정밀 생성 대수

수학에서 미세하게 생성된 대수(유한형의 대수라고도 함)는 A의 모든 원소가 K의 계수를 가지고 a₁, ...,a에_nn 다항식으로 표현될 수 있는 A의₁ 유한 집합이 존재하는 필드 K에 대한 교감적 연관 대수 A이다.

동등하게, ${\displaystyle a}$${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$$$, … , n )에 평가 동형성 a${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ A {\$displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ s$$.t$.$에 ${\displaystyle {있는\mathrm{}}_{}}$ 원소 $a{\displaystyle {}_{}}$ = ( 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$,${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ )$${\$displaystyle$ {\$bf{a}=(a_{$1},\$dots},\dots}).$

${\displaystyle \phi _{\bf {a}\colon K[X_{1},\dots,X_{n}]\두머리 오른쪽 줄 A}$

따라서 첫 번째 이소모르피즘 정리 ${\displaystyle A}$≃ K${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$/ k ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$ (${\displaystyle {}_{}{\varphi \mathbf{}}_{}}$ a $){\displaystyle A\simeq K[X_{1},\dots ,X_{n}]/{\rm {ker}}}(\phi$ _${bf{a$

반대로 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle K}$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A:$$=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$ for any ideal ${\displaystyle I\subset K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ is a ${\displaystyle K}$-algebra of finite type, indeed any element of ${\displaystyle A}$ is a polynomial in the cosets ${\displaystyle a_{i}:$$=X_{i}+I,i=1,\dots,n}$에 계수가 있는$$ K$${\$displaystyle$ K$}.$ 따라서 다음과 같은 특성을 정확히 생성하여 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ -algebras를$$^[1] 얻는다$.$

${\displaystyle A}$ is a finitely generated ${\displaystyle K}$-algebra if and only if it is isomorphic to a quotient ring of the type ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$ by an ideal ${\displaystyle I\subset K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$.

만약 필드 K를 강조할 필요가 있다면, 대수학은 K를 통해 미세하게 생성된다고 한다. 미세하게 생성되지 않은 알헤브라를 무한 생성이라고 한다.

예

• 다항 대수 K[x₁,...,x_n]는 정밀하게 생성된다.무한히 많은 발전기에서 다항식 대수학은 무한히 생성된다.
• 무한 필드 K에 대한 한 변수의 합리적인 함수의 필드 E = K(t)는 K에 대해 정밀하게 생성되는 대수학(minally generated 대수학(material generation)이 아니다.반면에 E는 K에 의해 하나의 원소 t에 의해 필드로서 생성된다.
• E/F가 유한한 필드 확장인 경우 E는 F보다 정밀하게 생성된 대수라는 정의에서 따온 것이다.
• 반대로 E/F가 필드 확장자이고 E가 F보다 정밀하게 생성된 대수라면 필드 확장은 유한하다.이것은 자리스키의 보조정리라고 불린다.통합 확장을 참조하십시오.
• G가 정밀하게 생성된 그룹이라면 그룹 링 KG는 K보다 정밀하게 생성된 대수다.

특성.

• 미세하게 생성된 대수학의 동형상 그 자체는 미세하게 생성된다.그러나, 아말게브라의 유사한 성질은 일반적으로 유지되지 않는다.
• 힐베르트의 기본 정리: 만약 A가 노메트리안 링 위에서 미세하게 생성된 정류 대수라면, A의 모든 이상은 미세하게 생성되거나 동등하게, A는 노메트리안 링이다.

아핀 품종과의 관계

정밀하게 생성된 상쇄 알헤브라는 현대 대수 기하학에서 고려의 기본 대상이며, 여기서 아핀 대수적 변종에 해당한다. 이러한 이유로 이 알헤브라는 아핀 알헤브라라고도 불린다.더 정확히 말하면, 아핀 대수 집합 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ {$A} ^n}}$을(를) 지정하면 미세하게 생성된 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ -algebra를$$ 연결할 수 있다.

$[\displaystyle \Gamma(V):=K[X_{1},\dots,X_{n}]/I(V)}$

called the affine coordinate ring of ${\displaystyle V}$; moreover, if ${\displaystyle \phi \colon V\to W}$ is a regular map between the affine algebraic sets ${\displaystyle V\subset \mathbb {A} ^{n}}$ and ${\displaystyle W\subset \mathbb {A} ^{m}}$, we can define a homomorphism of $$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ -알게브라스$$

$\displaystyle \Gamma (\phi )\equiv \phi ^{*}\colon \Gamma (W)\to \Gamma (V)\,\phi ^{*(f)=f\circircle \phi ,}$

$그러면{\displaystyle \mathrm{}}$ , ${\displaystyle \Gamma$}은$($는) 정규 지도가 있는 appine 대수 집합 범주에서 정밀하게 생성된 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ -algebras$$: 이 functor는 범주의 동등성으로 판명된다$$^[2].

${\displaystyle \Gamma \colon({\text{affine 대수 집합})^{\rm {opp}\to({\text{-algebras}),}$

그리고, 다양성을 결합하는 것을 제한한다(즉, 불가해한 아핀 대수 집합).

${\displaystyle \Gamma \colon({\text{affine 대수품종}})^{\rm {opp}\to({\text}정확하게 생성된 }}}}{\text{-algebras}).}$

유한형 알헤브라스 대 유한형 알헤브라스

상호 작용 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -algebra$$ A ${\displaystyle A}$은(는) 링 동형상 $ism{\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$→ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi \colon R\to$ A$}$이며$,$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystystyle A}$의 $}$ -module$$ structure는 정의되어$$ 있다.

$\displaystyle \lambda \cdot a:=\phi (\lambda )a,\quad \lambda \in R,a\in A.}$

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -algebra$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -modules의$$$$ 돌출적 동형성이 있는 경우 유한하다.

${\displaystyle R^{\oplus _{n}\2head rightarrow A.}$

다시 말해, 인수의^[3] 관점에서 유한한 알헤브라의 특성화가 있다.

An ${\displaystyle R}$-algebra ${\displaystyle A}$ is finite if and only if it is isomorphic to a quotient ${\displaystyle R^{\oplus _{n}}/M}$ by an ${\displaystyle R}$-submodule ${\displaystyle M\subset R}$.

정의상 유한 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -algebra는$$ 유한형이지만 역은 거짓이다: 다항 링 R${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle R[X]}$은 유한형이지만 유한형은 아니다.

유한형 알헤브라와 유한형 알헤브라는 유한형 형태론과 유한형 형태론의 개념과 관련이 있다.

참조

참고 항목

• 미세하게 생성된 모듈
• 정밀하게 생성된 필드 확장
• 아르틴-테이트 보조정리
• 유한대수학
• 유한형 형태론