플라토의 문제

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미적분학.
${\displaystyle f(a)-f(b)=\int _{b}^{a}f'(t)\,dt}$
기본정리 한계 연속성 롤의 정리 평균값정리 역함수 정리
미분 정의들 도함수(일반화) 미분 극소의 어떤 기능을 하는 총 컨셉트 미분 표기법 이차 도함수 암묵적 미분 로그 미분 관련요금 테일러 정리 규칙과 아이덴티티 합 제품. 체인 힘 몫 L'Hôpital's rule 인버스 라이프니츠 장군 파디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 적분 목록 적분 변환 라이프니츠 적분법칙 정의들 원시함수 적분(부적합) 리만 적분 레베그 적분 등고선 적분 역함수의 적분 에 의한 통합 부품. 디스크 원통형 포탄 치환(삼각형, 탄젠트 반각형, 오일러) 오일러 공식 부분분수 순서변경 환원식 적분 기호에 따른 미분 리쉬 알고리즘
시리즈 기하학적(산술-기하학적) 고조파 교대 힘 이항 테일러 수렴시험 합산한도(임기시험) 비율 뿌리 적분 직접비교 한계비교 교대급수 코시 응축 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향 도함수 아이덴티티 정리 그라데이션 그린즈 스톡스' 발산 일반화된 스톡스
다변수 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학적 정의들 편미분 다중적분 선적분 표면적분 부피적분 야코비안 헤센어
고급. 유클리드 공간에 관한 미적분학 일반화 함수 배점한계
전문화된 분수 말리아빈 확률적 변주곡
여러가지 종류의 프리칼큘러스 역사 용어집 토픽 목록 인테그레이션 비 수리해석학 비표준해석
v t

수학에서 플라토의 문제는 주어진 경계를 갖는 최소 표면의 존재를 보여주는 것인데, 이 문제는 1760년 조제프-루이 라그랑주가 제기한 문제입니다. 하지만, 이것의 이름은 비누막을 실험한 조셉 플라토의 이름을 따서 지어졌습니다. 그 문제는 변량의 미적분학의 일부로 간주됩니다. 존재와 규칙성 문제는 기하학적 측정 이론의 일부입니다.

역사

다양한 전문화된 형태의 문제가 해결되었지만, 일반적인 해결책이 제시 더글라스와 티보르 라도에 의해 독립적으로 매핑(침투)의 맥락에서 발견된 것은 1930년의 일입니다. 그들의 방법은 상당히 달랐습니다. 라도의 작품은 르네 가르니에의 이전 작품을 기반으로 하여 수정 가능한 단순 폐곡선만을 대상으로 한 반면, 더글라스는 그의 결과가 임의의 단순 폐곡선을 대상으로 한 완전히 새로운 아이디어를 사용했습니다. 둘 다 최소화 문제를 설정하는 데 의존했습니다. 더글러스는 현재 이름이 더글러스 적분을 최소화한 반면, 라도는 "에너지"를 최소화했습니다. 더글러스는 1936년에 그의 노력으로 필즈상을 수상했습니다.

더 높은 차원에서

문제를 더 높은 차원($즉{\displaystyle }$, n ${\display$ n}차원 $공간$의 k$$ ${\display$ k$}$차원$$ 표면)으로 확장하면 연구하기가 훨씬 더 어려운 것으로 나타났습니다. $또한$ 원래 문제에 대한 솔루션은 항상 규칙적이지만 k ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\display k\leq n-2}$인 경우 확장 문제에 대한 솔루션이 특이점을 가질 수 있는 것으로 나타났습니다$.$ $k$ = n${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}${\$display$ k= n-1}인 초표면 경우 n ≥ 8 {\display n\geq 8}에 대해서만 특이점이 발생합니다. 이러한 고원 문제의 단일 솔루션의 예로는 짐 시몬스가 처음 설명하고 봄비에리, 데 조르기 및 주스티가 면적 최소화 장치로 보여준$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$× ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ S$^{3}\times S^{3}}$ 위의 원뿔인 시몬스 원뿔이 있습니다.^[1] 특정 특수한 경우에 확장된 문제를 해결하기 위해, 코디멘션 1에 대한 경계 이론(De Giorgi)과 더 높은 코디멘션에 대한 정류 가능 전류 이론(Feeder and Fleming)이 개발되었습니다. 이 이론은 하우스도르프 차원 $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle n-8}$의 닫힌 집합에서 매끄러운 코디멘션 1 솔루션의 존재를 보장합니다$.$ 더 높은 코디멘션의 경우 Almgren은 규칙성 정리에서 최대 ${\displaystyle \mathrm{k}}$- 2 ${\displaystyle k-2}$의 단일 차원 집합을 가진 솔루션의 존재를 증명했습니다. Almgren의 제자인 S. X. Chang은 Almgren의 연구를 기반으로 적분 전류를 최소화하는 2차원 영역의 특이점이 유한 이산 집합을 형성한다는 것을 보여줍니다.^[2][3]

Jenny Harrison과 Harrison Pugh의^[4] 공리적인 접근법은 매우 다양한 특별한 경우를 치료합니다. 특히, 그들은 일반적인 호몰로지, 코호몰로지 또는 호몰로지 스패닝 조건의 조합을 만족시키는 임의의 정류 가능한 집합 집합에 대해 임의의 차원과 코디멘션으로 이방성 플라토 문제를 해결합니다. 해리슨-푸그의 결과에 대한 다른 증거는 카밀로 드 렐리스, 프란체스코 기랄딘, 프란체스코 마지에 의해 얻어졌습니다.^[5]

물리적 응용

물리적 비누 필름은$$(${\displaystyle M,}$ 0${\displaystyle ,}$δ) ${\$displaystyle (M, 0$,\$Delta )} - Frederick Almgren의 최소 집합에 의해 더 정확하게 모델링되지만 컴팩트성 정리가 없기 때문에 면적 최소화기의 존재를 증명하기가 어렵습니다. 이런 맥락에서, 지속적으로 열린 질문은 최소 면적의 비누 필름의 존재였습니다. 에른스트 로베르트 라이펜버그(Ernst Robert Reifenberg)는 단일 삽입 구와 동형인 경계에 대한 "보편적 고원 문제"를 해결했습니다.

참고 항목

• 이중거품 추측
• 디리클레 원리
• 고원의 법칙
• 신축 격자법
• 번스타인의 문제

참고문헌

• Douglas, Jesse (1931). "Solution of the problem of Plateau". Trans. Amer. Math. Soc. 33 (1): 263–321. doi:10.2307/1989472. JSTOR 1989472.
• Reifenberg, Ernst Robert (1960). "Solution of the {Plateau} problem for m-dimensional surfaces of varying topological type". Acta Mathematica. 104 (2): 1–92. doi:10.1007/bf02547186.
• Fomenko, A.T. (1989). The Plateau Problem: Historical Survey. Williston, VT: Gordon & Breach. ISBN 978-2-88124-700-2.
• Morgan, Frank (2009). Geometric Measure Theory: a Beginner's Guide. Academic Press. ISBN 978-0-12-374444-9.
• O'Neil, T.C. (2001) [1994], "Geometric Measure Theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Radó, Tibor (1930). "On Plateau's problem". Ann. of Math. 2. 31 (3): 457–469. Bibcode:1930AnMat..31..457R. doi:10.2307/1968237. JSTOR 1968237.
• Struwe, Michael (1989). Plateau's Problem and the Calculus of Variations. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08510-4.
• Almgren, Frederick (1966). Plateau's problem, an invitation to varifold geometry. New York-Amsterdam: Benjamin. ISBN 978-0-821-82747-5.

• Harrison, Jenny; Pugh, Harrison (2016). Open Problems in Mathematics (Plateau's Problem). Springer. arXiv:1506.05408. doi:10.1007/978-3-319-32162-2. ISBN 978-3-319-32160-8.

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