아이덴티티 정리

실제 분석과 복잡한 분석에서 수학의 분과, 분석함수에 대한 ID 정리에는 다음과 같이 명시되어 있다: 도메인 D에 대한 함수 f와 g($R{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb$ {$R}$ $또는$ C ${\\${C$}$의 열린 부분 집합 및 연결된 부분 집합),$$ 만약 f = $일부{\displaystyle }$ S =${\displaystyle D}$ ${\displaystylease S\subseteq D$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$에는 누적점이 있고$$, 그 다음 f = g on D.

따라서 분석 함수는 D의 단일 열린 근린에 대한 값 또는 심지어 D의 카운트 가능한 부분 집합에 의해 완전히 결정된다.이는 일반적으로 실제 차별화 기능, 심지어 무한히 실제 차별화 기능에도 해당되지 않는다.이에 비해 분석 기능은 훨씬 더 경직된 개념이다.비공식적으로 분석함수는 '힘들다'(예를 들어 '부드럽다'는 연속함수와 반대로)라고 말해 정리를 요약하기도 한다.

정리가 성립되는 기초적인 사실은 그 테일러 시리즈에 있어서의 홀로모르픽 함수의 확장성이다.

도메인 D에 대한 연결성 가정이 필요하다.예를 들어 D가 두 개의 분리형 오픈 세트로 구성된 경우, $하나$의 오픈 세트에서는$$ f ${\displaystyle f}$이(가) $[\displaystyle 0$$}$이고 $다른{\displaystyle \mathrm{}}$ 세트에서는$$$$ 1 ${\displaystyle 1}$이(가) 될 수 있으며$$, $g{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle g$$}$은 0}이고, 2 {\$displaystystystystystystystystystystyone}$이(가(가(가)은 2}일 수 있다.

보조정리

도메인 D에 있는 두 개의 홀모픽 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle$ $f$$}$과 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$에 $누적점{\displaystyle }$ c ${\displaystyle$ $d}$이$($가$)$ 있는 집합 S에 대해 일치하면, $f{\displaystyle }$ =${\displaystyle }$c ${\displaystystylease c$에 있는 $D{\displaystyle }$ ${\$$d}$에 있는 D ${\$data.

이를 증명하기 위해서는 모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n\geq 0$에 대해$$ f ${\displaystyle {(n}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$(c )${\displaystyle }$= g ($n){(n)}(c)}을($를) 보여주면 충분하다.

그렇지 않은 $경우{\displaystyle }$,$$m {\$displaystyle$m}을(를)${\displaystyle {}^{}}$f${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$) $c$ )${\displaystyle {}^{}}$g ${\displaystyle {(}^{}}$m ) ${\displaystyle (c}$) {\$displaystyle f^{(m)}\neq$g^{(m$)\}\}\}\}\}\}$을(를) 가진 최소의 비음수 정수로$$ 두십시오. 홀로모피(홀로모피)로모피에 의해 $다음$과 같은 테일러 시리즈 U$:$ {\$display)를$사용할 수 있다.

${\displaystyle {\f-g(z)&}={}^{m}\cdot \left[{\frac {(f-g)^{(c)}{m!}}}{\frac {(z-c)\cdot(f-g)^{(m+1)}{(m+1){(m+1)!}}}+\cdots \오른쪽]\\[6pt]&{}=(z-c)^{m}\cdot h(z).\end{정렬}}}$

연속성에 따르면, $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은(는) $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ 주위에$$ 있는 일부 소형 오픈 $디스크{\displaystyle }$ B ${\displaystyle$ ${\displaystyle \mathrm{B}}$$}$에서 0이 아니라$$$$펑크난 $세트{\displaystyle }$ B${\displaystyle }$-${\displaystyle }${ ${\displaystyle c\}}$ ${\displaystyle B-\{c$에 $있는$ ${\displaystyle f}$- g$≠$ 0 ${\displaystyleasestyleasestyleasestyptyptionstyleasestyleasestyptionstyptionstyone$}$이$는 c ${\displaystyle c}$이$({\displaystyle }$가) {${\displaystyle f}$= g ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{f=g\}}$의 누적점이라는 가정과 배치된다$.$

이 보조정리기는 복합수인${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{for}}$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$에 대해$$f${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle \equiv }$ a ${\$$displaystyle f^{-1(a)}$이(가) {\$displaysty f\equiv$ a$\}$이(가$$) 아닌 한 개별(${\displaystyle {\mathrm{따라서}}^{}\mathrm{계산}}$ 가능) 집합임을 보여준다.

증명

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) Taylor 확장 버전이 동일한 세트를 정의하십시오.

${\displaystyle S=\{z\in D\mid f^{(k)}(z)=g^{(k)}(z){\text{ for all }}k\geq 0\}=\bigcap _{k=0}^{\infty }\{z\in D\mid (f^{(k)}-g^{(k)})(z)=0\}.}$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 비어 있지 않고 열려 있으며 닫혀 있다는 것을 보여 주겠다.그런 다음 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 연결성에 의해$$$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$은(는) D$${\$displaystyle$D}의 모든 것이 $되어야{\displaystyle }$ 하며$$$,$ $이$는${\displaystyle }$S = ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S=D}$의 ${\displaystyle f}$= g$${\$displaystystyle$ f$=g}$을 의미한다$.$

보조정리기로서, $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 c$${\$displaystyle c}$에 있는 디스크의$f$ = ${\displaystyle g}$${\displaystyle c}$에 동일한 테일러 시리즈를 $가지고{\displaystyle }$ 있으므로$,$ $c{\displaystyle s}$ S$${\$displaystyle c\in$S$\},$ $S{\displaystyle }$ ${\\\displaystysty s}$가 비어 있지 않다$.$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f}$과 g ${\displaystyle g}$은$($는) $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$에서${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{홀모픽이므}}$로$$w ${\$$displaystyle$$$f}과 g {\$displaystyle$ $g}$의 테일러 $시리즈$는 수렴 반경이 0이 아니다$$$.$따라서 열린 디스크 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$( ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle B_{r}(w)}$도 일부 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$에 $대해{\displaystyle }$ S ${\displaystyle$ S$}$에 있으므로 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$이(가) 열려 있다$$$.$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$과 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 홀로모피에 의해 홀로모픽 파생상품이 있으므로 모든${\displaystyle {}^{}}f{\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle n^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$, g${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle n^{}}$ )${\$은(n)이 연속적이다$.$$즉$$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k$}$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ { ${\displaystyle \mathrm{z}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mid }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {(k}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle g^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$0${\displaystyle \}}$ ${\$$displaystyle$ $\{z\in D\mid (f^{(k)-g^{(k)})(z$$)=$$0\})$이 닫힌$$ 집합의 교차점이므로$$ 닫힌 것이다$.$

완전 특성화

Identity Organization은 두 개의 홀로모르픽 함수의 동일성과 관련되기 때문에 우리는 단순히 차이(홀로모르픽으로 남아 있음)를 고려할 수 있고, 홀로모르픽 함수가 동일한 $[\textstyle 0}$일 때 간단히 특성화할 수 있다$.$다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.^[1]

클레임

$G$ $\subseteq$ $C\mathbb{}$ ${\$은(는) 복합 평면의 비어 있지 않고 연결된 열린 부분 집합을 나타내도록 한다$$.$h\mathbb{}$: G$$→ C ${\$$G\to \mathb {C}$}은$$(는) 다음과 같다.

1. $$$h$ $\equiv$ G ${\textstyle G}$의 $0$ 0 ${\textstyle$h\$equiv$ 0$\};$
2. $\mathrm{세트}$ $G{}_{}$ ${0\mathrm{}}_{}$=$${ $z$ $\in$ $G$ $\mid$ $h($ z$$)$$= $0$ $\}$ ${\textstyle G_{0}=\{z\in G\mid h(z)=0\}}}}$은 누적점을 포함하며$$, ${z\mathrm{}}_{}$ 0 ${\$
3. the set ${\textstyle G_{\ast }=\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{0}}G_{n}}$ is non-empty, where ${\textstyle G_{n}:=\{z\in G\mid h^{(n)}(z)=0\}}$.

증명

방향(1$$⇒ ${\textstyle \Rightarrow }$ 2$$) 및 (1 $\Rightarrow$ ${\textstyle \Rightarrow }$ 3$$)은 사소한 것으로 유지된다.

(3 $\Rightarrow$ ${\textstyle \Rightarrow }$ 1$$)의 경우 G ${\textstyle$ G$}$의 연결성을 통해 비어 있지 않은 부분 집합 $G{}_{}$ ${}_{}$ $G$ ${\textstyle G_}\subseteq G}$이$($위상학적 공간이 제대로 열린 하위 집합이 없는 경우에만 연결됨) 열린다는 것을 입증하기에 충분하다$$.홀로모르픽 함수는 ${}^{}$ 다른데, 즉 $h$ $\in$ C ${\infty \mathrm{}}^{}$( $G$) ${\textstyle h\in C^{\$in{\$inflt }(G$ $G{}_{}$ ${\ast }_{}$ ${\$가 닫혀 있는 것은$$ 분명하다.To show openness, consider some ${\textstyle u\in G_{\ast }}$. Consider an open ball ${\textstyle U\subseteq G}$ containing ${\textstyle u}$, in which ${\textstyle h}$ has a convergent Taylor-series expansion centered on ${\textstyle u}$. By virtue of ${\textstyle u\in G_{\ast$$}}$, all coefficients of this series are ${\textstyle 0}$, whence ${\textstyle h\equiv 0}$ on ${\textstyle U}$. It follows that all ${\textstyle n^{\text{th}}}$-derivatives of ${\textstyle h}$ are ${\textstyle 0}$ on ${\textstyle U}$, whence ${\textstyle U\subseteq$$G_{\ast$ $\}\}$ 그래서 각 $u$ $\in$ ${}_{}$ ${\ast }_{}$ ${\$은(는) $∗{\$의 내부에 놓여$$ 있다$.$

Towards (2 ${\textstyle \Rightarrow }$ 3), fix an accumulation point ${\textstyle z_{0}\in G_{0}}$. We now prove directly by induction that ${\textstyle z_{0}\in G_{n}}$ for each ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$.To this end let ${\textstyle r\in (0,\infty )}$ be strictly smaller than the convergence radius of the power series expansion of ${\textstyle h}$ around ${\textstyle z_{0}}$, given by ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} _{0$}}{\frac{h^{(k)}(z_{0})}{k!}}(z-z_{0})^{k}}.가 현재 z0∈ Gkm그리고 4.9초 만{\textstyle z_{0}\in G_{k}}모든 k개체, n{\textstyle k<, n}를 취하다 일부 n≥ 0{\textstyle n\geq 0}고정하십시오.그리고 z에 ∈ B¯ r(z0)∖{z0}{\textstyle z\in{\bar{B}}_ᆬ(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}은 요강의 조작이다.wer 시리즈 확장 수익률

$${\displaystyle h^{n}(z_{0})=n!{\frac {h(z)}{(z-z_{0})^{n}}}-(z-z_{0})\underbrace {n!\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {h^{(k)}(z_{0})}{k!}}(z-z_{0})^{k-(n+1)}} _{=:R(z)}.}$$

(1)

$r$ ${\textstyle r}$이(가) 파워 시리즈 반지름보다 작기 때문에 파워 시리즈 $R$ ($\cdot$) ${\textstyle$ R$(\cdot )}$이(가) 연속적이므로$$ $B{\stackrel{}{}r}_{}$의 r${}_{}$( ${z\mathrm{}}_{}$ ${}_{}$) ${\textstyle${\$b}_{r}(z_{0$에 경계되어 있음을 쉽게 알 수 있다.
Now, since ${\textstyle z_{0}}$ is an accumulation point in ${\textstyle G_{0}}$, there is a sequence of points ${\textstyle (z^{(i)})_{i}\subseteq G_{0}\cap B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$ convergent to ${\textstyle z_{0}}$.Since ${\textstyle h\equiv 0}$ on ${\textstyle G_{0}}$ and since each ${\textstyle z^{(i)}\in G_{0}\cap B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$, the expression in (1) yields

$${\displaystyle h^{n}(z_{0})=n!{\frac {h(z^{(i)})}{(z^{(i)}-z_{0})^{n}}}-(z^{(i)}-z_{0})R(z^{(i)})=0-\underbrace {(z^{(i)}-z_{0})} _{\longrightarrow _{i}0}R(z^{(i)}).}$$

(2)

By the boundedness of ${\textstyle R(\cdot )}$ on ${\textstyle {\bar {B}}_{r}(z_{0})}$, it follows that ${\textstyle h^{(n)}(z_{0})=0}$, whence ${\textstyle z_{0}\in G_{n}}$. Via induction the claim holds. Q.E.D.

참고 항목

• 분석적 연속성
• 리만 표면의 정체성 정리

참조

• Ablowitz, Mark J.; Fokas A. S. (1997). Complex variables: Introduction and applications. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 122. ISBN 0-521-48058-2.