수학함수
삼각측량 사인 = sin( πx / ϖ)( pale 점선 빨간색)과 비교하여 실제 인수에 적용되는 렘니세이트 사인(빨간색) 및 렘니세이트 코사인(purple). 수학 에서 렘니세이트 타원함수 는 베르누이의 렘니세이트 의 원호 길이와 관련된 타원함수 입니다.그것들은 1718년에 Giulio Fagnano 에 의해 처음 연구되었고, 다른 것들 중에서 Leonhard Euler 와 Carl Friedrich Gauss 에 의해 나중에 연구되었습니다.[1]
일반적으로 sl 및 cl 기호로 쓰여진 렘니세이트 사인 및 렘니세이트 코사인 함수는 삼각 함수 사인 및 코사인과 유사합니다(또는 sinlem 및 coslem 또는 sinlem 및 cosemn 이 대신 사용되기도 함).[2] 삼각 사인은 원호 길이를 단위 - diameter 원 x 2 + y 2 = x, {\displaystyle x^{2} + y^{2}= x,} 렘니스케이트 사인은 원호 길이를 렘니스케이트 (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 - y 2 . {\displaystyle {\bigl (}x^{2 } + y^{2}{\bigr )}{}^{2 }= x^{2} - y^{2}}.
렘니스케이트 함수에는 숫자 ϖ = {\displaystyle \varpi =} 2.622057 과 관련된 주기가 있습니다. 렘니스케이트 상수 라 불리는, 렘니스케이트의 둘레와 지름의 비율.이 숫자는 원의 지름에 대한 둘레의 비율 인 (quadratic) π = {\displaystyle \pi =} 3.141592... 의 4차 아날로그입니다.
복잡한 함수 로서, sl 과 cl 은 기본 주기 가 {( 1 + i ) ϖ}, ( 1 - i ) ϖ }, {\displaystyle \{(1+i)\varpi, (1-i)\varpi \}} 인 정사각형 주기 격자 (가우시안 정수 의 배수)를 가지며, 해당 격자에 두 개의 야코비 타원 함수 인 sl z = sn (z ; i ), {\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatornam e {sn}(z;i),} cl z = cd ( z ; i ) {\displaystyle \operatorname {cl } z= \operatorname {cd}(z;i)}.
마찬가지로 쌍곡 렘니스케이트 사인 slh 및 쌍곡 렘니스케이트 코사인 clh 는 기본 주기가 {2 ϖ, 2 ϖ i} 인 정사각형 주기 격자를 갖습니다. {\displaystyle {\bigl \{}{\sqrt {2}}\varpi , {\sqrt {2}}\varpi i{\bigr \}}.
렘니스케이트 함수 및 쌍곡 렘니스케이트 함수는 Weiersstrass 타원 함수 ℘( z ; a , 0 ) {\displaystyle \wp(z;a,0)} 와 관련 이 있습니다.
렘니스케이트 사인 및 코사인 함수 정의들 렘니스케이트 함수 sl 과 cl 은 초기값 문제 의 해결책으로 정의할 수 있습니다.[5]
d d z 슬 z = ( 1 + 슬 2 z ) cl z , d d z cl z = − ( 1 + cl 2 z ) 슬 z , 슬 0 = 0 , cl 0 = 1 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} z}\operatorname {sl} z={\bigl (}1+\operatorname {sl}^{2}z{\bigr )}\operatorname {cl} z,\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} z}\operatorname {cl} z=-{\bigl (}1+\operatorname {cl}^{2}z{\bigr )}\operatorname {sl} 0=0,\operatorname {cl} 0=1,} 또는 타원 적분 의 역수로서 복소 단위 원판 에서 모서리 가 있는 정사각형 {12 ϖ, 12 ϖ i, - 12 ϖ, - 12 ϖ i } : {\displaystyle {\big \{}{\tfrac {1}{2}}\varpi , {\tfrac {1}{2}}\varpi , -{\tfrac {1}{2}}\varpi , -{\tfrac {1}{2}\varpi i{\big \}\colon }
z = ∫ 0 슬 z d t 1 − t 4 = ∫ cl z 1 d t 1 − t 4 . {\displaystyle z=\int _{0}^{\operatorname {sl} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=\int _{\operatorname {cl} z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}. 그 사각형 너머에서, 함수들은 일련의 반사 에 의해 복소 평면 전체 에 분석적으로 계속 될 수 있습니다.
이에 비해 원형 사인과 코사인은 초기 값 문제의 해결책으로 정의할 수 있습니다.
d d z 죄악의 z = cos z , d d z cos z = − 죄악의 z , 죄악의 0 = 0 , cos 0 = 1 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} z}\sin z=\cos z,\{\frac {\mathrm {d} z}\cos z=-\sin z,\ \sin 0=0,\cos 0=1,} 또는 위의 반평면 에서 실제 부분이 -12 π 사이에 있는 반infinite 스트립까지의 지도의 역으로, 12 π {\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\pi, {\tfrac {1}{2}\pi}, 양의 허수 부분:
z = ∫ 0 죄악의 z d t 1 − t 2 = ∫ cos z 1 d t 1 − t 2 . {\displaystyle z=\int _{0}^{\sin z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}=\int _{\cos z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}} 렘니세이트 상수와의 관계 렘니세이트 사인 함수와 쌍곡 렘니세이트 사인 함수는 타원 적분의 역으로 정의됩니다. 완전 적분은 렘니세이트 상수 ϖ과 관련이 있습니다. 렘니스케이트 함수는 최소 실수 주기 2 ϖ, 최소 허수 주기 2 ϖi 및 기본 복소 주기 (1 + i ) ϖ {\displaystyle (1+i)\varpi } 및 (1 - i ) ϖ {\displaystyle (1-i)\varpi } 을(를) ϖ합니다 .
ϖ = 2 ∫ 0 1 d t 1 − t 4 = 2.62205 … {\displaystyle \varpi = 2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=2.62205\ldots } 렘니스케이트 함수는 기본 관계 cl z = sl (12 ϖ - z ), {\displaystyle \operatorname {cl} z = {\operatorname {sl}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr )} 를 만족합니다. cos = sin (12 - z ) . {\ displaystyle \cos z = {\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}}\pi -z{\bigr )}.
렘니세이트 상수 ϖ은 원 상수 π의 가까운 유사체이며, 삼각함수 를 포함하는 동일체는 렘니세이트 함수를 포함하는 유사체를 가지므로 π을 포함하는 많은 동일체는 ϖ을 포함하는 유사체를 갖습니다. 예 를 들어, π에 대한 비엣의 공식 은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
2 π = 1 2 ⋅ 1 2 + 1 2 1 2 ⋅ 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 1 2 ⋯ {\displaystyle {\frac {2}{\pi}}={\sqrt {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {1}{2}}+{\frac {1}}{\sqrt {1}}+{\frac {2}}}\cdots }
ϖ에 대한 유사한 공식은 다음과 같습니다.
2 ϖ = 1 2 ⋅ 1 2 + 1 2 / 1 2 ⋅ 1 2 + 1 2 / 1 2 + 1 2 / 1 2 ⋯ {\displaystyle {\frac {2}{\varpi}}={\sqrt {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\! {\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\Bigg /}\! {\sqrt {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\bigg /}\! {\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdots}
π의 기계 공식 은 14 π = 4 arctan 1 5 - arctan 1 239 , {\textstyle {\tfrac {1}{ 4}}\pi = 4\arctan {\tfrac {1}{5}}-\arctan {\tfrac {1}{239 }}이며, 오일러의 공식 1 π = arctan 1 2 + arctan 1 3 {\textstyle {1}{4}\pi =\arctan {\ tfrac {\tfrac {1 }}\tfcan {\tfrac {4}}\pi = rac {1}{2}}+\arctan {\tfrac {1}{3 }}. 가우스가 찾은 다음 과 같은 ϖ 에 대해 유사한 공식을 개발할 수 있습니다. 12 ϖ = 2 arcsl 1 2 + arcsl 7 23 . {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi = 2\operatorname {arcsl} {\tfrac {1}{2}}+\operatorname {arcsl} {\tfrac {7}{23}}. } [9]
렘니세이트와 원 상수는 가우스에 의해 산술-기하학 평균 M 에 의해 서로 관련이 있음이 발견되었습니다.[10]
π ϖ = M ( 1 , 2 ) {\displaystyle {\frac {\pi}{\varpi}}=M{\left(1,{\sqrt {2}}\! ~\right) }}
인수 항등식 0, 극 및 대칭 sl {\displaystyle \operatorname {sl}} 을( 를) 복소 평면에 입력합니다.[11] 그림에서 기본 주기 (1 + i ) ϖ {\displaystyle (1 + i)\varpi } 및 (1 - i ) ϖ {\displaystyle (1 - i)\varpi } 는 실제 부분이 음이 아닌 모든 주기 중에서 가장 작은 절대값을 갖는다는 의미에서 "최소"임을 알 수 있습니다. 렘니세이트 함수 cl 과 sl 은 각각 짝수 및 홀수 함수 이고,
cl ( − z ) = cl z 슬 ( − z ) = − 슬 z {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl}(-z)&=\operatorname {cl} z\[6mu]\operatorname {sl}(-z)&=-\operatorname {sl} z\end{aligned}} 12 ϖ 변환 시 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varpi ,} sl 을 교환하고, 12 i ϖ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}i\varpi } 변환 시 추가로 회전 및 왕복 이동합니다.
cl ( z ± 1 2 ϖ ) = ∓ 슬 z , cl ( z ± 1 2 i ϖ ) = ∓ i 슬 z 슬 ( z ± 1 2 ϖ ) = ± cl z , 슬 ( z ± 1 2 i ϖ ) = ± i cl z {\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {cl}}{\bigl(}z\pm {\tfrac {1}{2}}&=\mp \operatorname {sl} z,&{\operatorname {cl}}{\bigl(}z\pm {\tfrac {1}{2}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\mp i}{\operatorname {sl} z}\[6mu]{\operatorname {sl}}{\bigl(}z\pm {\tfrac {1}{2}}&=\pm \operatorname {cl} z, &{\operatorname {sl}}{\bigl(}z\pm {\tfrac {1}{2}}i\varpi {\bigr )}&={\frac {\pm i}{\operatorname {cl}z}\end{aligned}} ϖ {\displaystyle \varpi}( 즉, ± ϖ {\displaystyle \pm \varpi } 또는 ± i ϖ {\displaystyle \pm i\varpi}) 의 단위-가우스-정수 곱만큼 변환을 두 배로 하면 각 함수 가 무효화됩니다.
cl ( z + ϖ ) = cl ( z + i ϖ ) = − cl z 슬 ( z + ϖ ) = 슬 ( z + i ϖ ) = − 슬 z {\displaystyle {\begin{aligned}\operator name {cl}(z+\varpi)&=\operator name {cl}(z+i\varpi)=-\operator name {cl}(z+\varpi)&=\operator name {sl}(z+i\varpi)=-\operator name {sl} z\end{aligned}} 결과적으로, 두 함수 모두 ϖ {\displaystyle \varpi} 의 짝수 가우스-정수 곱셈에 의한 변환 하에서는 불변입니다. 즉, a , b , k에 대하여 a + b = 2 k {\displaystyle a + b = 2k} 인 변위 (a + bi ) ϖ, {\ displaystyle ( a + bi)\varpi,}
cl ( z + ( 1 + i ) ϖ ) = cl ( z + ( 1 − i ) ϖ ) = cl z 슬 ( z + ( 1 + i ) ϖ ) = 슬 ( z + ( 1 − i ) ϖ ) = 슬 z {\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {cl}}{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {cl}{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {cl}z\[4mu]{\bigl (}z+(1+i)\varpi {\bigr )}&={\operatorname {sl}{\bigl (}z+(1-i)\varpi {\bigr )}=\operatorname {sl}z\end{aligned}} 이것은 기본 주기 (1 + i ) ϖ {\displaystyle (1 + i)\varpi } 및 (1 - i ) ϖ {\displaystyle (1 - i)\varpi } 의 대각 사각 주기 격자 를 갖는 타원 함수 (복소 평면에서 이중 주기 메로형 함수 )로 만듭니다. 사각 주기 격자를 갖는 타원 함수는 임의의 타원 함수보다 더 대칭적입니다. 사각형의 대칭을 따르고 있습니다.
렘니스케이트 함수 인수의 반사와 쿼터 턴 회전은 간단한 표현을 갖습니다.
cl z ¯ = cl z ¯ 슬 z ¯ = 슬 z ¯ cl i z = 1 cl z 슬 i z = i 슬 z {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {cl} z}\[6mu]\operatorname {sl}{\overline {\operatorname {sl} z}\[4mu]\operatorname {cl} iz&={\frac {1}{\operatorname {cl} z}\[6mu]\operatorname {sl} iz&=i\operatorname {sl} z\end{aligned}} sl 함수는 ϖ 가우스 정수 배수에서 단순 0 , 정수 a 와 b 에 대한 a ϖ + b ϖ i {\displaystyle a\varpi +b\varpi i} 형태의 복소수를 갖습니다.가우스 ϖ 반 정수 배수 의 단순 극 , 형태 (a + 1 2 ) ϖ + ( b + 1 2 ) ϖ i {\displaystyle {\bigl (}a + {\tfrac {1}{2}}\varpi + {\bigl (}b + {\tfrac { 1 }{2}}\bigr )}\varpi i} 이며 잔수 ( - 1 ) a - b + 1 i {\displaystyle (-1)^{a - b + 1}i 입니다. cl 함수는 sl 함수인 cl z = sl ( 12 ϖ - z ) {\displaystyle \operatorname {cl} z = {\operatorname {sl}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\varpi -z{\bigr }}. 인수 (a + 1 2 ) ϖ + b ϖ i {\displaystyle {\bigl (}a + {\tfrac {1}{2}{\bigr )}\varpi + b\varpi i} 및 인수 a ϖ + (b + 1 2 ) 의 극을 갖습니다. ) i , {\displaystyle a\varpi +{\bigl (}b+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\varpi,} 에 잔수 (- 1 ) a - bi. {\displaystyle (-1)^{a - b}i 를 ϖ합니다. }
또한.
슬 z = 슬 w ↔ z = ( − 1 ) m + n w + ( m + n i ) ϖ {\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatorname {sl} w\왼쪽 오른쪽 화살표 z= (-1)^{m+n}w+(m+ni)\varpi } 일부 m, n ∈ Z {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z}} 및
슬 ( ( 1 ± i ) z ) = ( 1 ± i ) 슬 z 슬 ′ z . {\displaystyle \operatorname {sl}((1\pm i)z)=(1\pm i){\frac {\operatorname {sl} z}{\operatorname {sl} 'z}}}} 마지막 공식은 복소수 곱셈 의 특수한 경우입니다. sl ( ( ( n + mi ) z ) {\displaystyle \operator name {sl} ((n+ mi)z) 에 대해서도 유사한 공식을 제공할 수 있습니다.} 여기서 n + mi {\displaystyle n + mi} 은 (는) 가우스 정수입니다. 함수 sl {\displaystyle \operatorname {sl} 은( 는) Z [i ] {\displaystyle \mathbb {Z}[i]} 의 복소 곱셈을 갖습니다. [15]
sl 의 0과 극의 분포를 반영하는 무한급수도 있습니다.[16] [17]
1 슬 z = ∑ ( n , k ) ∈ Z 2 ( − 1 ) n + k z + n ϖ + k ϖ i {\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sl} z}}=\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z}^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+n\varpi +k\varpi i}} 슬 z = − i ∑ ( n , k ) ∈ Z 2 ( − 1 ) n + k z + ( n + 1 / 2 ) ϖ + ( k + 1 / 2 ) ϖ i . {\displaystyle \operatorname {sl} z=-i\sum _{(n,k)\in \mathbb {Z}^{2}}{\frac {(-1)^{n+k}}{z+(n+1/2)\varpi +(k+1/2)\varpi i}} 피타고라스적 정체성 a 의 다양 한 값에 대한 곡선 x² ⊕ y² = a .녹색으로 음의 a , 파란색으로 양의 a , 빨간색 으로 a = ±1 , 검은색 으로 a = ∞. 렘니세이트 함수는 피타고라스 와 유사한 항등식을 만족합니다.
c l 2 z + s l 2 z + c l 2 z s l 2 z = 1 {\displaystyle \operator name {cl^{2}} z+\operator name {sl^{2}} z\,\operator name {sl^{2}} z=1} 결과적으로 매개 변수 방정식 (x , y ) = ( cl t , sl t ) {\displaystyle (x, y) = (\operatorname {cl} t,\operatorname {sl} t )} 는 4차 곡선 x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 1. {\displaystyle x^{2} + y^{2} + x^{2}y^{2} = 1.
이 ID는 번갈아가며 다시 작성할 수 있습니다.[18]
( 1 + c l 2 z ) ( 1 + s l 2 z ) = 2 {\displaystyle {\bigl (}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr )} {\bigl (}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr )}=2} c l 2 z = 1 − s l 2 z 1 + s l 2 z , s l 2 z = 1 − c l 2 z 1 + c l 2 z {\displaystyle \operatorname {cl^{2}} z={\frac {1-\operatorname {sl^{2}} z}{1+\operatorname {sl^{2}} z},\quad \operatorname {sl^{2} z={\frac {1-\operatorname {cl^{2}} z}{1+\operatorname {cl^{2} z}} 접선-합 연산자를 ⊕ b := tan (arctan a + arctan b ), {\displaystyle a\oplus b\mathrel {:=} \tan(\arctan a+\arctan b) 로 정의하면 다음을 얻을 수 있습니다.
c l 2 z ⊕ s l 2 z = 1. {\displaystyle \operatorname {cl^{2}} z\opplus \operatorname {sl^{2}} z=1.} 함수 cl ~{\ displaystyle {\tilde {\ operatorname {cl}}} 과 sl~{\displaystyle {\ tilde {\operatorname {sl}}} 은 (는) 또 다른 피타고라스와 같은 항등식을 만족합니다 .
( ∫ 0 x cl ~ t d t ) 2 + ( 1 − ∫ 0 x 슬 ~ t d t ) 2 = 1. {\displaystyle \left(\int _{0}^{x}}{\tilde {\operatorname {cl}}}\,t\,\mathrm {d} t\right)^{2}+\left(1-\int _{0}^{x}{\tilde {\operatorname {sl}}}\,t\,\mathrm {d} t\right)^{2}=1} 파생상품 및 통합 파생상품은 다음과 같습니다.
d d z cl z = c l ′ z = − ( 1 + c l 2 z ) 슬 z = − 2 슬 z 슬 2 z + 1 c l ′ 2 z = 1 − c l 4 z d d z 슬 z = s l ′ z = ( 1 + s l 2 z ) cl z = 2 cl z cl 2 z + 1 s l ′ 2 z = 1 − s l 4 z {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} z}}\operatorname {cl} z=\operatorname {cl'} z&=-{\bigl(}1+\operatorname {cl^{2}} z{\bigr}}\operatorname {sl} z=-{\frac {2\operatorname {sl} ^{2} z+1}\\\operatorname {cl'^{2} z&=1-\operatorname {cl^{4} z\[5mu]{\frac {\mathrm {d} z&\mathrm {d} z}\operatorname {sl} z}}-{\frac {2} z+1}\\operatorname {cl'^{2} z\[5mu]{\frac {\mathrm {d} z}}\operatorname {sl} {sl} z=\operatorname {sl'} z&={\bigl(}1+\operatorname {sl^{2}} z{\bigr}}\operatorname {cl} z={\frac {2\operatorname {cl} ^{2}z+1}\\\operatorname {sl'^{2}} z&=1-\operatorname {sl^{4} z\end{align} d d z cl ~ z = − 슬 ~ z cl z − 2 슬 z cl ~ 3 z cl 3 z d d z 슬 ~ z = 2 cl ~ z cl z − cl ~ z cl z {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} z}\,{\tilde {\operatorname {cl}}}\,z&=-\,{\tilde {\operatorname {sl}}\,z\operatorname {cl} z-{\frac {2\operatorname {sl} z\,{\tilde {\operatorname {cl}}^{3}z}\{\frac {\mathrm {d} z}\,{\tilde {\operatorname {sl}}\,z&=2\,{\tilde {\tilde {\peratorname {sl}}\,{\tilde {\tilde {\tilde {\til} z}},\frac {cl}^{3}z},\frac {\mathrm {d} z},\tilde {\mathrm {d} z}},\tilde {\operatorname {sl}},\,z&=2\,{\tilde {\tilde {\tilde {\til} torname {cl}}\,z\,\operatorname {cl} z-{\frac {\tilde {\operatorname {cl}}\,z}{\operatorname {cl} z}\end{aligned}} 렘니세이트 사인과 렘니세이트 코사인의 두 번째 유도체는 음의 중복 큐브입니다.
d 2 d z 2 cl z = − 2 c l 3 z {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}\operator name {cl} z=-2\operator name {cl^{3} z} d 2 d z 2 슬 z = − 2 s l 3 z {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}\operator name {sl} z=-2\operator name {sl^{3} z} 렘니세이트 함수는 역접합 함수를 사용하여 통합할 수 있습니다.
∫ cl z d z = 아크탄 슬 z + C ∫ 슬 z d z = − 아크탄 cl z + C ∫ cl ~ z d z = 슬 z cl ~ z cl z + C ∫ 슬 ~ z d z = − cl ~ z cl z + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {cl} z\mathrm {d} z} &=\arctan \operatorname {sl} z+C\\int \operatorname {sl} z\mathrm {d} z+C\\int \operatorname {cl}\tilde {\operatorname {cl}}\,z\,\mathrm {d} z={\frac {\operatorname {sl} z\,{\tilde {\operatorname {cl}}\,z}{\operatorname {cl}}\,z}{\operatorname {cl}}+C\\\int {\t} \tilde {\operatorname {sl}}}\,z\,\mathrm {d} z&=-{\frac {\tilde {\operatorname {cl}}\,z}{\operatorname {cl} z}+C\end{aligned}} 인수합계 및 다중아이덴티티 삼각 함수와 마찬가지로 렘니세이트 함수도 인수 합과 차 항등식을 만족합니다. 파냐노가 렘니케이트를 이등분하기 위해 사용한 최초의 신원은 다음과 같습니다.[19]
슬 ( u + v ) = 슬 u s l ′ v + 슬 v s l ′ u 1 + s l 2 u s l 2 v {\displaystyle \operatorname {sl}(u+v)={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {sl'} v+\operatorname {sl} v\,\operatorname {sl'} u}{1+\operatorname {sl^{2} u\,\operatorname {sl^{2} v} 도함수와 피타고라스와 유사한 항등식은 파가노가 sl 과 cl 에서 사용한 항등식을 재작업하는 데 사용될 수 있습니다. 접선-합 연산자 를 ⊕ b := tan (arctan a + arctan b ) {\displaystyle a\oplus b\mathrel {:=} \tan(\arctan a+\arctan b)} 와 접선-diffe 연산자 a ⊖ b := a ⊕ ( - b ), {\displaystyle a\ominus b\mathrel {:=} a\oplus (-b) 로 정의하면 인수 합과 차 항등식은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
cl ( u + v ) = cl u cl v ⊖ 슬 u 슬 v = cl u cl v − 슬 u 슬 v 1 + 슬 u cl u 슬 v cl v cl ( u − v ) = cl u cl v ⊕ 슬 u 슬 v 슬 ( u + v ) = 슬 u cl v ⊕ cl u 슬 v = 슬 u cl v + cl u 슬 v 1 − 슬 u cl u 슬 v cl v 슬 ( u − v ) = 슬 u cl v ⊖ cl u 슬 v {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cl}(u+v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {sl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v-\,\operatorname {sl} v{1+\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\,\operatorname {cl} v}\[2mu]\operatorname {cl] rname {cl}(u-v)&=\operatorname {cl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {sl} v\[2mu]\operatorname {sl}(u+v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\oplus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v={\frac {\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v+\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v}{1-\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v},\operatorname {cl} v}\[2mu]\operatorname {sl}(u-v)&=\operatorname {sl} u\,\operatorname {cl} v\ominus \operatorname {cl} u\,\operatorname {sl} v\end{aligned}} 이들은 삼각형 유사체 와 유사합니다.
cos ( u ± v ) = cos u cos v ∓ 죄악의 u 죄악의 v 죄악의 ( u ± v ) = 죄악의 u cos v ± cos u 죄악의 v {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(u\pm v)&=\cos u\,\cos v\mp \sin u\,\sin v\[6mu]\sin u\,\cos v\pm \cos u\,\sin v\end{aligned}} 특히 실수 성분의 복소수 함수를 계산하기 위해서는
cl ( x + i y ) = cl x − i 슬 x 슬 y cl y cl y + i 슬 x cl x 슬 y = cl x cl y ( 1 − 슬 2 x 슬 2 y ) cl 2 y + 슬 2 x cl 2 x 슬 2 y − i 슬 x 슬 y ( cl 2 x + cl 2 y ) cl 2 y + 슬 2 x cl 2 x 슬 2 y 슬 ( x + i y ) = 슬 x + i cl x 슬 y cl y cl y − i 슬 x cl x 슬 y = 슬 x cl y ( 1 − cl 2 x 슬 2 y ) cl 2 y + 슬 2 x cl 2 x 슬 2 y + i cl x 슬 y ( 슬 2 x + cl 2 y ) cl 2 y + 슬 2 x cl 2 x 슬 2 y {\displaystyle {\begin{aligned}\operator name {cl}(x+iy)& ={\frac {\operatorname {cl} x-i\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y} {\operatorname {cl} y+i\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y}\[4mu]&={\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {sl}^{2}x\,\operatorname {sl}^{2}y\right)}{\operatorname {cl}^{2}y+\operatorname} {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}-i{\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)} {\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}\[12mu]\operatorname {sl}(x+iy)& ={\frac {\operatorname {sl} x+i\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\,\operatorname {cl} y} {\operatorname {cl} y\,\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y}\[4mu]&={\frac {\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} y\left(1-\operatorname {cl}^{2}x\,\operatorname {sl}^{2}y\right)}{\operatorname {cl}^{2}y+\operatorname} {sl} ^{2}x\,\operatorname {cl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}}+i{\frac {\operatorname {cl} x\,\operatorname {sl} y\left(\operatorname {cl} ^{2}x+\operatorname {cl} ^{2}y\right)}{\operatorname {cl} ^{2}y+\operatorname {sl} ^{2}x\,\operatorname {sl} ^{2}y}\end{aligned}} 이등분선 공식:
cl 2 1 2 x = 1 + cl x 1 + 슬 2 x 1 + 슬 2 x + 1 {\displaystyle \operatorname {cl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1+\operatorname {cl}x{\sqrt {1+\operatorname {sl}^{2}x}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl}^{2}x}}}}}} 슬 2 1 2 x = 1 − cl x 1 + 슬 2 x 1 + 슬 2 x + 1 {\displaystyle \operatorname {sl} ^{2}{\tfrac {1}{2}}x={\frac {1-\operatorname {cl} x{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} ^{2}x}}}}} 복제 수식:[21]
cl 2 x = − 1 + 2 cl 2 x + cl 4 x 1 + 2 cl 2 x − cl 4 x {\displaystyle \operatorname {cl} 2x={\frac {-1+2\,\operatorname {cl}^{2}x+\operatorname {cl}^{4}x}{1+2\,\operatorname {cl}^{2}x-\operatorname {cl}^{4}x}} 슬 2 x = 2 슬 x cl x 1 + 슬 2 x 1 + 슬 4 x {\displaystyle \operatorname {sl} 2x=2\,\operatorname {sl} x\,\operatorname {cl} x{\frac {1+\operatorname {sl} ^{2}x} {1+\operatorname {sl} ^{4}x}} 곱셈 공식:[21]
cl 3 x = − 3 cl x + 6 cl 5 x + cl 9 x 1 + 6 cl 4 x − 3 cl 8 x {\displaystyle \operatorname {cl} 3x={\frac {-3\,\operatorname {cl} x+6\,\operatorname {cl}^{5}x+\operatorname {cl}^{9}x{1+6\,\operatorname {cl}^{4}x-3\,\operatorname {cl}^{8}x}} 슬 3 x = 3 슬 x − 6 슬 5 x − 1 슬 9 x 1 + 6 슬 4 x − 3 슬 8 x {\displaystyle \operatorname {sl} 3x={\frac {\color {red}{3}\,\color {black}{\operatorname {sl} x-\,}\color {green}{6}\,\color {black}{\operatorname {sl}^{5}x-\,}\color {blue}{1}\,\color {black}{sl}^{9}x}{\color {blue}{1}\,\color {black}{+\,}\color {green}{6}\,\color {black}{sl}^{4}x-\,}\color {red}{3}, \color {black}{\operator name {sl}^{8}x}}} sl 3 x {\displaystyle \operatorname {sl} 3x} 의 분자와 분모 계수의 "역대칭"을 주목하십시오. 이 현상은 sl β x {\displaystyle \operatorname {sl} \beta x} 에 대한 곱셈 공식에서 관찰될 수 있으며, 여기서 β = m + n i {\displaystyle \beta =m+ni}, n ∈ Z {\displaystyle m, n\in \mathbb {Z}} 및 m + n {\displaystyle m+n} 은(는) 홀수입니다.
렘원자 다항식 L 을 격자 라고 하자 {\displaystyle L}
L = Z ( 1 + i ) ϖ + Z ( 1 − i ) ϖ . {\displaystyle L=\mathbb {Z}(1+i)\varpi +\mathbb {Z}(1-i)\varpi.} 또한 K = Q ( i ) {\displaystyle K =\mathbb {Q} (i )}, O = Z [ i ] {\displaystyle {\mathcal {O }}=\mathbb {Z} [i ], z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C }}, {\displaystyle \m+in} 에서 β = m +, {\displaystyle \m + in} 에서 γ = m' + in {\displaystyle m,n,m',n'\in \mathbb {Z}), m + n \displaystyle {\displaystyle m,n,m',n\displaystyle {\displaystyle {Z}), m + n {\displaystyle e m+n} 은 홀수, m = n' {\displaystyle m'+n'} 은 홀수, γ ≡ 1 mod 2 ( 1 + i ) {\displaystyle \equiv 1\,\operatorname {mod} \,2(1+i)} 및 sl β z = M β (sl z) {\displaystyle \operatorname {sl } \beta z = M_{\beta }(\operatorname {sl} z)}. 그리고나서
M β ( x ) = i ε x P β ( x 4 ) Q β ( x 4 ) {\displaystyle M_{\beta}(x)=i^{\varepsilon}x{\frac {P_{\beta}(x^{4})}{Q_{\beta}(x^{4}}}} 일부 공임 다항식 P β ( x ), Q β ( x ) ∈ O [ x ] {\displaystyle P_{\beta }(x), Q_{\beta }(x)\in {\mathcal {O}[x]} 및 일부 ε ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \varepsilon \in \{0, 1, 2, 3\}, 여기서
x P β ( x 4 ) = ∏ γ β Λ γ ( x ) {\displaystyle xP_{\beta}(x^{4})=\prod _{\gamma \beta }\Lambda _{\gamma }(x)} 그리고.
Λ β ( x ) = ∏ [ α ] ∈ ( O / β O ) × ( x − 슬 α δ β ) {\displaystyle \Lambda _{\beta }(x)=\prod _{[\alpha ]\in ({\mathcal {O}}/\beta {\mathcal {O})^{\times}}}(x-\operatorname {sl} \alpha \delta_{\beta })} 여기서 δ β {\displaystyle \ delta _{\ beta }}는 β {\displaystyle \beta } - tors이온 발생기(즉, )입니다. δ β ∈ (1 / β) L {\displaystyle \delta _{\beta }\in (1/\ beta )L } 및 [δ β] ∈ (1 / β) L {\displaystyle [\delta _{\beta }]\in (1 /\beta )L/L} 을( 를) O {\displaystyle {\mathcal {O}} - 모듈 로 생성합니다. β {\displaystyle \beta } - 비틀림 생성기의 예로는 2개 의 ϖ / β {\displaystyle 2\varpi /\beta }와 (1 + i) ϖ / β {\displaystyle (1+i)\varpi /\beta }가 있습니다. 다항식인 λ β ( x) ∈ O [ x ] {\ displaystyle \Lambda _{\beta }(x)\{\mathcal {O}[x]} 에서 β {\displaystyle \beta } - lemanomic 다항식 이라고 합니다.그것은 단성이고 K {\displaystyle K} 에 대해 축소할 수 없습니다. 렘원자 다항식은 사이클로토믹 다항식 의 "렘니케이트 유사체"입니다.[23]
Φ k ( x ) = ∏ [ a ] ∈ ( Z / k Z ) × ( x − ζ k a ) . {\displaystyle \Phi _{k}(x)=\prod _{[a]\in (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{\times}}}(x-\zeta _{k}^{a}).} β {\displaystyle \beta } - 열원자 다항식 λ β ( x) {\displaystyle \Lambda _{\ beta }(x)} 는 sl δ β {\ displaystyle \operatorname {sl} \ delta _ {\ beta } 의 K[x] 의 최소 다항식 입니다. 편의상 β = sl ( ϖ / β ) {\displaystyle \omega _{\ beta } =\operatorname {sl} (2\varpi /\ beta) 및 β ω ~ = s l ( (1 + i ) ϖ / β ) {\displaystyle {\tilde {\omega}}_ {\bet a }=\operator name {sl} ((1 + i )\varpi /\be ta )}. 예를 들어, K 의 ω 5 의 최소 다항식 {\displaystyle \omega _{5}( 및 ω ~ 5의 {\tilde {\omega}}_{5 }) 는 {\displaystyle K[x]} 입니다.
Λ 5 ( x ) = x 16 + 52 x 12 − 26 x 8 − 12 x 4 + 1 , {\displaystyle \Lambda _{5}(x)=x^{16}+52x^{12}-26x^{8}-12x^{4}+1,} 그리고[24]
ω 5 = − 13 + 6 5 + 2 85 − 38 5 4 {\displaystyle \omega_{5}={\sqrt[{4}}{-13+6{\sqrt{5}}+2{\sqrt{85-38{\sqrt{5}}}}}} ω ~ 5 = − 13 − 6 5 + 2 85 + 38 5 4 {\displaystyle {\tilde {\omega}}_{5}={\sqrt[{4}}{-13-6{\sqrt {5}}+2{\sqrt {85+38{\sqrt {5}}}}} [25] (동등식은 아래 표에 나와 있습니다.) 또 다른 예는[23]
Λ − 1 + 2 i ( x ) = x 4 − 1 + 2 i {\displaystyle \Lambda _{-1+2i}(x)=x^{4}-1+2i} ω - 1 + 2 i {\ displaystyle \omega _{-1+2i}}( 또한 ω ~ - 1 + 2 i {\displaystyle {\tilde {\omega }}_{-1+2i}) 의 최소 다항식인 K[x].
p {\displaystyle p} 이 (가) 소수이고 β {\displaystyle \beta} 이 (가) 양수이고 홀수이면[27] ,[26]
도의 Λ β = β 2 ∏ p β ( 1 − 1 p ) ( 1 − ( − 1 ) ( p − 1 ) / 2 p ) {\displaystyle \operatorname {deg} \Lambda _{\beta }=\beta ^{2}\prod_{p \beta }\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1-{\frac {(-1)^{(p-1)/2}}{p}\right)} 사이클로토믹 유사체와 비교될 수 있는
도의 Φ k = k ∏ p k ( 1 − 1 p ) . {\displaystyle \operatorname {deg} \Phi _{k}=k\prod _{pk}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).} 특정값 삼각함수와 마찬가지로 렘니세이트 함수의 값은 기본 산술과 제곱근만을 사용하여 렘니세이트를 같은 길이의 n개 부분으로 나눈 값을 계산할 수 있습니다. n 이 n = 2k p 1 p 2 ⋯ pm {\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m} 인 경우에만 k 는 음이 아닌 정수 이고 각 p (있는 경우)는 서로 다른 페르마 소수 입니다.
n {\displaystyle n} cl n ϖ {\displaystyle \operator name {cl} n\varpi } 슬 n ϖ {\displaystyle \operatorname {sl} n\varpi} 1 {\displaystyle 1} − 1 {\displaystyle -1} 0 {\displaystyle 0} 5 6 {\displaystyle {\tfrac {5}{6}} − 2 3 − 3 4 {\displaystyle -{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}} 1 2 ( 3 + 1 − 12 4 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl(}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}} 3 4 {\displaystyle {\tfrac {3}{4}} − 2 − 1 {\displaystyle -{\sqrt {\sqrt {2}}-1}} 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {\sqrt {2}}-1}} 2 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}} − 1 2 ( 3 + 1 − 12 4 ) {\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}{\bigl(}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}} 2 3 − 3 4 {\displaystyle {\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}} 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}} 1 2 ( 3 + 1 − 12 4 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl(}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}} 2 3 − 3 4 {\displaystyle {\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}} 1 4 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}} 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {\sqrt {2}}-1}} 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {\sqrt {2}}-1}} 1 6 {\displaystyle {\tfrac {1}{6}} 2 3 − 3 4 {\displaystyle {\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}} 1 2 ( 3 + 1 − 12 4 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl(}{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}{\bigr )}}
추가값 n {\displaystyle n} cl n ϖ {\displaystyle \operator name {cl} n\varpi } 슬 n ϖ {\displaystyle \operatorname {sl} n\varpi} 3 7 {\displaystyle {\tfrac {3}{7}} 탄 { 1 2 아치형의 [ 1 2 2 cos ( 3 14 π ) 간이 침대 ( 1 28 π ) + cos ( 1 7 π ) ] } {\displaystyle \tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operator name {arcoth}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos ({\tfrac {3}{14}\pi )\cot ({\tfrac {1}{28}\pi )}+\cos ({\tfrac {1}{7}\pi ){\bigr \}}} 5 12 {\displaystyle {\tfrac {5}{12}} 1 2 8 4 [ 죄악의 ( 5 24 π ) − 3 4 죄악의 ( 1 24 π ) ] ( 2 3 + 3 4 − 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left ({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}\sin \left ({\tfrac {1}{24}\pi \right)\right]{ \Bigl(}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt{3}}+3}}-1{\Bigr}} 1 2 8 4 [ 죄악의 ( 5 24 π ) − 3 4 죄악의 ( 1 24 π ) ] ( 2 3 + 3 4 + 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left ({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}\sin \left ({\tfrac {1}{24}\pi \right)\right]{ \Bigl(}{\sqrt[{4}}{2{\sqrt{3}}+3}}+1{\Bigr}} 2 5 {\displaystyle {\tfrac {2}{5}} 1 2 ( 5 4 − 1 ) ( 5 + 2 − 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}({\sqrt[4}}{5}}-1){\bigl(}{\sqrt{5}}+2}}-1{\bigr )} 2 5 − 2 4 죄악의 ( 3 20 π ) cos ( 1 20 π ) {\displaystyle 2\,{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}-2}}\,{\sqrt {\sin ({\tfrac {3}{20}}\pi )\cos ({\tfrac {1}{20}\pi )} 3 8 {\displaystyle {\tfrac {3}{8}} ( 2 4 − 1 ) ( 2 + 1 − 2 + 2 ) {\displaystyle {\sqrt {{4}}{\sqrt {2}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}{\bigr )}}}. ( 2 4 − 1 ) ( 2 + 1 + 2 + 2 ) {\displaystyle {\sqrt {{4}}{\sqrt[{2}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {2}}+1+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}{\bigr )}}}. 5 14 {\displaystyle {\tfrac {5}{14}} 탄 { 1 2 아치형의 [ 1 2 2 죄악의 ( 1 7 π ) 간이 침대 ( 3 28 π ) + 죄악의 ( 1 14 π ) ] } {\displaystyle \tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operator name {arcoth} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\sin ({\tfrac {1}{7}\pi )\cot ({\tfrac {3}{28}\pi )}+\sin ({\tfrac {1}{14}\pi ){\bigr \}\pi ){\bigr \}} 3 10 {\displaystyle {\tfrac {3}{10}} 2 5 − 2 4 죄악의 ( 1 20 π ) cos ( 3 20 π ) {\displaystyle 2\,{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}-2}}\,{\sqrt {\sin ({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos ({\tfrac {3}{20}\pi )} 1 2 ( 5 4 − 1 ) ( 5 + 2 + 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt[{4}}{5}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt{5}}+2}}+1{\bigr )}} 2 7 {\displaystyle {\tfrac {2}{7}} 탄 { 1 2 아치형의 [ 1 2 2 cos ( 1 14 π ) 태닝한 ( 5 28 π ) + 죄악의 ( 3 14 π ) ] } {\displaystyle \tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operator name {arcoth}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos ({\tfrac {1}{14}\pi )}\tfrac {5}\pi )}+\sin ({\tfrac {3}{14}\pi ){\bigr \}\pi ){\bigr \}} 3 14 {\displaystyle {\tfrac {3}{14}} 탄 { 1 2 아치형의 [ 1 2 2 cos ( 1 14 π ) 태닝한 ( 5 28 π ) + 죄악의 ( 3 14 π ) ] } {\displaystyle \tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operator name {arcoth}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos ({\tfrac {1}{14}\pi )}\tfrac {5}\pi )}+\sin ({\tfrac {3}{14}\pi ){\bigr \}\pi ){\bigr \}} 1 5 {\displaystyle {\tfrac {1}{5}} 1 2 ( 5 4 − 1 ) ( 5 + 2 + 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt[{4}}{5}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt{5}}+2}}+1{\bigr )}} 2 5 − 2 4 죄악의 ( 1 20 π ) cos ( 3 20 π ) {\displaystyle 2\,{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}-2}}\,{\sqrt {\sin ({\tfrac {1}{20}}\pi )\cos ({\tfrac {3}{20}\pi )} 1 7 {\displaystyle {\tfrac {1}{7}} 탄 { 1 2 아치형의 [ 1 2 2 죄악의 ( 1 7 π ) 간이 침대 ( 3 28 π ) + 죄악의 ( 1 14 π ) ] } {\displaystyle \tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operator name {arcoth} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\sin ({\tfrac {1}{7}\pi )\cot ({\tfrac {3}{28}\pi )}+\sin ({\tfrac {1}{14}\pi ){\bigr \}\pi ){\bigr \}} 1 8 {\displaystyle {\tfrac {1}{8}} ( 2 4 − 1 ) ( 2 + 1 + 2 + 2 ) {\displaystyle {\sqrt {{4}}{\sqrt[{2}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {2}}+1+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}{\bigr )}}}. ( 2 4 − 1 ) ( 2 + 1 − 2 + 2 ) {\displaystyle {\sqrt {{4}}{\sqrt {2}}-1{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}{\bigr )}}}. 1 10 {\displaystyle {\tfrac {1}{10}} 2 5 − 2 4 죄악의 ( 3 20 π ) cos ( 1 20 π ) {\displaystyle 2\,{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}-2}}\,{\sqrt {\sin ({\tfrac {3}{20}}\pi )\cos ({\tfrac {1}{20}\pi )} 1 2 ( 5 4 − 1 ) ( 5 + 2 − 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}({\sqrt[4}}{5}}-1){\bigl(}{\sqrt{5}}+2}}-1{\bigr )} 1 12 {\displaystyle {\tfrac {1}{12}} 1 2 8 4 [ 죄악의 ( 5 24 π ) − 3 4 죄악의 ( 1 24 π ) ] ( 2 3 + 3 4 + 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left ({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}\sin \left ({\tfrac {1}{24}\pi \right)\right]{ \Bigl(}{\sqrt[{4}}{2{\sqrt{3}}+3}}+1{\Bigr}} 1 2 8 4 [ 죄악의 ( 5 24 π ) − 3 4 죄악의 ( 1 24 π ) ] ( 2 3 + 3 4 − 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left ({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}\sin \left ({\tfrac {1}{24}\pi \right)\right]{ \Bigl(}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt{3}}+3}}-1{\Bigr}} 1 14 {\displaystyle {\tfrac {1}{14}} 탄 { 1 2 아치형의 [ 1 2 2 cos ( 3 14 π ) 간이 침대 ( 1 28 π ) + cos ( 1 7 π ) ] } {\displaystyle \tanh {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operator name {arcoth}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos ({\tfrac {3}{14}\pi )\cot ({\tfrac {1}{28}\pi )}+\cos ({\tfrac {1}{7}\pi ){\bigr \}}}
기하학적 도형과의 관계 베르누이 렘니케이트의 호 길이 렘니스케이트 사인과 코사인은 렘니스케이트의 원호 길이와 원점에서 한 끝점의 거리를 연관시킵니다. 삼각 사인과 코사인은 단위 지름 원의 원호 길이와 원점에서 한 끝점의 거리를 유사하게 연관시킵니다. 반치폭 1인 베르누이의 렘니스케이트 는 두 초점 F 1 = ( - 1 2 , 0 ) {\displaystyle F_{1 }={\bigl (}{-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}, 0{\bigr )}, F 2 = (1 2 , 0 ) {\displaystyle F_{2 }={\bigl (}{\tfrac {1}{\sqrt {2}}, 0{\bigr )}} 이 상수 1 2 {\di spaystyle {\tfrac {1}{2}}. 극 방정식 r 2 = cos 2 θ {\displaystyle r^{2 }= \cos 2\theta} 또는 데카르트 방정식 (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 - y 2 . {\displaystyle {\bigl (}x^{2} + y^{2}{\bigr )}{}^{2 }= x^{2}-y^{2}} 를 만족하는 사중 곡선 입니다.}
원점에서 거리 r {\displaystyle r} 에 있는 렘니스케이트의 점은 원 x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2} + y^{2 }의 교차점입니다. }= r ^{2}} 및 하이퍼볼록스 2 - y 2 = r 4 {\displaystyle x^{2}-y^{2} = r^{4 }}. 정사분면의 교차점은 직교좌표를 갖습니다.
( x ( r ) , y ( r ) ) = ( 1 2 r 2 ( 1 + r 2 ) , 1 2 r 2 ( 1 − r 2 ) ) . {\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}\! {\sqrt{\tfrac {1}{2}}r^{2}{\bigr}}},\,{\sqrt{\tfrac {1}{2}r^{2}{\bigr}},\,{\bigr}},{\bigr}}. 렘니스케이트의 1/4에 대해 r ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle r\in [0,1]} 을(를) 사용하여 원점에서 점 (x ( r ), y (r ) {\displaystyle {\big (}x(r),y(r ){\big )} 까지의 매개 변수화 를 사용하면 다음과 같습니다.
∫ 0 r x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 d t = ∫ 0 r ( 1 + 2 t 2 ) 2 2 ( 1 + t 2 ) + ( 1 − 2 t 2 ) 2 2 ( 1 − t 2 ) d t = ∫ 0 r d t 1 − t 4 = 호를 r . {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{r}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t}\\&\quad {}=\int _{0}^{r}{\sqrt {(1+2t^{2})^{2}}}+{\frac {(1-2t^{2})^{2}}}{{2(1-t^{2}}}}\mathop {\mathrm {d} t}\[6mu]&\int {0}^{r}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arcsl} r. \end{aligned}} 마찬가지로, (1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} 에서 (x (r ), y (r ) {\ displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )} 까지의 호 길이는 다음과 같습니다.
∫ r 1 x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 d t = ∫ r 1 d t 1 − t 4 = 아크클 r = 1 2 ϖ − 호를 r . {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{r}^{1}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\mathop {\mathrm {d} t}\&\quad {}=\int _{r}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}\[6mu]&\quad {}=\operatorname {arccl} r={\tfrac {1}{2}\varpi -\operatorname {arcsl} r.\end{aligned}} 또는 역방향에서 렘니세이트 사인 함수와 코사인 함수는 원점과 점 (1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} 로부터의 호 길이 함수로 각각 원점과의 거리를 제공합니다.
마찬가지로, 원형 사인 및 코사인 함수는 위의 동일한 인수를 사용하지만 매개 변수화를 사용하여 극성 방정식 r = cos θ {\displaystyle r =\cos \theta} 또는 데카르트 방정식 x 2 + y 2 = x , {\displaystyle x^{2} + y^{2 } = x,} 과(와) 단위 지름 원에 대한 코드 길이를 관련시킵니다.
( x ( r ) , y ( r ) ) = ( r 2 , r 2 ( 1 − r 2 ) ) . {\displaystyle {\big (}x(r),y(r){\big )}={\biggl (}r^{2}},\,{\sqrt {r^{2}{\bigl (}1-r^{2}{\bigr )}\,{\biggr )}}. 또는, 단위 원 x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2} + y^{2 } = 1} 이(가) 점(1 , 0 ) {\displaystyle(1, 0)} 에서 호 길이 {\displaystyle s} 로 매개 변수화된 것처럼,
( x ( s ) , y ( s ) ) = ( cos s , 죄악의 s ) , {\displaystyle (x(s),y(s)=(\cos,\sin),} 렘니스케이트는 점 (1 , 0 ) {\displaystyle(1,0)} 에서 원호 길이 {\displaystyles} 로[30] 매개 변수화됩니다.
( x ( s ) , y ( s ) ) = ( cl s 1 + 슬 2 s , 슬 s cl s 1 + 슬 2 s ) = ( cl ~ s , 슬 ~ s ) . {\displaystyle(x(s))=\left ({\frac {\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl}^{2}s}},{\frac {\operatorname {sl} s\operatorname {cl} s}{\sqrt {1+\operatorname {sl}^{2}s}\right)=\left ({\tilde {\operatorname {cl}}\,s,{\tilde {\operatorname {sl}}\,s\right}. 렘니세이트 적분과 렘니세이트 함수는 1718년 파냐노가 발견한 중복 항등식을 만족합니다.[31]
∫ 0 z d t 1 − t 4 = 2 ∫ 0 u d t 1 − t 4 , 한다면 z = 2 u 1 − u 4 1 + u 4 그리고. 0 ≤ u ≤ 2 − 1 . {\displaystyle \int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}=2\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}},\quad {\text{if}}}z={\frac {2u{\sqrt {1-u^{4}}}}{1+u^{4}}}}{1+u^{4}}. }}}{{\text{및 }}0\leq qu\leq {\sqrt{\sqrt{2}}-1}}}. 동일한 호의 길이(빨간색 곡선)를 가진 15개의 섹션으로 나누어진 렘니스케이트입니다. 15의 소인수(3과 5)는 모두 페르마 소수이므로, 이 다각형(검은색)은 직선형 가장자리와 나침반을 사용하여 구성할 수 있습니다. 후에 수학자들은 이 결과를 일반화했습니다. 원에 있는 구성 가능한 다각형 과 유사하게, 렘니세이트는 n 이 n = 2k p 1 p 2 ⋯ pm {\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\cdots p_{m} 인 경우에만 직선 가장자리와 나침반 을 사용하여 같은 호 길이의 n개 섹션으로 분할할 수 있습니다. 여기서 k 는 음이 아닌 정수 이고 각 p (있는 경우)는 별개의 페르마 소수 입니다. 정리의 "만약" 부분은 닐스 아벨 이 1827년에서 1828년 사이에 증명했고, "만" 부분은 1981년 마이클 로젠 이 증명했습니다.[33] 이와 동일하게 렘니세이트는 φ( n ) {\displaystyle \varphi(n)} 가 2의 거듭제곱인 경우(여기서 φ {\displaystyle \varphi } 는 오일러의 토티언트 함수 임)에만 직선 에지와 나침반을 사용하여 같은 호 길이의 n개 구간으로 분할할 수 있습니다. 렘니스케이트는 이미 그려진 것으로 가정되지 않습니다 . 이 정리는 분할점만 구성하는 것을 말합니다.
r j = sl 2 j ϖ n {\displaystyle r_{j }=\operatorname {sl} {\dfrac {2j\varpi}{n}} 라고 합니다. 그렇다면 렘니스케이트(x2 + y 2 ) 2 = x2 - y2 {\displaystyle(x^{2} + y^{2})^{2 } = x^{2} - y^{2}} 이(가) 점입니다.
( r j 1 2 ( 1 + r j 2 ) , ( − 1 ) ⌊ 4 j / n ⌋ 1 2 r j 2 ( 1 − r j 2 ) ) , j ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle \left(r_{j}{\tfrac {1}{2}}{{\bigr}}},\bigl(1+r_{j}^{2}{\bigr}}},\(1)^{\left\l floor 4j/n\right\rfloor}{\sqrt {\tfrac {1}{2}}{\bigl(1-r_{j}^{2}{\bigr}}}\right),\quad j\in \{1,2,\ldots,n\}) 여기서 ⌊ ⋅ ⌋ {\ displaystyle \ l floor \cdot \rfloor} 는 플로어 함수입니다. sl 2 ϖ n {\displaystyle \operatorname {sl} {\dfrac {2\varpi} {n}} 의 일부 특정 값은 아래 를 참조하십시오.
직사각형 탄성체의 원호 길이 렘니세이트 사인은 직사각형 탄성체에서 원호 길이와 x 좌표 사이의 관계를 나타냅니다. 역 렘니세이트 사인은 직사각형 탄성체 의 x 좌표 에 대한 호 길이 도 설명합니다.[34] 이 곡선은 y개 의 좌표와 호 길이를 갖습니다.
y = ∫ x 1 t 2 d t 1 − t 4 , s = 호를 x = ∫ 0 x d t 1 − t 4 {\displaystyle y=\int _{x}^{1}{\frac {t^{2}}\mathop {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}},\quad s=\operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}} 직사각형 탄성체는 1691년 Jacob Bernouli 에 의해 제기된 문제를 해결합니다. 1691년, 바닥 끝에서 수직 방향으로 고정되고 끝에서 수평으로 구부러질 때까지 무게에 의해 아래로 당겨지는 이상적인 유연한 막대의 형태를 묘사합니다. 베르누이가 제안한 해결책은 오일러-베르누이 빔 이론 을 확립시켰으며, 18세기에 오일러에 의해 더욱 발전되었습니다.
타원 특성화 렘니스케이트 타원 함수 및 타원 C {\displaystyle C} 를 타원 x 2 + 2 y 2 = 1 {\displaystyle x^{2} + 2y^{2} = 1 의 점이라고 하고 D {\displaystyle D} 를 단위 원 x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2} + y^{2 }= 1} 의 C 투영 이라고 합니다.원점 A {\displaystyle A} 와 점 C {\displaystyle C} 사이의 거리 r {\displaystyle r} 은(각 BAC {\ displaystyle BAC }, 여기서 B = (1,0) {\displaystyle B = (1,0); 원호 BD {\displaystyle BD} 의 길이와 동일함) φ {\displaystyle r} 의 함수입니다. 매개 변수 u {\displaystyle u} 은 (는) 다음과 같습니다.
u = ∫ 0 φ r ( θ ) d θ = ∫ 0 φ d θ 1 + 죄악의 2 θ . {\displaystyle u=\int _{0}^{\varphi }r(\theta )\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1+\sin ^{2}\theta }}}} 만약 E {\displaystyle E} 가 D {\displaystyle D} 의 x축 투영이고, F {\displaystyle F} 가 C {\displaystyle C} 의 x축 투영이면, 렘니세이트 타원 함수는 다음과 같이 주어집니다.
cl u = A F ¯ , 슬 u = D E ¯ , {\displaystyle \operatorname {cl} u={\overline {AF}},\quad \operatorname {sl} u={\overline {DE}} cl ~ u = A F ¯ A C ¯ , 슬 ~ u = A F ¯ F C ¯ . {\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl}}}\,u={\overline {AF}},\quad {\tilde {\operatorname {sl}}}\,u={\overline {AF}{\overline {FC}}} 영상 시리즈 아이덴티티 멱급수 원점에서 렘니세이트 사인의 멱급수 확장은[35]
슬 z = ∑ n = 0 ∞ a n z n = z − 12 z 5 5 ! + 3024 z 9 9 ! − 4390848 z 13 13 ! + ⋯ , z < ϖ 2 {\displaystyle \operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}= z-12{\frac {z^{5}}{5! }}+3024{\frac {z^{9}}{9!}}-4390848{\frac {z^{13}}{13! }}+\cdots ,\quad z <{\tfrac {\varpi}{\sqrt {2}}}} 여기서 계수 {\displaystyle a_{n }}는 다음과 같이 결정됩니다.
n ≢ 1 ( 모드의 4 ) ⟹ a n = 0 , {\displaystyle n\not \equiv 1{\pmod {4}}\implies a_{n}=0,} a 1 = 1 , ∀ n ∈ N 0 : a n + 2 = − 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ∑ i + j + k = n a i a j a k {\displaystyle a_{1}=1,\,\모든 n\in \mathbb {N} _{0}:\,a_{n+2}=-{\frac {2}{(n+1)(n+2)}}\sum _{i+j+k=n}a_{i}a_{j}a_{k}} 여기서 i + j + k = n {\displaystyle i + j + k = n} 은 n {\displaystyle n} 의 모든 3항 구성 을 나타냅니다. 예를 들어, 13 {\displaystyle a_{13}} 를 평가하기 위해 합에 0 이 아닌 기여를 주는 13 - 2 = 11 {\displaystyle 13 - 2 = 11} 의 구성은 11 = 9 + 1 + 1 = 1 + 9 + 1 = 1 + 1 + 9 {\displaysty }의 6개뿐임을 알 수 있습니다. le 11=9+1+1=1+9+1=1+1+9}, 11 = 5 + 5 + 1 = 5+5 = 1 + 5 {\ displaystyle 11= 5+5+1 = 5+1 = 1+5} 이므로,
a 13 = − 2 12 ⋅ 13 ( a 9 a 1 a 1 + a 1 a 9 a 1 + a 1 a 1 a 9 + a 5 a 5 a 1 + a 5 a 1 a 5 + a 1 a 5 a 5 ) = − 11 15600 . {\displaystyle a_{13}=-{\tfrac {2}{12\cdot 13}}(a_{9}a_{1}a_{9}a_{1}+a_{1}a_{1}a_{1}a_{1}a_{9}+a_{5}a_{1}a_{1}a_{5}a_{1}a_{5}a_{5}a_{1}a_{5}a_{5}=-{\tfrac {11}{15600}}} 확장은 다음과[36] 같이 동등하게 쓸 수 있습니다.
슬 z = ∑ n = 0 ∞ p 2 n z 4 n + 1 ( 4 n + 1 ) ! , z < ϖ 2 {\displaystyle \operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty}p_{2n}{\frac {z^{4n+1}}{(4n+1)! }},\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{\sqrt {2}}}} 어디에
p n + 2 = − 12 ∑ j = 0 n ( 2 n + 2 2 j + 2 ) p n − j ∑ k = 0 j ( 2 j + 1 2 k + 1 ) p k p j − k , p 0 = 1 , p 1 = 0. {\displaystyle p_{n+2}=-12\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}p_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}p_{j-k},\quad p_{0}=1,\,p_{1}=0}. 원점에서 sl ~ {\ displaystyle {\tilde {\operatorname {sl}}} 의 멱급수 확장은
슬 ~ z = ∑ n = 0 ∞ α n z n = z − 9 z 3 3 ! + 153 z 5 5 ! − 4977 z 7 7 ! + ⋯ , z < ϖ 2 {\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl}}}\,z=\sum _{n=0}^{\infty}\alpha _{n}z^{n}=z-9{\frac {z^{3}}{3! }}+153{\frac{z^{5}}{5!}}-4977{\frac{z^{7}}{7! }}+\cdots ,\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{2}}} 여기서 n {\displaystyle n} 이 짝수인 경우 α n = 0 {\displaystyle \alpha_{n }=0}
α n = 2 π ϖ ( − 1 ) ( n − 1 ) / 2 n ! ∑ k = 1 ∞ ( 2 k π / ϖ ) n + 1 으스스한 k π , α n ∼ 2 n + 5 / 2 n + 1 ϖ n + 2 {\displaystyle \alpha_{n}={\sqrt {2}}{\frac {\pi}{\varpi }}{\frac {(-1)^{(n-1)/2}}{n! }}\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {(2k\pi /\varpi )^{n+1}}},\cosh k\pi }},\quad \left \alpha_{n}\right \sim 2^{n+5/2}{\frac {n+1}{\varpi ^{n+2}}}. n {\displaystyle n} 이 (가) 홀수인 경우.
확장은 다음과[38] 같이 동등하게 쓸 수 있습니다.
슬 ~ z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 ( ∑ l = 0 n 2 l ( 2 n + 2 2 l + 1 ) s l t n − l ) z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , z < ϖ 2 {\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl}}}\,z=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}}{\binom {2n+2}{2l+1}s_{l}t_{n-l}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}{(2n+1)}{\frac {z^{n+1)}{(2n+1)}}{(2n+1)! }},\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{2}}} 어디에
s n + 2 = 3 s n + 1 + 24 ∑ j = 0 n ( 2 n + 2 2 j + 2 ) s n − j ∑ k = 0 j ( 2 j + 1 2 k + 1 ) s k s j − k , s 0 = 1 , s 1 = 3 , {\displaystyle s_{n+2}=3s_{n+1}+24\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}s_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}s_{j-k},\quad s_{0}=1,\,s_{1}=3,} t n + 2 = 3 t n + 1 + 3 ∑ j = 0 n ( 2 n + 2 2 j + 2 ) t n − j ∑ k = 0 j ( 2 j + 1 2 k + 1 ) t k t j − k , t 0 = 1 , t 1 = 3. {\displaystyle t_{n+2}=3t_{n+1}+3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}t_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}}t_{j-k},\quad t_{0}=1,\,t_{1}=3}. 렘니스케이트 코사인의 경우,[39]
cl z = 1 − ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( ∑ l = 0 n 2 l ( 2 n + 2 2 l + 1 ) q l r n − l ) z 2 n + 2 ( 2 n + 2 ) ! = 1 − 2 z 2 2 ! + 12 z 4 4 ! − 216 z 6 6 ! + ⋯ , z < ϖ 2 , {\displaystyle \operatorname {cl} {z}=1-\sum _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\sum _{l=0}^{n}2^{l}{\binom {2n+2}{2l+1}}q_{l}r_{n-l}\right){\frac {z^{2n+2}}{(2n+2)}{{(2n+2)! }}=1-2{\frac {z^{2}}{2! }}}+12{\frac{z^{4}}{4! }}-216{\frac {z^{6}}{6! }}+\cdots ,\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{2}},} cl ~ z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n q n z 2 n ( 2 n ) ! = 1 − 3 z 2 2 ! + 33 z 4 4 ! − 819 z 6 6 ! + ⋯ , z < ϖ 2 {\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl}}}\,z=\sum _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}2^{n}q_{n}{\frac {z^{2n}}{(2n)! }}=1-3{\frac {z^{2}}{2! }}}+33{\frac{z^{4}}{4! }}-819{\frac{z^{6}}{6! }}+\cdots ,\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{2}}} 어디에
r n + 2 = 3 ∑ j = 0 n ( 2 n + 2 2 j + 2 ) r n − j ∑ k = 0 j ( 2 j + 1 2 k + 1 ) r k r j − k , r 0 = 1 , r 1 = 0 , {\displaystyle r_{n+2}=3\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}r_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}r_{j-k},\quad r_{0}=1,\,r_{1}=0,} q n + 2 = 3 2 q n + 1 + 6 ∑ j = 0 n ( 2 n + 2 2 j + 2 ) q n − j ∑ k = 0 j ( 2 j + 1 2 k + 1 ) q k q j − k , q 0 = 1 , q 1 = 3 2 . {\displaystyle q_{n+2}={\tfrac {3}{2}}q_{n+1}+6\sum _{j=0}^{n}{\binom {2n+2}{2j+2}}q_{n-j}\sum _{k=0}^{j}{\binom {2j+1}{2k+1}q_{j-k},\quad q_{0}=1,\,q_{1}={\tfrac {3}{2}}}. 라마누잔의 코스/코스 정체성 라마누잔의 유명한 코스/코스 정체성은 만약
R ( s ) = π ϖ 2 ∑ n ∈ Z cos ( 2 n π s / ϖ ) 으스스한 n π , {\displaystyle R(s)={\frac {\pi}{\varpi {\sqrt {2}}}}\sum_{n\in \mathbb {Z}}{\frac {\cos(2n\pi/\varpi)}{\cosh n\pi}}} 그[37] 때
R ( s ) − 2 + R ( i s ) − 2 = 2 , 리 s < ϖ 2 , 임 s < ϖ 2 . {\displaystyle R(s)^{-2}+R(is)^{-2}=2,\quad \left \operatorname {Re} s\right <{\frac {\varpi}{2}},\left \operatorname {Im} s\right <{\frac {\varpi}{2}}} 렘니스케이트 함수와 R( s ) {\displaystyle R(s)} 사이에는 밀접한 관계가 있습니다. 실제로,[37] [40]
슬 ~ s = − d d s R ( s ) 임 s < ϖ 2 {\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl}}}\,s=-{\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}}R(s)\quad \left \operatorname {Im}s\right <{\frac {\varpi}{2}}} cl ~ s = d d s 1 − R ( s ) 2 , 리 s − ϖ 2 < ϖ 2 , 임 s < ϖ 2 {\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl}}}\,s={\frac {\mathrm {d} s}}{\sqrt {1-R(s)^{2}}},\quad \left \operatorname {Re} s-{\frac {\varpi}{2}}\right <{\frac {\varpi}},\,\left \operatorname {Im} s\right <{\frac {\varpi}{2}} 그리고.
R ( s ) = 1 1 + 슬 2 s , 임 s < ϖ 2 . {\displaystyle R(s)={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sl}^{2}s}},\quad \left \operatorname {Im} s\right <{\frac {\varpi}{2}}} 연속분수 z ∈ C ∖ {0 } {\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\} :
∫ 0 ∞ e − t z 2 cl t d t = 1 / 2 z + a 1 z + a 2 z + a 3 z + ⋱ , a n = n 2 4 ( ( − 1 ) n + 1 + 3 ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty}}e^{-tz{\sqrt {2}}\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\ cfrac {1/{\sqrt {2}}{z+{\sqrt {2}}{{z+{a_{2}}{z+{\dots}}},\ quad a_{n}={\frac {n^{2}}{(-1)^{n+1}+3}}}}. ∫ 0 ∞ e − t z 2 슬 t cl t d t = 1 / 2 z 2 + b 1 − a 1 z 2 + b 2 − a 2 z 2 + b 3 − ⋱ , a n = n 2 ( 4 n 2 − 1 ) , b n = 3 ( 2 n − 1 ) 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty}}e^{-tz{\sqrt {2}}\operatorname {sl} t\operatorname {cl} t\,\mathrm {d} t={\cfrac {1/2}{z^{2}+b_{1}-{\ cfrac {a_{1}}{z^{2}+b_{2}-{\ cfrac {a_{2}}{z^{2}+b_{3}-\dots }}}},\quad a_{n}=n^{2}(4n^{2}-1),\,b_{n}=3(2n-1)^{2}}}}},\n\n}}}3(2n-1)} 계산법 sl x {\displaystyle \operatorname {sl} x} 을(를) 계산하는 여러 방법은 먼저 변수를 π x = ϖ x ~ {\displaystyle \pi x=\varpi {\tilde {x}}} 으로 변경한 후 sl ( ϖ x ~ / π)을 계산하는 것입니다. {\displaystyle \operatorname {sl}(\varpi {\tilde {x}}/\pi })을(를) 계산하는 것입니다.
쌍곡 직렬 방식:[44] [45] [46]
슬 ( ϖ π x ) = π ϖ ∑ n ∈ Z ( − 1 ) n 으스스한 ( x − ( n + 1 / 2 ) π ) , x ∈ C {\displaystyle \operatorname {sl} \left ({\frac {\varpi}{\pi }}x\right)={\frac {\pi }{\varpi }}\sum _{n\in \mathbb {Z}{\frac {(-1)^{n}}{\cosh(x-(n+1/2)\pi )}},\quad x\in \mathbb {C}} 1 슬 ( ϖ x / π ) = π ϖ ∑ n ∈ Z ( − 1 ) n 죄스러운 ( x − n π ) = π ϖ ∑ n ∈ Z ( − 1 ) n 죄악의 ( x − n π i ) , x ∈ C {\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sl}(\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi}{\varpi }}\sum_{n\in \mathbb {Z}{\frac {(-1)^{n}}{\sinh }{\left(x-n\pi \right) }}={\frac {\pi}{\varpi}}\sum_{n\in \mathbb {Z}}{\frac {(-1)^{n}}{\sin(x-n\pi)}},\quad x\in \mathbb {C}} 푸리에 급수 방법:[47]
슬 ( ϖ π x ) = 2 π ϖ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 죄악의 ( ( 2 n + 1 ) x ) 으스스한 ( ( n + 1 / 2 ) π ) , 임 x < π 2 {\displaystyle \operatorname {sl} {\bigl(}{\frac {\varpi}}{\pi}}x{\Bigr}}={\frac {2\pi}{\varpi}}\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}\sin((2n+1)x)} {\cosh(((n+1/2)\pi )}},\quad \left \operatorname {Im} x\right <{\frac {\pi}{2}}} cl ( ϖ π x ) = 2 π ϖ ∑ n = 0 ∞ cos ( ( 2 n + 1 ) x ) 으스스한 ( ( n + 1 / 2 ) π ) , 임 x < π 2 {\displaystyle \operatorname {cl} \left ({\frac {\varpi}{\pi }}x\right)={\frac {2\pi }{\varpi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\cos(((2n+1)x)}} {\cosh(((n+1/2)\pi )}},\quad \left \operatorname {Im} x\right <{\frac {\pi}{2}}} 1 슬 ( ϖ x / π ) = π ϖ ( 1 죄악의 x − 4 ∑ n = 0 ∞ 죄악의 ( ( 2 n + 1 ) x ) e ( 2 n + 1 ) π + 1 ) , 임 x < π {\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sl}(\varpi x/\pi )}}={\frac {\pi}{\varpi }}\left ({\frac {1}{\sin x}}-4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin((2n+1)x) }{e^{(2n+1)\pi }+1}}\right),\quad \left \operator name {Im} x\right <\pi } 렘니세이트 함수는 다음과 같이 더 빠르게 계산될 수 있습니다.
슬 ( ϖ π x ) = θ 1 ( x , e − π ) θ 3 ( x , e − π ) , x ∈ C cl ( ϖ π x ) = θ 2 ( x , e − π ) θ 4 ( x , e − π ) , x ∈ C {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} {\Bigl(}{\frac {\varpi}}{\pi}}&={\frac {\theta _{1}}{\left(x,e^{-\pi}\right) }}{{\theta _{3}}{\left(x,e^{-\pi}\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \\\operatorname {cl} {\Bigl(}{\frac {\varpi}}{\pi}}&={\frac {\theta _{2}}{\left(x,e^{\pi}\right) }}{{\theta _{4}}{\left(x,e^{-\pi}\right)}}},\quad x\in \mathbb {C} \end{aligned}}} 어디에
θ 1 ( x , e − π ) = ∑ n ∈ Z ( − 1 ) n + 1 e − π ( n + 1 / 2 + x / π ) 2 = ∑ n ∈ Z ( − 1 ) n e − π ( n + 1 / 2 ) 2 죄악의 ( ( 2 n + 1 ) x ) , θ 2 ( x , e − π ) = ∑ n ∈ Z ( − 1 ) n e − π ( n + x / π ) 2 = ∑ n ∈ Z e − π ( n + 1 / 2 ) 2 cos ( ( 2 n + 1 ) x ) , θ 3 ( x , e − π ) = ∑ n ∈ Z e − π ( n + x / π ) 2 = ∑ n ∈ Z e − π n 2 cos 2 n x , θ 4 ( x , e − π ) = ∑ n ∈ Z e − π ( n + 1 / 2 + x / π ) 2 = ∑ n ∈ Z ( − 1 ) n e − π n 2 cos 2 n x {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(x,e^{-\pi})&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n+1}e^{-\pi(n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi(n+1/2) ^{2}}\sin((2n+1)x), \\\theta _{2}(x,e^{-\pi})&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z}e^{-\pi (n+1/2) ^{2}}\cos((2n+1)x), \\\theta _{3}(x,e^{-\pi })&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+x/\pi )^{2}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx,\theta _{4}(x,e^{-\pi })&\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-\pi (n+1/2+x/\pi )^{2}}=\sum_{n\in \mathbb {Z} ^{n}e^{-\pi n^{2}}\cos 2nx\end{aligned}} 자코비 [48] 세타 함수입니다
렘니세이트 사인의 로그에 대한 푸리에 급수:
ln 슬 ( ϖ π x ) = ln 2 − π 4 + ln 죄악의 x + 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n cos 2 n x n ( e n π + ( − 1 ) n ) , 임 x < π 2 {\displaystyle \ln \operatorname {sl} \left ({\frac {\pi }{\pi }}x\right)=\ln 2-{\frac {\pi }{4}}+\ln \sin x+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cos 2nx}{n(e^{n\pi }+(-1)^{n}}},\quad \left \operatorname {Im}x\right <{\frac {\pi }{2}}} 라마누잔 이 발견한 일련의 동일성은 다음과 같습니다.[49]
ϖ 2 π 2 슬 2 ( ϖ x / π ) = 1 죄악의 2 x − 1 π − 8 ∑ n = 1 ∞ n cos 2 n x e 2 n π − 1 , 임 x < π {\displaystyle {\frac {\varpi ^{2}}{\pi ^{2}\operatorname {sl} ^{2}(\varpi x/\pi )}={\frac {1}{\sin ^{2}x}}-{\frac {1}{\pi }}-8\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {n\cos 2nx}{e^{2n\pi }-1}},\quad \left \operatorname {Im} x\right <\pi } 아크탄 슬 ( ϖ π x ) = 2 ∑ n = 0 ∞ 죄악의 ( ( 2 n + 1 ) x ) ( 2 n + 1 ) 으스스한 ( ( n + 1 / 2 ) π ) , 임 x < π 2 {\displaystyle \arctan \operatorname {sl} {\bigl(}{\frac {\varpi}}{\pi}}=2\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {\sin((2n+1)x)}{(2n+1)\cosh(((n+1/2))\pi )}},\quad \left \operatorname {Im} x\right <{\frac {\pi}{2}}} 단위 원의 sin {\displaystyle \sin} 및 cos {\displaystyle \cos} 과(와) 유사 한 함수 sl ~ {\ displaystyle {\operatorname {cl}}} 및 cl ~ {\displaystyle {\operatorname {cos}}에는 다음과 같은 푸리에 및 쌍곡 급수 확장이 있습니다.[37] [40] [50]
슬 ~ s = 2 2 π 2 ϖ 2 ∑ n = 1 ∞ n 죄악의 ( 2 n π s / ϖ ) 으스스한 n π , 임 s < ϖ 2 {\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl}}}\,s=2{\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {n\sin(2n\pi s/\varpi )}{\cosh n\pi }},\quad \left \operatorname {Im} s\right <{\frac {\varpi }{2}}} cl ~ s = 2 π 2 ϖ 2 ∑ n = 0 ∞ ( 2 n + 1 ) cos ( ( 2 n + 1 ) π s / ϖ ) 죄스러운 ( ( n + 1 / 2 ) π ) , 임 s < ϖ 2 {\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl}}}\,s={\sqrt {2}}{\frac {\pi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)\cos((2n+1)\pi s/\varpi )}{\sinh((n+1/2)\pi )}},\quad \left \operatorname {Im} s\right <{\frac {\varpi}{2}}} 슬 ~ s = π 2 ϖ 2 2 ∑ n ∈ Z 죄스러운 ( π ( n + s / ϖ ) ) 으스스한 2 ( π ( n + s / ϖ ) ) , s ∈ C {\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl}}}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n\in \mathbb {Z}{\frac {\sinh(\pi (n+s/\varpi))}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi))}},\quad s\in \mathbb {C}} cl ~ s = π 2 ϖ 2 2 ∑ n ∈ Z ( − 1 ) n 으스스한 2 ( π ( n + s / ϖ ) ) , s ∈ C {\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl}}}\,s={\frac {\pi ^{2}}{\varpi ^{2}}}\sum _{n\in \mathbb {Z}{\frac {(-1)^{n}}{\cosh ^{2}(\pi (n+s/\varpi )}},\quad s\in \mathbb {C}} 다른 두 가지 빠른 계산 방법은 다음과 같은 합과 곱 시리즈를 사용합니다.
이 제품은 A Course of Modern Analysis 교과서에 설명되어 있습니다.[51]
s l ( ϖ π x ) = 2 e − π / 4 죄악의 x ∏ n = 1 ∞ 1 − 2 e − 2 n π cos 2 x + e − 4 n π 1 + 2 e − ( 2 n − 1 ) π cos 2 x + e − ( 4 n − 2 ) π , x ∈ C {\displaystyle \mathrm {sl} {\frac {\varpi}}{\pi }x{\Bigr )}=2e^{-\pi /4}\sin x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }{1+2e^{-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi },\cos 2x\in \mathbb {C}} c l ( ϖ π x ) = 2 e − π / 4 cos x ∏ n = 1 ∞ 1 + 2 e − 2 n π cos 2 x + e − 4 n π 1 − 2 e − ( 2 n − 1 ) π cos 2 x + e − ( 4 n − 2 ) π , x ∈ C {\displaystyle \mathrm {cl} {\frac {\varpi}}{\pi }x{\Bigr}}=2e^{-\pi /4}\cos x\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2e^{-2n\pi }\cos 2x+e^{-4n\pi }{1-(2n-1)\pi }\cos 2x+e^{-(4n-2)\pi },\cos 2x\in \mathbb {C}} Peter 와 Jonathan Borwein 형제는 Jacobi 타원함수 일반적인 경우를 언급함으로써 그들의 작업 π과 AGM 에서 유사한 공식을 설명했습니다.
동일한 패턴에서 접선 복제 정리를 사용하여 합 공식을 설정할 수 있습니다.
슬 ( ϖ π x ) = f ( 4 π ϖ 죄악의 x ∑ n = 1 ∞ 으스스한 [ ( 2 n − 1 ) π ] 으스스한 2 [ ( 2 n − 1 ) π ] − cos 2 x ) {\displaystyle {\text{sl}}{\bigl(}{\frac {\varpi}}{\pi }x{\bigr}}=f{\biggl(}{\frac {4\pi}{\varpi }}\sin x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2n-1)\pi]}{\cos ^{2}x}{\biggr}}}}{\cos ^{2}x}}. cl ( ϖ π x ) = f ( 4 π ϖ cos x ∑ n = 1 ∞ 으스스한 [ ( 2 n − 1 ) π ] 으스스한 2 [ ( 2 n − 1 ) π ] − 죄악의 2 x ) {\displaystyle {\text{cl}}{\bigl(}{\frac {\varpi}}{\pi}}x{\bigr}}=f{\biggl(}{\frac {4\pi}{\varpi }}\cos x\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {\cosh[(2n-1)\pi]}{\cosh ^{2}[(2n-1)\pi]-\sin ^{2}x}{\biggr}}}}{\cosh ^{2}x}}. 여기서 f ( x ) = tan (2 arctan x ) = 2 x / (1 - x 2 ) . {\displaystyle f (x) =\tan (2\arctan x) = 2x/ (1 - x^{2}) .}
렘니세이트는 전체 기능의 비율로 기능합니다. 렘니세이트 사인은 복소평면 전체 에서 메로모형 함수이므로, 전체 함수 의 비율로 표기할 수 있습니다. 가우스는 sl 이 0과 극의 분포를 반영하여 다음과 같은 제품 확장을 나타냄을 보여주었습니다.[52]
슬 z = M ( z ) N ( z ) {\displaystyle \operatorname {sl} z={\frac {M(z)}{N(z)}} 어디에
M ( z ) = z ∏ α ( 1 − z 4 α 4 ) , N ( z ) = ∏ β ( 1 − z 4 β 4 ) . {\displaystyle M(z)=z\prod _{\alpha}\left(1-{\frac {z^{4}}{\alpha ^{4}}\right),\quad N(z)=\prod _{\beta }\left(1-{\frac {z^{4}}{\beta ^{4}}\right).} 여기서 α {\displaystyle \alpha } 및 β {\displaystyle \beta }는 각각 Re z > 0 사분면 에 있는 sl의 0과 극, Im ≥ z 0 {\displaystyle \operatorname {Re} z > 0,\operatorname {Im} z\geq 0} 을 나타냅니다. 증명은 에서 찾을 수 있습니다.
렘니세이트 사인에 대한 무한 제품 증명
는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
M ′ ( z ) M ( z ) = − ∑ n = 0 ∞ 2 4 n H 4 n z 4 n − 1 ( 4 n ) ! , z < ϖ {\displaystyle {\frac {M'(z)}{M(z)}=-\sum _{n=0}^{\infty}2^{4n}\mathrm {H}_{4n}{\frac {z^{4n-1}}{(4n)!}},\quad \left z\right <\varpi } (여기서 Hn {\displaystyle \mathrm {H} _{n}} 는 렘니스케이트 타원 함수 § 후르비츠 수 에 정의된 후르비츠 수) 및
N ′ ( z ) N ( z ) = ( 1 + i ) M ′ ( ( 1 + i ) z ) M ( ( 1 + i ) z ) − M ′ ( z ) M ( z ) . {\displaystyle {\frac {N'(z)}{N(z)}}=(1+i){\frac {M'((1+i)z)}{M((1+i)z)} }}-{\frac {M'(z)}{M(z)}}. 그러므로
N ′ ( z ) N ( z ) = ∑ n = 0 ∞ 2 4 n ( 1 − ( − 1 ) n 2 2 n ) H 4 n z 4 n − 1 ( 4 n ) ! , z < ϖ 2 . {\displaystyle {\frac {N'(z)}{N(z)}=\sum _{n=0}^{\infty}2^{4n}(1-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H}_{4n}{\frac {z^{4n-1}}{(4n)!}},\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{\sqrt {2}}}} 는 것으로 알려져 있습니다.
1 슬 2 z = ∑ n = 0 ∞ 2 4 n ( 4 n − 1 ) H 4 n z 4 n − 2 ( 4 n ) ! , z < ϖ . {\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sl}^{2}z}}=\sum _{n=0}^{\infty}2^{4n}(4n-1)\mathrm {H}_{4n}{\frac {z^{4n-2}}{(4n)!}},\quad \left z\right <\varpi.} 그다음부터.
d d z 슬 ′ z 슬 z = − 1 슬 2 z − 슬 2 z {\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} z}{\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} z}=-{\frac {1}{\operatorname {sl}^{2}z}}-\operatorname {sl}^{2}z} 그리고.
슬 2 z = 1 슬 2 z − ( 1 + i ) 2 슬 2 ( ( 1 + i ) z ) {\displaystyle \operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1}{\operatorname {sl} ^{2}z}}-{\frac {(1+i)^{2 }}}:{\operatorname {sl}^{2}((1+i)z)}} 우리가 얻는
슬 ′ z 슬 z = − ∑ n = 0 ∞ 2 4 n ( 2 − ( − 1 ) n 2 2 n ) H 4 n z 4 n − 1 ( 4 n ) ! , z < ϖ 2 . {\displaystyle {\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl}}=-\sum _{n=0}^{\infty}2^{4n}(2-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H}_{4n}{\frac {z^{4n-1}}{(4n)!},\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{\sqrt {2}}}}. 이런 이유로
슬 ′ z 슬 z = M ′ ( z ) M ( z ) − N ′ ( z ) N ( z ) , z < ϖ 2 . {\displaystyle {\frac {\operatorname {sl} 'z}{\operatorname {sl} z}}={\frac {M'(z)}{M(z)}},\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{\sqrt {2}}}. 그러므로
슬 z = C M ( z ) N ( z ) {\displaystyle \operatorname {sl} z=C{\frac {M(z)}{N(z)}} z < ϖ / 2 {\displaystyle C} \left z\right <\varpi / {\sqrt {2}} 에 대한 일부 상수 C {\ displaystyle C}의 경우 이 결과는 분석적 연속에 의해 모든 z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} 에 대해 성립합니다.사용.
절름발이 z → 0 슬 z z = 1 {\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {\operatorname {sl} z}{z}=1} 는 증명 을 완료 하는 C = 1 {\displaystyle C = 1} 을(를) 제공합니다. ◼ {\ displaystyle \black square}
가우스는 ln N ( ϖ) = π / 2 {\displaystyle \ln N(\varpi ) =\pi /2}( 이는 나중에 사실로 밝혀졌다)라고 추측하고 이것이 "가장 주목할 만한 것이며 이 성질의 증거는 분석에서 가장 심각한 증가를 약속한다"고 언급했습니다. 가우스는 M {\displaystyle M} 과 N {\displaystyle N} 의 제품을 무한급수로 확장하였습니다. 그는 또한 M {\displaystyle M} 함수 와 N {\displaystyle N} 함수와 관련된 몇 가지 항등식을 발견했습니다.
복소 평면에서 M {\displaystyle M} 함수입니다 .복잡한 논쟁은 다양한 색상으로 표현됩니다. 복소 평면에서 N {\displaystyle N} 함수입니다. 복잡한 논쟁은 다양한 색상으로 표현됩니다. N ( z ) = M ( ( 1 + i ) z ) ( 1 + i ) M ( z ) , z ∉ ϖ Z [ i ] {\displaystyle N(z)={\frac {M((1+i)z)}{(1+i)M(z)}},\quad z\not in \varpi \mathbb {Z} [i]} 그리고.
N ( 2 z ) = M ( z ) 4 + N ( z ) 4 . {\displaystyle N(2z)=M(z)^{4}+N(z)^{4}} 함수 M {\displaystyle M} 과 N {\displaystyle N} 이 (가) 전체 함수이므로 멱급수 확장은 복소 평면의 모든 곳에 수렴합니다.[55] [56] [57]
M ( z ) = z − 2 z 5 5 ! − 36 z 9 9 ! + 552 z 13 13 ! + ⋯ , z ∈ C {\displaystyle M(z)=z-2{\frac {z^{5}}{5!}-36{\frac {z^{9}}{9! }}}+552{\frac{z^{13}}{13! }}}+\cdots,\quadz\in \mathbb {C}} N ( z ) = 1 + 2 z 4 4 ! − 4 z 8 8 ! + 408 z 12 12 ! + ⋯ , z ∈ C . {\displaystyle N(z)=1+2{\frac {z^{4}}{4!}}-4{\frac {z^{8}}{8! }}}+408{\frac{z^{12}}{12! }}}+\cdots ,\quadz\in \mathbb {C} . S {\displaystyle S} 및 T {\displaystyle T} 를 다음과 같이 정의합니다.
S ( z ) = N ( z 1 + i ) 2 − i M ( z 1 + i ) 2 , T ( z ) = S ( i z ) . {\displaystyle S(z)=N\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2}-iM\left({\frac {z}{1+i}}\right)^{2},\quad T(z)=S(iz)} 그렇다면 렘니스케이트 코사인은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
cl z = S ( z ) T ( z ) {\displaystyle \operatorname {cl} z={\frac {S(z)}{T(z)}} 어디서[58]
S ( z ) = 1 − z 2 2 ! − z 4 4 ! − 3 z 6 6 ! + 17 z 8 8 ! − 9 z 10 10 ! + 111 z 12 12 ! + ⋯ , z ∈ C {\displaystyle S(z)=1-{\frac {z^{2}}{2! }}-{\frac {z^{4}}{4! }}-3{\frac {z^{6}}{6! }}}+17{\frac {z^{8}}{8! }}-9{\frac {z^{10}}{10! }}+111{\frac{z^{12}}{12! }}}+\cdots,\quadz\in \mathbb {C}} T ( z ) = 1 + z 2 2 ! − z 4 4 ! + 3 z 6 6 ! + 17 z 8 8 ! + 9 z 10 10 ! + 111 z 12 12 ! + ⋯ , z ∈ C . {\displaystyle T(z)=1+{\frac {z^{2}}{2! }}-{\frac {z^{4}}{4! }}}+3{\frac {z^{6}}{6! }}}+17{\frac {z^{8}}{8! }}}+9{\frac {z^{10}}{10! }}+111{\frac{z^{12}}{12! }}}+\cdots ,\quadz\in \mathbb {C} . 더 나아가,
M ( 2 z ) = 2 M ( z ) N ( z ) S ( z ) T ( z ) , {\displaystyle M(2z)=2M(z)N(z)S(z)T(z),} S ( 2 z ) = N ( z ) 4 − 2 N ( z ) 2 M ( z ) 2 − M ( z ) 4 , {\displaystyle S(2z)=N(z)^{4}-2N(z)^{2}M(z)^{2}-M(z)^{4}} T ( 2 z ) = N ( z ) 4 + 2 N ( z ) 2 M ( z ) 2 − M ( z ) 4 {\displaystyle T(2z)=N(z)^{4}+2N(z)^{2}M(z)^{2}-M(z)^{4}} 피타고라스의 정체성과
M ( z ) 2 + S ( z ) 2 = N ( z ) 2 , {\displaystyle M(z)^{2}+S(z)^{2}=N(z)^{2}} M ( z ) 2 + N ( z ) 2 = T ( z ) 2 {\displaystyle M(z)^{2}+N(z)^{2}=T(z)^{2}} z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C}} 에 대해 입력합니다.
렘니세이트 함수를 전체 함수의 비율로 표현하는 대안적인 방법은 세타 함수를 포함합니다(렘니세이트 타원 함수 § 계산 방법 참조; 세타 함수와 위 함수는 동등하지 않습니다).
다른 기능과의 관계 바이어슈트라스와 야코비 타원함수와의 관계 렘니세이트 함수는 바이어슈트라스 타원 함수 ℘(z ; 1 , 0 ) {\displaystyle \wp(z; 1, 0)}(" 렘니세틱 케이스")와 밀접한 관련이 있으며, 불변량 은 g = 1, g = 0입니다. 이 격자는 기본 주기 ω 1 = 2 ϖ, {\displaystyle \omega_{1 }={\sqrt {2}}\varpi ,}, ω 2 = i ω 1 {\displaystyle \omega_{2 }=i\omega_{1}} 를 갖습니다. Weierstrass 함수의 연결 상수는 e 1 = 1 2 , e 2 = 0 , e 3 = - 1 2 입니다. {\displaystyle e_{1 }={\tfrac {1}{2}},\ e_{2 }=0,\ e_{3 }=-{\tfrac {1}{2}}} 입니다.
g = a , g = 0인 Weiersstrass 타원 함수의 관련 사례는 스케일링 변환에 의해 처리될 수 있습니다.그러나 여기에는 복잡한 숫자가 포함될 수 있습니다. 실수 내에 남아 있으려면 a > 0 과 a < 0 의 두 가지 경우를 고려해야 합니다. 주기 평행사변형 은 정사각형 또는 마름모꼴 입니다. Weiersstrass 타원 함수 ℘( z ; - 1 , 0 ) {\displaystyle \wp(z;-1,0)} 을(를) "의사 난시"라고 합니다.
렘니세이트 사인의 제곱은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
슬 2 z = 1 ℘ ( z ; 4 , 0 ) = i 2 ℘ ( ( 1 − i ) z ; − 1 , 0 ) = − 2 ℘ ( 2 z + ( i − 1 ) ϖ 2 ; 1 , 0 ) {\displaystyle \operatorname {sl} ^{2}z={\frac {1}{\wp(z;4,0)}={\frac {i}{2\wp(((1-i)z;-1,0)}={-2\wp}{\left ({\sqrt {2}}z+(i-1){\frac {\varpi}{\sqrt {2};1,0\right) }} 여기서 ℘ {\displaystyle \wp} 의 두 번째 및 세 번째 인수는 격자 불변량 g 와 g 를 나타냅니다. 또 다른 표현은
슬 2 z = ϖ 2 ℘ ( z / ϖ , i ) {\displaystyle \operatorname {sl} ^{2}z={\frac {\varpi ^{2}}{\wp(z/\varpi,i)}} 여기서 ℘ {\displaystyle \wp} 의 두 번째 인수는 주기비 τ {\displaystyle \tau} 를 나타냅니다. 렘니세이트 사인은 바이어슈트라스 타원 함수 및 그 도함수에서 유리 함수 입니다.
슬 z = ( i − 1 ) ℘ ( ( 1 + i ) z ; 1 / 4 , 0 ) ℘ ′ ( ( 1 + i ) z ; 1 / 4 , 0 ) {\displaystyle \operatorname {sl} z=(i-1){\frac {\wp((1+i)z;1/4,0)}{\wp '(1+i)z;1/4,0)}} 여기서 ℘ {\displaystyle \wp} 의 두 번째 및 세 번째 인수는 격자 불변량 g 와 g 를 나타냅니다. 주기 비율 τ {\displaystyle \tau} 의 경우 다음과 같습니다.
슬 z = 2 ϖ ( i − 1 ) ℘ ( ( 1 + i ) z / ( 2 ϖ ) , i ) ℘ ′ ( ( 1 + i ) z / ( 2 ϖ ) , i ) . {\displaystyle \operatorname {sl} z=2\varpi(i-1){\frac {\wp((1+i)z/(2\varpi),i)}{\wp '(1+i)z/(2\varpi)}}} 렘니세이트 함수는 야코비 타원 함수 로도 쓸 수 있습니다. 양의 실제 타원 계수를 가진 자코비 타원 함수 sn {\displaystyle \operatorname {sn} 과 cd {\displaystyle \operatorname {cd}}은( 는) 실제 축과 가상 축에 정렬된 "직립" 직사각형 격자를 가지고 있습니다. 또는 모듈러스 i 가 있는 함수 sn {\displaystyle \operatorname {sn}} 및 cd {\ displaystyle \operatorname {cd}( 및 모듈러스 1/2 가 있는 sd {\displaystyle \operatorname {sd} 및 cn {\displaystyle \operatorname {cn}) 의 제곱 주기 격자가 1/8 회전합니다. [62] [63]
슬 z = sn ( z ; i ) = sc ( z ; 2 ) = 1 2 sd ( 2 z ; 1 2 ) {\displaystyle \operatorname {sl} z=\operatorname {sn}(z;i)=\operatorname {sc}(z;{\sqrt {2}}={{\tfrac {1}{\sqrt {2}}\operatorname {sd}\left ({\sqrt {2}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right)} cl z = 씨디 ( z ; i ) = dn ( z ; 2 ) = cn ( 2 z ; 1 2 ) {\displaystyle \operatorname {cl} z=\operatorname {cd}(z;i)=\operatorname {dn}(z;{\sqrt {2}}={\operatorname {cn}\left ({\sqrt {2}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right)} 여기서 두 번째 인수는 타원 모듈러스 k {\displaystyle k} 를 나타냅니다.
함수 sl ~ {\ displaystyle {\tilde {\operatorname {sl}}}, cl ~ {\displaystyle {\tilde {\ operatorname {cl}}} 도 야코비 타원 함수로 표현할 수 있습니다 .
슬 ~ z = 씨디 ( z ; i ) sd ( z ; i ) = dn ( z ; 2 ) sn ( z ; 2 ) = 1 2 cn ( 2 z ; 1 2 ) sn ( 2 z ; 1 2 ) , {\displaystyle {\tilde {\operatorname {sl}}}\,z=\operatorname {cd}(z;i)\operatorname {sd}(z;i)=\operatorname {dn}(z;{\sqrt {2})\operatorname {sn}(z;{\sqrt {2})={\tfrac {1}{\sqrt {2}}\operatorname {cn}\left ({\sqrt {2}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right)\operatorname {sn}\left ({\sqrt {2}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right},} cl ~ z = 씨디 ( z ; i ) nd ( z ; i ) = dn ( z ; 2 ) cn ( z ; 2 ) = cn ( 2 z ; 1 2 ) dn ( 2 z ; 1 2 ) . {\displaystyle {\tilde {\operatorname {cl}}}\,z=\operatorname {cd}(z;i)\operatorname {nd}(z;i)=\operatorname {dn}(z;{\sqrt {2})\operatorname {cn}(z;{\sqrt {2})=\operatorname {cn} \left ({\sqrt {2}}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right)\operatorname {dn} \left ({\sqrt {2}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right}. 모듈식 람다 함수와의 관계 렘니세이트 사인은 모듈러 람다 함수 의 값을 계산하는 데 사용할 수 있습니다.
∏ k = 1 n 슬 ( 2 k − 1 2 n + 1 ϖ 2 ) = λ ( ( 2 n + 1 ) i ) 1 − λ ( ( 2 n + 1 ) i ) 8 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\;{\operatorname {sl}}{\left ({\frac {2k-1}{2n+1}}{\frac {\varpi}{2}}\right) }= {\sqrt[{8}]{\frac {\lambda((2n+1)i)}{1-\lambda((2n+1)i) }}}} 예를 들어,
슬 ( 1 14 ϖ ) 슬 ( 3 14 ϖ ) 슬 ( 5 14 ϖ ) = λ ( 7 i ) 1 − λ ( 7 i ) 8 = 태닝한 ( 1 2 arccsc ( 1 2 8 7 + 21 + 1 2 7 + 1 ) ) 슬 ( 1 18 ϖ ) 슬 ( 3 18 ϖ ) 슬 ( 5 18 ϖ ) 슬 ( 7 18 ϖ ) = λ ( 9 i ) 1 − λ ( 9 i ) 8 = 태닝한 ( π 4 − 아크탄 ( 2 2 3 − 2 3 − 2 2 − 3 3 + 3 − 1 12 4 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\operatorname {sl}}{\bigl(}{\tfrac {1}{14}}\varpi {\bigr )}\, {\operatorname {sl}{\bigl(}{\tfrac {3}{14}\varpi {\bigr )}\, {\operatorname {sl}}{\bigl(}{\tfrac {5}{14}}\varpi {\bigr}}\[7mu]&\quad {}={\sqrt[{8}}{\frac {\lambda(7i)}{1-\lambda(7i)}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccsc}}{\Bigl(}{\tfrac {1}{2}}}{\sqrt {8{\sqrt {7}+21}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {7}}+{\Bigr}}\[18mu]& {\operatorname {sl}}{\bigl(}{\tfrac {1}{18}}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl}{\bigr )}{\bigl(}{\tfrac {3}{18}\varpi {\bigr )}\,{\operatorname {sl}{\bigl(}{\tfrac {5}{18}\varpi {\bigr )}\, {\operatorname {sl}}{\bigl(}{\tfrac {7}{18}}\varpi {\bigr )}\[-3mu]&\quad {}={\sqrt[{8}}{\frac {\lambda(9i)}{1-\pi }}={\tan }{\biggl(}{\frac {\pi }{4}}-{\arctan }{\biggl(}{\frac {2{\sqrt[{3}}}-{\sqrt{3}}-2{\sqrt[{3}}}-2{\sqrt{3}}-2{\sqrt{3}}}+{\sqrt{3}}-1}{\sqrt[{4}}{12}}{\biggr )}{\end{aligned}} 역함수 렘니세이트 사인의 역함수는 렘니세이트 아크사인이며, 다음과 같이 정의됩니다.
호를 x = ∫ 0 x d t 1 − t 4 . {\displaystyle \operatorname {arcsl} x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}} 또한 기하학 함수로 나타낼 수도 있습니다.
호를 x = x 2 F 1 ( 1 2 , 1 4 ; 5 4 ; x 4 ) . {\displaystyle \operatorname {arcsl} x=x\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}};{\tfrac {5}{4};x^{4}\right).} 렘니세이트 코사인의 역함수는 렘니세이트 아르코신입니다. 이 함수는 다음 식으로 정의됩니다.
아크클 x = ∫ x 1 d t 1 − t 4 = 1 2 ϖ − 호를 x {\displaystyle \operatorname {arccl} x=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\tfrac {1}{2}}\varpi -\operatorname {arcsl} x} 구간 - 1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle -1\leq x\leq 1 } 의 경우 sl arcsl x = x {\displaystyle \operatorname {sl} \operatorname {arcsl} x = x \operatorname {cl} \operatorname {arccl} x = x}
렘니세이트 아크 길이를 절반으로 줄이는 경우 다음 공식이 유효합니다.
슬 ( 1 2 호를 x ) = 죄악의 ( 1 2 호신 x ) 뒤지다 ( 1 2 arsinh x ) 슬 ( 1 2 호를 x ) 2 = 태닝한 ( 1 4 호신 x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {sl}}{\bigl(}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr}&={\sin}{\bigl(}{\tfrac {1}{2}}\arcsin x{\bigr}}\, {\operatorname {sech}}{\bigl(}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} x{\bigr}}\{\operatorname {sl}{\bigl(}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} x{\bigr}^{2}&={\tan }{\bigl(}){\bigl({tfrac {1}{4}}\arcsin x^{2}{\bigr}\end{aligned}} 또한 이른바 쌍곡선 렘니세이트 영역 기능이 있습니다.
쓱 ( x ) = ∫ 0 x 1 y 4 + 1 d y = 1 2 F [ 2 아크탄 ( x ) ; 1 2 2 ] {\displaystyle \operatorname {aslh}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}F{\bigl [}2\arctan(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2},{\bigr ]}} 패거리 ( x ) = ∫ x ∞ 1 y 4 + 1 d y = 1 2 F [ 2 아궁이 ( x ) ; 1 2 2 ] {\displaystyle \operatorname { aclh}(x)=\int _{x}^{\infty}}{\frac {1}{\sqrt {y^{4}+1}}}\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}F{\bigl [}2\operatorname {arccot}(x);{\frac {1}{2}{\sqrt {2}},{\bigr ]}} 패거리 ( x ) = ϖ 2 − 쓱 ( x ) {\displaystyle \operatorname { aclh}(x)={\frac {\varpi}{\sqrt {2}}-\operatorname {aslh}(x)} 쓱 ( x ) = 2 호를 [ x ( x 4 + 1 + 1 ) − 1 / 2 ] {\displaystyle \operatorname {aslh}(x)={\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} {\bigl [}x ({\sqrt {x^{4}+1}}+1)^{-1/2}{\bigr ]} 호를 ( x ) = 2 쓱 [ x ( 1 + 1 − x 4 ) − 1 / 2 ] {\displaystyle \operatorname {arcsl}(x)={\sqrt {2}}\operatorname {aslh} {\bigl [}x(1+{\sqrt {1-x^{4}})^{-1/2}{\bigr ]}} 타원 적분을 이용한 표현 렘니세이트 아크신 및 렘니세이트 아크코신은 범례 재형성으로 표현할 수도 있습니다.
이러한 기능은 첫 번째 유형의 불완전한 타원 적분 을 사용하여 직접 표시할 수 있습니다.
호를 x = 1 2 F ( 호신 2 x 1 + x 2 ; 1 2 ) {\displaystyle \operatorname {arcsl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}F\left({\arcsin}}{\frac {\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}{\sqrt {1+x}} }}};{\frac {1}{\sqrt {2}}\right)} 호를 x = 2 ( 2 − 1 ) F ( 호신 ( 2 + 1 ) x 1 + x 2 + 1 ; ( 2 − 1 ) 2 ) {\displaystyle \operatorname {arcsl} x=2({\sqrt {2}-1) F\left({\arcsin}}{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{\sqrt {1+x^{2} }}}+1}};({\sqrt {2}-1)^{2}\right)} 렘니스케이트의 아크 길이는 타원 의 아크 길이(두 번째 종류의 타원 적분으로 계산)만을 사용하여 표현할 수도 있습니다.
호를 x = 2 + 2 2 E ( 호신 ( 2 + 1 ) x 1 + x 2 + 1 ; ( 2 − 1 ) 2 ) − E ( 호신 2 x 1 + x 2 ; 1 2 ) + x 1 − x 2 2 ( 1 + x 2 + 1 + x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsl} x={}&{\frac {2+{\sqrt {2}}{2}}}E\left({\arcsin}{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {1+x^{2}}}{\sqrt {1+x}}{2 }}+1}};({\sqrt {2}-1)^{2}\right)\[5mu]&\E\left({\arcsin}}{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2} }}};{\frac {1}{\sqrt {2}}\right)+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}:{\sqrt {2}}(1+x^{2})+{\sqrt {1+x^{2}}}\end{aligned}} 렘니세이트 아르코신은 다음과 같은 식을 갖습니다.
아크클 x = 1 2 F ( 아코코 x ; 1 2 ) {\displaystyle \operatorname {arccl} x={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left(\arccos x;{\frac {1}{\sqrt {2}}\right)} 통합사용 렘니세이트 아크신은 많은 기능을 통합하는 데 사용될 수 있습니다. 다음은 중요한 적분 목록입니다(적분 상수는 생략됨).
∫ 1 1 − x 4 d x = 호를 x {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}},\mathrm {d} x=\operator name {arcsl} x} ∫ 1 ( x 2 + 1 ) ( 2 x 2 + 1 ) d x = 호를 x x 2 + 1 {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+1)(2x^{2}+1)}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl}}{\frac {x}{x^{2}+1}}} ∫ 1 x 4 + 6 x 2 + 1 d x = 호를 2 x x 4 + 6 x 2 + 1 + x 2 + 1 {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl}}{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {x^{4}+6x^{2}}+x^{2}+1}}}}. ∫ 1 x 4 + 1 d x = 2 호를 x x 4 + 1 + 1 {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}\,\mathrm {d} x= {{\sqrt {2}\operatorname {arcsl}}{\frac {x}{\sqrt {x^{4}+1}}}} ∫ 1 ( 1 − x 4 ) 3 4 d x = 2 호를 x 1 + 1 − x 4 {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}}{(1-x^{4})^{3}}}\,\mathrm {d} x= {{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl}}{\frac {x}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}} ∫ 1 ( x 4 + 1 ) 3 4 d x = 호를 x x 4 + 1 4 {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{4}+1)^{3 }}}\,\mathrm {d} x={\operatorname {arcsl}}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}} ∫ 1 ( 1 − x 2 ) 3 4 d x = 2 호를 x 1 + 1 − x 2 {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{2}^{3}}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl}}{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}} ∫ 1 ( x 2 + 1 ) 3 4 d x = 2 호를 x x 2 + 1 + 1 {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{2}+1)^{3 }}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}} ∫ 1 ( a x 2 + b x + c ) 3 4 d x = 2 2 4 a 2 c − a b 2 4 호를 2 a x + b 4 a ( a x 2 + b x + c ) + 4 a c − b 2 {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{4}]{(ax^{2}+bx+c) ^{3}}}\,\mathrm {d} x= {{\frac {2{\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{4a^{2}c-ab^{2}}}\operatorname {arcsl}}{\frac {2ax+b}{\sqrt {4a(ax^{2}+bx+c) }}+{\sqrt{4ac-b^{2}}}}}. ∫ 뒤지다 x d x = 2 호를 탄 1 2 x {\displaystyle \int {\sqrt {\operatorname {sech} x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl}}\tanh {\tfrac {1}{2} x} ∫ 초 x d x = 2 호를 태닝한 1 2 x {\displaystyle \int {\sqrt {\sec x}}\,\mathrm {d} x={2\operatorname {arcsl}}\tan {\tfrac {1}{2}}x}
쌍곡 렘니세이트 함수 기초정보 실제 인수에 적용되는 쌍곡 렘니세이트 사인(빨간색) 및 쌍곡 렘니세이트 코사인(보라색)은 삼각 접선(흰색 점선 빨간색)과 비교됩니다. 복소 평면에서 쌍곡 렘니세이트 사인. 어두운 영역은 0을 나타내고 밝은 영역은 극을 나타냅니다. 복잡한 논쟁은 다양한 색상으로 표현됩니다. 편의를 위해 σ = 2 ϖ {\displaystyle \sigma ={\sqrt {2}}\varpi }라고 합니다. σ {\displaystyle \sigma }은(는) π {\displaystyle \pi}( 아래 참조)의 "원형" 아날로그입니다. σ {\displaystyle \sigma }의 소수 확장( 즉, 3 .7081 … {\displaystyle 3.7081 \ldots}) 은 라마누잔의 두 번째 노트 11장의 항목 34e에 나타납니다.
쌍곡 렘니세이트 사인(slh )과 코사인(clh )은 다음과 같이 타원 적분의 역으로 정의할 수 있습니다.
z = ∗ ∫ 0 슬며시쓱 z d t 1 + t 4 = ∫ clh z ∞ d t 1 + t 4 {\displaystyle z\mathrel {\overset {*}{=}} \int _{0}^{\operatorname {slh} z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4 }}}}=\int _{\operatorname {clh} z}^{\infty}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+t^{4 }}}}} 여기서 ( ∗) {\displaystyle(*)}, z {\displaystyle z} 는 모서리가 { σ / 2, σ i / 2, - σ i / 2} {\displaystyle \{\sigma /2,\sigma i/2,-\sigma /2,-\sigma i/2\} 인 정사각형에 있습니다. 그 정사각형을 넘어, 함수는 전체 복소 평면에서 형형 함수로 분석적으로 계속될 수 있습니다.
완전한 적분은 다음과 같은 값을 갖습니다.
∫ 0 ∞ d t t 4 + 1 = 1 4 B ( 1 4 , 1 4 ) = σ 2 = 1.85407 46773 01371 … {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{4}+1}}={\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}{\bigr )}={\frac {\sigma }{2}}=1.85407\;46773\;01371\ldots } 따라서 정의된 두 함수는 서로 다음과 같은 관계를 갖습니다.
슬며시쓱 z = clh ( σ 2 − z ) {\displaystyle \operatorname {slh} z={\operatorname {clh}}{\Bigl(}{\frac {\sigma }{2}}-z{\Bigr}}} 쌍곡 렘니세이트 사인과 쌍곡 렘니세이트 코사인의 곱은 다음과 같습니다.
슬며시쓱 z clh z = 1 {\displaystyle \operatorname {slh} z\,\operatorname {clh} z=1} 함수 slh {\displaystyle \operatorname {slh}} 및 clh {\displaystyle \operatorname {clh}} 은(는) 기본 주기 { σ, σ i} {\displaystyle \{\sigma,\sigma i\} 인 정사각형 주기 격자를 갖습니다.
쌍곡 렘니세이트 함수는 렘니세이트 사인과 렘니세이트 코사인으로 표현할 수 있습니다.
슬며시쓱 ( 2 z ) = ( 1 + cl 2 z ) 슬 z 2 cl z {\displaystyle \operatorname {slh} {\bigl(}{\sqrt {2}}z{\bigr}}={\frac {(1+\operatorname {cl}^{2}z)\operatorname {sl}{\sqrt {2}}\operatorname {cl}z}} clh ( 2 z ) = ( 1 + 슬 2 z ) cl z 2 슬 z {\displaystyle \operatorname {clh} {\bigl(}{\sqrt {2}}z{\bigr )}={\frac {(1+\operatorname {sl}^{2}z)\operatorname {cl}{\sqrt {2}\operatorname {sl}z}} 그러나 야코비 타원 함수 와 타원 모듈러스 1제곱근 2제곱근의 관계도 있습니다.
슬며시쓱 z = sn ( z ; 1 / 2 ) 씨디 ( z ; 1 / 2 ) {\displaystyle \operatorname {slh} z={\frac {\operatorname {sn}(z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {cd}(z;1/{\sqrt {2}}}} clh z = 씨디 ( z ; 1 / 2 ) sn ( z ; 1 / 2 ) {\displaystyle \operatorname {clh} z={\frac {\operatorname {cd}(z;1/{\sqrt {2}})}{\operatorname {sn}(z;1/{\sqrt {2}}}} 쌍곡 렘니세이트 사인은 렘니세이트 사인과 다음과 같은 가상의 관계를 갖습니다.
슬며시쓱 z = 1 − i 2 슬 ( 1 + i 2 z ) = 슬 ( − 1 4 z ) − 1 4 {\displaystyle \operatorname {slh} z={\frac {1-i}{\sqrt {2}}\operatorname {sl} \left ({\frac {1+i}{\sqrt {2}}z\right)={\frac {\operatorname {sl} \left ({\sqrt[{4}]{-1}z\right)}{\sqrt[{4}}{-1}}}} 이는 쌍곡선과 삼각 사인의 관계와 유사합니다.
죄스러운 z = − i 죄악의 ( i z ) = 죄악의 ( − 1 2 z ) − 1 2 {\displaystyle \sinh z=-i\sin(iz) ={\frac {\sin \left ({\sqrt[{2}]{-1}}z\right)}{\sqrt[{2}]{-1}}}} 페르마 곡선과의 관계 쌍곡선 렘니스케이트 접선과 코탄젠트 이 이미지는 표준화된 4차 페르마 원곡선을 보여줍니다.
관계 x 4 + y 4 = 1 {\displaystyle x^{4} + y^{4 }=1} 인 초일원 4차 페르마 곡선 x 4 + y 4 = 1 {\displaystyle x^{4} + y^{4 } = 1 }(때로는 꼬임꼴이 라고도 함)에서 쌍곡 렘니세이트 사인과 코사인은 단위 원 x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2} + y^{2 } = 1 }(2차 페르마 곡선)의 접선 및 공접선 함수와 유사합니다. 원점과 곡선의 한 점이 L선 으로 서로 연결되어 있다면, 이 선과 x축 사이의 닫힌 영역의 두 배인 쌍곡 렘니세이트 사인은 L선 x = 1 {\displaystyle x = 1} 과의 교차점의 y좌표입니다. π {\displaystyle \pi} 가 원 x 2 + y 2 = 1 {\ displaystyle \pi }로 둘러싸인 영역인 것처럼 유형 x^{2}+y^{2}=1 }, 사각형 x 4 + y 4 = 1 {\displaystyle x^{4}+y^{4 }= 1} 로 둘러싸인 영역은 σ {\displaystyle \sigma }입니다. 또한,
M ( 1 , 1 / 2 ) = π σ {\displaystyle M(1,1/{\sqrt {2}})={\frac {\pi}{\sigma }} 여기서 M {\displaystyle M} 은 산술 기하학 평균 입니다.
쌍곡 렘니스케이트 사인은 인수 덧셈 항등식을 만족합니다.
슬며시쓱 ( a + b ) = 슬며시쓱 a 슬며시쓱 ′ b + 슬며시쓱 b 슬며시쓱 ′ a 1 − 슬며시쓱 2 a 슬며시쓱 2 b {\displaystyle \operatorname {slh}(a+b)={\frac {\operatorname {slh} a\operatorname {slh} 'b+\operatorname {slh} b\operatorname {slh} 'a}{1-\operatorname {slh} ^{2}a\,\operatorname {slh} ^{2}b}} u {\displaystyle u} 이 (가) 실수이면 slh {\displaystyle \operatorname {slh}} 및 clh {\displaystyle \operatorname {clh}} 의 도함수 및 원래 도함수는 다음과 같은 방식으로 표현할 수 있습니다 .
d d u 슬며시쓱 ( u ) = 1 + 슬며시쓱 ( u ) 4 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} u}\operatorname {slh}(u)={\sqrt {1+\operatorname {slh}(u)^{4}}}
d d u clh ( u ) = − 1 + clh ( u ) 4 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}u}\operatorname {clh}(u)=-{\sqrt {1+\operatorname {clh}(u)^{4}}}}
d d u 1 2 arsinh [ 슬며시쓱 ( u ) 2 ] = 슬며시쓱 ( u ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}\,{\frac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}\operatorname {slh}(u)^{2}{\bigr ]}=\operatorname {slh}(u)
d d u − 1 2 arsinh [ clh ( u ) 2 ] = clh ( u ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}-\,{\frac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}\operatorname {clh}(u)^{2}{\bigr ]}=\operatorname {clh}(u)
또한 쌍곡 렘니케이트 접선 및 쌍곡 렘니케이트 코안젠탈의 추가 기능이 있습니다.
함수 tlh와 ctlh는 다음과 같이 언급된 미분 방정식에 설명된 항등식을 충족합니다.
tlh ( 2 u ) = 죄악의 4 ( 2 u ) = 슬 ( u ) cl 2 u + 1 슬 2 u + cl 2 u {\displaystyle {\text{tlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\sin _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {sl}(u){\sqrt {\operatorname {cl}^{2}u+1}{\operatorname {sl}^{2}u+\operatorname {cl}} ctlh ( 2 u ) = cos 4 ( 2 u ) = cl ( u ) 슬 2 u + 1 슬 2 u + cl 2 u {\displaystyle {\text{ctlh}}({\sqrt {2}}\,u)=\cos _{4}({\sqrt {2}}\,u)=\operatorname {cl}(u){\sqrt {\operatorname {sl}^{2}u+1}{\operatorname {sl}^{2}u+\operatorname {cl}} 기능적 지정 sl은 렘니시틱 사인을 의미하고 지정 cl은 렘니시틱 코사인을 의미합니다. 또한 야코비 타원 함수 와의 관계는 다음과 같습니다.
tlh ( u ) = sn ( u ; 1 2 2 ) 씨디 ( u ; 1 2 2 ) 4 + sn ( u ; 1 2 2 ) 4 4 {\displaystyle {\text{tlh}}(u)={\frac {{\text{sn}}(u;{\tfrac {1}{2}}}{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}}^{4}+{\tfrac {2}}^{u;{\tfrac {1}{2}}^{4}} ctlh ( u ) = 씨디 ( u ; 1 2 2 ) 씨디 ( u ; 1 2 2 ) 4 + sn ( u ; 1 2 2 ) 4 4 {\displaystyle {\text{ctlh}}(u)={\frac {{\text{cd}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}{\text{cd}}{(u;{\tfrac {1}{2}}^{4}+{\tfrt {2}}^{u;{\tfrac {1}{2}}^{4}}} u {\displaystyle u} 이 (가) 실수일 때 tlh {\displaystyle \operatorname {tlh}} 및 ctlh {\displaystyle \operatorname {ctlh}} 의 도함수 및 사분주기 적분은 다음과 같은 방식으로 표현할 수 있습니다 .
d d u tlh ( u ) = ctlh ( u ) 3 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} u}\operator name {tlh}(u)=\operator name {ctlh}(u)^{3}
d d u ctlh ( u ) = − tlh ( u ) 3 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} u}\operator name {ctlh}(u)=-\operator name {tlh}(u)^{3}
∫ 0 ϖ / 2 tlh ( u ) d u = ϖ 2 {\displaystyle \int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}\operatorname {tlh}(u)\,\mathrm {d}u={\frac {\varpi}{2}}
∫ 0 ϖ / 2 ctlh ( u ) d u = ϖ 2 {\displaystyle \int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}\operatorname {ctlh}(u)\,\mathrm {d}u={\frac {\varpi}{2}}
쌍곡 렘니스케이트 함수의 유도 4차 페르마 곡선 x 4 + y 4 = 1 {\displaystyle x^{4} + y^{4 } = 1} 과 관련하여 쌍곡 렘니세이트 사인은 삼각 접선 함수와 유사합니다. slh {\displaystyle \operatorname {slh}} 및 clh {\displaystyle \operatorname {clh}} 과(와) 달리 4 {\displaystyle \sin _{4 } 및 cos {\displaystyle \cos _{4 }}의 함수는 전체 복소평면에서 메로모형 함수로 분석적으로 확장할 수 없습니다 .[67] 이 초입의 수평 및 수직 좌표는 밀폐된 면적의 2배인 w = 2A에 종속되므로 다음 조건을 충족해야 합니다.
x ( w ) 4 + y ( w ) 4 = 1 {\displaystyle x(w)^{4}+y(w)^{4}=1} d d w x ( w ) = − y ( w ) 3 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} w}x(w)=-y(w)^{3} d d w y ( w ) = x ( w ) 3 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} w}y(w)=x(w)^{3}} x ( w = 0 ) = 1 {\displaystyle x(w=0)=1} y ( w = 0 ) = 0 {\displaystyle y(w=0)=0} 이 방정식 체계에 대한 해결책은 다음과 같습니다.
x ( w ) = cl ( 1 2 2 w ) [ 슬 ( 1 2 2 w ) 2 + 1 ] 1 / 2 [ 슬 ( 1 2 2 w ) 2 + cl ( 1 2 2 w ) 2 ] − 1 / 2 {\displaystyle x(w)=\operatorname {cl}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}w)[\operatorname {sl}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}w)^{2}+\operatorname {cl}({\tfrac {1}{2}}^{\sqrt {2}}^{-1/2}}^ y ( w ) = 슬 ( 1 2 2 w ) [ cl ( 1 2 2 w ) 2 + 1 ] 1 / 2 [ 슬 ( 1 2 2 w ) 2 + cl ( 1 2 2 w ) 2 ] − 1 / 2 {\displaystyle y(w)=\operatorname {sl}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}w)[\operatorname {cl}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}w)^{2}+\operatorname {cl}({\tfrac {1}{2}}^{\sqrt {2}}^{-1/2}}^ 따라서 몫에는 다음이 적용됩니다.
y ( w ) x ( w ) = 슬 ( 1 2 2 w ) [ cl ( 1 2 2 w ) 2 + 1 ] 1 / 2 cl ( 1 2 2 w ) [ 슬 ( 1 2 2 w ) 2 + 1 ] 1 / 2 = 슬며시쓱 ( w ) {\displaystyle {\frac {y(w)}{x(w)}}={\frac {\operatorname {sl}({1}{2}}{\sqrt {2}w)[\operatorname {cl}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}w)^{2}+1}^{\operatorname {cl}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl}({\tfrac {1}{2}}^{\sqrt {2}w)^{1/2}}=\operatorname {sl}(w) 함수 x(w)와 y(w)를 코탄젠트 쌍곡 렘니스카투스 및 쌍곡 탄젠트 라고 합니다.
x ( w ) = ctlh ( w ) {\displaystyle x(w)={\text{ctlh}}(w)} y ( w ) = tlh ( w ) {\displaystyle y(w)={\text{tlh}}(w)} 스케치는 또한 Areasinus 쌍곡 렘니스카투스 함수의 유도가 네 번째 거듭제곱함수의 계승자의 제곱근의 역수와 같다는 사실을 보여줍니다.
첫 번째 증명 : 아크탄젠트 도함수와의 비교 오른쪽에 보이는 스케치에는 검은색 대각선이 있습니다. 빨간색 수직 축과 함께 검은색 대각선의 교차점에서 점(10)까지 수직으로 이어지는 세그먼트의 길이를 s라고 해야 합니다. 그리고 좌표 원점에서 이 대각선과 초타원의 청록색 곡선이 교차하는 지점까지의 검은색 대각선 구간의 길이는 slh 값에 따라 다음과 같은 값을 갖습니다.
D ( s ) = ( 1 s 4 + 1 4 ) 2 + ( s s 4 + 1 4 ) 2 = s 2 + 1 s 4 + 1 4 {\displaystyle D(s)={\sqrt {{2}+1}}{\sqrt {1}{\sqrt[{4}}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {s}{\sqrt[{4}}{s^{4}+1}}{\biggr )}^{2}}={\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}}. 이 연결은 피타고라스 정리 에 의해 설명됩니다.
유사한 단위 원은 설명된 면적 할당과 함께 원 삼각형의 아크탄젠트를 생성합니다.
이에 적용되는 파생상품은 다음과 같습니다.
d d s 아크탄 ( s ) = 1 s 2 + 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} s}\arctan(들)={\frac {1}{s^{2}+1}}} 렘니스카투스 쌍곡면의 넓이의 유도를 결정하기 위해, 초타원과 단위 원의 동일한 대각선에 대한 무한히 작은 삼각형 넓이의 비교가 아래에 설정됩니다. 무한히 작은 삼각형 영역의 합이 면적 치수를 설명하기 때문입니다. 사진 속 초타원의 경우 해당 영역의 절반이 녹색으로 표시됩니다. 좌표 원점에서 각도가 무한히 작은 삼각형의 길이에 대한 영역의 2차 비율 때문에 다음 공식이 적용됩니다.
d d s 쓱 ( s ) = [ d d s 아크탄 ( s ) ] D ( s ) 2 = 1 s 2 + 1 D ( s ) 2 = 1 s 2 + 1 ( s 2 + 1 s 4 + 1 4 ) 2 = 1 s 4 + 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}}}{\text{aslh}}(s)={\biggl [}{\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}}}\arctan(s){\biggr ]}D(s)^{2}}={\frac {1}{s^{2}+1}={\frac {1}{s^{2}+1}}{\biggl (}{\frac {\sqrt {s^{2}+1}}}{\sqrt {s^{4}+1}}^{\biggr )}^{2}={\frac {1}{\sqrt {4}+1}}}} 두 번째 증명: 적분 형성 및 면적 감산 그림에서 면적 접선 렘니스카투스 하이퍼볼리쿠스는 대각선과 곡선의 교차점 높이를 녹색 면적의 두 배로 할당합니다. 녹색 영역 자체는 0에서 해당 높이 값까지의 초타원 함수의 차이 적분에서 인접한 삼각형의 면적을 뺀 값으로 생성됩니다.
아흐로 ( v ) = 2 ( ∫ 0 v 1 − w 4 4 d w ) − v 1 − v 4 4 {\displaystyle {\text{atlh}}(v)=2{\biggl(}\int_{0}^{v}{\sqrt[{4}}}\mathrm {d} w{\biggr}-v{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}} d d v 아흐로 ( v ) = 2 1 − v 4 4 − ( d d v v 1 − v 4 4 ) = 1 ( 1 − v 4 ) 3 / 4 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} v}{\text{atlh}}(v)=2{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}-{\biggl(}{\frac {\mathrm {d} v}}{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}{\biggr )}={\frac {1}{(1-v^{4})^{3/4}}} 다음과 같은 변환이 적용됩니다.
쓱 ( x ) = 아흐로 ( x x 4 + 1 4 ) {\displaystyle {\text{aslh}}(x)={\text{atlh}}{\biggl(}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}{\biggr )}} 따라서 연쇄법칙 에 따르면, 이 파생은 다음과 같습니다.
d d x 쓱 ( x ) = d d x 아흐로 ( x x 4 + 1 4 ) = ( d d x x x 4 + 1 4 ) [ 1 − ( x x 4 + 1 4 ) 4 ] − 3 / 4 = {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}}{\text{aslh}}(x)={\frac {\mathrm {d} x}}{\text{atlh}}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}{\biggr )}={\biggl (}{\frac {\mathrm {d} x}}{\frac {x}{\sqrt[{4}}{x^{4}+1}}{\biggr )}{\biggl [}}{\frac {x}{x}{\sqrt[4}}{x^{4}+1}}{\biggr )}}{\biggl [}{\frac {x}{x}{\biggr )}^{4}{\biggr ]}^{-3/4}=} = 1 ( x 4 + 1 ) 5 / 4 [ 1 − ( x x 4 + 1 4 ) 4 ] − 3 / 4 = 1 ( x 4 + 1 ) 5 / 4 ( 1 x 4 + 1 ) − 3 / 4 = 1 x 4 + 1 {\displaystyle = {\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}{\biggl [}1-{\biggl (}{\frac {x}{x}}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr ]}^{{-3/4}={\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}{\biggl (}}{\frac {1}{x^{4}+1}}^{\biggr )}^{-3/4}={\frac {1}{x^{4}+1}}}}^{\frac {1}}^{\sqrt {x^{4}+1}}}}}. 특정값 다음 목록은 쌍곡선 렘니스케이트 사인 의 값을 정확하게 보여 줍니다.
s l h ( ϖ 2 2 ) = 1 {\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {\varpi}{2{\sqrt {2}}}\right)=1} s l h ( ϖ 3 2 ) = 1 3 4 2 3 − 3 4 {\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {\varpi}{3{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}-3}}} s l h ( 2 ϖ 3 2 ) = 2 3 + 3 4 {\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {2\varpi}{3{\sqrt {2}}}\right)={\sqrt[{4}}{2{\sqrt {3}}+3}}} s l h ( ϖ 4 2 ) = 1 2 4 ( 2 + 1 − 1 ) {\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {\varpi}{4{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {2}+1}-1)} s l h ( 3 ϖ 4 2 ) = 1 2 4 ( 2 + 1 + 1 ) {\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {3\varpi}{4{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}({\sqrt {2}}+1})} s l h ( ϖ 5 2 ) = 1 8 4 5 − 1 20 4 − 5 + 1 = 2 5 − 2 4 죄악의 ( 1 20 π ) 죄악의 ( 3 20 π ) {\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {\varpi}{5{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt{5}-1}}{\sqrt{\sqrt{4}}{20}}}=2{\sqrt{4}{{\sqrt{5}}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{1}{20}}\pi)\sin({\tfrac{3}{20}}}}}}. s l h ( 2 ϖ 5 2 ) = 1 2 2 4 ( 5 + 1 ) 20 4 − 5 + 1 = 2 5 + 2 4 죄악의 ( 1 20 π ) 죄악의 ( 3 20 π ) {\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {2\varpi}{5{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt[{4}}}}}}{{\sqrt{5}}+1}}}{\sqrt{\sqrt{4}}{-{\sqrt{5}+1}}}=2{\sqrt{5}}+2}}{\sqrt{\sin({\tfrac{1}{20}}\pi)}}}}}}{\sin({\tfrac{3}{20}}\pi}}})}. s l h ( 3 ϖ 5 2 ) = 1 8 4 5 − 1 20 4 + 5 + 1 = 2 5 − 2 4 cos ( 1 20 π ) cos ( 3 20 π ) {\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {3\varpi}{5{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{8}}}{\sqrt{5}-1}}{\sqrt{\sqrt{4}}{\sqrt{5}+1}}=2{\sqrt{4}}{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\cos ({\tfrac{1}{20}}\pi)\cos ({\tfrac{3}{20}}\pi}}}}. s l h ( 4 ϖ 5 2 ) = 1 2 2 4 ( 5 + 1 ) 20 4 + 5 + 1 = 2 5 + 2 4 cos ( 1 20 π ) cos ( 3 20 π ) {\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {4\varpi}{5{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}{{\sqrt {5}}}}{{\sqrt {5}}}}{{\sqrt {4}}{20}}}=2{\sqrt {5}}{\sqrt {2}+2}}{\cos ({\tfrac {1}{20}}\pi )}\cos ({\tfrac {3}{20}}\pi )}}. s l h ( ϖ 6 2 ) = 1 2 ( 2 3 + 3 + 1 ) ( 1 − 2 3 − 3 4 ) {\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {\varpi}{6{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {3}+3})+1)(1-{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}-3})} s l h ( 5 ϖ 6 2 ) = 1 2 ( 2 3 + 3 + 1 ) ( 1 + 2 3 − 3 4 ) {\displaystyle \mathrm {slh} \,\left ({\frac {5\varpi}{6{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt[4}]{2{\sqrt {3}-3})} 다음 표에는 쌍곡선 렘니스케이트 탄젠트 및 코탄젠트 함수의 가장 중요한 값이 나와 있습니다.
z {\displaystyle z} clh z {\displaystyle \operatorname {clh} z} 슬며시쓱 z {\displaystyle \operatorname {slh} z} ctlh z = cos 4 z {\displaystyle \operatorname {ctlh} z=\cos _{4}z} tlh z = 죄악의 4 z {\displaystyle \operatorname {tlh} z=\sin _{4}z} 0 {\displaystyle 0} ∞ {\displaystyle \infty} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} 1 4 σ {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\sigma } 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} 1 / 2 4 {\displaystyle 1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}} 1 / 2 4 {\displaystyle 1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}} 1 2 σ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma } 0 {\displaystyle 0} ∞ {\displaystyle \infty} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 3 4 σ {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\sigma } − 1 {\displaystyle -1} − 1 {\displaystyle -1} − 1 / 2 4 {\displaystyle -1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}} 1 / 2 4 {\displaystyle 1{\big /}{\sqrt[{4}]{2}}} σ {\displaystyle \sigma } ∞ {\displaystyle \infty} 0 {\displaystyle 0} − 1 {\displaystyle -1} 0 {\displaystyle 0}
조합 및 반차 정리 쌍곡 Lemniscate Areasine 과 함께 다음 ID를 설정할 수 있습니다.
tlh [ 쓱 ( x ) ] = ctlh [ 패거리 ( x ) ] = x x 4 + 1 4 {\displaystyle {\text{tlh}}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{ aclh}}(x){\bigr ]}={\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}. ctlh [ 쓱 ( x ) ] = tlh [ 패거리 ( x ) ] = 1 x 4 + 1 4 {\displaystyle {\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{tlh}}{\bigl [}}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}} 쌍곡 렘니스케이트 탄젠트 의 제곱은 tlh {\displaystyle \operatorname {tlh}} 및 ctlh {\displaystyle \operatorname {ctlh}} 의 네 번째 거듭제곱의 합이 항상 값 1과 같기 때문에 쌍곡 렘니스케이트 탄젠트 의 제곱의 피타고라스 대응물입니다.
쌍곡 동축 렘니스카투스의 이등분 정리는 다음과 같습니다.
슬며시쓱 [ 1 2 쓱 ( x ) ] = 2 x x 2 + 1 + x 4 + 1 + x 4 + 1 − x 2 + 1 {\displaystyle {\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{{\sqrt {x^{4}+1}}}}{{\sqrt {x^{4}+1}}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}}. 이 공식은 다음 두 공식의 조합으로 밝혀질 수 있습니다.
a s l h ( x ) = 2 호를 [ x ( x 4 + 1 + 1 ) − 1 / 2 ] {\displaystyle \mathrm {aslh}(x)={\sqrt {2}}\,{\text{arcsl}}{\bigl [}x ({\sqrt {x^{4}+1}}+1)^{-1/2}{\bigr ]} 호를 ( x ) = 2 쓱 ( 2 x 1 + x 2 + 1 − x 2 ) {\displaystyle {\text{arcsl}}(x)={\sqrt {2}\,{\text{aslh}}{\bigl(}{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}{\sqrt {1+x}} }}}+{\sqrt{1-x^{2}}}}{{\bigr}}}. 또한 모든 실수 값 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R}} 에 대해 다음 공식이 유효합니다.
슬며시쓱 [ 1 2 패거리 ( x ) ] = x 4 + 1 + x 2 − 2 x x 4 + 1 + x 2 = ( x 4 + 1 − x 2 + 1 ) − 1 / 2 ( x 4 + 1 + 1 − x ) {\displaystyle {\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{ aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}-{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2} }}}={\bigl(}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}{\bigl(}{\sqrt {x^{4}+1}}-x{\bigr )}} clh [ 1 2 패거리 ( x ) ] = x 4 + 1 + x 2 + 2 x x 4 + 1 + x 2 = ( x 4 + 1 − x 2 + 1 ) − 1 / 2 ( x 4 + 1 + 1 + x ) {\displaystyle {\text{clh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{ aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}+{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2} }}}={\bigl(}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr}}^{-1/2}{\bigl(}{\sqrt {x^{4}+1}}+x{\bigr}}} 이들 아이덴티티는 마지막으로 언급한 공식을 따릅니다.
tlh [ 1 2 패거리 ( x ) ] 2 = 1 2 2 − 2 2 x x 4 + 1 − x 2 = ( 2 x 2 + 2 + 2 x 4 + 1 ) − 1 / 2 ( x 4 + 1 + 1 − x ) {\displaystyle {\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{ aclh}}(x)] ^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {x^{4}+1}}}}={\bigl (}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}}^{\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}}}}}}{\sqrt {x^{4}+1}}}}-x{\bigr}}}}}:{\sqrt {x^{1}}}: ctlh [ 1 2 패거리 ( x ) ] 2 = 1 2 2 + 2 2 x x 4 + 1 − x 2 = ( 2 x 2 + 2 + 2 x 4 + 1 ) − 1 / 2 ( x 4 + 1 + 1 + x ) {\displaystyle {\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{ aclh}}(x)] ^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {x^{4}+1}}}}={\bigl(}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl(}{\sqrt {x^{4}+1}}}+1}}}}}}}{\sqrt {x^{x^{4}}}}+x{\bigr}}}}. 다음과 같은 렘니시틱 사인과 렘니시틱 코사인의 공식은 밀접한 관련이 있습니다.
슬 [ 1 2 2 패거리 ( x ) ] = cl [ 1 2 2 쓱 ( x ) ] = x 4 + 1 − x 2 {\displaystyle {\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{ aclh}}(x)] ={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\sqrt {x^{4}+1}-x^{2}}} 슬 [ 1 2 2 쓱 ( x ) ] = cl [ 1 2 2 패거리 ( x ) ] = x ( x 4 + 1 + 1 ) − 1 / 2 {\displaystyle {\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)] ={\text{cl}}[{\tfrac{1}{2}}{\sqrt{2}}\,{\text{ aclh}}(x)] =x{\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}+1{\bigr )}^{-1/2}} 변환 좌표 가우시안 종 곡선 함수에서 부적절한 적분을 결정하는 것과 유사하게 일반적 인 실린더의 좌표 변환을 사용하여 x와 관련하여 적분 한 함수 f ( x ) = exp ( - x 4 ) {\displaystyle f (x ) =\exp (-x^{4}} 에서 0에서 양의 무한대까지의 적분을 계산할 수 있습니다.다음에서는 두 적분의 증명이 병렬 방식으로 표시됩니다.
가우스 벨 곡선 함수의 원통 좌표 변환 은 다음과 같습니다.
[ ∫ 0 ∞ 익스피드 ( − x 2 ) d x ] 2 = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ 익스피드 ( − y 2 − z 2 ) d y d z = {\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp (-x^{2})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp (-y^{2}-z^{2}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=} = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 ∞ 디트 [ ∂ / ∂ r r cos ( ϕ ) ∂ / ∂ ϕ r cos ( ϕ ) ∂ / ∂ r r 죄악의 ( ϕ ) ∂ / ∂ ϕ r 죄악의 ( ϕ ) ] 익스피드 { − [ r cos ( ϕ ) ] 2 − [ r 죄악의 ( ϕ ) ] 2 } d r d ϕ = {\displaystyle =\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty}}\det {\begin{bmatrix}\partial /\partial r\,\r\cos(\phi )&\partial /\partial \phi \,\r\cos(\phi )\\\\\partial r\,\r\sin(\phi )&\partial \phi \,\r\sin(\phi )\end{bmatrix}}\exp {\bigl \{}-{\bigl [}r\cos(\phi ){\bigr ]}^{2}-{\bigl [}^{r\sin(\phi ){\bigr \}},\mathrm {\bigr \}},\mathrm {\bigr \} d} r\,\mathrm {d} \phi =} = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 ∞ r 익스피드 ( − r 2 ) d r d ϕ = ∫ 0 π / 2 1 2 d ϕ = π 4 {\displaystyle =\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty}r\exp (-r^{2})\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\pi}{4}} 그리고 이것은 난막증의 경우와 유사한 좌표 변환입니다.
[ ∫ 0 ∞ 익스피드 ( − x 4 ) d x ] 2 = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ 익스피드 ( − y 4 − z 4 ) d y d z = {\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp (-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp (-y^{4}-z^{4}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=} = ∫ 0 ϖ / 2 ∫ 0 ∞ 디트 [ ∂ / ∂ r r ctlh ( ϕ ) ∂ / ∂ ϕ r ctlh ( ϕ ) ∂ / ∂ r r tlh ( ϕ ) ∂ / ∂ ϕ r tlh ( ϕ ) ] 익스피드 { − [ r ctlh ( ϕ ) ] 4 − [ r tlh ( ϕ ) ] 4 } d r d ϕ = {\displaystyle =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty}}\det {\text{bmatrix}\partial r\,\r\,{\text{ctlh}(\phi )&\text{ctlh}(\phi )&\text \phi \,\r\,{\text{ctlh}(\phi )\text{tlh}(\phi )&\text{tlh}(\phi )&partial \phi \,\r\,{\text{tlh}}(\phi )\end{bmatrix}\exp {\bigl \{}-{\text{ctlh}(\phi )},{\text{ctlh}}(\phi ){\bi )} igr ]}^{4}-{\bigl [}r\,{\text{tlh}}(\phi ){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}\,\mathrm {d}r\,\mathrm {d} \phi =} = ∫ 0 ϖ / 2 ∫ 0 ∞ r 익스피드 ( − r 4 ) d r d ϕ = ∫ 0 ϖ / 2 π 4 d ϕ = ϖ π 4 2 {\displaystyle =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty}r\exp (-r^{4})\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}{\frac {\sqrt {\pi }}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\varpi {\sqrt {\pi}}{4{\sqrt {2}}}}} 타원적으로 유사한 방정식 체인의 마지막 줄에는 다시 무한소 분석(분석)의 체인 규칙 에 따라 제곱 함수와 통합된 원래의 가우스 벨 곡선이 있습니다.
두 경우 모두 야코비 행렬 의 행렬식은 적분 영역의 원래 함수에 곱해집니다.
통합 영역의 결과적인 새 기능은 새 매개 변수에 따라 통합됩니다.
타원계수와 5차방정식 1858년 찰스 헤르미테 는 전설적인 개혁에서 5원 방정식과 대응하는 타원 모듈러스 k {\displaystyle k} 와 피타고라스 대응물 k' {\ displaystyle k'} 사이의 연결을 만들었습니다.[68]
θ 5 − 5 2 θ 4 − ( 1 − 4 k 2 k ′ 2 ) 2 2 k 2 k ′ 2 = 0 {\displaystyle {\theta }^{5}-{\frac {5}{2}}^{\theta }^{4}-{\frac {(1-4k^{2}k'^{2})^{2}}{2k^{2}k'^{2}}=0} 2 θ - 5 를 곱하면 {\textstyle 2\theta ^{-5}, θ - 1 {\ displaystyle \theta ^{-1}} 의 새로운 5진수가 됩니다.
( 1 − 4 k 2 k ′ 2 ) 2 k 2 k ′ 2 θ − 5 + 5 θ − 1 = 2. {\displaystyle {\frac {(1-4k^{2}k'^{2})^{2}}{k^{2}}\theta ^{-5}+5\theta ^{-1}=2.} 다음으로 선행 계수의 네 번째 루트를 곱하면 다음을 얻을 수 있습니다.
[ ( 1 − 4 k 2 k ′ 2 ) 2 k 2 k ′ 2 ] 5 4 θ − 5 + 5 [ ( 1 − 4 k 2 k ′ 2 ) 2 k 2 k ′ 2 ] 1 4 θ − 1 = 2 [ ( 1 − 4 k 2 k ′ 2 ) 2 k 2 k ′ 2 ] 1 4 {\displaystyle {\biggl [}{\frac {(1-4k^{2}k'^{2})^{2}}{k^{2}}{\biggr ]}^{\frac {5}{4}}\theta ^{-5}+5{\biggl [}{\frac {(1-4k^{2}k'^{2}}^{\frac {(1-4k^{2}}}^{\biggr ]}^{\frac {1}{4}}\theta ^{-1}=2{\biggl [}{\frac {(1-4k^{2}k'^{2}}^{k^{2}}^{\biggr ]}^{\frac {1}}^{4}}^{\frac {1}^{4}}^{\frac {1}}^{-1}=2}{\biggl [}}{\frac {(1-4}}}^{. Bring-Jerard 정규 형태 (정도 5, 1, 0의 항만 포함)에서 다항식 x 5 + 5 x = 4 c {\displaystyle x^{5} + 5x = 4c 입니다.
x = [ ( 1 − 4 k 2 k ′ 2 ) 2 k 2 k ′ 2 ] 1 4 θ − 1 , c = 1 2 [ ( 1 − 4 k 2 k ′ 2 ) 2 k 2 k ′ 2 ] 1 4 {\displaystyle x={\biggl [}{\frac {(1-4k^{2}k'^{2}}^{2}}^{k^{2}}{\biggr ]}^{\frac {1}{4}}\theta ^{-1},\qquad c={\frac {1}{2}}{\biggl [}{\frac {(1-4k^{2}k^{2}}^{2}}^{k^{2}}^{\biggr ]}^{\frac {1}{4}}^{\frac {1}}}^ 타원 모듈러스 k {\displaystyle k} 와 피타고라스 상보 모듈러스 k' {\displaystyle k'} 는 k 2 + k ' 2 = 1 을 만족합니다. {\displaystyle k^{2 } + k'^{2 } = 1.} c {\displaystyle c}에서 k {\displaystyle k'} 와 k ' {\displaystyle k'} 에 대한 해는 다음과 같습니다.
k = c 4 + 1 + 1 − c 2 c 2 + 2 + 2 c 4 + 1 , k ′ = c 4 + 1 + 1 + c 2 c 2 + 2 + 2 c 4 + 1 . {\displaystyle k={\frac {\sqrt {c^{4}+1}}-c}{\sqrt {2c^{2}+2+2}{\sqrt {c^{4}+1}}},\qquad k'={\sqrt {\sqrt {c^{4}+1}}}{\sqrt {2c^{2}+2}+1}}}}{\sqrt {2c^{4}+1}}}}. 이 두 가지 공식은 쌍곡 렘니세이트 함수의 관점에서 제시될 수 있습니다.
k = tlh [ 1 2 패거리 ( c ) ] 2 , k ′ = ctlh [ 1 2 패거리 ( c ) ] 2 {\displaystyle {\begin{aligned}k&=\operatorname {tlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname { aclh}(c){\bigr ]}^{2},\k'&=\operatorname {ctlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname { aclh}(c){\bigr ]}^{2}\end{aligned}} 수론 대수적 수론 에서, 가우스 유리수 Q (i ) {\displaystyle \mathbb {Q} (i)} 의 모든 유한 아벨 확장은 일부 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대한 Q (i , ω n) {\displaystyle \mathbb {Q} (i,\omega _{n})} 의 부분 필드 입니다. 이것은 원의 분할에 기초한 유리수 Q {\displaystyle \mathbb {Q}} 에 대한 크로네커-베버 정리 와 유사합니다. 특히, Q {\displaystyle \mathbb {Q} 의 모든 유한 아벨리안 확장은 일부 양의 정수 n {\displaystyle n} 에 대한 Q ( ζ n ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}) 의 하위 필드입니다. 둘 다 Hilbert의 12번째 문제 가 된 크로네커의 유겐트라움의 특별한 사례들입니다.
필드 Q (i , sl ( ϖ / n ) {\displaystyle \mathbb {Q} (i, \operatorname {sl}(\varpi /n)}( 양의 홀수 n {\displaystyle n} 의 경우 ) 는 x {\displaystyle x} - 및 y {\displaystyle y} - 타원 곡선 y 2 = 4 x 3 + x {\displaystyle y^{2 } = 4 x ^{ 3} + x tors 에서 생성 된 Q( i ) {\displaystyle {Q}(i) 의 확장입니다.
후르비츠 수 베르누이 수 Bn {\ displaystyle \mathrm {B} _{n}} 는 다음과 같이 정의할 수 있습니다 .
B n = 절름발이 z → 0 d n d z n z e z − 1 , n ≥ 0 {\displaystyle \mathrm {B} _{n}=\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d}^{n}}{\mathrm {d}z^{n}}{\frac {z}{e^{z}-1}},\quad n\geq 0} 에 출연합니다.
∑ k ∈ Z ∖ { 0 } 1 k 2 n = ( − 1 ) n − 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n ( 2 n ) ! = 2 ζ ( 2 n ) , n ≥ 1 {\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}{\frac {1}{k^{2n}}= (-1)^{n-1}\mathrm {B} _{2n}{\frac {(2\pi)^{2n}}{(2n)! }}=2\zeta(2n),\quad n\geq 1} 여기서 ζ {\displaystyle \zeta} 는 리만 제타 함수 입니다.
아돌프 후르비츠 의 이름을 딴 후르비츠 수 Hn, {\displaystyle \mathrm {H} _{n} 는 베르누이 수의 "렘니케이트 유사체"입니다.다음과[70] [71] 같이 정의할 수 있습니다.
H n = − 절름발이 z → 0 d n d z n z ζ ( z ; 1 / 4 , 0 ) , n ≥ 0 {\displaystyle \mathrm {H} _{n}=-\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d}^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}z\zeta (z;1/4,0),\quad n\geq 0} 여기서 ζ ( ⋅; 1 / 4 , 0 ) {\displaystyle \zeta (\cdot; 1 / 4, 0)} 는 격자 불변량 이 1 / 4 {\displaystyle 1 / 4} 및 0 {\displaystyle 0} 인 Weierstrass zeta 함수 입니다. 에 등장합니다.
∑ z ∈ Z [ i ] ∖ { 0 } 1 z 4 n = H 4 n ( 2 ϖ ) 4 n ( 4 n ) ! = G 4 n ( i ) , n ≥ 1 {\displaystyle \sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4n}}=\mathrm {H} _{4n}{\frac {(2\varpi)^{4n}}{(4n)! }}}=G_{4n}(i),\quad n\geq 1} 여기 서 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} 는 가우스 정수 이고 G 4 n {\ displaystyle G_{4n} 은 무게 4 n {\displaystyle 4n} 의 아이젠슈타인 급수 입니다.
∑ n = 1 ∞ n k e 2 π n − 1 = { 1 24 − 1 8 π 한다면 k = 1 B k + 1 2 k + 2 한다면 k ≡ 1 ( m o d 4 ) 그리고. k ≥ 5 B k + 1 2 k + 2 + H k + 1 2 k + 2 ( ϖ π ) k + 1 한다면 k ≡ 3 ( m o d 4 ) 그리고. k ≥ 3. {\displaystyle \displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}}{\dfrac {n^{k}}{e^{2\pin}-1}}={\begin{case}{\dfrac {1}{8\pi }}\k=1\{\text{if}}\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}{2k+2}}&{\text{if}}\k\equiv 1\,(\mathrm {mod} \, 4)\{\text{and}}\k\geq 5\{\dfrac {\mathrm {B} _{k+1}}{2k+2}}+{\dfrac {\mathrm {H} _{k+1}}{2k+2}}\left({\dfrac {\varpi}}{\pi}}\right) ^{k+1}&{\text{if}}\k\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)\{\text{and}}\k\geq 3. \\\\end{case}}\end{array}} H 4 = 1 / 10 {\displaystyle \mathrm {H} _{4 } = 1/10 },
H 4 n = 3 ( 2 n − 3 ) ( 16 n 2 − 1 ) ∑ k = 1 n − 1 ( 4 n 4 k ) ( 4 k − 1 ) ( 4 ( n − k ) − 1 ) H 4 k H 4 ( n − k ) , n ≥ 2 {\displaystyle \mathrm {H} _{4n}={\frac {3}{(2n-3)(16n^{2}-1)}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {4n}{4k}}(4k-1)(4(n-k)-1)\mathrm {H} _{4k}\mathrm {H} _{4(n-k)},\quad n\geq 2} n {\displaystyle n} 이(가) 4 {\displaystyle 4} 의 배수가 아닌 경우 Hn = 0 {\displaystyle {H} _{n }=0 입니다. 이것은 산출합니다[70] .
H 8 = 3 10 , H 12 = 567 130 , H 16 = 43 659 170 , … {\displaystyle \mathrm {H} _{8}={\frac {3}{10}},\,\mathrm {H} _{12}={\frac {567}{130}},\,\,\mathrm {H} _{16}={\frac {43\,659}{170},\,\ldots } 또한[73]
교단의 H 4 n = 2 ∏ ( p − 1 ) 4 n p {\displaystyle \operatorname {denom} \mathrm {H} _{4n}=2\prod _{(p-1) 4n}p} 여기서 p 는 p ≡ 1 (mod 4 ), {\ displaystyle p\ equiv 1\, ({\text{mod}}\,4),} 과 같이 P {\displaystyle p \in \mathbb {P}},
교단의 B 2 n = ∏ ( p − 1 ) 2 n p {\displaystyle \operatorname {denom} \mathrm {B} _{2n}=\prod _{(p-1) 2n}p} 여기서 p ∈ P {\displaystyle p\in \mathbb {P}} (폰 슈타우트-클라우센 정리 에 의해).
사실, 폰 슈타우트-클라우센 정리는 다음과 같이 말합니다.
B 2 n + ∑ ( p − 1 ) 2 n 1 p ∈ Z , n ≥ 1 {\displaystyle \mathrm {B} _{2n}+\sum _{(p-1) 2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z},\quad n\geq 1} (OEIS 의 수열 A000146 ) 여기서 p {\displaystyle p} 는 임의의 소수이며, 유사한 정리는 후르비츠 수에 성립합니다: ∈ Z {\displaystyle a\in \mathbb {Z}} 가 홀수 이고, b ∈ Z {\displaystyle b\in \mathbb {Z}} 가 짝수 이고, p {\displaystyle p} 는 p ≡ 1 (mod 4) {\displaystyle p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4 )}, p = a 인 경우 2 + b 2 {\displaystyle p = a^{2} + b^{2}} (두 제곱의 합에 대한 페르마의 정리 참조)와 ≡ b + 1 (모드 4) {\displaystyle a\equiv b+1\,(\mathrm {mod} \,4 )}. 그렇다면 임의의 주어진 p {\displaystyle p}에 대하여, a = a {\displaystyle a=a_{p} 는 유일하게 결정됩니다.
H 4 n − 1 2 − ∑ ( p − 1 ) 4 n ( 2 a p ) 4 n / ( p − 1 ) p = 데프 G n ∈ Z , n ≥ 1 , {\displaystyle \mathrm {H} _{4n} - {\frac {1}{2}}-\sum _{(p-1) 4n}{\frac {(2a_{p})^{4n/(p-1)}{p}}\mathrl {\overset {\text{def}}{=}\mathrm {G} _{n}\in \mathbb {Z},\quad n\geq 1,} 슬 z = ∑ n = 0 ∞ k 4 n + 1 z 4 n + 1 ( 4 n + 1 ) ! , z < ϖ 2 ⟹ k p ≡ 2 a p ( 모드의 p ) . {\displaystyle \operatorname {sl} z=\sum _{n=0}^{\infty}k_{4n+1}{\frac {z^{4n+1}}{(4n+1)! }},\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{\sqrt {2}}\implies k_{p}\equiv 2a_{p}\,({\text{mod}}\,p).} 정수 Gn {\ displaystyle \mathrm {G} _{n}} 의 시퀀스 는 0, -1 , 5 , 253 , … {\displaystyle 0, -1, 5, 253,\ldots 로 시작합니다.}
n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 이라고 합니다. 4n + 1 {\displaystyle 4n+1} 이(가) 소수이면 Gn ≡ 1 (mod 4) {\displaystyle {G} _{n}\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4 ). 4n + 1 {\displaystyle 4n+1} 이(가) 소수가 아니면 Gn ≡ 3 (mod 4) {\displaystyle {G} _{n }\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)}.
대신 일부 저자는 H n = H 4 n {\displaystyle \mathrm {H} _{n }'=\mathrm {H} _{4n}} 로 후르비츠 수를 정의합니다.
로랑 시리즈의 등장인물 후르비츠 수는 렘니스케이트 함수와 관련된 로랑 급수 확장에서 여러 개 나타납니다.[75]
슬 2 z = ∑ n = 1 ∞ 2 4 n ( 1 − ( − 1 ) n 2 2 n ) H 4 n 4 n z 4 n − 2 ( 4 n − 2 ) ! , z < ϖ 2 슬 ′ z 슬 z = 1 z − ∑ n = 1 ∞ 2 4 n ( 2 − ( − 1 ) n 2 2 n ) H 4 n 4 n z 4 n − 1 ( 4 n − 1 ) ! , z < ϖ 2 1 슬 z = 1 z − ∑ n = 1 ∞ 2 2 n ( ( − 1 ) n 2 − 2 2 n ) H 4 n 4 n z 4 n − 1 ( 4 n − 1 ) ! , z < ϖ 1 슬 2 z = 1 z 2 + ∑ n = 1 ∞ 2 4 n H 4 n 4 n z 4 n − 2 ( 4 n − 2 ) ! , z < ϖ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sl} ^{2}z&=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {2^{4n}(1-(-1)^{n}2^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2)! }},\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{\sqrt {2}}\{\frac {\operatorname {sl}{z}}&={\frac {1}{z}-\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {2^{4n}(2-(-1)^{n}^{2n})\mathrm {H} _{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)}{(4n-1)}{(4n-1)! }},\quad \left z\right <{\frac {\varpi}{\sqrt {2}}\{\frac {1}{\operatorname {sl} z}}&={\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {2^{2n}}\mathrm {H}_{4n}}{\frac {z^{4n-1}}{(4n-1)}{(4n-1)}}{(4n-1)! }},\quad \left z\right <\varpi \{\frac {1}{\operatorname {sl}^{2}z}}&={\frac {1}{z^{2}}+\sum _{n=1}^{\infty}}{\frac {2^{4n}}{\frac {4n}}{\frac {z^{4n-2}}{(4n-2}}{(4n-2)}{{(4n-2)}}{\frac {2}! }},\quad \left z\right <\varpi \end{align}}} 마찬가지로 베르누이 수는 다음과 같습니다.
1 죄스러운 2 z = 1 z 2 − ∑ n = 1 ∞ 2 2 n B 2 n 2 n z 2 n − 2 ( 2 n − 2 ) ! , z < π . {\displaystyle {\frac {1}{\sinh ^{2}z}}={\frac {1}{z^{2}}-\sum _{n=1}^{\infty}}{\frac {2^{2n}}{\mathrm {B}{2n}}{\frac {z^{2n-2}}{(2n-2})}{(2n-2)}}{(2n-2)! }},\quad \left z\right <\pi.} Legendre 기호의 사중형 유사체 유사체 p ≡ 1 (mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 1\,({\text{mod}}\,4)} 가 되도록 p {\displaystyle p } 를 소수라고 하자. 사분위 잔차 (mod p {\displaystyle p}) 는 정수의 4제곱에 해당하는 임의의 숫자입니다.{\displaystyle a} 가 사분위수 잔여물(mod p {\displaystyle p }) 이면 (p ) 4 {\ displaystyle \left({tfrac {a}{p}\right)_{4} 를 1 {\displaystyle p}( mod p {\displaystyle p})로 정의하고, {\displaystyle a} 가 사분위수 잔여물(mod p {\ displaystyle p}) 이 아니면 - 1 {\displaystyle -1}( 으) 로 정의합니다.
{\displaystyle a} 및 p {\displaystyle p} 이 (가) 공임인 경우, {\displaystyle p ' [i ] {\displaystyle p'\in \mathbb {Z} [i]} 에 다음과[76] 같은 숫자 가 존재합니다.
( a p ) 4 = ∏ p ′ 슬 ( 2 ϖ a p ′ / p ) 슬 ( 2 ϖ p ′ / p ) . {\displaystyle \left ({\frac {a}{p}}\right)_{4}=\prod {p'}{\frac {\operatorname {sl}(2\varpi ap'/p)}{\operatorname {sl}(2\varpi p'/p}}} 이 정리는 다음과 유사합니다.
( a p ) = ∏ n = 1 p − 1 2 죄악의 ( 2 π a n / p ) 죄악의 ( 2 π n / p ) {\displaystyle \left ({\frac {a}{p}}\right)=\prod_{n=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {\sin(2\pian/p)}{\sin(2\pin/p)}}} 여기서 ( ⋅ ⋅ ) {\displaystyle \left({\tfrac {\cdot}}{\cdot}}\right)} 는 Legendre 기호입니다.
세계지도 투영법 피어스(Peirce, 1879) 의 "퀸시컬 프로젝션에 관한 세계". 1870년대에 미국 해안 조사의 찰스 샌더스 피어스(Charles Sanders Peirce )가 설계한 피어스 퀸시컬 투영 은 입체적으로 투영 된 점들의 역 렘니세이트 사인(복소수로 처리됨)에 기반한 세계 지도 투영 입니다.[77]
쌍곡 렘니스케이트 사인을 통해 복소 평면에 일정한 실제 또는 가상 부분의 선이 투영된 후 구면에 입체적으로 투영되면(리만 구 참조), 결과적인 곡선은 평면 타원 및 하이퍼볼라 의 구면 유사체인 구면 원뿔 입니다.[78] 따라서 렘니세이트 함수(그리고 더 일반적으로 야코비 타원 함수 )는 구형 원뿔에 대한 매개 변수화를 제공합니다.
Lemniscate 함수를 사용하여 지구 에서 정육면체의 6개의 정사각형 면에 대한 등각 지도 투영을 정의할 수도 있습니다.[79] 많은 편미분 방정식 은 등각 매핑을 통해 효과적으로 해결할 수 있기 때문에, 구에서 입방체로의 이 지도는 대기 모델링 에 편리합니다.[80]
참고 항목
메모들 ^ 파냐노 (1718–1723); 오일러 (1761); 가우스 (1917) ^ 가우스(Gauss, 1917) p. 199는 렘니스케이트 사인과 코사인에 각각 sl 과 cl 기호를 사용하였고, 이 표기법은 오늘날 가장 일반적입니다. Cox (1984) p. 316, Eymard & Lafon (2004) p. 204, Lemmermeyer (2000) p. 240.Ayoub (1984) 은 싱글렘 과 코스렘 을 사용합니다.Whittaker & Watson (1920 )은 synemn 과 cosemn 이라는 기호를 사용합니다.어떤 자료들은 일반 문자 s와 c를 사용합니다. Prasolov & Solovyev (1997) 는 렘니스케이트 사인을 φ로 그리고 그것의 도함수를 φ' 로 사용합니다. ^ 원 x 2 + y 2 = x {\displaystyle x^{2} + y^{2 }= x } 는 Cox & Shurman(2005) 의 정의 에 따라 극방정식 r = cos θ , {\displaystyle r= \cos \theta,} 도-2 클로버 를 갖는 (12 , 0 ) {\textstyle {\bigl(}, {\tfrac {1}{2}},0{\bigr}} 에 중심을 둔 단위-diameter 원입니다. 원점 중심의 단위- radius 원 x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2} + y^{2 }=1} 이(가) 아닙니다 . 렘니스케이트 (x2 + y 2 ) 2 = x 2 - y 2 {\displaystyle {\bigl (}x^{2} + y^{2}{\bigr )}{}^{2 }= x^{2} - y^{2}} 는 차수-4 클로버입니다. ^ 기본 주기 (1 + i ) ϖ {\displaystyle ( 1 + i)\varpi } 및 (1 - i ) ϖ {\displaystyle (1 - i)\varpi } 은(는) 실제 부분이 음이 아닌 모든 주기 중에서 가장 작은 절대값을 갖는다는 의미에서 "최소"입니다. ^ Robinson(2019a )은 이 정의에서 시작하여 렘니세이트 함수의 다른 특성을 도출합니다. ^ 이 지도는 슈바르츠 (1869 ) 페이지 113 에서 슈바르츠-크리스토펠 지도의 첫 번째 그림이었습니다. ^ 샤파허 (1997). OEIS 시퀀스 A062539 는 렘니스케이트 상수의 십진 숫자를 나열합니다. ^ 레빈 (2006) ^ 토드 (1975) ^ 콕스 (1984) ^ 어두운 영역은 0을 나타내고 밝은 영역은 극을 나타냅니다. sl z {\displaystyle \operatorname {sl} z} 인수 가 - π {\displaystyle -\pi }(- π {\displaystyle -\pi} 제외)에서 π {\displaystyle \pi} 로 변경되면 색상이 시안, 파란색(Arg ≈ - π / 2) {\ displaystyle (\operatorname {Arg} \approx -\pi / 2), 마그네타 , 빨간색(Arg ≈ 0 ) {\displaystyle (\operatorname {Arg} \approx 0)} , 주황색, 노란색(Ar g ≈ π / 2 ) {\displaystyle (\operatorname {Arg} \approx \pi /2 )}, 녹색, 다시 시안(Ar g ≈ π) {\displaystyle (\operatorname {Arg} \approx \pi )} 으로 돌아갑니다. ^ 첫 번째 ID와 네 번째 ID를 결합하면 sl z = - i / sl ( z - ( 1 + i ) ϖ / 2 ) {\displaystyle \operatorname {sl} z=-i/\operatorname {sl } (z - (1 + i )\varpi / 2 )가 됩니다. 이 신원은 (잘못) Eymard & Lafon( 2004) p. 226에 나와 있으며, 오른쪽 앞에 마이너스 표시가 없습니다. ^ 짝수 가우스 정수는 체커보드 의 검은 사각형인 0, 모듈로 1 + i 의 잔차 클래스입니다. ^ 프라솔로프 & 솔로비예프 (1997); 로빈슨 (2019a) ^ a b 콕스 (2012) ^ Reinhardt & Walker (2010a) § 22.12.6 , § 22.12.12 ^ 마찬가지로 1 sin z = ∑ n ∈ Z ( - 1 ) n z + n π. {\displaystyle {\frac {1}{\sin z}}=\sum _{n\in \mathbb {Z}{\frac {(-1)^{n}}{z+n\pi}}} ^ Lindqvist & Peetre(2001) 는 이러한 형태 중 첫 번째 형태를 일반화하고 있습니다. ^ 아유브 (1984); 프라솔로프 & 솔로비예프 (1997) ^ 오일러 (1761) § 44 페이지 79, § 47 페이지 80–81 ^ a b 오일러 (1761) §46쪽80쪽 ^ 실제로 i ε = sl β ϖ 2 {\displaystyle i^{\varepsilon }}=\operatorname {sl } {\tfrac {\ beta \varpi}{2}}. ^ a b c 콕스 앤 하이드 (2014) ^ 고메즈 몰레다 & 라리오 (2019) ^ 최소 양의 주 인수 를 갖는 네 번째 루트가 선택됩니다. ^ 양수 및 홀수 β {\displaystyle \beta }에 대한 제한을 삭제 할 수 있습니다. λ β = ( O / β O ) × {\ displaystyle \operatorname {deg} \Lambda _{\ beta }=\left ({\mathcal {O})/\beta {\mathcal {O})^{\times }\right }. ^ Cox (2013) 페이지 142, 예제 7.29(c) ^ 로젠 (1981) ^ 오일러 (1761); 시겔 (1969). Prasolov & Solovyev(1997) 는 렘니스케이트의 극좌표 표현을 사용하여 미분호 길이를 도출하였으나 결과는 같습니다. ^ 라인하르트 & 워커 (2010a) §22.18.E6 ^ 시겔 (1969); 샤파허 (1997) ^ 그러한 숫자가 OEIS 시퀀스 A003401 입니다. ^ 아벨 (1827–1828); 로젠 (1981); 프라솔로프 & 솔로비예프 (1997) ^ 오일러 (1786); 스리다란 (2004); Levien (2008) ^ "A104203" . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . ^ Lomont, J.S.; Brillhart, John (2001). Elliptic Polynomials . CRC Press. pp. 12, 44. ISBN 1-58488-210-7 . ^ a b c d "A193543 - Oeis" . ^ p. Lomont, J.S.; Brillhart, John (2001). Elliptic Polynomials . CRC Press. ISBN 1-58488-210-7 . 79, 등식 5.36 ^ p. Lomont, J.S.; Brillhart, John (2001). Elliptic Polynomials . CRC Press. ISBN 1-58488-210-7 . 79, 등식 5.36 및 페이지 78, 등식 5.33 ^ a b "A289695 - Oeis" . ^ Wall, H. S. (1948). Analytic Theory of Continued Fractions . Chelsea Publishing Company. pp. 374–375. ^ 라인하르트 & 워커 (2010a) §22.20(ii) ^ 칼슨 (2010) §19.8 ^ Dieckmann, Andreas. "Collection of Infinite Products and Series" . ^ 라인하르트 & 워커 (2010a) § 22.12.12 ; Vigren & Deckmann (2020) p.7 ^ 일반적으로 sinh ( x - n π) {\displaystyle \sinh(x - n\pi )} 및 sin ( x - n π i ) = - i sinh ( x + n π ) {\displaystyle \sin(x - n\pi )= -i\sinh(ix + n\pi )} 는 동일하지 않지만 결과적으로 무한합은 동일합니다. ^ 라인하르트 & 워커 (2010a) §22.11 ^ 라인하르트 & 워커 (2010a) §22.2.E7 ^ Berndt (1994) 페이지 247, 248, 253 ^ 라인하르트 & 워커 (2010a) §22.11.E1 ^ Whittaker and Watson (1990) 페이지 469-470 ^ a b Eymard & Lafon (2004) 페이지 227. ^ Cartan, H. (1961). Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes (in French). Hermann. p. 160—164. ^ 보타지니 & 그레이 (2013) 페이지 58 ^ p. 405; 페이지에 오류가 있습니다. φ 17 {\displaystyle \varphi ^{17}} 의 계수는 107 410 154 752 000 {\tfrac {107}{7\,410\,154\,752\,000}} 이어야 하며 107 207 484 3330 56000 {\tfrac {107} {207\,484\,333\,056\,000} 이어야 합니다. ^ M {\displaystyle M} 함수는 미분방정식 M ( z ) M ⁗ ( z ) - 4 M' ( z ) M ‴ ( z ) + {\displaystyle M''"'(z) - 4 M'(z) M'(z) + 3 M ″ (z ) 2 - 2 M ( z ) 2 = 0 {\displaystyle +3M" (z)^{2} - 2 M(z)^{2} = 0 참조 (Gauss (1866), 페이지 408).N {\displaystyle N} 함수는 미분방정식 (N ″ ( z ) N ( z ) N ( z ) - N' ( z ) 2 ) 2 - M ( z ) 4 = 0. {\displaystyle (N'') N (z) - N' (z)^{2} - M (z)^{4 } = 0. ^ M ( z ) = ∑ n = 0 ∞ n + 1 {\textstyle M(z )=\sum _{n =0}^{\infty}a_{n}z^{n+1}} 인 경우, {\displaystyle a_{n}} 의 계수 n은 재발 a + 1 = - 1 n + 1 ∑ k = 0 n 2 n - k + 1 a H - k + 1 (n - k + 1 )! {\textstyle a_{n+1 }=-{\frac {1}{n+1}}\sum _{k =0}^{n-k+1}a_{\frac {H} _{n-k+1 }}{{n-k+1}}{{(n-k+1)}! }}} 0 = 1 {\displaystyle a_{0 }= 1} 일 때, Hn {\displaystyle \mathrm {H} _{n} 은 렘니스케이트 타원 함수 § 후르비츠 수 에 정의된 후르비츠 수이다. ^ Zhuravskiy, A. M. (1941). Spravochnik po ellipticheskim funktsiyam (in Russian). Izd. Akad. Nauk. U.S.S.R. ^ 로빈슨 (2019a) ^ ℘ ( z , τ ) {\displaystyle \wp (z, \ tau )} 는 주기 1이 {\displaystyle 1 } 이고 ω 2 / ω 1 = τ {\displaystyle \omega _{2}/\omega _ { 1}=\ tau }인 Weierstrass 타원 함수입니다. ^ Eymard & Lafon (2004) 페이지 234 ^ Armitage, J. V.; Eberlein, W. F. (2006). Elliptic Functions . Cambridge University Press. p. 49. ISBN 978-0-521-78563-1 . ^ 신원 cl z = cn (2 z ; 12 ) {\displaystyle \operatorname {cl} z = {\operatorname {cn}}\left ({\sqrt {2}z;{\tfrac {1}{\sqrt {2}}\right)} 는 그린힐( 1892) 페이지 33 에서 찾을 수 있습니다. ^ http://oeis.org/A175576 ^ p. Berndt, Bruce C. (1989). Ramanujan's Notebooks Part II . Springer. ISBN 978-1-4612-4530-8 . 96 ^ 레빈 (2006); 로빈슨 (2019b) ^ 레빈 (2006) 페이지 515 ^ 헤르미테, 샤를 (1858) "신퀴엠데레의 태양", 콤프테센두스 . 이탈리아어로 번역된 "Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado", p. 258 참조. ^ a b Cox (2012) 페이지 508, 509 ^ a b c d p. Arakawa, Tsuneo; Ibukiyama, Tomoyoshi; Kaneko, Masanobu (2014). Bernoulli Numbers and Zeta Functions . Springer. ISBN 978-4-431-54918-5 . 203—206 ^ 이와 동등하게, H n = - l im z → 0 d n d z n d z n ( (1 + i ) z / 2 sl ( (1 + i ) z / 2 ) + z 2 E ( z 2 ; i ) {\displaystyle \mathrm {H } _{n}=-\lim _{z\to 0}{\frac {\mathrm {d} ^{n}} \l eft ({\frac {(1+i)z/2}{\operatorname {sl} ((1+i)z/2)}}+{\frac {z}{2}}{\mathcal {E}}\left({\frac {z}{2};i\right ) }, n ≥ 4 {\displaystyle n\geq 4}, E }\left({\frac {z}{2};i\right)\right )}, ( ⋅ ; i ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\cdot;i)} 은 모듈러스 i 가 {\displaystyle i} 인 자코비엡실론 함수 입니다. ^ B2 n = - 1 2 n + 1 ∑ k = 1 n - 1 (2 n 2 k ) B 2 k B 2 ( n - k ) {\displaystyle \mathrm {B} _{2n }=-{\frac {1}{2n+1}}\sum _{k =1}^{n-1}{\binom {2n}{2k}}\mathrm {B} _{2k} _ {2(n-k )}, n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 및 B 2 = 1 / 6 {\displaystyle \mathrm {B} _{2 }=1/6}. ^ Katz, Nicholas M. (1975). "The congruences of Clausen — von Staudt and Kummer for Bernoulli-Hurwitz numbers" . Mathematische Annalen . 216 (1): 1–4. 식 (9) 참조 ^ p. Hurwitz, Adolf (1963). Mathematische Werke: Band II (in German). Springer Basel AG. 370 ^ Arakawa et al. (2014)는 H4 n {\ displaystyle \mathrm {H} _{4n} 을(를) 1 / sl 2 로 확장하여 정의합니다. {\displaystyle 1 /\operatorname {sl}^{2}} ^ Ogawa, Takuma (2005). "Similarities between the trigonometric function and the lemniscate function from arithmetic view point" . Tsukuba Journal of Mathematics . 29 (1). ^ 피어스 (1879). Guyou(1887) 와 Adams(1925) 는 같은 투영의 가로와 세로의 측면 을 각각 소개했습니다.Lee (1976 )도 참조. 이 저자들은 사각 격자를 가진 자코비 타원 함수의 관점에서 그들의 투영 공식을 씁니다. ^ 아담스 (1925) ^ Adams (1925) ;Lee (1976) . ^ 란치치, 퍼서 & 메싱어 (1996); 맥그리거 (2005). 외부 링크
참고문헌 Abel, Niels Henrik (1827–1828) "Recherches sur les fonctions elliptiques" [Research on elliptic functions] (in French). Crelle's Journal .Part 1 . 1827. 2 (2): 101–181. doi :10.1515/crll.1827.2.101 .Part 2 . 1828. 3 (3): 160–190. doi :10.1515/crll.1828.3.160 . Adams, Oscar Sherman (1925). Elliptic functions applied to conformal world maps (PDF) . US Government Printing Office. Ayoub, Raymond (1984). "The Lemniscate and Fagnano's Contributions to Elliptic Integrals". Archive for History of Exact Sciences . 29 (2): 131–149. doi :10.1007/BF00348244 . Berndt, Bruce C. (1994). Ramanujan's Notebooks Part IV (First ed.). Springer. ISBN 978-1-4612-6932-8 . Bottazzini, Umberto ; Gray, Jeremy (2013). Hidden Harmony – Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory . Springer. doi :10.1007/978-1-4614-5725-1 . Carlson, Billie C. (2010). "19. Elliptic Integrals" . In Olver, Frank ; et al. (eds.). NIST Handbook of Mathematical Functions . Cambridge. Cox, David Archibald (January 1984). "The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss" . L'Enseignement Mathématique . 30 (2): 275–330. Cox, David Archibald; Shurman, Jerry (2005). "Geometry and number theory on clovers" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 112 (8): 682–704. doi :10.1080/00029890.2005.11920241 . Cox, David Archibald (2012). "The Lemniscate". Galois Theory . Wiley. pp. 463–514. doi :10.1002/9781118218457.ch15 . Cox, David Archibald (2013). Primes of the Form x 2 + ny 2 (Second ed.). Wiley. Cox, David Archibald; Hyde, Trevor (2014). "The Galois theory of the lemniscate" (PDF) . Journal of Number Theory . 135 : 43–59. arXiv :1208.2653 . doi :10.1016/j.jnt.2013.08.006 . Enneper, Alfred (1890) [1st ed. 1876]. "Note III: Historische Notizen über geometrische Anwendungen elliptischer Integrale." [Historical notes on geometric applications of elliptic integrals]. Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte (in German). Nebert. pp. 524–547. Euler, Leonhard (1761). "Observationes de comparatione arcuum curvarum irrectificibilium" [Observations on the comparison of arcs of irrectifiable curves]. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (in Latin). 6 : 58–84. E252 . (그림 ) Euler, Leonhard (1786). "De miris proprietatibus curvae elasticae sub aequatione y = ∫ x x d x / 1 − x 4 {\textstyle y=\int xx\mathop {\mathrm {d} x} {\big /}{\sqrt {1-x^{4}}}} contentae" [On the amazing properties of elastic curves contained in equation y = ∫ x x d x / 1 − x 4 {\textstyle y=\int xx\mathop {\mathrm {d} x} {\big /}{\sqrt {1-x^{4}}}} ]. Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (in Latin). 1782 (2): 34–61. E 605 . Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (2004). The Number Pi . Translated by Wilson, Stephen. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3246-8 . Fagnano, Giulio Carlo (1718–1723) "Metodo per misurare la lemniscata" [Method for measuring the lemniscate]. Giornale de' letterati d'Italia (in Italian)."Schediasma primo" [Part 1]. 1718. 29 : 258–269."Giunte al primo schediasma" [Addendum to part 1]. 1723. 34 : 197–207."Schediasma secondo" [Part 2]. 1718. 30 : 87–111. Reprinted as Fagnano (1850). "32–34. Metodo per misurare la lemniscata" . Opere Matematiche, vol. 2 . Allerighi e Segati. pp. 293–313. (Figures ) Gauss, Carl Friedrich (1917). Werke (Band X, Abteilung I) (in Latin and German). Herausgegeben der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Gómez-Molleda, M. A.; Lario, Joan-C. (2019). "Ruler and Compass Constructions of the Equilateral Triangle and Pentagon in the Lemniscate Curve". The Mathematical Intelligencer . 41 (4): 17–21. doi :10.1007/s00283-019-09892-w . Greenhill, Alfred George (1892). The Applications of Elliptic Functions . MacMillan. Guyou, Émile (1887). "Nouveau système de projection de la sphère: Généralisation de la projection de Mercator" [New system of projection of the sphere]. Annales Hydrographiques . Série 2 (in French). 9 : 16–35. Houzel, Christian (1978). "Fonctions elliptiques et intégrales abéliennes" [Elliptic functions and Abelian integrals]. In Dieudonné, Jean (ed.). Abrégé d'histoire des mathématiques, 1700–1900. II (in French). Hermann. pp. 1–113. Hyde, Trevor (2014). "A Wallis product on clovers" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 121 (3): 237–243. doi :10.4169/amer.math.monthly.121.03.237 . Kubota, Tomio (1964). "Some arithmetical applications of an elliptic function". Crelle's Journal . 214/215 : 141–145. doi :10.1515/crll.1964.214-215.141 . Langer, Joel C.; Singer, David A. (2010). "Reflections on the Lemniscate of Bernoulli: The Forty-Eight Faces of a Mathematical Gem" (PDF) . Milan Journal of Mathematics . 78 (2): 643–682. doi :10.1007/s00032-010-0124-5 . Langer, Joel C.; Singer, David A. (2011). "The lemniscatic chessboard" . Forum Geometricorum . 11 : 183–199. Lawden, Derek Frank (1989). Elliptic Functions and Applications . Applied Mathematical Sciences. Vol. 80. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-3980-0 . Lee, Laurence Patrick (1976). Conformal Projections Based on Elliptic Functions . Cartographica Monograph. Vol. 16. University of Toronto Press. Lemmermeyer, Franz (2000). Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein . Springer. ISBN 3-540-66957-4 . Levien, Raph (2008). The elastica: a mathematical history (PDF) (Technical report). University of California at Berkeley. UCB/EECS-2008-103. Levin, Aaron (2006). "A Geometric Interpretation of an Infinite Product for the Lemniscate Constant". The American Mathematical Monthly . 113 (6): 510–520. doi :10.2307/27641976 . Lindqvist, Peter; Peetre, Jaak (2001). "Two Remarkable Identities, Called Twos, for Inverses to Some Abelian Integrals" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 108 (5): 403–410. doi :10.1080/00029890.2001.11919766 . Markushevich, Aleksei Ivanovich (1966). The Remarkable Sine Functions . Elsevier. Markushevich, Aleksei Ivanovich (1992). Introduction to the Classical Theory of Abelian Functions . Translations of Mathematical Monographs. Vol. 96. American Mathematical Society. doi :10.1090/mmono/096 . McGregor, John L. (2005). C-CAM: Geometric Aspects and Dynamical Formulation (Technical report). CSIRO Atmospheric Research . 70. McKean, Henry ; Moll, Victor (1999). Elliptic Curves: Function Theory, Geometry, Arithmetic . Cambridge. ISBN 9780521582285 . Milne-Thomson, Louis Melville (1964). "16. Jacobian Elliptic Functions and Theta Functions" . In Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann (eds.). Handbook of Mathematical Functions . National Bureau of Standards. pp. 567–585. Neuman, Edward (2007). "On Gauss lemniscate functions and lemniscatic mean" (PDF) . Mathematica Pannonica . 18 (1): 77–94. Nishimura, Ryo (2015). "New properties of the lemniscate function and its transformation" . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 427 (1): 460–468. doi :10.1016/j.jmaa.2015.02.066 . Ogawa, Takuma (2005). "Similarities between the trigonometric function and the lemniscate function from arithmetic view point" . Tsukuba Journal of Mathematics . 29 (1). Peirce, Charles Sanders (1879). "A Quincuncial Projection of the Sphere" . American Journal of Mathematics . 2 (4): 394–397. doi :10.2307/2369491 . Popescu-Pampu, Patrick (2016). What is the Genus? . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 2162. Springer. doi :10.1007/978-3-319-42312-8 . Prasolov, Viktor; Solovyev, Yuri (1997). "4. Abel's Theorem on Division of Lemniscate". Elliptic functions and elliptic integrals . Translations of Mathematical Monographs. Vol. 170. American Mathematical Society. doi :10.1090/mmono/170 . Rančić, Miodrag; Purser, R. James; Mesinger, Fedor (1996). "A global shallow-water model using an expanded spherical cube: Gnomonic versus conformal coordinates". Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society . 122 (532): 959–982. doi :10.1002/qj.49712253209 . Reinhardt, William P.; Walker, Peter L. (2010a). "22. Jacobian Elliptic Functions" . In Olver, Frank; et al. (eds.). NIST Handbook of Mathematical Functions . Cambridge. Reinhardt, William P.; Walker, Peter L. (2010b). "23. Weierstrass Elliptic and Modular Functions" . In Olver, Frank; et al. (eds.). NIST Handbook of Mathematical Functions . Cambridge. Robinson, Paul L. (2019a). "The Lemniscatic Functions". arXiv :1902.08614 . Robinson, Paul L. (2019b). "The Elliptic Functions in a First-Order System". arXiv :1903.07147 . Rosen, Michael (1981). "Abel's Theorem on the Lemniscate". The American Mathematical Monthly . 88 (6): 387–395. doi :10.2307/2321821 . Roy, Ranjan (2017). Elliptic and Modular Functions from Gauss to Dedekind to Hecke . Cambridge University Press. p. 28. ISBN 978-1-107-15938-9 . Schappacher, Norbert (1997). "Some milestones of lemniscatomy" (PDF) . In Sertöz, S. (ed.). Algebraic Geometry (Proceedings of Bilkent Summer School, August 7–19, 1995, Ankara, Turkey). Marcel Dekker. pp. 257–290. Schneider, Theodor (1937). "Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale" [Arithmetic investigations of elliptic integrals]. Mathematische Annalen (in German). 113 (1): 1–13. doi :10.1007/BF01571618 . Schwarz, Hermann Amandus (1869). "Ueber einige Abbildungsaufgaben" [About some mapping problems]. Crelle's Journal (in German). 70 : 105–120. doi :10.1515/crll.1869.70.105 . Siegel, Carl Ludwig (1969). "1. Elliptic Functions". Topics in Complex Function Theory, Vol. I . Wiley-Interscience. pp. 1–89. ISBN 0-471-60844-0 . Snape, Jamie (2004). "Bernoulli's Lemniscate" . Applications of Elliptic Functions in Classical and Algebraic Geometry (Thesis). University of Durham. pp. 50–56. Southard, Thomas H. (1964). "18. Weierstrass Elliptic and Related Functions" . In Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann (eds.). Handbook of Mathematical Functions . National Bureau of Standards. pp. 627–683. Sridharan, Ramaiyengar (2004) "Physics to Mathematics: from Lintearia to Lemniscate". Resonance . "Part I" . 9 (4): 21–29. doi :10.1007/BF02834853 . "Part II: Gauss and Landen's Work" . 9 (6): 11–20. doi :10.1007/BF02839214 . Todd, John (1975). "The lemniscate constants" . Communications of the ACM . 18 (1): 14–19. doi :10.1145/360569.360580 . Vigren, Erik; Dieckmann, Andreas (21 June 2020). "Simple Solutions of Lattice Sums for Electric Fields Due to Infinitely Many Parallel Line Charges" . Symmetry . 12 (6): 1040. doi :10.3390/sym12061040 . Whittaker, Edmund Taylor ; Watson, George Neville (1920) [1st ed. 1902]. "22.8 The lemniscate functions" . A Course of Modern Analysis (3rd ed.). Cambridge. pp. 524–528.