일반화연속분수

수학의 한 분야인 복합 분석에서 일반화된 연속분수는 정규 연속분수를 표준적인 형태로 일반화하는 것으로, 부분분자와 부분분모가 임의의 복잡한 값을 가정할 수 있다.

일반화된 지속 분수는 형태의 표현이다.

${\displaystyle x=b_{0}+{\cHB_{1}:{b_{1}+{a_{2}}:{b_{2}}+{a_{3}+{3}}+{\b_{4}}}}{b_{4}}}}}}}}}}{b_{4}}}+}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 a_n(n > 0)는 부분분모, b는_n 부분분모, 선행 용어 b는₀ 연속 분수의 정수 부분이라고 한다.

지속 분수의 연속적인 수렴은 근본적인 재발 공식을 적용하여 형성된다.

${\displaystyle {\begin}x_{0}&={\frac {A_{0}}{B_{0}}=b_{0}}}\[4px]x_{1]}&={\frac {A_{1}:{B_{1}}={\frac {b_{1}b_{0}+a_{1}{1}={1}={1}={1}frac {b_{0}+a_{1}}}{b_{1}},\[44]x_{2}}&={\frac {A_{2}}:{B_{2}}:={\frac {b_{1}b_{0}+a_{1}}+a_{1}+a_{2}b_{0}}{0}}}{b_{2}b_{1}b_{1}+a_{2}}}}}}}}{2}+a_{2}}}},\\\cHB \end{정렬}}$

여기서 A는_n 분자, ^[1][2]B는_n n번째 수렴의 연속체라고 불리는 분모다. 그것들은 재귀에^[3] 의해 주어진다.

${\displaystyle {\reasoned}A_{n}&=b_{n}A_{n-1}+a_{n}}A_{n-2},\\B_{n}&=b_{n1}B_{n-1}+a_{n}}}B_{n-2}\qquad {\text{{}n\geq 1\end{arged}}}$

초기 가치로

${\displaystyle {\reasoned}A_{-1}&=1,&A_{0}&=b_{0},\\B_{1}=0,&B_{0}&=1.\end{정렬}}}$

수렴 순서 {x_n}이(가) 한계에 근접할 경우, 지속 분수는 수렴되며 확실한 값을 갖는다. 수렴의 순서가 한계에 결코 접근하지 않는 경우, 지속 분수는 서로 다르다. 그것은 진동(예를 들어, 홀수와 짝수 수렴체가 두 개의 다른 한계에 접근할 수 있다), 또는 무한히 많은 영분모 B를_n 생성할 수 있다.

역사

계속되는 분수에 대한 이야기는 두 개의 자연수 m과 n의 가장 큰 공통점을 찾는 절차인 ^[4]유클리드 알고리즘에서 시작된다. 그 알고리즘은 새로운 나머지를 추출하기 위해 분할한 다음 새로운 나머지로 반복해서 나누는 아이디어를 도입하였다.

라파엘 봄벨리가^[5] 16세기 중엽에 계속되는 분수로 이차 방정식의 근원을 약칭하는 기술을 고안하기까지 거의 2천 년이 흘렀다. 이제 발전 속도가 빨라졌다. 불과 24년 후인 1613년, 피에트로 카탈디는 일반화된 지속 분수에 대한 최초의 공식^[6] 표기법을 도입했다. 카탈디는 다음과 같이 계속적인 분수를 표현했다.

${\displaystyle {a_{0}\cdot }\,\&\,{\frac {n_{1}{1}{1}\cdot }\}\,\&\,{\frac {n_{n}\cdot },\&\},{d_{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

다음 분수가 어디로 가는지 나타내는 점들과 각각의 점들은 현대적인 더하기 기호를 나타낸다.

17세기 후반에 존 월리스는^[7] 수학 문학에 "계속 분수"라는 용어를 도입했다. 수학적 분석을 위한 새로운 기술(뉴턴과 라이프니츠의 미적분학)이 최근 등장했고, 월리스의 동시대인 한 세대가 이 새로운 문구를 사용하게 되었다.

1748년 오일러는 특정한 종류의 지속 분수가 특정한 매우 일반적인 무한 시리즈와 동등하다는 것을 보여주는 정리를 발표했다.^[8] 오일러의 지속 분수 공식은 여전히 지속 분수의 융합에 대한 많은 현대적인 증명들의 기초가 된다.

1761년 요한 하인리히 램버트는 황갈색 x에 대해 다음과 같은 지속적인 분수를 사용함으로써 π이 비합리적이라는 첫 번째 증거를 제시했다.^[9]

${\displaystyle \tan(x)={\displaystyle \x}{1+{\x^{-x^{2}}:{3+{-x^{2}}:{5+{-x^{7+{}}}}}}}}}}}}}}}$

계속되는 분수는 숫자 이론의 문제에도 적용될 수 있으며, 특히 디오판틴 방정식의 연구에 유용하다. 18세기 후반에 라그랑주는 펠 방정식의 일반적인 해답을 만들기 위해 지속적인 분수를 사용했고, 따라서 천 년 이상 수학자들을 매혹시켰던 질문에 답하였다.^[10] 놀랍게도 라그랑쥬의 발견은 모든 비제곱 정수의 제곱근에 대한 표준적인 연속적인 부분확장이 주기적이며, 그 기간이 p > 1인 경우 p - 1 길이의 팔레드롬 문자열을 포함하고 있음을 암시한다.

1813년에 가우스는 현재 가우스의 연속 분수라고 불리는 복잡한 값의 초기하함수로부터 파생되었다.^[11] 그것들은 복잡한 평면의 거의 모든 곳에서 빠르게 수렴되는 지속적인 분수로서 많은 기본적인 기능과 더 발전된 기능(예: 베셀 기능)을 표현하는데 사용될 수 있다.

표기법

서론에서 오랫동안 지속된 분수 표현은 아마도 독자들에게 가장 직관적인 형태일 것이다. 불행히도, 그것은 책 속의 많은 공간을 차지한다(그리고 타이프 세터에게도 쉽지 않다). 그래서 수학자들은 몇 가지 대안적인 명언을 고안해 냈다. 일반화된 연속 분수를 표현하는 편리한 한 가지 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}{1}+}\,{\frac {a_{2}}:{b_{2}+}\,{\frac {a_{3}}}}+}}, {\frac {a_{3}+}}}}}\cdots}}}}}}}}}$

프링스하임은 다음과 같은 방법으로 일반화된 지속 분수를 썼다.

${\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid b_{3}}}+\cdots \,}$.

칼 프리드리히 가우스는 이 표기법을 고안하면서 더욱 친숙한 무한 제품 Ⅱ를 환기시켰다.

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\nothy }{\inflatername {K}}}}}{\frac {a_{i}}}}{b_{i}}}\,}$

여기서 "K"는 "계속분수"를 뜻하는 독일어인 케텐브루치를 의미한다. 이것은 아마도 계속되는 분수를 표현하는 가장 작고 편리한 방법일 것이다. 하지만, 그것은 영국 서체 제작자들에 의해 널리 쓰이지 않는다.

몇 가지 기본적인 고려 사항

다음은 지속적인 분수의 분석 이론을 더욱 발전시키는 데 근본적인 중요성을 갖는 몇 가지 기본적인 결과들이다.

부분분자 및 분모

부분숫자_{n + 1} a 중 하나가 0이면 무한연속분수

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\inflt }{\intername {K}}}}{\frac {a_{i}}}{b_{i}}}}\,},}$

실제로 분수 항이 n개인 유한 지속분수일 뿐이며, 따라서 a₁ to a와_n b의_{0n + 1} 합리적인 함수가 된다. 그러한 물체는 수학적 분석에서 채택된 관점에서는 별로 흥미가 없기 때문에, 대개는_i 모두 ≠ 0이라고 가정한다. 이 제한을 부분분모_i b에 둘 필요는 없다.

결정 공식

연속 분수의 n번째 수렴 시

${\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{n}{n}{\overset {n}{\operatorname{K}}}}}{\frac {a_{i}}}}}},}$

단 분수xn=.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output .sfrac로 표현됩니다.Den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}An/Bn 우리는 결정 공식을 사용할 수 있다.

${\displaystyle A_{n-1}B_{n}-A_{n1}B_{n-1}=\좌측(-1\오른쪽)^{n}a_{2}\codots a_{n}=\n}=\prod _{i=1}^{n(-a_{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}})$

(1)

연속적인_n 수렴 x와 x의_{n − 1} 분자와 분모를 서로 연관시킨다. 이것에 대한 증거는 유도를 통해 쉽게 알 수 있다.

베이스 케이스

사례 n = 1은 매우 단순한 계산에서 비롯된다.

귀납 단계

(1)이 n - 1을 유지한다고 가정한다. 그렇다면 n에 대해서도 같은 관계가 유지되는 것을 볼 필요가 있다. (1)에서 A와_n B의_n 값을 대체하여 다음을 얻는다.

${\displaystyle {\displaysty}&=b_{n}A_{n-1}B_{n-1}+a_{n}A_{n-1}B_{n-2}-b_{n}A_{n-1}B_{n-1}-a_{n}A_{n-2}B_{n-1}\\&=a_{n}(A_{n-1}B_{n-2}-A_{n-2}B_{n-1})\end{aligned}}}$

우리 유도의 가설 때문에 사실이야

${\displaystyle A_{n-1}B_{n}-A_{n1}B_{n-1}=\좌측(-1\right)^{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=\i=1^{n}(-a_{i}),},},},}$

구체적으로, B와_n B가_{n − 1} 0(n > 0)이 아닌 경우, 다음과 같이 (n - 1)번째와 n번째 수렴체의 차이를 표현할 수 있다.

${\displaystyle x_{n-1}-x_{n}={\frac {A_{n-1}-{B_{n1}-{{N_}}-{B_{n}}}}=\왼쪽(-1\오른쪽)^{n}{n}{\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}{n}B_{n-1}={\frac {\prod _{n1}^{n1}(-a_{i})}{B_{n-1},},}$

동등성 변환

{c_i} = {c₁, c₂, c₃, ...인 경우{}은(는) 유도를 통해 우리가 증명할 수 있는 0이 아닌 복잡한 숫자의 무한 시퀀스 입니다.

${\displaystyle b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}=b_{0}+{\cfrac {c_{1}a_{1}}{c_{1}b_{1}+{\cfrac {c_{1}c_{2}a_{2}}{c_{2}b_{2}+{\cfrac {c_{2}c_{3}a_{3}}{c_{3}b_{3}+{\cfrac {c_{3}c_{4}a_{4}}{c_{4}b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$

여기서 평등을 동등성으로 이해한다. 즉, 왼쪽의 지속 분수의 연속적인 수렴이 오른쪽 분수의 수렴과 정확히 동일하다는 것이다.

등가성 변환은 지극히 일반적이지만, 두 가지 특별한 경우는 특별히 언급할 가치가 있다. 먼저, a가_i 0이 아닌 경우, 각 부분 분자를 1로 만들기 위해 시퀀스 {c_i}을(를) 선택할 수 있다.

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {1}{c_{i}b_{i}}}\,}$

여기서 c₁ = 1/a₁, c = a₂₁/a₂, c = a₂/a₁₃, 그리고₃ 일반적으로 c = 1/ac_{n + 1n + 1n}.

둘째, 만약 부분분모 b가_i 0이 아닌 경우, 유사한 절차를 사용하여 다른 시퀀스_i {d}을(를) 선택하여 각 부분분모를 1로 만들 수 있다.

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {d_{i}a_{i}}{1}}\,}$

여기서 d₁ = 1/b이고₁ 다른_{n + 1} d = 1/bb_{nn + 1}.

등가변환에 대한 이 두 가지 특별한 경우는 일반적인 수렴 문제를 분석할 때 대단히 유용하다.

단순한 수렴 개념

계속적인 분수는 이미 지적되었다.

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\inflt }{\intername {K}}}}{\frac {a_{i}}}}},}$

수렴 순서 {x_n}이(가) 유한한 한계에 도달하는 경향이 있는 경우 수렴.

절대 융합이라는 개념은 무한 시리즈 이론의 중심적 역할을 한다. 연속 분수의 분석 이론에는 상응하는 개념이 존재하지 않는다. 다시 말해서 수학자들은 절대적으로 수렴된 지속 분수를 말하지 않는다. 그러나 때때로 절대 수렴의 개념은 특히 수렴 문제의 연구에 있어서 논의에 들어간다. 예를 들어, 특정 연속 분수는

${\displaystyle x={\underset {i=1}{\overset {\inflt }{\properatorname {K}}}}{\frac {1}{b_{i}}}\,}$

시리즈 b₁ + b₂ + b + b₃ + ...일 경우 진동으로 분산됨 절대적으로 수렴성이 있다.^[12]

때로는 지속 분수의 부분 분자와 부분 분모가 복합 변수 z의 함수로 표현되기도 한다. 예를 들어 비교적 단순한 함수는^[13] 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle f(z)={\underset {i=1}{\overset {\inflt }{\inflt}{K}}}}}{\frac {1}{z}}\,}$

이것과 같은 지속적인 부분에서는 균일한 수렴이라는 개념이 아주 자연스럽게 생겨난다. 하나 이상의 복잡한 변수의 지속적인 분수는 분수의 수렴체가 Ω의 모든 지점에서 균일하게 수렴되는 경우 개방된 근린에서 균일하게 수렴된다. 또는 더 정확히 말하면: 만일 매 ε > 0에 대해 차이의 절대값과 같은 정수 M을 찾을 수 있다.

${\displaystyle f(z)-f_{n}(z)={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}(z)}{b_{i}(z)}}-{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}(z)}{b_{i}(z)}}\,}$

n > M이 될 때마다 개방된 근방의 모든 점 z에 대해 ε 미만이며, f(z)를 정의하는 지속 분수는 Ω에 균일하게 수렴된다.(여기_n f(z)는 Ω 내의 점 z에서 평가된 지속 분수의 n번째 수렴을 나타내며, f(z)는 점 z에서 무한 지속 분수의 값이다.)

율지스키-프링스하임 정리는 충분한 수렴 조건을 제공한다.

짝수 및 홀수 수렴체

때로는 지속적인 분수를 그것의 짝수와 홀수 부분으로 분리할 필요가 있다. 예를 들어, 두 개의 구별되는 한계점 p와 q 사이에서 진동으로 인해 연속적인 분수가 분산되면, 그 순서는 {x₀, x₂, x, x₄, ...{}은(는) 이들 중 하나에 수렴해야 하며 {x₁₃, x, x₅, ...{}은(는) 다른 쪽으로 수렴해야 한다. 그러한 상황에서는 원래 지속 분수를 두 개의 서로 다른 연속 분수로 표현하는 것이 편리할 수 있는데, 하나는 p로 수렴하고 다른 하나는 q로 수렴한다.

연속 분수의 짝수 부분과 홀수 부분에 대한 공식은 분수가 이미 변형되어 모든 부분 분모가 통일된 경우 가장 압축적으로 작성할 수 있다. 구체적으로 말하자면

${\displaystyle x={\underset {i=1}{\overset {\inflt }{\properatorname {K}}}}{\frac {a_{i}}{1}:{1},}$

연속된 분수 다음에 짝수 부분 x와_even 홀수 부분 x가_odd 주어진다.

${\displaystyle x_{\text{even}}={\cfrac {a_{1}}{1+a_{2}-{\cfrac {a_{2}a_{3}}{1+a_{3}+a_{4}-{\cfrac {a_{4}a_{5}}{1+a_{5}+a_{6}-{\cfrac {a_{6}a_{7}}{1+a_{7}+a_{8}-\ddots }}}}}}}}\,}$

그리고

${\displaystyle x_{\text{odd}}=a_{1}-{\cfrac {a_{1}a_{2}}{1+a_{2}+a_{3}-{\cfrac {a_{3}a_{4}}{1+a_{4}+a_{5}-{\cfrac {a_{5}a_{6}}{1+a_{6}+a_{7}-{\cfrac {a_{7}a_{8}}{1+a_{8}+a_{9}-\ddots }}}}}}}}\,}$

각각 더 정확히 말하면, 연속분수 x의 연속적인 수렴이 {x₁, x₂₃, x, ...}이라면, 위에 쓰여진 x의_even 연속적인 수렴은 {x₂, x₄, x₆, ...}이고 x의_odd 연속적인 수렴은 {x₁₃, x₅, x, ...}^[14]이다.

불합리성을 위한 조건

만약₁ a, a₂, 그리고 b₁, b, b₂... 충분히 큰 k에 대해 for_k b를_k 갖는 양의 정수인 경우,

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\inflt }{\intername {K}}}}{\frac {a_{i}}}}},}$

비이성적인 ^[15]한계에 봉착하다

근본재발식

분수의 연속 수렴에 대한 부분 분자와 분모는 근본적인 재발 공식에 의해 관련된다.

${\displaystyle {\reasoned}A_{-1}&=1&B_{-1}&=0\\A_{0}&=b_{0}&B_{0}&=1\\A_{n+1}&=b_{n+1}A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}&B_{n+1}&=b_{n+1}B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}\,\end{aligned}}}$

연속 분수의 연속적인 수렴은 다음에 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle x_{n}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\,}$

이러한 재발 관계는 존 월리스(1616–1703)와 레온하르트 오일러(1707–1783) 때문이다.^[16]

예를 들어, 황금 비율 φ을 나타내는 표준 형태의 정규 지속 분율을 고려한다.

${\displaystyle x=1+{\properac {1}{1+{\properac {1}{1+{\properac {1}{1}{1+\ddots \,}}}}}}$

근본적인 재발식을 적용하면, 우리는 연속적인 분자_n A가 {1, 2, 3, 5, 8, 13, ...}이고, 연속적인 분모_n B는 {1, 1, 2, 3, 5, 8, ...} 피보나치 숫자임을 알게 된다. 이 예에서 모든 부분적 분자는 1과 같기 때문에, 결정요인 공식은 연속적인 수렴체 간의 차이의 절대값이 0에 상당히 빠르게 접근한다는 것을 보장한다.

선형 분수 변환

선형 부분 변환(LFT)은 형태의 복잡한 함수다.

${\displaystyle w=f(z)={\frac {a+bz}{c+dz},\,}$

여기서 z는 복합 변수이고 a, b, c, d는 c + dz ≠ 0과 같은 임의의 복합 상수다. w = f(z)가 상수인 경우를 배제하기 위해 ad ad bc가 관습적으로 부과되는 추가 제한이다. 뫼비우스 변환이라고도 알려진 선형 분수 변환은 매혹적인 성질을 많이 가지고 있다. 이 중 4가지는 연속 분수의 분석 이론을 개발하는 데 가장 중요하다.

• d ≠ 0일 경우, LFT는 한두 개의 고정점을 가진다. 이것은 방정식을 보면 알 수 있다.

${\displaystyle f(z)=z\Rightarrow dz^{2}+cz=a+bz\,}$

분명히 z의 2차 방정식이다. 이 방정식의 뿌리는 f(z)의 고정점이다. 판별(c - b)² + 4ad가 0이면 LFT는 단일 점을 고정하고, 그렇지 않으면 두 개의 고정점을 가진다.

• ad ≠ bc인 경우, LFT는 확장된 복합 평면에 대한 변환 불가능한 정합성 매핑이다. 즉, 이 LFT는 역함수를 가지고 있다.

${\displaystyle z=g(w)={\frac {-a+cw}{b-cw}\,}$

그러한 경우 f(g(z) = g(f(z)) = 확장된 복합 평면의 모든 점 z에 대해 z가 되며 f와 g 모두 소멸할 정도로 작은 눈금에서 각도와 모양을 보존한다. z = g(w)의 형태에서 g도 LFT임을 알 수 있다.

• 광고 ≠ bc가 광고 ≠ bc인 두 개의 서로 다른 LFT의 구성 그 자체는 광고 bc bc가 되는 LFT이다. 즉, add ≠ bc가 함수 구성으로 닫히는 모든 LFTs 집합이다. 그러한 모든 LFT의 수집은 함수의 "그룹 운영" 구성과 함께 확장된 복합 평면의 자동형 그룹으로 알려져 있다.
• b = 0인 경우 LFT는 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle w=f(z)={\frac {a}{c+dz},\,}$

하나의 단순한 폴( -c/d)과 a/d에 해당하는 잔류물을 가진 z의 매우 단순한 meromorphic 함수다(Laurent 시리즈 참조).

LFT의 구성으로 지속되는 분율

단순 선형 부분 변환 순서 고려

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{0}(z)&=b_{0}+z,\\[4px]\tau _{1}(z)&={\frac {a_{1}}{b_{1}+z}},\\[4px]\tau _{2}(z)&={\frac {a_{2}}{b_{2}+z}},\\[4px]\tau _{3}(z)&={\frac {a_{3}}{b_{3}+z}},\\&\;\vdots \end{aligned}}}$

여기서는 각각의 간단한 LFT를 나타내기 위해 τ을 사용하고, 함수의 구성을 위해 기존의 원 표기법을 채택한다. n + 1 변환 τ의_i 구성을 나타내기 위해 새로운 기호 symbol도_n 도입한다. 즉,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)=\tau _{0}{\big (}\tau _{1}(z){\big )},\\{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)=\tau _{0}{\Big (}\tau _{1}{\big (}\tau _{2}(z){\big )}{\Big )},\,\end{aligned}}}$

등등의 첫 번째 표현에서 두 번째 표현으로 직접 대체함으로써 우리는 그것을 본다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\boldsymbol{\mathrm{T}}}_{\boldsymbol{1}}(z)&, =\tau _{0}\circ \tau _ᆱ(z)&, =&, \quad b_{0}+{\cfrac{a_{1}}{b_{1}+z}}\\[4px]{\boldsymbol{\mathrm{T}}}_{\boldsymbol{2}}(z)&, =\tau _{1}\circ \tau _ᆹ(z)& \tau _{0}\circ, =&, \quad b_{0}+{\cfrac{a_{1}}{b_{1}+{\cfrac{{2a_}}{b_{2}+z}}}}\,\end{aligne.d}}}$

그리고, 대체적으로

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}\circ \cdots \circ \tau _{n}(z)=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

여기서 유한 지속분수 K의 마지막 부분분모는 b_n + z로 이해된다. 그리고, b_n + 0 = b이므로_n, 반복된 LFT Ⅱ에_n 따른 점 z = 0의 이미지는 실제로 n개의 부분 숫자를 가진 유한 연속 분수의 값이다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.\,}$

기하학적 해석

유한 지속 분수를 반복된 선형 기능 변환 τ_n(z) 아래에서 점의 이미지로 정의하면 무한 연속 분수의 직관적인 기하학적 해석을 유도한다.

관계

${\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )\,}$

recurrence(z)와_n τ_{n + 1}(z)를 근본적인 재발방식의 관점에서 다시 쓰면 이해할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\boldsymbol {T}}}}}{\boldsymbol{n}}}={\frac {(b_{n}}+z)A_{n-1}+a_{n}}A_{n-2}}{(b_{n}+z)B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}};\\[6px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {(b_{n+1}+z)A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}{{n-1}{(b_{n+1}+z)B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}{n-1}}&{\boldsymbol {T}}}}}}{{\boldsymbol{n+1}:1}}(z)&={\frac {zA_{n}+A_{n+1}:{n+1}:{n+1}:{z}{z}{z}}}}{zB_{n}+B_{n+1}.\,\end{aigned}}$

이 방정식들 중 첫 번째에서 그 비율은 z가 0을 향함에 따라 A_n/B로_n 치우친다. 둘째로, 그 비율은 z가 무한대인 경향이 있기_n 때문에 A/B_n 쪽으로 치우친다. 이것이 우리의 첫 번째 기하학적 해석으로 이끈다. 계속되는 분수가 수렴하면, 연속적인 수렴 A_n/B는_n 결국 임의로 서로 가깝게 된다. 선형 분수 변환 τ_n(z)은 연속적인 매핑이므로 임의의 작은 이웃인_n =(0) = A/B로_nn 매핑되는 z = 0의 근방이 있어야 한다. 마찬가지로 τ_n(∞) = A_{n − 1}/B의_{n − 1} 임의의 작은 동네로 매핑되는 무한대의 지점의 근방이 있어야 한다. 따라서 지속적인 분수가 변환 τ_n(z) 맵을 매우 작은 z와 매우 큰 z를 모두 임의로 작은 이웃인 x로 수렴한다면, n이 점점 더 커짐에 따라 지속적인 분수의 값은 매우 작은 z와 매우 작다.

z의 중간값의 경우, 연속적인 수렴체가 서로 가까워지고 있기 때문에 우리는 반드시

${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}\approx {\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}=k\,}$

여기서 k는 상수로서 편의상 도입된다. 그러나 그 다음 z(z)의 표현을 대체함으로써 우리는 obtain_n(z)를 얻는다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {z{\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}+1}{z{\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}+1}}\right)\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {zk+1}{zk+1}}\right)={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\,}$

그래서 z의 중간 값(z - -k는⁻¹ 제외)도 임의로 작은 x의 이웃에 매핑되는데, 이는 n이 점점 커짐에 따라 계속되는 분수의 값이다. 직관적으로, 그것은 마치 수렴 지속 분수가 확장된 전체 복잡한 평면을 하나의 점으로 매핑하는 것과 같다.^[17]

각 τ은_nn ab ≠ cd에 대한 선형 분수 변환이기 때문에 {}} 시퀀스가 확장된 복합 평면의 자동 형태 그룹 내에 있다는 점에 유의하십시오. 그리고 그 자동형성 그룹의 모든 구성원들은 확장된 복잡한 평면을 그 자체로 매핑한다: τ_n 중 어느 것도 그 평면을 하나의 점으로 매핑할 수 없다. 그러나 제한에서 { sequence_n} 시퀀스는 (집합하는 경우) 복잡한 평면의 단일 지점을 나타내는 무한 연속 분수를 정의한다.

무한 지속 분수가 수렴될 때, LFT의_n 해당 시퀀스 {}}은(는) 평면을 연속 분수의 값인 x 방향으로 "초점"한다. 이 과정의 각 단계에서는 비행기의 크고 큰 지역이 x의 이웃으로 매핑되고, 남은 비행기의 점점 더 작은 영역은 그 이웃 바깥의 모든 것을 덮기 위해 더 얇게 펼쳐진다.^[18]

분수가 다른 경우 다음 세 가지 경우를 구분할 수 있다.

1. 두_{2n − 1} 시퀀스 { and}과(와_2n) {τ}은(는) 자체적으로_odd x와 x의_even 서로 다른 값을 갖는 두 개의 수렴 연속 분수를 정의할 수 있다. 이_n 경우, { {} 시퀀스에 의해 정의된 연속 분율은 두 개의 뚜렷한 한계점 사이에서 진동에 의해 분산된다. 그리고 사실 이 생각은 일반화될 수 있다: 순서 {τ_n}은(는) 세 개 또는 네 개 또는 실제로 어떤 수의 한계점 사이에서 진동하는 것으로 구성될 수 있다. 이_n 사례의 흥미로운 예는 { sequence} 시퀀스가 확장된 복합 평면 위에 있는 자동화 그룹 내에서 유한한 순서의 하위 그룹을 구성하는 경우에 발생한다.
2. {τ_n} 시퀀스는 무한히 많은 영분모 B를_i 생성하는 동시에 유한 수렴의 하위 계수를 생성할 수 있다. 이러한 유한 수렴은 스스로 반복되지 않거나 인식 가능한 진동 패턴에 속하지 않을 수 있다. 또는 그것들은 유한한 한계로 수렴하거나, 심지어 다수의 유한한 한계 사이에서 진동할 수도 있다. 유한 수렴체가 어떻게 행동하든, 이 경우 {τ_n} 시퀀스에 의해 정의된 연속 분율은 무한대의 점과의 진동으로 분산된다.^[19]
3. { conver_n} 순서는 유한한 수의 영분모 B_i 이상을 생성하지 않을 수 있지만, 유한 수렴체의 연속성은 결코 반복되지 않고 어떤 유한한 한계에도 접근하지 않는 패턴으로 평면 주위에서 마구 춤을 춘다.

사례 1과 사례 3의 흥미로운 예는 단순 연속 분수를 연구함으로써 구성될 수 있다.

${\displaystyle x=1+{\ddots}{1+{\properac {z}{1+{\properac {z}{1+}{1+\dots}}}}}}},}$

여기서 z는 z < -1/4와 같은 실제 숫자다.^[20]

오일러의 연속 분수식

오일러는 다음과 같은 정체를 증명했다.^[8]

${\displaystyle a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\frac {a_{0}}{1-}}{\frac {a_{1}}{1+a_{1}-}}{\frac {a_{2}}{1+a_{2}-}}\cdots {\frac {a_{n}}{1+a_{n}}}.\,}$

이와 같이 많은 다른 결과를 도출할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{u_{1}}}+{\frac {1}{u_{2}}}+{\frac {1}{u_{3}}}+\cdots +{\frac {1}{u_{n}}}={\frac {1}{u_{1}-}}{\frac {u_{1}^{2}}{u_{1}+u_{2}-}}{\frac {u_{2}^{2}}{u_{2}+u_{3}-}}\cdots {\frac {u_{n-1}^{2}}{u_{n-1}+u_{n}}},\,}$

그리고

${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}+{\frac {x}{a_{0}a_{1}}}+{\frac {x^{2}}{a_{0}a_{1}a_{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{a_{0}a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}={\frac {1}{a_{0}-}}{\frac {a_{0}x}{a_{1}+x-}}{\frac {a_{1}x}{a_{2}+x-}}\cdots {\frac {a_{n-1}x}{a_{n}+x}}.\,}$

오일러가 계속되는 분수와 시리즈를 연결하는 공식은 근본적인 불평등의^{[link or clarification needed]} 동기가 되고, 또한 융합 문제에 대한 기본적인 접근의 기초가 된다.

예

초월 함수 및 숫자

오일러의 정체성을 통해 만들 수 있는 두 가지 연속 분수가 여기에 있다.

${\displaystyle e^{x}={\frac {x^{0}}{0!2}}+{\frac{x^{1}:{1!2}}+{\frac{x^{2}}:{2!}}}{\frac{x^{3}}{3!}}}{\frac{x^{4}}{4}}{4!}}}+\cdots =1+{\cdac {x}{1-{1-{1x}{2+x-{2x}{3+x-{3x}{4+x-\dddots }}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}}$

다음은 일반화된 연속 분율이다.

${\displaystyle \arctan {\ex}{y}}={\exac {xy}{1y^{2}+{3y^{{3y^{2}-1x^{2}+{\exac {(3xy)^{2}{3y^{3y^{2}+{2}}}}}{5y^{2}-3x^{2}+{\cH00{(5xy)^{2}}{7y^{2}-5x^{2}}+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}{{1y+{\iac{{2x)^{3y+{5y+{{7y+{3x)^{7y+}}}}}{7y+\dddd}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}}\quad \Rightarrow \quad e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \log \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}}$

이것은 1970년대에 알렉세이 니콜라예비치 호반스키가 도출한 알고리즘에 바탕을 두고 있다.^[21]

예: 2의 자연 로그(= [0; 1, 2, 3, 5, 2/3, 7, 1/2, 9, 2/5, ...], 2k - 1, 2/k, ...] ≈ 0.693147...):^[22]

${\displaystyle \log 2=\log(1+1)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}$

π

다음은 π의 가장 잘 알려진 일반화된 연속 분율 중 세 가지인데, 그 중 첫 번째와 세 번째 분율은 x = y = 1을 설정하고 4를 곱하여 위의 각 아크탄젠트 공식에서 도출한다. π에 대한 라이프니즈 공식:

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+-\cdots }$

너무 느리게 수렴하여 정확한 소수점 n자리 수를 얻기 위해 대략 3 x 10개의ⁿ 항이 필요하다. 닐라칸타 소마야지(Nilakantha Somayaji)가 연재한 시리즈:

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots }}}}}}=3-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(n+1)(2n+1)}}=3+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 7}}-+\cdots }$

훨씬 더 분명한 표현이지만 여전히 꽤 천천히 수렴되므로 5자리 숫자의 경우 거의 50개 용어, 6자리의 경우 거의 120개 용어가 필요하다. 둘 다 π에 대해 선형으로 수렴한다. 반면에:

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}=4-1+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{34}}+{\frac {16}{3145}}-{\frac {4}{4551}}+{\frac {1}{6601}}-{\frac {1}{38341}}+-\cdots }$

π에 선형적으로 수렴하여 4항당 최소 3자리의 정밀도를 더하며, π의 아크사인 공식보다 약간 빠른 속도:

${\displaystyle \pi =6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!}$

5개 항당 최소 3개의 소수 자릿수를 추가한다. ^[23]

• 참고: 위에서 인용한 아크탄 x/y에 대해 가장 잘 알려진 마친 유사 공식과 함께 지속 분수를 사용하면, 비록 여전히 선형적으로 수렴되지만, 훨씬 더 빠른 표현을 제공할 수 있다.

${\displaystyle \pi =16\tan ^{-1}{\cfrac {1}{5}}\,-\,4\tan ^{-1}{\cfrac {1}{239}}={\cfrac {16}{u+{\cfrac {1^{2}}{3u+{\cfrac {2^{2}}{5u+{\cfrac {3^{2}}{7u+\ddots }}}}}}}}\,-\,{\cfrac {4}{v+{\cfrac {1^{2}}{3v+{\cfrac {2^{2}}{5v+{\cfrac {3^{2}}{7v+\ddots }}}}}}}}.}$

u = 5 및 v = 239를 사용하는 경우.

양수의 뿌리

모든 양의 숫자 z의^m n번째 루트는 z = x + y를ⁿ 재작성하여 표현할 수 있으며, 그 결과

${\displaystyle {\sqrt[{n}}}{z^{m}}={\sqrt[{n}]{\왼쪽(x^{n}+y\오른쪽)^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {my}{nx^{n-m}+{\cfrac {(n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(n+m)y}{3nx^{n-m}+{\cfrac {(2n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(2n+m)y}{5nx^{n-m}+{\cfrac {(3n-m)y}{2x^{m}+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

각 분수를 하나의 분수로 접어서 단순화할 수 있는 것

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {2x^{m}\cdot my}{n(2x^{n}+y)-my-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{3n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{5n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{7n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(4^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{9n(2x^{n}+y)-\ddots }}}}}}}}}}.}$

z의 제곱근은 m = 1이고 n = 2인 특별한 경우:

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {3y}{6x+{\cfrac {3y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {1\cdot 3y^{2}}{6(2x^{2}+y)-{\cfrac {3\cdot 5y^{2}}{10(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}}$

5/10 = 3/6 = 1/2:

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}.}$

제곱근은 주기적인 지속 분수에 의해서도 표현될 수 있지만, 위의 형태는 적절한 x와 y로 더 빨리 수렴된다.

예 1

2의 세제곱근(2 또는^1/3 √2 99 1.259921...)은 다음과 같은 두 가지 방법으로 계산할 수 있다.

첫째, x = 1, y = 1, 2z - y = 3:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {4}{9+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {7}{15+{\cfrac {8}{2+{\cfrac {10}{21+{\cfrac {11}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{9-1-{\cfrac {2\cdot 4}{27-{\cfrac {5\cdot 7}{45-{\cfrac {8\cdot 10}{63-{\cfrac {11\cdot 13}{81-\ddots }}}}}}}}}}.}$

둘째, x = 5, y = 3 및 2z - y = 253:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}={\messac {5}{4}+{\messac {0}5}{50+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {4}{150+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {7}{250+{\cfrac {8}{5+{\cfrac {10}{350+{\cfrac {11}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {2.5\cdot 1}{253-1-{\cfrac {2\cdot 4}{759-{\cfrac {5\cdot 7}{1265-{\cfrac {8\cdot 10}{1771-\ddots }}}}}}}}.}$

예 2

포그손의 비율(100^1/5 또는 √100 ≈ 2.511886...), x = 5, y = 75 및 2z - y = 6325:

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{100}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {3}{250+{\cfrac {12}{5+{\cfrac {18}{750+{\cfrac {27}{5+{\cfrac {33}{1250+{\cfrac {42}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {5\cdot 3}{1265-3-{\cfrac {12\cdot 18}{3795-{\cfrac {27\cdot 33}{6325-{\cfrac {42\cdot 48}{8855-\ddots }}}}}}}}.}$

예 3

"표준 표기법"을 사용한 2개의 12번째 루트(2 또는^1/12 √2 ≈ 1.059463...):

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=1+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {11}{2+{\cfrac {13}{36+{\cfrac {23}{2+{\cfrac {25}{60+{\cfrac {35}{2+{\cfrac {37}{84+{\cfrac {47}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{36-1-{\cfrac {11\cdot 13}{108-{\cfrac {23\cdot 25}{180-{\cfrac {35\cdot 37}{252-{\cfrac {47\cdot 49}{324-\ddots }}}}}}}}}}.}$

예 4

같은 기질의 완벽한 5위(2 또는^7/12 √2⁷ ≈ 1.498307...), m = 7:

"표준 표기법"을 사용하는 경우:

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}=1+{\cfrac {7}{12+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {19}{36+{\cfrac {17}{2+{\cfrac {31}{60+{\cfrac {29}{2+{\cfrac {43}{84+{\cfrac {41}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 7}{36-7-{\cfrac {5\cdot 19}{108-{\cfrac {17\cdot 31}{180-{\cfrac {29\cdot 43}{252-{\cfrac {41\cdot 55}{324-\ddots }}}}}}}}}}.}$

x = 3, y = -7153 및 2z - y = 2 + 3과의¹⁹¹² 빠른 수렴:

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\cfrac {1}{2}}{\sqrt[{12}]{3^{12}-7153}}={\cfrac {3}{2}}-{\cfrac {0.5\cdot 7153}{4\cdot 3^{12}-{\cfrac {11\cdot 7153}{6-{\cfrac {13\cdot 7153}{12\cdot 3^{12}-{\cfrac {23\cdot 7153}{6-{\cfrac {25\cdot 7153}{20\cdot 3^{12}-{\cfrac {35\cdot 7153}{6-{\cfrac {37\cdot 7153}{28\cdot 3^{12}-{\cfrac {47\cdot 7153}{6-\ddots }}}}}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\cfrac {3}{2}}-{\cfrac {3\cdot 7153}{12(2^{19}+3^{12})+7153-{\cfrac {11\cdot 13\cdot 7153^{2}}{36(2^{19}+3^{12})-{\cfrac {23\cdot 25\cdot 7153^{2}}{60(2^{19}+3^{12})-{\cfrac {35\cdot 37\cdot 7153^{2}}{84(2^{19}+3^{12})-\ddots }}}}}}}}.}$

이 기법에 대한 자세한 내용은 (접힌) 연속 분수를 사용하여 뿌리를 추출하는 일반 방법에서 확인할 수 있다.

상위 치수

일반화된 지속 분수의 또 다른 의미는 더 높은 차원으로의 일반화다. 예를 들어, 비합리적인 실수 α에 대한 표준적 형태의 단순 지속분수 사이에는 밀접한 관계가 있으며, 2차원의 격자 점들이 어느 한 쪽에 놓여 있는 방법은 y = αx. 이 생각을 일반화하면 3차원의 격자점들과 관련된 것에 대해 물어볼 수도 있다. 이 영역을 연구하는 한 가지 이유는 수학적 우연 사상을 정량화하기 위함이다. 예를 들어, 단수체의 경우 로그 형태를 취하여 얼마나 작을 수 있는지를 고려하라. 또 다른 이유는 헤르미트의 문제에 대한 가능한 해결책을 찾기 위함이다.

일반화된 이론을 구축하려는 수많은 시도가 있었다. 이러한 방향에서 주목할 만한 노력은 펠릭스 클라인(클라인 다면체), 조르주 포이토우, 조지 세케레스에 의해 이루어졌다.

참고 항목

• 가우스의 연속분수
• 파데 테이블
• 연속 분수를 사용한 2차 방정식 해결
• 수렴문제
• 분석 기능의 무한 구성

메모들

참조

• Jones, William B.; Thron, W.J. (1980), Continued fractions. Analytic theory and applications, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 11, Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 0-201-13510-8, Zbl 0445.30003 (분석 이론과 역사 둘 다)
• 리사 로렌첸과 하콘 와아들랜드, 노스 홀랜드, 1992년 애플리케이션과 함께한 Continuous Fractices with Applications, ISBN 978-0-444-89265-2(주로 분석 이론과 일부 산술 이론)
• Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen 밴드 I, II, B.G. Teubner, 1954.
• 조지 세케레스, 앤 유니브 공상과학. 부다페스트. 외뵈스 종파 수학. 13, "다차원 연속 분수", 페이지 113–140, 1970.
• H.S. Wall, Analysis of Continuous Fractions, 1973년 첼시. ISBN 0-8284-0207-8 (D의 재인쇄). 1948년 판 노스트랜드 판은 역사와 분석 이론을 모두 다루고 있다.)
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 5.2. Evaluation of Continued Fractions", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• 매니 사르디나, 2007년 서리(영국)를 사용하여 (접힌) Continuous 프레이트를 이용한 뿌리 추출 일반법.

외부 링크

무료 사전인 Wiktionary에서 일반화된 지속 분수를 찾아 보십시오.

• Steven R의 첫 20페이지. 핀치, 수학 상수, 케임브리지 대학 출판부, 2003, ISBN 0-521-81805-2는 ∆2와 황금 평균에 대한 일반화된 연속 분수를 포함하고 있다.
• OEIS 시퀀스 A133593("Pi에 대한 정확" 연속 분율)