,\operatorname {cl}^{8}x}}$

${\displaystyle \operatorname {sl} 3x={\frac {\color {red}{3}\,\color {black}{\operatorname {sl} x-\,}\color {green}{6}\,\color {black}{\operatorname {sl}^{5}x-\,}\color {blue}{1}\,\color {black}{sl}^{9}x}{\color {blue}{1}\,\color {black}{+\,}\color {green}{6}\,\color {black}{sl}^{4}x-\,}\color {red}{3},\color {black}{\operator name {sl}^{8}x}}}$

${\displaystyle \mathrm{sl}}$ ⁡ 3 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} 3x}$의 분자와 분모 계수의 "역대칭"을 주목하십시오$.$이 현상은 ${\displaystyle \mathrm{sl}}$ ⁡ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {sl}$\beta $x}$에 대한 곱셈 공식에서 관찰될 수 있으며${\displaystyle ,}$ 여기서 $\beta$ = m${\displaystyle }$+ ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle$\beta =$m+ni},$ $n$ ∈ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle m, n\in \mathbb {Z}}$ 및 m${\displaystyle }$+ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m+n}$은(는) 홀수입니다.

렘원자 다항식

$L$을 격자라고$하자$ {\displaystyle $L}$

${\displaystyle L=\mathbb {Z}(1+i)\varpi +\mathbb {Z}(1-i)\varpi.}$

또한 $K$ = ${\displaystyle Q}$ (${\displaystyle i}$) ${\displaystyle$K =\$mathbb {Q} (i$ $O$ = Z${\displaystyle }$[ ${\displaystyle i}$] ${\displaystyle {\mathcal {O$}}=\$mathbb {Z} [i$ $z$ ∈ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C$ ${\displaystyle \m+in}$에서 $\beta$ = ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle +,}$${\displaystyle }$${\displaystyle \m$${\displaystyle +}$$in}$에서$$γ = m${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle m,n,m',n'\in \mathbb {Z}),$ $m{\displaystyle }$+ ${\displaystyle n}$ \displaystyle {\displaystyle m,n,m',n\$displaystyle$ {\displaystyle {Z$}),$ m + n {\displaystyle$e m+n}$은 홀수, $m$ $=$ ${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\displaystyle m'+n'}$은 홀수, $γ ≡$ 1 ${\displaystyle \mathrm{mod}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (1}$+ ${\displaystyle i)}$ ${\displaystyle \equiv$ 1$\,\operatorname {mod} \,2(1+i)}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{sl}}$ $⁡$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle z}$ $=$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$(${\displaystyle \mathrm{sl}}$ $⁡$ z${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \operatorname {sl$\$beta$ z $=$ $M_{\beta }(\operatorname {sl}$ z$)}.$그리고나서

${\displaystyle M_{\beta}(x)=i^{\varepsilon}x{\frac {P_{\beta}(x^{4})}{Q_{\beta}(x^{4}}}}$

일부 공임 다항식 $P$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$( x )${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle O}$[ ${\displaystyle x}$] ${\displaystyle P_{\beta }(x),$$Q_{\beta }(x)\in {\mathcal {O}[x]}$ 및 일부 $ε ∈$ ${\displaystyle \{0,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 3\}}$ ${\displaystyle \varepsilon \in \{0, 1, 2,$ 3$\},$ 여기서

${\displaystyle xP_{\beta}(x^{4})=\prod _{\gamma \beta }\Lambda _{\gamma }(x)}$

그리고.

${\displaystyle \Lambda _{\beta }(x)=\prod _{[\alpha ]\in ({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O})^{\times}}}(x-\operatorname {sl} \alpha \delta_{\beta })}$

여기서 δ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\displaystyle \$delta $_{\$beta }}는 $\beta$ ${\displaystyle$\beta } - tors이온 발생기(즉, )입니다.${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle 1}$ /${\displaystyle \beta )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \delta$ _${\beta }\in (1/\$${\displaystyle {beta}_{}}$$)L$ 및$$[${\displaystyle {\delta }_{}}$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \in }$ (${\displaystyle 1}$ /${\displaystyle \beta )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle [\delta _{\beta }]\in (1$$/\beta )L/L}$을$($를${\displaystyle )O}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}$ - 모듈로 생성합니다$.$$\beta$ ${\displaystyle$ \$beta }$- 비틀림 생성기의 예로는 $2개$의 ϖ${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \beta }${\$displaystyle 2\varpi$/\$beta$}와$$($1$ i${\displaystyle )}$ ϖ${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \beta }${\$displaystyle$ (1$+i)\varpi$/\$beta$}가 있습니다$.$ 다항식인 λ${\displaystyle }$β ${\displaystyle {}_{}}$x${\displaystyle )}$ ∈${\displaystyle O}$ [${\displaystyle x}$ ]$$${\$$displaystyle$$$\$Lambda$ _${\beta$}($x)\{\mathcal {O}[x]}$에서 β {\$displaystyle$ \$beta$} - lemanomic 다항식이라고 합니다.그것은 단성이고 K ${\displaystyle K}$에 대해 축소할 수 없습니다$.$ 렘원자 다항식은 사이클로토믹 다항식의 "렘니케이트 유사체"입니다.^[23]

${\displaystyle \Phi _{k}(x)=\prod _{[a]\in (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{\times}}}(x-\zeta _{k}^{a}).}$

$\beta$ ${\displaystyle$ \beta } - 열원자 다항식 λ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ( x${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ \$Lambda$ _${\$beta }($x)}$는 ${\displaystyle \mathrm{sl}}$ ⁡ δ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\$$displaystyle$$\operatorname {sl} \$delta $\_$${\$beta ${\displaystyle \}}$의 $[x]$의 최소 다항식입니다$.$ 편의상 ${\displaystyle {\beta }_{}}$ = ${\displaystyle \mathrm{sl}}$ ⁡ ${\displaystyle (}$ϖ /${\displaystyle \beta }$ )${\displaystyle \omega$ _${\$beta } =\$operatorname {sl} (2\varpi /\$beta) 및$$${\displaystyle {\beta }_{}}$ ω ${\displaystyle {\stackrel{}{~}}_{}}$${\displaystyle ={}_{}sl}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$ +${\displaystyle i}$ $ϖ$ /${\displaystyle \beta }$ ) ${\displaystyle$ {\tilde ${\omega}}_$a${\displaystyle }$}=\$operator$ name ${sl} ((1$+ $i$)\$varpi$$ta$ $)\}.$ 예를 들어, $K$의 $\omega$ ${\displaystyle 5_{}}$의 최소 다항식$${\$displaystyle \omega$ _${5}($${\displaystyle 및}$ ω ~$5의 {\tilde {\omega}}_{5$는 ${\displaystyle K[x]}$입니다${\displaystyle .}$

${\displaystyle \Lambda _{5}(x)=x^{16}+52x^{12}-26x^{8}-12x^{4}+1,}$

그리고^[24]

${\displaystyle \omega_{5}={\sqrt[{4}}{-13+6{\sqrt{5}}+2{\sqrt{85-38{\sqrt{5}}}}}}$

${\displaystyle {\tilde {\omega}}_{5}={\sqrt[{4}}{-13-6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85+38{\sqrt {5}}}}}$^[25]

(동등식은 아래 표에 나와 있습니다.)또 다른 예는^[23]

${\displaystyle \Lambda _{-1+2i}(x)=x^{4}-1+2i}$

ω - $1$${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle 2_{}}$ i ${\$$displaystyle$ \$omega _{-1+2i}}($또한 ω ~${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle${\$tilde$ {\$omega$}}_${-1+2i})$의$$최소 다항식인 K[$x].$

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 소수이고$β$ {\displaystyle \$beta}$이(가) 양수이고 홀수이면^[27],^[26]

${\displaystyle \operatorname {deg} \Lambda _{\beta }=\beta ^{2}\prod_{p \beta }\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1-{\frac {(-1)^{(p-1)/2}}{p}\right)}$

사이클로토믹 유사체와 비교될 수 있는

${\displaystyle \operatorname {deg} \Phi _{k}=k\prod _{pk}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).}$

특정값

삼각함수와 마찬가지로 렘니세이트 함수의 값은 기본 산술과 제곱근만을 사용하여 렘니세이트를 같은 길이의 n개 부분으로 나눈 값을 계산할 수 있습니다.n이 $n$ = ${\displaystyle {2k}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ p ${\displaystyle 2_{}}$ ⋯ ${\displaystyle {pm}_{}}$ ${\displaystyle$n=$2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}$인 경우에만 k는 음이 아닌 정수이고 각 p(있는 경우)는 서로 다른 페르마 소수입니다.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \operator name {cl} n\varpi }$	${\displaystyle \operatorname {sl} n\varpi}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\tfrac {5}{6}}$	${\displaystyle -{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl(}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}}$
${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\sqrt {2}}-1}}$	${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {2}}-1}}$
${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}{\bigl(}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}}$	${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$
${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl(}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}}$	${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$
${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}$	${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {2}}-1}}$	${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {2}}-1}}$
${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}$	${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl(}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}}$

추가값

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \operator name {cl} n\varpi }$	${\displaystyle \operatorname {sl} n\varpi}$
${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}$	${\displaystyle \tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operator name {arcoth}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos ({\tfrac {3}{14}\pi )\cot ({\tfrac {1}{28}\pi )}+\cos ({\tfrac {1}{7}\pi ){\bigr \}}}$
${\displaystyle {\tfrac {5}{12}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left ({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}\sin \left ({\tfrac {1}{24}\pi \right)\right]{\Bigl(}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt{3}}+3}}-1{\Bigr}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left ({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}\sin \left ({\tfrac {1}{24}\pi \right)\right]{\Bigl(}{\sqrt[{4}}{2{\sqrt{3}}+3}}+1{\Bigr}}$
${\displaystyle {\tfrac {2}{5}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}({\sqrt[4}}{5}}-1){\bigl(}{\sqrt{5}}+2}}-1{\bigr )}$	${\displaystyle 2\,{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}-2}}\,{\sqrt {\sin ({\tfrac {3}{20}}\pi )\cos ({\tfrac {1}{20}\pi )}$
${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}$	${\displaystyle {\sqrt {{4}}{\sqrt {2}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}{\bigr )}}}.$	${\displaystyle {\sqrt {{4}}{\sqrt[{2}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {2}}+1+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}{\bigr )}}}.$
${\displaystyle {\tfrac {5}{14}}$		${\displaystyle \tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operator name {arcoth} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\sin ({\tfrac {1}{7}\pi )\cot ({\tfrac {3}{28}\pi )}+\sin ({\tfrac {1}{14}\pi ){\bigr \}\pi ){\bigr \}}$
${\displaystyle {\tfrac {3}{10}}$	${\displaystyle 2\,{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}-2}}\,{\sqrt {\sin ({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos ({\tfrac {3}{20}\pi )}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt[{4}}{5}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt{5}}+2}}+1{\bigr )}}$
${\displaystyle {\tfrac {2}{7}}$	${\displaystyle \tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operator name {arcoth}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos ({\tfrac {1}{14}\pi )}\tfrac {5}\pi )}+\sin ({\tfrac {3}{14}\pi ){\bigr \}\pi ){\bigr \}}$
${\displaystyle {\tfrac {3}{14}}$		${\displaystyle \tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operator name {arcoth}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos ({\tfrac {1}{14}\pi )}\tfrac {5}\pi )}+\sin ({\tfrac {3}{14}\pi ){\bigr \}\pi ){\bigr \}}$
${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt[{4}}{5}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt{5}}+2}}+1{\bigr )}}$	${\displaystyle 2\,{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}-2}}\,{\sqrt {\sin ({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos ({\tfrac {3}{20}\pi )}$
${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}$	${\displaystyle \tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operator name {arcoth} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\sin ({\tfrac {1}{7}\pi )\cot ({\tfrac {3}{28}\pi )}+\sin ({\tfrac {1}{14}\pi ){\bigr \}\pi ){\bigr \}}$
${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}$	${\displaystyle {\sqrt {{4}}{\sqrt[{2}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {2}}+1+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}{\bigr )}}}.$	${\displaystyle {\sqrt {{4}}{\sqrt {2}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}{\bigr )}}}.$
${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}$	${\displaystyle 2\,{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}-2}}\,{\sqrt {\sin ({\tfrac {3}{20}}\pi )\cos ({\tfrac {1}{20}\pi )}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}({\sqrt[4}}{5}}-1){\bigl(}{\sqrt{5}}+2}}-1{\bigr )}$
${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left ({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}\sin \left ({\tfrac {1}{24}\pi \right)\right]{\Bigl(}{\sqrt[{4}}{2{\sqrt{3}}+3}}+1{\Bigr}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left ({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}\sin \left ({\tfrac {1}{24}\pi \right)\right]{\Bigl(}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt{3}}+3}}-1{\Bigr}}$
${\displaystyle {\tfrac {1}{14}}$		${\displaystyle \tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operator name {arcoth}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos ({\tfrac {3}{14}\pi )\cot ({\tfrac {1}{28}\pi )}+\cos ({\tfrac {1}{7}\pi ){\bigr \}}}$

기하학적 도형과의 관계

베르누이 렘니케이트의 호 길이

반치폭 1인 베르누이의 렘니스케이트는 두 초점 $F$ ${\displaystyle 1_{}}$ = (${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2\frac{}{}}$ 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle F_{1$}={\$bigl (}{-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},$ 0${\bigr )}, F$ ${\displaystyle 2_{}}$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{}}$ ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle F_{2$}={\$bigl (}{\tfrac {1}{\sqrt {2}}, 0{\bigr )}}$이 상수 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\di$$spaystyle {\tfrac$ {1$}{2}}.$극 방정식 r ${\displaystyle 2^{}}$ $=$ ${\displaystyle \cos }$ $⁡$ ${\displaystyle 2}$ $θ$ ${\displaystyle r^{2$}$=$\$cos 2\theta}$ 또는 데카르트 방정식$$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle y^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ $=$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\bigl (}x^{2}$ + $y^{2}{\bigr )}{}^{2$}$=$ $x^{2}-y^{2}}$를 만족하는 사중 곡선입니다.$}$

원점에서 거리 $r$ ${\displaystyle r}$에 있는 렘니스케이트의 점은 원 ${\displaystyle x^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ y $2$ = r ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle x^{2}$ + y$^{2$}의 교차점입니다.}$=$ ${\displaystyle {}^{}}$$^{2}}$ 및 ${\displaystyle {하이퍼볼록스}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ $=$ r ${\displaystyle 4^{}}$ ${\displaystyle$ x$^{2}-y^{2}$$=$ r$^{4$정사분면의 교차점은 직교좌표를 갖습니다.

${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}\!{\sqrt{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\bigr}}},\,{\sqrt{\tfrac {1}{2}r^{2}{\bigr}},\,{\bigr}},{\bigr}}.$

렘니스케이트의 1/4에 대해 $r$ ∈ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle r\in [0,1]}$을(를) 사용하여 원점에서 점 (${\displaystyle x(r}$ ),${\displaystyle y}({\displaystyle r)}$ ${\displaystyle {\big (}x(r),y(r ){\big )}$까지의 매개 변수화를 사용하면 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{r}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t}\\&\quad {}=\int _{0}^{r}{\sqrt {(1+2t^{2})^{2}}}+{\frac {(1-2t^{2})^{2}}}{{2(1-t^{2}}}}\mathop {\mathrm {d} t}\[6mu]&\int {0}^{r}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}}$

마찬가지로$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle 1,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$에서${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$(${\displaystyle r),}$ y${\displaystyle }$(${\displaystyle r}$)${\$까지의 호 길이는 다음과$$ 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{r}^{1}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t}\&\quad {}=\int _{r}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arccl} r={\tfrac {1}{2}\varpi -\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}}$

또는 역방향에서 렘니세이트 사인 함수와 코사인 함수는$$원점과 점 ($,${\$displaystyle (1,0)}$로부터의 호 길이 함수로 각각 원점과의 거리를 제공합니다.

마찬가지로, 원형 사인 및 코사인 함수는 위의 동일한 인수를 사용하지만 매개 변수화를 사용하여 극성 방정식 $r$ = ${\displaystyle \cos }$ ⁡ θ ${\displaystyle$r =\$cos \theta}$ 또는 데카르트 방정식 $x$ ${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ = ${\displaystyle x}$,${\displaystyle x^{2}$ + $y^{2$} = $x,}$과(와) 단위 지름 원에 대한 코드 길이를 관련시킵니다.

${\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}r^{2}},\,{\sqrt {r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}\,{\biggr )}}.$

또는, 단위 $원$ x${\displaystyle 2^{}}$ + ${\displaystyle y^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ x$^{2}$ + $y^{2$} = $1}$이(가) 점$({\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 0)}${\$displaystyle(1, 0)}$에서 호 길이$${\$displaystyle s}$로 매개 변수화된 것처럼,

${\displaystyle (x(s),y(s)=(\cos,\sin),}$

렘니스케이트는 점${\displaystyle }$(${\displaystyle 1,0)}$ ${\displaystyle(1,0)}$에서 원호 $길이{\displaystyle }$ ${\displaystyles}$로^[30] 매개 변수화됩니다.

${\displaystyle(x(s))=\left ({\frac {\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl}^{2}s}},{\frac {\operatorname {sl} s\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl}^{2}s}\right)=\left ({\tilde {\operatorname {cl}}\,s,{\tilde {\operatorname {sl}}\,s\right}.$

렘니세이트 적분과 렘니세이트 함수는 1718년 파냐노가 발견한 중복 항등식을 만족합니다.^[31]

${\displaystyle \int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=2\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}},\quad {\text{if}}}z={\frac {2u{\sqrt {1-u^{4}}}}{1+u^{4}}}}{1+u^{4}}.}}}{{\text{및 }}0\leq qu\leq {\sqrt{\sqrt{2}}-1}}}.$

후에 수학자들은 이 결과를 일반화했습니다.원에 있는 구성 가능한 다각형과 유사하게, 렘니세이트는 n이 $n$ = ${\displaystyle {2k}^{}}$ p ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ⋯ ${\displaystyle {pm}_{}}$ ${\displaystyle$n=$2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m}$인 경우에만 직선 가장자리와 나침반을 사용하여 같은 호 길이의 n개 섹션으로 분할할 수 있습니다. 여기서 k는 음이 아닌 정수이고 각 p(있는 경우)는 별개의 페르마 소수입니다.정리의 "만약" 부분은 닐스 아벨이 1827년에서 1828년 사이에 증명했고, "만" 부분은 1981년 마이클 로젠이 증명했습니다.^[33]이와 동일하게 렘니세이트는 φ${\displaystyle (n)}$ ${\displaystyle \varphi(n)}$가 2의 거듭제곱인 경우(여기서 φ ${\displaystyle \varphi }$는 오일러의 토티언트 함수임)에만 직선 에지와 나침반을 사용하여 같은 호 길이의 n개 구간으로 분할할 수 있습니다.렘니스케이트는 이미 그려진 것으로 가정되지 않습니다. 이 정리는 분할점만 구성하는 것을 말합니다.

$r$ ${\displaystyle j_{}}$ = ${\displaystyle \mathrm{sl}}$ ⁡ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{j}{}}}$ ϖ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{}{}}}$ ${\displaystyle r_{j$}=\$operatorname {sl} {\dfrac {2j\varpi}{n}}$라고 합니다$.$ 그렇다면 렘니스케이트$({\displaystyle {x2}^{}}$+ ${\displaystyle y^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{2}^{}}$ = ${\displaystyle {x2}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{y2}^{}}$ ${\displaystyle(x^{2}$ + $y^{2})^{2$} = $x^{2}$ - $y^{2}}$이(가) 점입니다.

${\displaystyle \left(r_{j}{\tfrac {1}{2}}{{\bigr}}},\bigl(1+r_{j}^{2}{\bigr}}},\(1)^{\left\l floor 4j/n\right\rfloor}{\sqrt {\tfrac {1}{2}}{\bigl(1-r_{j}^{2}{\bigr}}}\right),\quad j\in \{1,2,\ldots,n\})$

여기서 ⌊ ⋅ ⌋ $displaystyle \$l floor $\cdot \rfloor}$는 플로어 함수입니다.${\displaystyle \mathrm{sl}}$ ⁡ ${\displaystyle 2}$ ϖ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{}{}}}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} {\dfrac {2\varpi}$ ${n}}$의 일부 특정 값은 아래를 참조하십시오$.$

직사각형 탄성체의 원호 길이

역 렘니세이트 사인은 직사각형 탄성체의 x 좌표에 대한 호 길이도 설명합니다.^[34]이 곡선은 y개의 좌표와 호 길이를 갖습니다.

${\displaystyle y=\int _{x}^{1}{\frac {t^{2}}\mathop {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}},\quad s=\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}$

직사각형 탄성체는 1691년 Jacob Bernouli에 의해 제기된 문제를 해결합니다. 1691년, 바닥 끝에서 수직 방향으로 고정되고 끝에서 수평으로 구부러질 때까지 무게에 의해 아래로 당겨지는 이상적인 유연한 막대의 형태를 묘사합니다.베르누이가 제안한 해결책은 오일러-베르누이 빔 이론을 확립시켰으며, 18세기에 오일러에 의해 더욱 발전되었습니다.

타원 특성화

$C$ ${\displaystyle C}$를 타원 ${\displaystyle x^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$+ 2 ${\displaystyle \mathrm{y}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x^{2}$ + $2y^{2}$=$1$의 점이라고 하고 D ${\displaystyle$ D$}$를 단위 원 $x$ ${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ $2$= 1 ${\displaystyle x^{2}$ + y$^{2$}= 1$\}$의$$C $투영$이라고 합니다.원점 $A$ ${\displaystyle A}$와 $점$ C ${\displaystyle C}$ 사이의 $거리$ r ${\displaystyle r}$은($각$ ${\displaystyle \mathrm{BAC}}$ ${\$displaystyle$$$BAC$$},$ 여기서 B = (1,0) {\$displaystyle$ B${\displaystyle }$= ($1,0);$ ${\displaystyle \mathrm{BD}}$ ${\displaystyle BD}$의 길이와 동일함$)$ φ ${\displaystyle$ r$}$의 함수입니다.매개 변수 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은(는) 다음과 같습니다.

${\displaystyle u=\int _{0}^{\varphi }r(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1+\sin ^{2}\theta }}}}$

만약 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$가 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 x축 투영이고,$$F {\$displaystyle F}$가 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 x축 투영이면, 렘니세이트 타원 함수는 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle \operatorname {cl} u={\overline {AF}},\quad \operatorname {sl} u={\overline {DE}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl}}}\,u={\overline {AF}},\quad {\tilde {\operatorname {sl}}}\,u={\overline {AF}{\overline {FC}}}$

영상 시리즈 아이덴티티

멱급수

원점에서 렘니세이트 사인의 멱급수 확장은^[35]

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}= z-12{\frac {z^{5}}{5!}}+3024{\frac {z^{9}}{9!}}-4390848{\frac {z^{13}}{13!}}+\cdots ,\quad z <{\tfrac {\varpi}{\sqrt {2}}}}$

여기서 계수$${\$displaystyle$a_${n$}}는 다음과 같이 결정됩니다.

${\displaystyle n\not \equiv 1{\pmod {4}}\implies a_{n}=0,}$

${\displaystyle a_{1}=1,\,\모든 n\in \mathbb {N} _{0}:\,a_{n+2}=-{\frac {2}{(n+1)(n+2)}}\sum _{i+j+k=n}a_{i}a_{j}a_{k}}$

여기서 $i{\displaystyle }$+ ${\displaystyle j}$+ ${\displaystyle k}$ = ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ i + $j$+ k = n$}$은 $n$ ${\displaystyle n}$의 모든 3항 구성을 나타냅니다$.$ 예를 들어, ${\displaystyle {13}_{}}$ ${\displaystyle a_{13}}$를 평가하기 위해$$합에 ${\displaystyle 0}$이 아닌 기여를 주는 ${\displaystyle 13}$ -${\displaystyle 2}$ = ${\displaystyle 11}$ ${\displaystyle$ 13 - 2 = $11}$의 구성은 11 = ${\displaystyle 9}$+ ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle 1}$= ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle 9}$ + 1 = 1 +${\displaystyle 1}$ +${\displaystyle 9}$ ${\displaysty$}의 6개뿐임을 알 수 있습니다.$le 11=9+1+1=1+9+1=1+1+9},$ ${\displaystyle 11}$$=$${\displaystyle 5+5+1}$$=$5+${\displaystyle 5}$$=$$+$ 11$=$$5+5+1$$=$$5+1$$=$$1+5}$이므로$,$

${\displaystyle a_{13}=-{\tfrac {2}{12\cdot 13}}(a_{9}a_{1}a_{9}a_{1}+a_{1}a_{1}a_{1}a_{1}a_{9}+a_{5}a_{1}a_{1}a_{5}a_{1}a_{5}a_{5}a_{1}a_{5}a_{5}=-{\tfrac {11}{15600}}}$

확장은 다음과^[36] 같이 동등하게 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty}p_{2n}{\frac {z^{4n+1}}{(4n+1)!}},\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{\sqrt {2}}}}$

어디에

${\displaystyle p_{n+2}=-12\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}p_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}p_{j-k},\quad p_{0}=1,\,p_{1}=0}.$

원점에서$$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{sl}}}$ ~${\$의 멱급수 확장은

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl}}}\,z=\sum _{n=0}^{\infty}\alpha _{n}z^{n}=z-9{\frac {z^{3}}{3!}}+153{\frac{z^{5}}{5!}}-4977{\frac{z^{7}}{7!}}+\cdots ,\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{2}}}$

여기서 $n$ ${\displaystyle n}$이 짝수인 $경우$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \alpha_{n$}=$0}$

${\displaystyle \alpha_{n}={\sqrt {2}}{\frac {\pi}{\varpi }}{\frac {(-1)^{(n-1)/2}}{n!}}\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {(2k\pi /\varpi )^{n+1}}},\cosh k\pi }},\quad \left \alpha_{n}\right \sim 2^{n+5/2}{\frac {n+1}{\varpi ^{n+2}}}.$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 홀수인 경우.

확장은 다음과^[38] 같이 동등하게 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl}}}\,z=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}}{\binom {2n+2}{2l+1}s_{l}t_{n-l}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}{(2n+1)}{\frac {z^{n+1)}{(2n+1)}}{(2n+1)!}},\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{2}}}$

어디에

${\displaystyle s_{n+2}=3s_{n+1}+24\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}s_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}s_{j-k},\quad s_{0}=1,\,s_{1}=3,}$

${\displaystyle t_{n+2}=3t_{n+1}+3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}t_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}t_{j-k},\quad t_{0}=1,\,t_{1}=3}.$

렘니스케이트 코사인의 경우,^[39]

${\displaystyle \operatorname {cl} {z}=1-\sum _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}{\binom {2n+2}{2l+1}}q_{l}r_{n-l}\right){\frac {z^{2n+2}}{(2n+2)}{{(2n+2)!}}=1-2{\frac {z^{2}}{2!}}}+12{\frac{z^{4}}{4!}}-216{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots ,\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{2}},}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl}}}\,z=\sum _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}2^{n}q_{n}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}=1-3{\frac {z^{2}}{2!}}}+33{\frac{z^{4}}{4!}}-819{\frac{z^{6}}{6!}}+\cdots ,\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{2}}}$

어디에

${\displaystyle r_{n+2}=3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}r_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}r_{j-k},\quad r_{0}=1,\,r_{1}=0,}$

${\displaystyle q_{n+2}={\tfrac {3}{2}}q_{n+1}+6\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}q_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}q_{j-k},\quad q_{0}=1,\,q_{1}={\tfrac {3}{2}}}.$

라마누잔의 코스/코스 정체성

라마누잔의 유명한 코스/코스 정체성은 만약

${\displaystyle R(s)={\frac {\pi}{\varpi {\sqrt {2}}}}\sum_{n\in \mathbb {Z}}{\frac {\cos(2n\pi/\varpi)}{\cosh n\pi}}}$

그^[37] 때

${\displaystyle R(s)^{-2}+R(is)^{-2}=2,\quad \left \operatorname {Re} s\right <{\frac {\varpi}{2}},\left \operatorname {Im} s\right <{\frac {\varpi}{2}}}$

렘니스케이트 함수와 $R{\displaystyle (s)}$ ${\displaystyle R(s)}$ 사이에는 밀접한 관계가 있습니다$.$ 실제로,^[37][40]

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl}}}\,s=-{\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}}R(s)\quad \left \operatorname {Im}s\right <{\frac {\varpi}{2}}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl}}}\,s={\frac {\mathrm {d} s}}{\sqrt {1-R(s)^{2}}},\quad \left \operatorname {Re} s-{\frac {\varpi}{2}}\right <{\frac {\varpi}},\,\left \operatorname {Im} s\right <{\frac {\varpi}{2}}$

그리고.

${\displaystyle R(s)={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sl}^{2}s}},\quad \left \operatorname {Im} s\right <{\frac {\varpi}{2}}}$

연속분수

$z$ ∈ ${\displaystyle C}$ ∖${\displaystyle }${${\displaystyle 0\}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty}}e^{-tz{\sqrt {2}}\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\ cfrac {1/{\sqrt {2}}{z+{\sqrt {2}}{{z+{a_{2}}{z+{\dots}}},\ quad a_{n}={\frac {n^{2}}{(-1)^{n+1}+3}}}}.$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty}}e^{-tz{\sqrt {2}}\operatorname {sl} t\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\cfrac {1/2}{z^{2}+b_{1}-{\ cfrac {a_{1}}{z^{2}+b_{2}-{\ cfrac {a_{2}}{z^{2}+b_{3}-\dots }}}},\quad a_{n}=n^{2}(4n^{2}-1),\,b_{n}=3(2n-1)^{2}}}}},\n\n}}}3(2n-1)}$

계산법

${\displaystyle \mathrm{sl}}$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} x}$을(를) 계산하는 여러 방법은 먼저 변수를 π ${\displaystyle x}$ = ϖ ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle \pi$x=\$varpi {\tilde {x}}}$으로 변경한 후 ${\displaystyle \mathrm{sl}}$ ⁡${\displaystyle (}$ϖ ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$~ /${\displaystyle }$π)을 계산하는 것입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \operatorname {sl}(\varpi {\tilde {x}}/\pi$})을(를) 계산하는 것입니다$.$

쌍곡 직렬 방식:^[44][45][46]

${\displaystyle \operatorname {sl} \left ({\frac {\varpi}{\pi }}x\right)={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z}{\frac {(-1)^{n}}{\cosh(x-(n+1/2)\pi )}},\quad x\in \mathbb {C}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sl}(\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi}{\varpi }}\sum_{n\in \mathbb {Z}{\frac {(-1)^{n}}{\sinh }{\left(x-n\pi \right)}}={\frac {\pi}{\varpi}}\sum_{n\in \mathbb {Z}}{\frac {(-1)^{n}}{\sin(x-n\pi)}},\quad x\in \mathbb {C}}$

푸리에 급수 방법:^[47]

${\displaystyle \operatorname {sl} {\bigl(}{\frac {\varpi}}{\pi}}x{\Bigr}}={\frac {2\pi}{\varpi}}\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}\sin((2n+1)x)}{\cosh(((n+1/2)\pi )}},\quad \left \operatorname {Im} x\right <{\frac {\pi}{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {cl} \left ({\frac {\varpi}{\pi }}x\right)={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\cos(((2n+1)x)}}{\cosh(((n+1/2)\pi )}},\quad \left \operatorname {Im} x\right <{\frac {\pi}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sl}(\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi}{\varpi }}\left ({\frac {1}{\sin x}}-4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x)}{e^{(2n+1)\pi }+1}}\right),\quad \left \operator name {Im} x\right <\pi }$

렘니세이트 함수는 다음과 같이 더 빠르게 계산될 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} {\Bigl(}{\frac {\varpi}}{\pi}}&={\frac {\theta _{1}}{\left(x,e^{-\pi}\right)}}{{\theta _{3}}{\left(x,e^{-\pi}\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \\\operatorname {cl} {\Bigl(}{\frac {\varpi}}{\pi}}&={\frac {\theta _{2}}{\left(x,e^{\pi}\right)}}{{\theta _{4}}{\left(x,e^{-\pi}\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \end{aligned}}}$

어디에

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(x,e^{-\pi})&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n+1}e^{-\pi(n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi(n+1/2)^{2}}\sin((2n+1)x),\\\theta _{2}(x,e^{-\pi})&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z}e^{-\pi (n+1/2)^{2}}\cos((2n+1)x),\\\theta _{3}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx,\theta _{4}(x,e^{-\pi })&\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum_{n\in \mathbb {Z} ^{n}e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx\end{aligned}}$

자코비 ^[48]세타 함수입니다

렘니세이트 사인의 로그에 대한 푸리에 급수:

${\displaystyle \ln \operatorname {sl} \left ({\frac {\pi }{\pi }}x\right)=\ln 2-{\frac {\pi }{4}}+\ln \sin x+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cos 2nx}{n(e^{n\pi }+(-1)^{n}}},\quad \left \operatorname {Im}x\right <{\frac {\pi }{2}}}$

라마누잔이 발견한 일련의 동일성은 다음과 같습니다.^[49]

${\displaystyle {\frac {\varpi ^{2}}{\pi ^{2}\operatorname {sl} ^{2}(\varpi x/\pi )}={\frac {1}{\sin ^{2}x}}-{\frac {1}{\pi }}-8\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {n\cos 2nx}{e^{2n\pi }-1}},\quad \left \operatorname {Im} x\right <\pi }$

${\displaystyle \arctan \operatorname {sl} {\bigl(}{\frac {\varpi}}{\pi}}=2\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {\sin((2n+1)x)}{(2n+1)\cosh(((n+1/2))\pi )}},\quad \left \operatorname {Im} x\right <{\frac {\pi}{2}}}$

단위 원의$$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \sin}$$$및 ${\displaystyle \mathrm{cos<img\; alt="\backslash sin\; "\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/ee55beec18afd710e7ab767964b915b020c65093"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:2.856ex;\; height:2.176ex;">}}$ ${\displaystyle \cos}$과(와$$$)$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{유사}}}$한 함수 $sl$ ${\displaystyle \stackrel{}{~}}$ ${\$$displaystyle$ ${\operatorname$${cl}}}$ 및 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{cl<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \{\backslash tilde\; \{\backslash operatorname\; \{sl\}\; \}\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/03ab20f2b0ef69467801da1f5139c49c9173da55"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.563ex;\; height:2.676ex;">}}}$~ {\$displaystyle {\operatorname$ {cos}}에는 다음과 같은 푸리에 및 쌍곡 급수 확장이 있습니다.^[37][40][50]

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl}}}\,s=2{\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {n\sin(2n\pi s/\varpi )}{\cosh n\pi }},\quad \left \operatorname {Im} s\right <{\frac {\varpi }{2}}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl}}}\,s={\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)\cos((2n+1)\pi s/\varpi )}{\sinh((n+1/2)\pi )}},\quad \left \operatorname {Im} s\right <{\frac {\varpi}{2}}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl}}}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n\in \mathbb {Z}{\frac {\sinh(\pi (n+s/\varpi))}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi))}},\quad s\in \mathbb {C}}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl}}}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n\in \mathbb {Z}{\frac {(-1)^{n}}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi )}},\quad s\in \mathbb {C}}$

다른 두 가지 빠른 계산 방법은 다음과 같은 합과 곱 시리즈를 사용합니다.

이 제품은 A Course of Modern Analysis 교과서에 설명되어 있습니다.^[51]

${\displaystyle \mathrm {sl} {\frac {\varpi}}{\pi }x{\Bigr )}=2e^{-\pi /4}\sin x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }{1+2e^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi },\cos 2x\in \mathbb {C}}$

${\displaystyle \mathrm {cl} {\frac {\varpi}}{\pi }x{\Bigr}}=2e^{-\pi /4}\cos x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }{1-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi },\cos 2x\in \mathbb {C}}$

Peter와 Jonathan Borwein 형제는 Jacobi 타원함수 일반적인 경우를 언급함으로써 그들의 작업 π과 AGM에서 유사한 공식을 설명했습니다.

동일한 패턴에서 접선 복제 정리를 사용하여 합 공식을 설정할 수 있습니다.

${\displaystyle {\text{sl}}{\bigl(}{\frac {\varpi}}{\pi }x{\bigr}}=f{\biggl(}{\frac {4\pi}{\varpi }}\sin x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2n-1)\pi]}{\cos ^{2}x}{\biggr}}}}{\cos ^{2}x}}.$

${\displaystyle {\text{cl}}{\bigl(}{\frac {\varpi}}{\pi}}x{\bigr}}=f{\biggl(}{\frac {4\pi}{\varpi }}\cos x\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {\cosh[(2n-1)\pi]}{\cosh ^{2}[(2n-1)\pi]-\sin ^{2}x}{\biggr}}}}{\cosh ^{2}x}}.$

여기서 $f$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \tan }$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \arctan }$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ) =${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x}$ / ${\displaystyle (1}$ -${\displaystyle }$x ${\displaystyle 2^{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ f ($x)$ =\$tan (2\arctan$x) = $2x/$ (1 - x$^{2})$ .}

렘니세이트는 전체 기능의 비율로 기능합니다.

렘니세이트 사인은 복소평면 전체에서 메로모형 함수이므로, 전체 함수의 비율로 표기할 수 있습니다.가우스는 sl이 0과 극의 분포를 반영하여 다음과 같은 제품 확장을 나타냄을 보여주었습니다.^[52]

${\displaystyle \operatorname {sl} z={\frac {M(z)}{N(z)}}$

어디에

${\displaystyle M(z)=z\prod _{\alpha}\left(1-{\frac {z^{4}}{\alpha ^{4}}\right),\quad N(z)=\prod _{\beta }\left(1-{\frac {z^{4}}{\beta ^{4}}\right).}$

여기서 $\alpha$ ${\displaystyle \alpha }$ 및 $\beta${\$displaystyle \beta$}는 ⁡ z> 0 에 있는 sl의 0과 극, ≥ ⁡0 {\$displaystyle$ \$operatorname {Re}$ z > 0,\$operatorname {Im}$z$\geq$ 0$}$을 나타냅니다 증명은 에서 찾을 수 있습니다.

가우스는 ${\displaystyle \ln }$ ⁡ ${\displaystyle N(}$ϖ${\displaystyle )}$ = π${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \ln$ N$(\varpi$) =\$pi /2}($이는 나중에 사실로 밝혀졌다)라고 추측하고 이것이 "가장 주목할 만한 것이며 이 성질의 증거는 분석에서 가장 심각한 증가를 약속한다"고 언급했습니다.가우스는 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 제품을 무한급수로$$ 확장하였습니다.그는 $또한{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$ $함수$와 N$${\$displaystyle N}$ 함수와 관련된 몇 가지 항등식을 발견했습니다$.$

${\displaystyle N(z)={\frac {M((1+i)z)}{(1+i)M(z)}},\quad z\not in \varpi \mathbb {Z} [i]}$

그리고.

${\displaystyle N(2z)=M(z)^{4}+N(z)^{4}}$

함수 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(가) 전체 함수이므로 멱급수 확장은 복소 평면의 모든 곳에 수렴합니다.^[55][56][57]

${\displaystyle M(z)=z-2{\frac {z^{5}}{5!}-36{\frac {z^{9}}{9!}}}+552{\frac{z^{13}}{13!}}}+\cdots,\quadz\in \mathbb {C}}$

${\displaystyle N(z)=1+2{\frac {z^{4}}{4!}}-4{\frac {z^{8}}{8!}}}+408{\frac{z^{12}}{12!}}}+\cdots ,\quadz\in \mathbb {C} .$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 및 $T$ ${\displaystyle T}$를 다음과 같이 정의합니다.

${\displaystyle S(z)=N\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2}-iM\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2},\quad T(z)=S(iz)}$

그렇다면 렘니스케이트 코사인은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {cl} z={\frac {S(z)}{T(z)}}$

어디서^[58]

${\displaystyle S(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {z^{4}}{4!}}-3{\frac {z^{6}}{6!}}}+17{\frac {z^{8}}{8!}}-9{\frac {z^{10}}{10!}}+111{\frac{z^{12}}{12!}}}+\cdots,\quadz\in \mathbb {C}}$

${\displaystyle T(z)=1+{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {z^{4}}{4!}}}+3{\frac {z^{6}}{6!}}}+17{\frac {z^{8}}{8!}}}+9{\frac {z^{10}}{10!}}+111{\frac{z^{12}}{12!}}}+\cdots ,\quadz\in \mathbb {C} .$

더 나아가,

${\displaystyle M(2z)=2M(z)N(z)S(z)T(z),}$

${\displaystyle S(2z)=N(z)^{4}-2N(z)^{2}M(z)^{2}-M(z)^{4}}$

${\displaystyle T(2z)=N(z)^{4}+2N(z)^{2}M(z)^{2}-M(z)^{4}}$

피타고라스의 정체성과

${\displaystyle M(z)^{2}+S(z)^{2}=N(z)^{2}}$

${\displaystyle M(z)^{2}+N(z)^{2}=T(z)^{2}}$

$z$ ∈ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C}}$에 대해 입력합니다$.$

렘니세이트 함수를 전체 함수의 비율로 표현하는 대안적인 방법은 세타 함수를 포함합니다(렘니세이트 타원 함수 § 계산 방법 참조; 세타 함수와 위 함수는 동등하지 않습니다).

다른 기능과의 관계

바이어슈트라스와 야코비 타원함수와의 관계

렘니세이트 함수는 바이어슈트라스$$타원 함수 ℘(z;${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle \wp(z; 1, 0)}("$렘니세틱 케이스")와 밀접한 관련이 있으며, 불변량은 g = 1, g = 0입니다.이 격자는 기본 주기 ω ${\displaystyle 1_{}}$ = ${\displaystyle 2}$ ϖ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \omega_{1$}={\$sqrt {2}}\varpi ,},$ ω ${\displaystyle 2_{}}$ = ${\displaystyle i}$ ω ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \omega_{2$}=$i\omega_{1}}$를 갖습니다$.$Weierstrass 함수의 연결 상수는 e ${\displaystyle 1_{}}$ = 1 ${\displaystyle \frac{2}{},}$ ${\displaystyle \text{e}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ = ${\displaystyle 0,}$ e ${\displaystyle 3_{}}$ =${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle e_{1$}={\$tfrac {1}{2}},\ e_{2$}=$0,\ e_{3$}=-{\$tfrac {1}{2}}}$입니다.

g = a, g = 0인 Weiersstrass 타원 함수의 관련 사례는 스케일링 변환에 의해 처리될 수 있습니다.그러나 여기에는 복잡한 숫자가 포함될 수 있습니다.실수 내에 남아 있으려면 a > 0과 a < 0의 두 가지 경우를 고려해야 합니다.주기 평행사변형은 정사각형 또는 마름모꼴입니다.Weiersstrass 타원 함수$$℘${\displaystyle (z;}$- ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \wp(z;-1,0)}$을(를) "의사 난시"라고 합니다.

렘니세이트 사인의 제곱은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1}{\wp(z;4,0)}={\frac {i}{2\wp(((1-i)z;-1,0)}={-2\wp}{\left ({\sqrt {2}}z+(i-1){\frac {\varpi}{\sqrt {2};1,0\right)}}$

여기서 ℘ ${\displaystyle \wp}$의 두 번째 및 세 번째 인수는 격자 불변량 g와 g를 나타냅니다.또 다른 표현은

${\displaystyle \operatorname {sl} ^{2}z={\frac {\varpi ^{2}}{\wp(z/\varpi,i)}}$

여기서 ℘ ${\displaystyle \wp}$의 두 번째 인수는 주기비 τ ${\displaystyle \tau}$를 나타냅니다$.$ 렘니세이트 사인은 바이어슈트라스 타원 함수 및 그 도함수에서 유리 함수입니다.

${\displaystyle \operatorname {sl} z=(i-1){\frac {\wp((1+i)z;1/4,0)}{\wp '(1+i)z;1/4,0)}}$

여기서 ℘ ${\displaystyle \wp}$의 두 번째 및 세 번째 인수는 격자 불변량 g와 g를 나타냅니다.주기 비율 τ ${\displaystyle \tau}$의 경우 다음과 같습니다$.$

${\displaystyle \operatorname {sl} z=2\varpi(i-1){\frac {\wp((1+i)z/(2\varpi),i)}{\wp '(1+i)z/(2\varpi)}}}$

렘니세이트 함수는 야코비 타원 함수로도 쓸 수 있습니다.양의 실제 타원 계수를 가진$$ 자코비 타원 함수 ${\displaystyle \mathrm{sn}}$ ${\displaystyle \operatorname {sn}$과 ${\displaystyle \mathrm{cd<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{sn\}\; \}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/07fc4a1c1c7d5576f9e6b5d6e8aa30337c9531ab"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:2.209ex;\; height:1.676ex;">}}$ ${\displaystyle \operatorname {cd}}은($는) 실제 축과 가상 축에 정렬된 "직립" 직사각형 격자를 가지고 있습니다.또는 모듈러스 i가 있는$$ 함수 ${\displaystyle \mathrm{sn}}$ ${\displaystyle \operatorname {sn}}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{cd<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{sn\}\; \}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/07fc4a1c1c7d5576f9e6b5d6e8aa30337c9531ab"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:2.209ex;\; height:1.676ex;">}}$ ${\$$displaystyle$$$\$operatorname {cd}($및 모듈러스 $/2$가 있는$$ ${\displaystyle \mathrm{sd}}$ {\$displaystyle$ \$operatorname {sd}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{cn}}$ ${\displaystyle$$\operatorname${$cn})$의 제곱 주기 격자가 1/8 회전합니다$.$^[62][63]

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatorname {sn}(z;i)=\operatorname {sc}(z;{\sqrt {2}}={{\tfrac {1}{\sqrt {2}}\operatorname {sd}\left ({\sqrt {2}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {cd}(z;i)=\operatorname {dn}(z;{\sqrt {2}}={\operatorname {cn}\left ({\sqrt {2}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right)}$

여기서 두 번째 인수는 타원 모듈러스 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$를 나타냅니다$.$

${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{함수}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{sl}}}$~${\displaystyle \stackrel{}{}}$${\${sl$$$}}},$ $cl$ ~ {\$displaystyle {\tilde {\$operatorname {$cl}}}$도 야코비 타원 함수로 표현할 수 있습니다$$.

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl}}}\,z=\operatorname {cd}(z;i)\operatorname {sd}(z;i)=\operatorname {dn}(z;{\sqrt {2})\operatorname {sn}(z;{\sqrt {2})={\tfrac {1}{\sqrt {2}}\operatorname {cn}\left ({\sqrt {2}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right)\operatorname {sn}\left ({\sqrt {2}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right},}$

${\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl}}}\,z=\operatorname {cd}(z;i)\operatorname {nd}(z;i)=\operatorname {dn}(z;{\sqrt {2})\operatorname {cn}(z;{\sqrt {2})=\operatorname {cn} \left ({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right)\operatorname {dn} \left ({\sqrt {2}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right}.$

모듈식 람다 함수와의 관계

렘니세이트 사인은 모듈러 람다 함수의 값을 계산하는 데 사용할 수 있습니다.

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\;{\operatorname {sl}}{\left ({\frac {2k-1}{2n+1}}{\frac {\varpi}{2}}\right)}= {\sqrt[{8}]{\frac {\lambda((2n+1)i)}{1-\lambda((2n+1)i)}}}}$

예를 들어,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\operatorname {sl}}{\bigl(}{\tfrac {1}{14}}\varpi {\bigr )}\, {\operatorname {sl}{\bigl(}{\tfrac {3}{14}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl}}{\bigl(}{\tfrac {5}{14}}\varpi {\bigr}}\[7mu]&\quad {}={\sqrt[{8}}{\frac {\lambda(7i)}{1-\lambda(7i)}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccsc}}{\Bigl(}{\tfrac {1}{2}}}{\sqrt {8{\sqrt {7}+21}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {7}}+{\Bigr}}\[18mu]&amp;{\operatorname {sl}}{\bigl(}{\tfrac {1}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl}{\bigr )}{\bigl(}{\tfrac {3}{18}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl}{\bigl(}{\tfrac {5}{18}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl}}{\bigl(}{\tfrac {7}{18}}\varpi {\bigr )}\[-3mu]&\quad {}={\sqrt[{8}}{\frac {\lambda(9i)}{1-\pi }}={\tan }{\biggl(}{\frac {\pi }{4}}-{\arctan }{\biggl(}{\frac {2{\sqrt[{3}}}-{\sqrt{3}}-2{\sqrt[{3}}}-2{\sqrt{3}}-2{\sqrt{3}}}+{\sqrt{3}}-1}{\sqrt[{4}}{12}}{\biggr )}{\end{aligned}}$

역함수

렘니세이트 사인의 역함수는 렘니세이트 아크사인이며, 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}}$

또한 기하학 함수로 나타낼 수도 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x=x\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}};{\tfrac {5}{4};x^{4}\right).}$

렘니세이트 코사인의 역함수는 렘니세이트 아르코신입니다.이 함수는 다음 식으로 정의됩니다.

${\displaystyle \operatorname {arccl} x=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} x}$

구간 -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle \le }$ 1 ${\displaystyle -1\leq x\leq 1$의 경우 ${\displaystyle \mathrm{sl}}$ ⁡ ${\displaystyle \mathrm{arcsl}}$ ⁡ ${\displaystyle x}$ = x ${\displaystyle \operatorname {sl} \operatorname {arcsl}$ x = ${\displaystyle x}$$$⁡$\operatorname {cl} \operatorname {arccl}$x = $x}$

렘니세이트 아크 길이를 절반으로 줄이는 경우 다음 공식이 유효합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {sl}}{\bigl(}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr}&={\sin}{\bigl(}{\tfrac {1}{2}}\arcsin x{\bigr}}\,{\operatorname {sech}}{\bigl(}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} x{\bigr}}\{\operatorname {sl}{\bigl(}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr}^{2}&={\tan }{\bigl(}){\bigl({tfrac {1}{4}}\arcsin x^{2}{\bigr}\end{aligned}}$

또한 이른바 쌍곡선 렘니세이트 영역 기능이 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {aslh}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}F{\bigl [}2\arctan(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2},{\bigr ]}}$

${\displaystyle \operatorname { aclh}(x)=\int _{x}^{\infty}}{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}F{\bigl [}2\operatorname {arccot}(x);{\frac {1}{2}{\sqrt {2}},{\bigr ]}}$

${\displaystyle \operatorname { aclh}(x)={\frac {\varpi}{\sqrt {2}}-\operatorname {aslh}(x)}$

${\displaystyle \operatorname {aslh}(x)={\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} {\bigl [}x ({\sqrt {x^{4}+1}}+1)^{-1/2}{\bigr ]}$

${\displaystyle \operatorname {arcsl}(x)={\sqrt {2}}\operatorname {aslh} {\bigl [}x(1+{\sqrt {1-x^{4}})^{-1/2}{\bigr ]}}$

타원 적분을 이용한 표현

렘니세이트 아크신 및 렘니세이트 아크코신은 범례 재형성으로 표현할 수도 있습니다.

이러한 기능은 첫 번째 유형의 불완전한 타원 적분을 사용하여 직접 표시할 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}F\left({\arcsin}}{\frac {\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}{\sqrt {1+x}}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcsl} x=2({\sqrt {2}-1)F\left({\arcsin}}{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{\sqrt {1+x^{2}}}}+1}};({\sqrt {2}-1)^{2}\right)}$

렘니스케이트의 아크 길이는 타원의 아크 길이(두 번째 종류의 타원 적분으로 계산)만을 사용하여 표현할 수도 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsl} x={}&{\frac {2+{\sqrt {2}}{2}}}E\left({\arcsin}{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}{\sqrt {1+x}}{2}}+1}};({\sqrt {2}-1)^{2}\right)\[5mu]&\E\left({\arcsin}}{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}};{\frac {1}{\sqrt {2}}\right)+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}:{\sqrt {2}}(1+x^{2})+{\sqrt {1+x^{2}}}\end{aligned}}$

렘니세이트 아르코신은 다음과 같은 식을 갖습니다.

${\displaystyle \operatorname {arccl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left(\arccos x;{\frac {1}{\sqrt {2}}\right)}$

통합사용

렘니세이트 아크신은 많은 기능을 통합하는 데 사용될 수 있습니다.다음은 중요한 적분 목록입니다(적분 상수는 생략됨).

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}},\mathrm {d} x=\operator name {arcsl} x}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+1)(2x^{2}+1)}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl}}{\frac {x}{x^{2}+1}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl}}{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {x^{4}+6x^{2}}+x^{2}+1}}}}.$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}\,\mathrm {d} x= {{\sqrt {2}\operatorname {arcsl}}{\frac {x}{\sqrt {x^{4}+1}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}}{(1-x^{4})^{3}}}\,\mathrm {d} x= {{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl}}{\frac {x}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{4}+1)^{3}}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl}}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{2}^{3}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl}}{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{2}+1)^{3}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(ax^{2}+bx+c)^{3}}}\,\mathrm {d} x= {{\frac {2{\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{4a^{2}c-ab^{2}}}\operatorname {arcsl}}{\frac {2ax+b}{\sqrt {4a(ax^{2}+bx+c)}}+{\sqrt{4ac-b^{2}}}}}.$

${\displaystyle \int {\sqrt {\operatorname {sech} x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl}}\tanh {\tfrac {1}{2} x}$

${\displaystyle \int {\sqrt {\sec x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl}}\tan {\tfrac {1}{2}}x}$

쌍곡 렘니세이트 함수

기초정보

편의를 위해 σ = ${\displaystyle 2}$ ϖ$${\$displaystyle$\sigma ={\$sqrt$ {$2}}\varpi$}라고 합니다.$$σ$${\$displaystyle$\sigma }은(는) π ${\displaystyle \pi}($아래 참조)의 "원형" 아날로그입니다.σ ${\displaystyle \sigma$}의$$소수 확장${\displaystyle (}즉{\displaystyle \mathrm{,\; 3}}$.7081$$… {\$displaystyle 3.7081$\ldots$\})$은 라마누잔의 두 번째 노트 11장의 항목 34e에 나타납니다.

쌍곡 렘니세이트 사인(slh)과 코사인(clh)은 다음과 같이 타원 적분의 역으로 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle z\mathrel {\overset {*}{=}} \int _{0}^{\operatorname {slh} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}=\int _{\operatorname {clh} z}^{\infty}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4}}}}}$

여기서${\displaystyle (}$∗${\displaystyle )}$ ${\displaystyle(*)},$$z$ ${\displaystyle z}$는 모서리가 $\{$σ${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2,}$σ i${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2,}$ -${\displaystyle }$σ${\displaystyle i}$/ ${\displaystyle 2\}}${\$displaystyle \{\sigma /2,\sigma$ i$/2,-\sigma /2,-\sigma$ i$/2\}$인 정사각형에 있습니다$.$ 그 정사각형을 넘어, 함수는 전체 복소 평면에서 형형 함수로 분석적으로 계속될 수 있습니다.

완전한 적분은 다음과 같은 값을 갖습니다.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}{\bigr )}={\frac {\sigma }{2}}=1.85407\;46773\;01371\ldots }$

따라서 정의된 두 함수는 서로 다음과 같은 관계를 갖습니다.

${\displaystyle \operatorname {slh} z={\operatorname {clh}}{\Bigl(}{\frac {\sigma }{2}}-z{\Bigr}}}$

쌍곡 렘니세이트 사인과 쌍곡 렘니세이트 코사인의 곱은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \operatorname {slh} z\,\operatorname {clh} z=1}$

함수 ${\displaystyle \mathrm{slh}}$ ${\displaystyle \operatorname {slh}}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{clh}}${\$displaystyle \operatorname {clh}}$은(는) 기본 주기$${${\displaystyle }$σ,${\displaystyle }$σ$$i} {\$displaystyle$\{\$sigma,\sigma$ i$\}$인 정사각형 주기 격자를 갖습니다$.$

쌍곡 렘니세이트 함수는 렘니세이트 사인과 렘니세이트 코사인으로 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {slh} {\bigl(}{\sqrt {2}}z{\bigr}}={\frac {(1+\operatorname {cl}^{2}z)\operatorname {sl}{\sqrt {2}}\operatorname {cl}z}}$

${\displaystyle \operatorname {clh} {\bigl(}{\sqrt {2}}z{\bigr )}={\frac {(1+\operatorname {sl}^{2}z)\operatorname {cl}{\sqrt {2}\operatorname {sl}z}}$

그러나 야코비 타원 함수와 타원 모듈러스 1제곱근 2제곱근의 관계도 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {slh} z={\frac {\operatorname {sn}(z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {cd}(z;1/{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {clh} z={\frac {\operatorname {cd}(z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {sn}(z;1/{\sqrt {2}}}}$

쌍곡 렘니세이트 사인은 렘니세이트 사인과 다음과 같은 가상의 관계를 갖습니다.

${\displaystyle \operatorname {slh} z={\frac {1-i}{\sqrt {2}}\operatorname {sl} \left ({\frac {1+i}{\sqrt {2}}z\right)={\frac {\operatorname {sl} \left ({\sqrt[{4}]{-1}z\right)}{\sqrt[{4}}{-1}}}}$

이는 쌍곡선과 삼각 사인의 관계와 유사합니다.

${\displaystyle \sinh z=-i\sin(iz)={\frac {\sin \left ({\sqrt[{2}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{2}]{-1}}}}$

페르마 곡선과의 관계

쌍곡선 렘니스케이트 접선과 코탄젠트

이 이미지는 표준화된 4차 페르마 원곡선을 보여줍니다.

4차 페르마 곡선 $x$ ${\displaystyle 4^{}}$+ y $4$= 1 ${\displaystyle x^{4}$ + y$^{4$} = $}(때로는$ 꼬임꼴이라고도 함)에서 쌍곡 렘니세이트 사인과 코사인은 단위 원 $x$ ${\displaystyle 2^{}}$+ y $2$ = 1 ${\displaystyle x^{2}$ + y$^{2$} = $}(2차$ 페르마 곡선)의 접선 및 공접선 함수와 유사합니다.원점과 곡선의 한 점이 L선으로 서로 연결되어 있다면, 이 선과 x축 사이의 닫힌 영역의 두 배인 쌍곡 렘니세이트 사인은 L선 $x$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$x = $1}$과의 교차점의 y좌표입니다$.$ π ${\displaystyle \pi}$가 원 $x$ ${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ = 1 ${\$displaystyle \${\displaystyle \mathrm{pi}}$}로 둘러싸인 영역인 것처럼$유형 x^{2}+y^{2}=1$ 사각형 ${\displaystyle x^{}}$ $4$+ y ${\displaystyle 4^{}}$ $=$ 1 ${\displaystyle$ x$^{4}+y^{4$}$=$$1}$로 둘러싸인 영역은 $σ$${\displaystyle$\$sigma$}입니다$.$ 또한,

${\displaystyle M(1,1/{\sqrt {2}})={\frac {\pi}{\sigma }}$

여기서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은 산술 기하학 평균입니다.

쌍곡 렘니스케이트 사인은 인수 덧셈 항등식을 만족합니다.

${\displaystyle \operatorname {slh}(a+b)={\frac {\operatorname {slh} a\operatorname {slh} 'b+\operatorname {slh} b\operatorname {slh} 'a}{1-\operatorname {slh} ^{2}a\,\operatorname {slh} ^{2}b}}$

$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 실수이면 ${\displaystyle \mathrm{slh}}$ ${\displaystyle \operatorname {slh}}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{clh}}$ ${\displaystyle \operatorname {clh}}$의 도함수 및 원래 도함수는 다음과 같은 방식으로 표현할 수 있습니다$$.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} u}\operatorname {slh}(u)={\sqrt {1+\operatorname {slh}(u)^{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}u}\operatorname {clh}(u)=-{\sqrt {1+\operatorname {clh}(u)^{4}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}\,{\frac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}\operatorname {slh}(u)^{2}{\bigr ]}=\operatorname {slh}(u)$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}-\,{\frac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}\operatorname {clh}(u)^{2}{\bigr ]}=\operatorname {clh}(u)$

또한 쌍곡 렘니케이트 접선 및 쌍곡 렘니케이트 코안젠탈의 추가 기능이 있습니다.

함수 tlh와 ctlh는 다음과 같이 언급된 미분 방정식에 설명된 항등식을 충족합니다.

${\displaystyle {\text{tlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\sin _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {sl}(u){\sqrt {\operatorname {cl}^{2}u+1}{\operatorname {sl}^{2}u+\operatorname {cl}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\cos _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {cl}(u){\sqrt {\operatorname {sl}^{2}u+1}{\operatorname {sl}^{2}u+\operatorname {cl}}$

기능적 지정 sl은 렘니시틱 사인을 의미하고 지정 cl은 렘니시틱 코사인을 의미합니다.또한 야코비 타원 함수와의 관계는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\text{tlh}}(u)={\frac {{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}}{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}}^{4}+{\tfrac {2}}^{u;{\tfrac {1}{2}}^{4}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}(u)={\frac {{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}{\text{cd}}{(u;{\tfrac {1}{2}}^{4}+{\tfrt {2}}^{u;{\tfrac {1}{2}}^{4}}}$

$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 실수일 때 ${\displaystyle \mathrm{tlh}}${\$displaystyle \operatorname {tlh}}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{ctlh}}${\$displaystyle \operatorname {ctlh}}$의 도함수 및 사분주기 적분은 다음과 같은 방식으로 표현할 수 있습니다$$.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} u}\operator name {tlh}(u)=\operator name {ctlh}(u)^{3}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} u}\operator name {ctlh}(u)=-\operator name {tlh}(u)^{3}$ ${\displaystyle \int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}\operatorname {tlh}(u)\,\mathrm {d}u={\frac {\varpi}{2}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}\operatorname {ctlh}(u)\,\mathrm {d}u={\frac {\varpi}{2}}$

쌍곡 렘니스케이트 함수의 유도

이 초입의 수평 및 수직 좌표는 밀폐된 면적의 2배인 w = 2A에 종속되므로 다음 조건을 충족해야 합니다.

${\displaystyle x(w)^{4}+y(w)^{4}=1}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} w}x(w)=-y(w)^{3}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} w}y(w)=x(w)^{3}}$

${\displaystyle x(w=0)=1}$

${\displaystyle y(w=0)=0}$

이 방정식 체계에 대한 해결책은 다음과 같습니다.

${\displaystyle x(w)=\operatorname {cl}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}w)[\operatorname {sl}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}w)^{2}+\operatorname {cl}({\tfrac {1}{2}}^{\sqrt {2}}^{-1/2}}^$

${\displaystyle y(w)=\operatorname {sl}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}w)[\operatorname {cl}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}w)^{2}+\operatorname {cl}({\tfrac {1}{2}}^{\sqrt {2}}^{-1/2}}^$

따라서 몫에는 다음이 적용됩니다.

${\displaystyle {\frac {y(w)}{x(w)}}={\frac {\operatorname {sl}({1}{2}}{\sqrt {2}w)[\operatorname {cl}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}w)^{2}+1}^{\operatorname {cl}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl}({\tfrac {1}{2}}^{\sqrt {2}w)^{1/2}}=\operatorname {sl}(w)$

함수 x(w)와 y(w)를 코탄젠트 쌍곡 렘니스카투스 및 쌍곡 탄젠트라고 합니다.

${\displaystyle x(w)={\text{ctlh}}(w)}$

${\displaystyle y(w)={\text{tlh}}(w)}$

스케치는 또한 Areasinus 쌍곡 렘니스카투스 함수의 유도가 네 번째 거듭제곱함수의 계승자의 제곱근의 역수와 같다는 사실을 보여줍니다.

첫 번째 증명 : 아크탄젠트 도함수와의 비교

오른쪽에 보이는 스케치에는 검은색 대각선이 있습니다.빨간색 수직 축과 함께 검은색 대각선의 교차점에서 점(10)까지 수직으로 이어지는 세그먼트의 길이를 s라고 해야 합니다.그리고 좌표 원점에서 이 대각선과 초타원의 청록색 곡선이 교차하는 지점까지의 검은색 대각선 구간의 길이는 slh 값에 따라 다음과 같은 값을 갖습니다.

${\displaystyle D(s)={\sqrt {{2}+1}}{\sqrt {1}{\sqrt[{4}}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {s}{\sqrt[{4}}{s^{4}+1}}{\biggr )}^{2}}={\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}}.$

이 연결은 피타고라스 정리에 의해 설명됩니다.

유사한 단위 원은 설명된 면적 할당과 함께 원 삼각형의 아크탄젠트를 생성합니다.

이에 적용되는 파생상품은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} s}\arctan(들)={\frac {1}{s^{2}+1}}}$

렘니스카투스 쌍곡면의 넓이의 유도를 결정하기 위해, 초타원과 단위 원의 동일한 대각선에 대한 무한히 작은 삼각형 넓이의 비교가 아래에 설정됩니다.무한히 작은 삼각형 영역의 합이 면적 치수를 설명하기 때문입니다.사진 속 초타원의 경우 해당 영역의 절반이 녹색으로 표시됩니다.좌표 원점에서 각도가 무한히 작은 삼각형의 길이에 대한 영역의 2차 비율 때문에 다음 공식이 적용됩니다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}}}{\text{aslh}}(s)={\biggl [}{\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}}}\arctan(s){\biggr ]}D(s)^{2}}={\frac {1}{s^{2}+1}={\frac {1}{s^{2}+1}}{\biggl (}{\frac {\sqrt {s^{2}+1}}}{\sqrt {s^{4}+1}}^{\biggr )}^{2}={\frac {1}{\sqrt {4}+1}}}}$

두 번째 증명: 적분 형성 및 면적 감산

그림에서 면적 접선 렘니스카투스 하이퍼볼리쿠스는 대각선과 곡선의 교차점 높이를 녹색 면적의 두 배로 할당합니다.녹색 영역 자체는 0에서 해당 높이 값까지의 초타원 함수의 차이 적분에서 인접한 삼각형의 면적을 뺀 값으로 생성됩니다.

${\displaystyle {\text{atlh}}(v)=2{\biggl(}\int_{0}^{v}{\sqrt[{4}}}\mathrm {d} w{\biggr}-v{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} v}{\text{atlh}}(v)=2{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}-{\biggl(}{\frac {\mathrm {d} v}}{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}{\biggr )}={\frac {1}{(1-v^{4})^{3/4}}}$

다음과 같은 변환이 적용됩니다.

${\displaystyle {\text{aslh}}(x)={\text{atlh}}{\biggl(}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}{\biggr )}}$

따라서 연쇄법칙에 따르면, 이 파생은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}}{\text{aslh}}(x)={\frac {\mathrm {d} x}}{\text{atlh}}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}{\biggr )}={\biggl (}{\frac {\mathrm {d} x}}{\frac {x}{\sqrt[{4}}{x^{4}+1}}{\biggr )}{\biggl [}}{\frac {x}{x}{\sqrt[4}}{x^{4}+1}}{\biggr )}}{\biggl [}{\frac {x}{x}{\biggr )}^{4}{\biggr ]}^{-3/4}=}$

${\displaystyle = {\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}{\biggl [}1-{\biggl (}{\frac {x}{x}}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr ]}^{{-3/4}={\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}{\biggl (}}{\frac {1}{x^{4}+1}}^{\biggr )}^{-3/4}={\frac {1}{x^{4}+1}}}}^{\frac {1}}^{\sqrt {x^{4}+1}}}}}.$

특정값

다음 목록은 쌍곡선 렘니스케이트 사인의 값을 정확하게 보여 줍니다.

${\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {\varpi}{2{\sqrt {2}}}\right)=1}$

${\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {\varpi}{3{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}-3}}}$

${\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {2\varpi}{3{\sqrt {2}}}\right)={\sqrt[{4}}{2{\sqrt {3}}+3}}}$

${\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {\varpi}{4{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {2}+1}-1)}$

${\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {3\varpi}{4{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {2}}+1})}$

${\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {\varpi}{5{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt{5}-1}}{\sqrt{\sqrt{4}}{20}}}=2{\sqrt{4}{{\sqrt{5}}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{1}{20}}\pi)\sin({\tfrac{3}{20}}}}}}.$

${\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {2\varpi}{5{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{4}}}}}}{{\sqrt{5}}+1}}}{\sqrt{\sqrt{4}}{-{\sqrt{5}+1}}}=2{\sqrt{5}}+2}}{\sqrt{\sin({\tfrac{1}{20}}\pi)}}}}}}{\sin({\tfrac{3}{20}}\pi}}})}.$

${\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {3\varpi}{5{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt{5}-1}}{\sqrt{\sqrt{4}}{\sqrt{5}+1}}=2{\sqrt{4}}{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\cos ({\tfrac{1}{20}}\pi)\cos ({\tfrac{3}{20}}\pi}}}}.$

${\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {4\varpi}{5{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}{{\sqrt {5}}}}{{\sqrt {5}}}}{{\sqrt {4}}{20}}}=2{\sqrt {5}}{\sqrt {2}+2}}{\cos ({\tfrac {1}{20}}\pi )}\cos ({\tfrac {3}{20}}\pi )}}.$

${\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {\varpi}{6{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {3}+3})+1)(1-{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}-3})}$

${\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {5\varpi}{6{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt[4}]{2{\sqrt {3}-3})}$

다음 표에는 쌍곡선 렘니스케이트 탄젠트 및 코탄젠트 함수의 가장 중요한 값이 나와 있습니다.

${\displaystyle z}$	${\displaystyle \operatorname {clh} z}$	${\displaystyle \operatorname {slh} z}$	${\displaystyle \operatorname {ctlh} z=\cos _{4}z}$	${\displaystyle \operatorname {tlh} z=\sin _{4}z}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\sigma }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}}$	${\displaystyle 1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}}$
${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\sigma }$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}}$	${\displaystyle 1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}}$
${\displaystyle \sigma }$	${\displaystyle \infty}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$

조합 및 반차 정리

쌍곡 Lemniscate Areasine과 함께 다음 ID를 설정할 수 있습니다.

${\displaystyle {\text{tlh}}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{ aclh}}(x){\bigr ]}={\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}.$

${\displaystyle {\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{tlh}}{\bigl [}}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}}$

쌍곡 렘니스케이트 탄젠트의 제곱은 ${\displaystyle \mathrm{tlh}}$ ${\displaystyle \operatorname {tlh}}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{ctlh}}$ ${\displaystyle \operatorname {ctlh}}$의 네 번째 거듭제곱의 합이 항상$$ 값 1과 같기 때문에 쌍곡 렘니스케이트 탄젠트의 제곱의 피타고라스 대응물입니다.

쌍곡 동축 렘니스카투스의 이등분 정리는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{{\sqrt {x^{4}+1}}}}{{\sqrt {x^{4}+1}}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}}.$

이 공식은 다음 두 공식의 조합으로 밝혀질 수 있습니다.

${\displaystyle \mathrm {aslh}(x)={\sqrt {2}}\,{\text{arcsl}}{\bigl [}x ({\sqrt {x^{4}+1}}+1)^{-1/2}{\bigr ]}$

${\displaystyle {\text{arcsl}}(x)={\sqrt {2}\,{\text{aslh}}{\bigl(}{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}{\sqrt {1+x}}}}}+{\sqrt{1-x^{2}}}}{{\bigr}}}.$

또한 모든 실수 값 $x$ ∈ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R}}$에 대해 다음 공식이 유효합니다$.$

${\displaystyle {\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{ aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}-{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}}}}={\bigl(}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}{\bigl(}{\sqrt {x^{4}+1}}-x{\bigr )}}$

${\displaystyle {\text{clh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{ aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}+{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}}}}={\bigl(}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr}}^{-1/2}{\bigl(}{\sqrt {x^{4}+1}}+x{\bigr}}}$

이들 아이덴티티는 마지막으로 언급한 공식을 따릅니다.

${\displaystyle {\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{ aclh}}(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {x^{4}+1}}}}={\bigl (}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}}^{\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}}}}}}{\sqrt {x^{4}+1}}}}-x{\bigr}}}}}:{\sqrt {x^{1}}}:$

${\displaystyle {\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{ aclh}}(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {x^{4}+1}}}}={\bigl(}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl(}{\sqrt {x^{4}+1}}}+1}}}}}}}{\sqrt {x^{x^{4}}}}+x{\bigr}}}}.$

다음과 같은 렘니시틱 사인과 렘니시틱 코사인의 공식은 밀접한 관련이 있습니다.

${\displaystyle {\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{ aclh}}(x)]={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\sqrt {x^{4}+1}-x^{2}}}$

${\displaystyle {\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\text{cl}}[{\tfrac{1}{2}}{\sqrt{2}}\,{\text{ aclh}}(x)]=x{\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}+1{\bigr )}^{-1/2}}$

변환 좌표

가우시안 종 곡선 함수에서 부적절한 적분을 결정하는 것과 유사하게 일반적인 실린더의 좌표 변환을 사용하여 x와 관련하여 $적분$한 함수${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$) = ${\displaystyle \exp }$⁡ ( -${\displaystyle x^{}}$ 4$$) {\$displaystyle$f$(x$) =\$exp$(-x^{$4}}$에서 0에서 양의 무한대까지의 적분을 계산할 수 있습니다.다음에서는 두 적분의 증명이 병렬 방식으로 표시됩니다.

가우스 벨 곡선 함수의 원통 좌표 변환은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp (-x^{2})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp (-y^{2}-z^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty}}\det {\begin{bmatrix}\partial /\partial r\,\r\cos(\phi )&\partial /\partial \phi \,\r\cos(\phi )\\\\\partial r\,\r\sin(\phi )&\partial \phi \,\r\sin(\phi )\end{bmatrix}}\exp {\bigl \{}-{\bigl [}r\cos(\phi ){\bigr ]}^{2}-{\bigl [}^{r\sin(\phi ){\bigr \}},\mathrm {\bigr \}},\mathrm {\bigr \}d} r\,\mathrm {d} \phi =}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty}r\exp (-r^{2})\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\pi}{4}}$

그리고 이것은 난막증의 경우와 유사한 좌표 변환입니다.

${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp (-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp (-y^{4}-z^{4}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty}}\det {\text{bmatrix}\partial r\,\r\,{\text{ctlh}(\phi )&\text{ctlh}(\phi )&\text \phi \,\r\,{\text{ctlh}(\phi )\text{tlh}(\phi )&\text{tlh}(\phi )&partial \phi \,\r\,{\text{tlh}}(\phi )\end{bmatrix}\exp {\bigl \{}-{\text{ctlh}(\phi )},{\text{ctlh}}(\phi ){\bi )}igr ]}^{4}-{\bigl [}r\,{\text{tlh}}(\phi ){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}\,\mathrm {d}r\,\mathrm {d} \phi =}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty}r\exp (-r^{4})\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}{\frac {\sqrt {\pi }}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\varpi {\sqrt {\pi}}{4{\sqrt {2}}}}}$

타원적으로 유사한 방정식 체인의 마지막 줄에는 다시 무한소 분석(분석)의 체인 규칙에 따라 제곱 함수와 통합된 원래의 가우스 벨 곡선이 있습니다.

두 경우 모두 야코비 행렬의 행렬식은 적분 영역의 원래 함수에 곱해집니다.

통합 영역의 결과적인 새 기능은 새 매개 변수에 따라 통합됩니다.

타원계수와 5차방정식

1858년 찰스 헤르미테는 전설적인 개혁에서 5원$$ 방정식과 대응하는 타원 모듈러스 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$와 피타고라스 대응물 $k{\displaystyle {}^{\text{'}}}$ ${\$ k$'}$ 사이의 연결을 만들었습니다.^[68]

${\displaystyle {\theta }^{5}-{\frac {5}{2}}^{\theta }^{4}-{\frac {(1-4k^{2}k'^{2})^{2}}{2k^{2}k'^{2}}=0}$

2 θ -$5^{}$를${}^{}$곱하면 ${\textstyle 2\theta ^{-5},$ θ - ${\displaystyle 1^{}}$ $displaystyle \theta ^{-1}}$의 새로운 5진수가 됩니다$.$

${\displaystyle {\frac {(1-4k^{2}k'^{2})^{2}}{k^{2}}\theta ^{-5}+5\theta ^{-1}=2.}$

다음으로 선행 계수의 네 번째 루트를 곱하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\biggl [}{\frac {(1-4k^{2}k'^{2})^{2}}{k^{2}}{\biggr ]}^{\frac {5}{4}}\theta ^{-5}+5{\biggl [}{\frac {(1-4k^{2}k'^{2}}^{\frac {(1-4k^{2}}}^{\biggr ]}^{\frac {1}{4}}\theta ^{-1}=2{\biggl [}{\frac {(1-4k^{2}k'^{2}}^{k^{2}}^{\biggr ]}^{\frac {1}}^{4}}^{\frac {1}^{4}}^{\frac {1}}^{-1}=2}{\biggl [}}{\frac {(1-4}}}^{.$

Bring-Jerard 정규 형태(정도 5, 1, 0의 항만 포함)에서 다항식 $x$ ${\displaystyle 5^{}}$+ 5 ${\displaystyle x}$ = 4 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x^{5}$ + $5x$=$4c$입니다.

${\displaystyle x={\biggl [}{\frac {(1-4k^{2}k'^{2}}^{2}}^{k^{2}}{\biggr ]}^{\frac {1}{4}}\theta ^{-1},\qquad c={\frac {1}{2}}{\biggl [}{\frac {(1-4k^{2}k^{2}}^{2}}^{k^{2}}^{\biggr ]}^{\frac {1}{4}}^{\frac {1}}}^$

타원 모듈러스 $k$ ${\displaystyle k}$와 피타고라스 상보 모듈러스 $k{\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\displaystyle$ k$'}$는 k ${\displaystyle 2^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}{}^{}{\text{'}}^{}}$ 2 = ${\displaystyle 1}$을 만족합니다. ${\displaystyle$ k$^{2$} + $k'^{2$} = 1.}$$$c$ ${\displaystyle$ c}에서$$k ${\displaystyle$ k$'}$와 $k$'${\displaystyle k'}$에 대한 해는 다음과 같습니다.

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {c^{4}+1}}-c}{\sqrt {2c^{2}+2+2}{\sqrt {c^{4}+1}}},\qquad k'={\sqrt {\sqrt {c^{4}+1}}}{\sqrt {2c^{2}+2}+1}}}}{\sqrt {2c^{4}+1}}}}.$

이 두 가지 공식은 쌍곡 렘니세이트 함수의 관점에서 제시될 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}k&=\operatorname {tlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname { aclh}(c){\bigr ]}^{2},\k'&=\operatorname {ctlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname { aclh}(c){\bigr ]}^{2}\end{aligned}}$

수론

대수적 수론에서, 가우스 유리수 $Q{\displaystyle }$(${\displaystyle i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$의 모든 유한 아벨 확장은 일부 양의 정수 n ${\displaystyle n}$에 대한 Q ${\displaystyle (i}$,${\displaystyle }$ω n${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (i,\omega$ _${n})}$의 부분 필드입니다$.$이것은 원의 분할에 기초한 $유리수$ Q ${\displaystyle \mathbb {Q}}$에 대한 크로네커-베버 정리와 유사합니다. 특히, $Q$ ${\displaystyle \mathbb {Q}$의 모든 유한 아벨리안 확장은 일부 양의 정수 n ${\displaystyle n}$에 $대한$ Q (${\displaystyle }$ζ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})$의 하위 필드입니다$.$ 둘 다Hilbert의 12번째 문제가 된 크로네커의 유겐트라움의 특별한 사례들입니다.

필드 $Q{\displaystyle }$(${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle \mathrm{sl}}$ ⁡ (${\displaystyle }$ϖ${\displaystyle }$/ ${\displaystyle n}$)${\displaystyle \mathbb {Q} (i,$$\operatorname {sl}(\varpi /n)}($양의 홀수 $n$ ${\displaystyle n}$의 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$$)$는 x ${\displaystyle x}$- $및$ y ${\displaystyle y}$ - 타원 곡선$$$y$ ${\displaystyle 2^{}}$${\displaystyle }$$=$ 4 ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle 3^{}}$+$$$x {\displaystyle$ y$^{2$$}$$=$ 4 x$^{$3} +$$x $tors$에서 생성된 Q$($ ${\displaystyle$ {Q$}(i)$의 확장입니다$.$

후르비츠 수

베르누이 수 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 다음과 같이 정의할 수 있습니다$$.

${\displaystyle \mathrm {B} _{n}=\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d}^{n}}{\mathrm {d}z^{n}}{\frac {z}{e^{z}-1}},\quad n\geq 0}$

에 출연합니다.

${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}{\frac {1}{k^{2n}}= (-1)^{n-1}\mathrm {B} _{2n}{\frac {(2\pi)^{2n}}{(2n)!}}=2\zeta(2n),\quad n\geq 1}$

여기서 ζ ${\displaystyle \zeta}$는 리만 제타 함수입니다.

아돌프 후르비츠의 이름을$$ 딴 후르비츠 수 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{n}$는 베르누이 수의 "렘니케이트 유사체"입니다.다음과^[70][71] 같이 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle \mathrm {H} _{n}=-\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d}^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}z\zeta (z;1/4,0),\quad n\geq 0}$

여기서 ζ${\displaystyle (}$⋅${\displaystyle ;1}$/ ${\displaystyle 4,}$ 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \zeta (\cdot;$ 1 / $4, 0)}$는 격자 $불변량$이 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle$ 1 / $4}$ 및 $0$ ${\displaystyle 0}$인 Weierstrass zeta 함수입니다$.$에 등장합니다.

${\displaystyle \sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4n}}=\mathrm {H} _{4n}{\frac {(2\varpi)^{4n}}{(4n)!}}}=G_{4n}(i),\quad n\geq 1}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$[ i${\displaystyle }$] ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$는 가우스 정수이고 G ${\displaystyle 4_{}}$ n ${\$은 무게 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 4n}$의 아이젠슈타인 급수입니다$.$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}}{\dfrac {n^{k}}{e^{2\pin}-1}}={\begin{case}{\dfrac {1}{8\pi }}\k=1\{\text{if}}\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}{2k+2}}&{\text{if}}\k\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)\{\text{and}}\k\geq 5\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}}{2k+2}}+{\dfrac {\mathrm {H} _{k+1}}{2k+2}}\left({\dfrac {\varpi}}{\pi}}\right)^{k+1}&{\text{if}}\k\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)\{\text{and}}\k\geq 3.\\\\end{case}}\end{array}}$

H ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{4$} = $1/10$

${\displaystyle \mathrm {H} _{4n}={\frac {3}{(2n-3)(16n^{2}-1)}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {4n}{4k}}(4k-1)(4(n-k)-1)\mathrm {H} _{4k}\mathrm {H} _{4(n-k)},\quad n\geq 2}$

$n$ ${\displaystyle n}$이(가) $4$ ${\displaystyle 4}$의 배수가 아닌 경우 ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {H} _{n$}=$0$입니다$.$이것은 산출합니다^[70].

${\displaystyle \mathrm {H} _{8}={\frac {3}{10}},\,\mathrm {H} _{12}={\frac {567}{130}},\,\,\mathrm {H} _{16}={\frac {43\,659}{170},\,\ldots }$

또한^[73]

${\displaystyle \operatorname {denom} \mathrm {H} _{4n}=2\prod _{(p-1) 4n}p}$

여기서 $p$는 $p$ ≡ ${\displaystyle 1}$ ($mod$ 4 ), ${\$ p$\$$equiv 1\,$ ({\$text{mod}}\,4),}$과 같이 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p$$\in \mathbb {P}},$

${\displaystyle \operatorname {denom} \mathrm {B} _{2n}=\prod _{(p-1) 2n}p}$

여기서 ${\displaystyle p}$∈ P ${\displaystyle p\in \mathbb {P}}$ (폰 슈타우트-클라우센 정리에 의해).

사실, 폰 슈타우트-클라우센 정리는 다음과 같이 말합니다.

${\displaystyle \mathrm {B} _{2n}+\sum _{(p-1) 2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z},\quad n\geq 1}$

(OEIS의 수열 A000146) 여기서 $p$ ${\displaystyle p}$는 임의의 소수이며, 유사한 정리는 후르비츠 수에 성립합니다: ∈ $Z$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Z}}$가 ${\displaystyle 홀수}$이고, $b$ ∈ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {Z}}$가 $짝수$이고, p ${\displaystyle p}$는 $p$ ≡ 1${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{mod}}$ ${\displaystyle 4)}$ ${\displaystyle p\equiv$ 1$\,(\mathrm {mod} \,4$ $p$ = ${\displaystyle {}^{}}$인 경우${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle$${\displaystyle =}$$a^{2}$ + $b^{2}}$ (두 제곱의 합에 대한 페르마의 정리 참조)와${\displaystyle }$≡${\displaystyle b}$ + ${\displaystyle 1}$(${\displaystyle 모드}$ 4$)$ {\$displaystyle$ a$\equiv$ b$+1\,(\mathrm {mod}$ \,$4$ 그렇다면 임의의 $주어진$ p$${\$displaystyle$p}에 대하여$,$ ${\displaystyle {\mathrm{a}}^{}}$ = ${\displaystyle a_{}}${\$displaystyle$${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$a$=a_{p}$는 유일하게 결정됩니다.

${\displaystyle \mathrm {H} _{4n} - {\frac {1}{2}}-\sum _{(p-1) 4n}{\frac {(2a_{p})^{4n/(p-1)}{p}}\mathrl {\overset {\text{def}}{=}\mathrm {G} _{n}\in \mathbb {Z},\quad n\geq 1,}$

${\displaystyle \operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty}k_{4n+1}{\frac {z^{4n+1}}{(4n+1)!}},\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{\sqrt {2}}\implies k_{p}\equiv 2a_{p}\,({\text{mod}}\,p).}$

정수 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 $시퀀스$는 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle -1,}$ ${\displaystyle 5,}$ ${\displaystyle 253,}$…$${\$displaystyle 0, -1,$ 5,$253,\ldots$로 시작합니다$.}$

$n$ ≥ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n\geq$ 2$}$이라고 합니다$.$ ${\displaystyle \mathrm{4n}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 4n+1}$이(가) 소수이면 ${\displaystyle {}_{}}$ ≡ ${\displaystyle 1(mod}$ 4${\displaystyle )}${\$displaystyle {G} _{n}\equiv$ 1$\,(\mathrm {mod}$ \,$4$ ${\displaystyle \mathrm{4n}}$+ 1 ${\displaystyle 4n+1}$이(가) 소수가 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{Gn}}$ ≡ ${\displaystyle 3}$(${\displaystyle mod}$ 4${\displaystyle )}${\$displaystyle$ {$G} _{n$}\$equiv$ 3$\,(\mathrm${mod} \,$4)}.$

대신 일부 저자는 H n = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 4_{}}$ n ${\displaystyle \mathrm {H} _{n$}'=\$mathrm {H} _{4n}}$로 후르비츠 수를 정의합니다$.$

로랑 시리즈의 등장인물

후르비츠 수는 렘니스케이트 함수와 관련된 로랑 급수 확장에서 여러 개 나타납니다.^[75]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} ^{2}z&=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {2^{4n}(1-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)!}},\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{\sqrt {2}}\{\frac {\operatorname {sl}{z}}&={\frac {1}{z}-\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {2^{4n}(2-(-1)^{n}^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)}{(4n-1)}{(4n-1)!}},\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{\sqrt {2}}\{\frac {1}{\operatorname {sl} z}}&={\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {2^{2n}}\mathrm {H}_{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)}{(4n-1)}}{(4n-1)!}},\quad \left z\right <\varpi \{\frac {1}{\operatorname {sl}^{2}z}}&={\frac {1}{z^{2}}+\sum _{n=1}^{\infty}}{\frac {2^{4n}}{\frac {4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2}}{(4n-2)}{{(4n-2)}}{\frac {2}!}},\quad \left z\right <\varpi \end{align}}}$

마찬가지로 베르누이 수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {1}{\sinh ^{2}z}}={\frac {1}{z^{2}}-\sum _{n=1}^{\infty}}{\frac {2^{2n}}{\mathrm {B}{2n}}{\frac {z^{2n-2}}{(2n-2})}{(2n-2)}}{(2n-2)!}},\quad \left z\right <\pi.}$

Legendre 기호의 사중형 유사체 유사체

$p$ ≡ ${\displaystyle 1}$(${\displaystyle \text{mod}}$ ${\displaystyle 4}$) ${\displaystyle p\equiv 1\,({\text{mod}}\,4)}$가 되도록 $p$ ${\displaystyle$ $p$$}$를 소수라고 하자$.$ 사분위 잔차(mod $p$ ${\displaystyle$ p$\})$는 정수의 4제곱에 해당하는 임의의 숫자입니다.${\displaystyle a}$가 사분위수 잔여물($mod{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle p$이면${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {\frac{p}{})}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\${a$}{p}\right)_{4}$를 1$$ ${\displaystyle$ p$}($mod p {\displaystyle p})로 정의하고, ${\displaystyle a}$가 사분위수 잔여물(mod $p{\displaystyle }$ ${\$displaystyle p$})$이 아니면${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}($으)$$로 정의합니다.

${\displaystyle a}$ $및$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 공임인 경우${\displaystyle ,}$ {\displaystyle ${\displaystyle p\mathbb{}\text{'}{}^{}}$[${\displaystyle i]}$ ${\displaystyle p'\in \mathbb {Z} [i]}$에 다음과^[76] 같은 $숫자$가 존재합니다.

${\displaystyle \left ({\frac {a}{p}}\right)_{4}=\prod {p'}{\frac {\operatorname {sl}(2\varpi ap'/p)}{\operatorname {sl}(2\varpi p'/p}}}$

이 정리는 다음과 유사합니다.

${\displaystyle \left ({\frac {a}{p}}\right)=\prod_{n=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {\sin(2\pian/p)}{\sin(2\pin/p)}}}$

여기서 ($$⋅ ⋅${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot}}{\cdot}}\right)}$는 Legendre 기호입니다.

세계지도 투영법

1870년대에 미국 해안 조사의 찰스 샌더스 피어스(Charles Sanders Peirce)가 설계한 피어스 퀸시컬 투영은 입체적으로 투영된 점들의 역 렘니세이트 사인(복소수로 처리됨)에 기반한 세계 지도 투영입니다.^[77]

쌍곡 렘니스케이트 사인을 통해 복소 평면에 일정한 실제 또는 가상 부분의 선이 투영된 후 구면에 입체적으로 투영되면(리만 구 참조), 결과적인 곡선은 평면 타원 및 하이퍼볼라의 구면 유사체인 구면 원뿔입니다.^[78]따라서 렘니세이트 함수(그리고 더 일반적으로 야코비 타원 함수)는 구형 원뿔에 대한 매개 변수화를 제공합니다.

Lemniscate 함수를 사용하여 지구에서 정육면체의 6개의 정사각형 면에 대한 등각 지도 투영을 정의할 수도 있습니다.^[79]많은 편미분 방정식은 등각 매핑을 통해 효과적으로 해결할 수 있기 때문에, 구에서 입방체로의 이 지도는 대기 모델링에 편리합니다.^[80]

참고 항목

• 타원함수
  • 아벨 타원 함수
  • 딕슨 타원 함수
  • 자코비 타원함수
  • 바이어슈트라스 타원함수
• 타원 가우스섬
• 가우스 상수
• 피어스 퀸시컬 사영
• 슈바르츠-크리스토펠 지도

메모들

외부 링크

• Parker, Matt (2021). "What is the area of a Squircle?". Stand-up Maths. YouTube. Archived from the original on 2021-12-19.

참고문헌