복제자 방정식

수학에서 복제자 방정식은 진화 게임 이론에서 사용되는 결정론적 단조론 비선형 및 비혁신적 게임 역학이다.^[1]복제자 방정식은 특정 유형 상수의 적합성을 설정하기보다는 적합성 함수가 모집단 유형의 분포를 통합할 수 있도록 한다는 점에서 유사종 방정식과 같이 복제를 모형화하는 데 사용되는 다른 방정식과 다르다.이 중요한 속성은 복제자 방정식이 선택의 본질을 포착할 수 있게 한다.유사종 방정식과 달리 복제자 방정식은 돌연변이를 포함하지 않기 때문에 새로운 유형이나 순수 전략을 혁신할 수 없다.

방정식

복제자 방정식의 가장 일반적인 연속형식은 다음과 같은 미분방정식에 의해 주어진다.

{\dot {x_{i}}=x_{i}=x_{i}[f_{i}(x)-\phi(x)],\cHB(x)=\sum \phi(x)={j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)}}}}}}}}}}}}}}}:

where $x_{i}$ is the proportion of type $i$ in the population, $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ is the vector of the distribution of types in the population, $f_{i}(x)$ is the fitness of type ${\displaystyle$ $i}($ 인구에 따라 다름) 및 $\phi (x)$ ) $\phi(x)$ 은(인구에서 $n$ $n$ 유형의 $n$ 적합성에 대한 가중 평균으로 제공) 평균 $\phi (x)$ 모집단 피트니스다.모집단 벡터 $x$ $x$ 의 $x$ 원소가 정의에 의해 합일성을 갖기 때문에 방정식은 n차원 심플렉스 위에서 정의된다.

복제자 방정식은 균일한 모집단 분포를 가정한다. 즉, 모집단 구조를 적합성에 통합하지 않는다.피트니스 풍경은 다른 유사 방정식과 대조적으로 유형의 모집단 분포를 통합한다.

적용에서 모집단은 일반적으로 유한하므로 이산형 버전을 보다 현실적으로 만든다.이 분석은 이산형성에서 더 어렵고 계산적으로 집약적이기 때문에 이러한 평활화로 인해 손실되는 유의한 특성이 있지만 연속형 형태를 자주 사용한다.연속형태는 제한 프로세스에 의해 이산형에서 얻을 수 있다는 점에 유의한다.

분석을 단순화하기 위해 적합성은 종종 모집단 분포에 선형적으로 의존한다고 가정하는데, 복제자 방정식은 다음과 같은 형태로 작성될 수 있다.

{\dot {x_{i}}=x_{i}\좌측(\좌측(Ax\우측)_{i}-x^{T}Ax\우측)}

여기서 지급 행렬 $A$ $A$ 은 모집단에 대한 모든 적합성 정보를 보유하며 $A$ , 기대 보수는 $\left(Ax\right)_{i}$ x ) $\left(Ax\right)_{i}$ {\ $displaystyle \left(Ax\right)_{i}}$ 로 작성할 수 있으며 $\left(Ax\right)_{i}$ , 모집단 전체의 평균 적합성은 $x^{T}Ax$ $x^{T}Ax$ ${\displaystystyle$ x $^{T}$ 로 기록할 수 있다 $x^{T}Ax$ 시간에 대한 $x_{i}/x_{j}$ 두 비율 x $x_{i}/x_{j}$ / x $x_{i}/x_{j}$ ${\$ 의 비율의 변화는 다음과 같음을 알 수 있다.

{\dplaystyle {d \over{dt}\leftx_{i} \over {x_{j}}\right)={x_{i} \over {x_{j}}\왼쪽[f_{i}(x)-f_{j}(x)\right]}

즉, 비율의 변화는 전적으로 유형별 적합성의 차이에 의해 추진된다는 것이다.

결정론적 및 확률적 복제자 역학 도출

$i$ 유형 i $i$ 의 개인 수가 $Ni$ ${\$ 이고 $i$ $N_{i}$ 개인 총 수가 N $N$ 이라고 가정해 보십시오 $N$ 각 유형의 비율을 $x_{i}=N_{i}/N$ $x_{i}=N_{i}/N$ = $x_{i}=N_{i}/N$ / $x_{i}=N_{i}/N$ ${\displaystyle x_{i}=$ 로 정의하십시오. $N_{i}/N$ 각 유형의 변경이 기하학적 브라운 운동에 의해 지배된다고 가정한다.

dN_{i}=f_{i}N_{i}dt+\sigma _{i}N_{i}dW_{i}

f_{i}

서

f_{i}

{\

는 유형

i

i

과(와) 관련된 피트니스 입니다

f_{i}

i

\phi =x^{T}f

=

\phi =x^{T}f

\phi =x^{T}f

f

{\displaystyle \phi =x^{

T}f

Wiener 프로세스는 상관관계가 없는 것으로 가정한다.

x_{i}(N_{1},...,N_{m})

x_{i}(N_{1},...,N_{m})

x_{i}(N_{1},...,N_{m})

,

x_{i}(N_{1},...,N_{m})

.

x_{i}(N_{1},...,N_{m})

. .

x_{i}(N_{1},...,N_{m})

. . N

x_{i}(N_{1},...,N_{m})

)

{\displaystyle x_{i}(N_{1

},

...,N_{m})

의 경우

x_{i}(N_{1},...,N_{m})

Itô의 보조정리기는 다음을 제공한다.

{\begin{aligned}dx_{i}(N_{1},...,N_{m})&={\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}dN_{j}+{1 \over {2}}{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}\partial N_{k}}}dN_{j}dN_{k}\\&={\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}dN_{j}+{1 \over {2}}{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}^{2}}}(dN_{j})^{2}\end{aligned}}

부분파생상품은 다음과 같다.

{\begin{aligned}{\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}&={1 \over {N}}\delta _{ij}-{x_{i} \over {N}}\\{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}^{2}}}&=-{2 \over {N^{2}}}\delta _{ij}+{2x_{i} \over {N^{2}}}\end{aligned}}

여기서

\delta _{ij}

\delta _{ij}

\delta _{ij}

\delta _{ij}

{\

는 Kronecker 델타 함수다.이러한 관계는 다음을 암시한다.

dx_{i}={dN_{i}\over {N}-x_{i}\sum _{j}{d}N_{j} \{{N}-{(dN_{i}}}}^{2} \{N^{2}}+x_{i}\sum_{j}{{j}}}^{{{N^{2}}}}}}}}{{N^{2}}} \}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

이 방정식의 각 성분은 다음과 같이 계산할 수 있다.

{\reasoned}{d.N_{i} \over{N}&=f_{i}x_{i}dt+\sigma _{i}x_{i}dW_{i}\\-x_{i}\sum _{j}{dN_{j} \over{{N}&=-x_{i}\왼쪽(\phi dt+\sum _{j}\sigma _{j}x_{j}d)W_{j}\right)\\-{(dN_{i})^{2} \over {N^{2}}}&=-\sigma _{i}^{2}x_{i}^{2}dt\\x_{i}\sum _{j}{(dN_{j})^{2} \over {N^{2}}}&=x_{i}\left(\sum _{j}\sigma _{j}^{2}x_{j}^{2}\right)dt\end{aligned}}

그런 다음 각 유형에 대한 확률적 복제자 역학 방정식은 다음과 같이 제시된다.

dx_{i}=x_{i}-\phi -\\phma _{i}+\sum _{j}x_{j}^{j}^{j}^{j}^{2}x_{j}^}\ri}왼쪽(jma _{id})W_{i}-\sum _{j}\sigma _{j}x_{j}dW_{j}\오른쪽)

\sigma _{i}

\sigma _{i}

{\

항이

\sigma _{i}

동일하게 0이라고 가정하면 결정론적 복제자 역학 방정식이 복구된다.

분석

분석은 연속적인 경우와 이산적인 경우에서 다르다. 전자의 경우 미분방정식의 방법을 활용하는 반면 후자의 경우 방법은 확률적인 경향이 있다.복제자 방정식은 비선형적이기 때문에 정확한 해법은 (연속형식의 단순한 버전에서도) 구하기 어렵기 때문에 대개 안정성의 측면에서 분석한다.복제자 방정식(연속적이고 이산적인 형태)은 방정식의 평형성의 안정성을 특징짓는 진화적 게임 이론의 민속적 정리를 만족시킨다.방정식의 해법은 진화적으로 안정된 인구의 상태에 의해 종종 주어진다.

일반적으로 비감발성의 경우, 심플렉스 경계에는 평형파가 많을 수 있지만, 내부 진화 안정 상태(ESS)가 적어도 한 개 있을 수 있다.심플렉스의 모든 얼굴은 모방자 방정식의 혁신의 결여에 해당하는 전방위적 변광성이다. 전략이 일단 소멸되면 그것을 되살릴 방법이 없다.

연속적인 선형 피트니스 복제자 방정식을 위한 위상 초상화 솔루션은 2차원 사례와 3차원 사례로 분류되었다.구별되는 초상화의 수가 급격히 증가하기 때문에 더 높은 차원에서는 분류가 더 어렵다.

다른 방정식과의 관계

$n$ $n$ 유형의 $n$ 연속 복제자 방정식은 $n-1$ - $n-1$ $n-1$ 차원의 $n-1$ 일반화된 로트카-볼터라 방정식과 동일하다.^[2]^[3]변수의 변경에 의해 변환된다.

x_{i}={\frac {y_{i}}{1+\sum _{j=1}^{n-1}{n-1}{n-1}}\display i=1,\ldots,n-1

x_{n}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{n-1}{y_{j}},

여기서 $y_{i}$ $y_{i}$ ${\$ 는 $y_{i}$ 로트카-볼테라 변수다.연속 복제자 역학도 가격 방정식과 동등하다.^[4]

이산형 복제자 방정식

겹치지 않는 세대를 가진 구조화되지 않은 무한 인구를 고려할 때, 복제자 방정식의 분리된 형태와 함께 작업해야 한다.수학적으로 두 가지 간단한 현상학적 버전-

x'_{i}=x_{i}+x_{i}\왼쪽[\왼쪽(Ax\right)_{i}-x^{T}Ax\right]\,({\rm {type~I),}}}

x'_{i}=x_{i}\좌측[{\frac {\좌측(Ax\우측)]{x^{T}}\, ({\rm {type~)II),}

---- 자연 선택 또는 유사한 진화 현상의 다윈의 강령과 일치한다.여기서 프라임은 다음 단계를 나타낸다.그러나 방정식의 이산형 특성은 지급-매트릭스 요소에 한계를 둔다.^[5]흥미롭게도, 2인 2 전략 게임의 단순한 사례에 대해, I형 복제자 맵은 분기가 두 배로 증가하여 혼란이 초래되는 것을 보여줄 수 있으며, 또한 지도에 대한 주기적인 해결책을 수용하기 위해 진화적 안정 상태에 대한^[6] 개념을 일반화하는 방법에 대한 힌트를 준다.

일반화

돌연변이를 통합하는 복제자 방정식의 일반화는 복제자-수정자 방정식에 의해 주어지며, 연속 버전에서는 다음과 같은 형태를 취한다.^[7]

{\dot {x_{i}}=\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}-\phi(x)x_{i}}}}}

여기서 $행렬$ Q ${\displaystyle$ Q $}$ 이(가) $유형$ j ${\displaystyle$ $j$ $}$ 의 $j$ 돌연변이에 대한 변환 확률을 제공하며 $Q$ $i$ $f_{i}$ ${\$ $f_$ ${i}$ 는 $i^{th}$ $i^{th}$ h ${\$ i $^{th}}$ 의 적합성이고 $f_{i}$ $i^{th}$ , $\phi$ {\ $displaystyled \pi}$ 은 모집단의 평균 적합성이다 $\phi$ .이 방정식은 복제자 방정식과 기형 방정식을 동시에 일반화한 것으로 언어의 수학적 분석에 사용된다.

복제자-수정자 방정식의 이산 버전은 위에 쓰여진 두 개의 복제자 지도에 따라 두 가지 단순한 유형을 가질 수 있다.

x'_{i}=x_{i}+\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}-\phi (x)x_{i}}}}}

그리고

x'_{i}=x_{i}{\frac {\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}}}{\phi(x)}}}},},

각각

복제자 방정식 또는 복제자-수정자 방정식은 인구 상태에 대한 지연된 정보에 대응하거나 참가자 간 상호작용의 효과를 실현하는 지연의 영향을 포함하도록 확장할^[8] 수 있다.복제자 방정식은 비대칭 게임으로도 쉽게 일반화될 수 있다.인구구조를 통합한 최근의 일반화는 진화 그래프 이론에 사용된다.^[9]

참조

^ Hofbauer, Josef; Sigmund, Karl (2003). "Evolutionary game dynamics". Bulletin of the American Mathematical Society. 40 (4): 479–519. doi:10.1090/S0273-0979-03-00988-1. ISSN 0273-0979.
^ Bomze, Immanuel M. (1983-10-01). "Lotka-Volterra equation and replicator dynamics: A two-dimensional classification". Biological Cybernetics. 48 (3): 201–211. doi:10.1007/BF00318088. ISSN 1432-0770. S2CID 206774680.
^ Bomze, Immanuel M. (1995-04-01). "Lotka-Volterra equation and replicator dynamics: new issues in classification". Biological Cybernetics. 72 (5): 447–453. doi:10.1007/BF00201420. ISSN 1432-0770. S2CID 18754189.
^ Page, KAREN M.; Nowak, MARTIN A. (2002-11-07). "Unifying Evolutionary Dynamics". Journal of Theoretical Biology. 219 (1): 93–98. doi:10.1006/jtbi.2002.3112. ISSN 0022-5193. PMID 12392978.
^ Pandit, Varun; Mukhopadhyay, Archan; Chakraborty, Sagar (2018). "Weight of fitness deviation governs strict physical chaos in replicator dynamics". Chaos. 28 (3): 033104. arXiv:1703.10767. Bibcode:2018Chaos..28c3104P. doi:10.1063/1.5011955. PMID 29604653. S2CID 4559066.
^ Mukhopadhyay, Archan; Chakraborty, Sagar (2020). "Periodic Orbit can be Evolutionarily Stable: Case Study of Discrete Replicator Dynamics". Journal of Theoretical Biology. 497: 110288. arXiv:2102.11034. doi:10.1016/j.jtbi.2020.110288. PMID 32315673.
^ Nowak, Martin A. (2006). Evolutionary Dynamics: Exploring the Equations of Life. Belknap Press. pp. 272–273. ISBN 978-0674023383.
^ Alboszta, Jan; Miękisz, Jacek (2004). "Stability of evolutionarily stable strategies in discrete replicator dynamicswithtimedelay". Journal of Theoretical Biology. 231 (2): 175–179. arXiv:q-bio/0409024. doi:10.1016/j.jtbi.2004.06.012. PMID 15380382. S2CID 15308310.
^ Lieberman, Erez; Hauert, Christoph; Nowak, Martin A. (2005). "Evolutionary dynamics on graphs". Nature. 433 (7023): 312–316. Bibcode:2005Natur.433..312L. doi:10.1038/nature03204. ISSN 1476-4687. PMID 15662424. S2CID 4386820.

추가 읽기

크레스만, R. (2003)진화 역학 및 광범위한 폼 게임 MIT 프레스.
경찰 테일러, 존커, L. (1978년)"진화의 안정적 전략과 게임 역학".수학적 생명과학, 40: 145-156
샌홀름, 윌리엄 H. (2010)인구 게임과 진화 역학.경제 학습과 사회 진화, MIT 출판사.

외부 링크

S.S. & Izquierdo L.R. (2011년)온라인 소프트웨어:세 가지 전략을 가진 Replicator-Mutator 역학

[1] Hofbauer, Josef; Sigmund, Karl (2003). "Evolutionary game dynamics". Bulletin of the American Mathematical Society. 40 (4): 479–519. doi:10.1090/S0273-0979-03-00988-1. ISSN 0273-0979.

[2] Bomze, Immanuel M. (1983-10-01). "Lotka-Volterra equation and replicator dynamics: A two-dimensional classification". Biological Cybernetics. 48 (3): 201–211. doi:10.1007/BF00318088. ISSN 1432-0770. S2CID 206774680.

[3] Bomze, Immanuel M. (1995-04-01). "Lotka-Volterra equation and replicator dynamics: new issues in classification". Biological Cybernetics. 72 (5): 447–453. doi:10.1007/BF00201420. ISSN 1432-0770. S2CID 18754189.

[4] Page, KAREN M.; Nowak, MARTIN A. (2002-11-07). "Unifying Evolutionary Dynamics". Journal of Theoretical Biology. 219 (1): 93–98. doi:10.1006/jtbi.2002.3112. ISSN 0022-5193. PMID 12392978.

[5] Pandit, Varun; Mukhopadhyay, Archan; Chakraborty, Sagar (2018). "Weight of fitness deviation governs strict physical chaos in replicator dynamics". Chaos. 28 (3): 033104. arXiv:1703.10767. Bibcode:2018Chaos..28c3104P. doi:10.1063/1.5011955. PMID 29604653. S2CID 4559066.

[6] Mukhopadhyay, Archan; Chakraborty, Sagar (2020). "Periodic Orbit can be Evolutionarily Stable: Case Study of Discrete Replicator Dynamics". Journal of Theoretical Biology. 497: 110288. arXiv:2102.11034. doi:10.1016/j.jtbi.2020.110288. PMID 32315673.

[7] Nowak, Martin A. (2006). Evolutionary Dynamics: Exploring the Equations of Life. Belknap Press. pp. 272–273. ISBN 978-0674023383.

[8] Alboszta, Jan; Miękisz, Jacek (2004). "Stability of evolutionarily stable strategies in discrete replicator dynamicswithtimedelay". Journal of Theoretical Biology. 231 (2): 175–179. arXiv:q-bio/0409024. doi:10.1016/j.jtbi.2004.06.012. PMID 15380382. S2CID 15308310.

[9] Lieberman, Erez; Hauert, Christoph; Nowak, Martin A. (2005). "Evolutionary dynamics on graphs". Nature. 433 (7023): 312–316. Bibcode:2005Natur.433..312L. doi:10.1038/nature03204. ISSN 1476-4687. PMID 15662424. S2CID 4386820.

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v t 게임 이론의 주제
정의들	혼잡 게임 협동 게임 결정성 약속의 에스컬레이션 포브스폼 게임 1번과 2번 우승 게임 복잡성 게임 설명 언어 그래픽 게임 믿음의 위계 정보 세트 노멀 폼 게임 선호 순차 게임 동시 게임 동시 동작 선택 해결된 게임 간결한 게임
평형 개념	베이시안 나시 평형 베르헤 평형 코어 상관평형 엡실론 평형화 진화적으로 안정된 전략 깁스 평형 메르텐스-안정성 평형 마르코프 완전 평형 나시 평형 파레토 효율 완벽한 베이시안 평형 적정 평형 완벽한 베이시안 평형 양자 반응 평형 준완벽 평형 위험 우위 만족 평형 자기 확인 평형 순차 평형 샤플리 값 강한 나시 평형 서브게임 완성도 떨리는 손
전략들	우세한 전략 순수전략 혼합 전략 전략-스틸링 인수 Tit for tat 그림 트리거 공모 후진 유도 전진 유도 마르코프 전략 입찰 셰이딩
반 사냥감의	협상문제 싸구려 말씨 글로벌 게임 자동 게임 평균 필드 게임 메커니즘 설계 n-플레이어 게임 완벽한 정보 대형 포아송 게임 포텐셜 게임 반복 게임 스크리닝 게임 신호 게임 스트라텔베르크 대회 엄격하게 결정된 게임 확률 게임 대칭 게임 제로섬 게임
게임.	가다 체스 무한 체스 체커스 틱택토 죄수의 딜레마 선물 교환 게임 선택형수의 딜레마 여행자의 딜레마 코디네이션 게임 치킨 지네 게임 루이스 시그널 게임 자원봉사자의 딜레마 달러 경매 성 전투 사슴 사냥 매칭 페니 얼티메이텀 게임 가위바위보 해적 게임 독재자 게임 공공재 게임 블로토 게임 소모전 엘 파롤 바 문제 공정분할 페어 케이크 커팅 쿠르노 게임 교착 상태 다이너의 딜레마 평균의 2/3을 추측하라. 쿤 포커 나시 흥정 게임 유도 퍼즐 트러스트 게임 공주와 괴물 게임 랑데부 문제
정리	화살의 불가능 정리 오만의 합의 정리 민속 정리 미니맥스 정리 내시의 정리 정화 정리 계시의 원리 제르멜로의 정리
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